Chapitre 11 – Figures planes : périmètres et aires | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 3 juillet 2026
Pour savoir si les panneaux occupent une grande partie du toit, faut-il comparer leurs périmètres ou leurs aires ? Pourquoi ?
Il faut comparer les aires (les surfaces, en m²). « Occuper de la place » sur un toit, c'est une question de surface, pas de longueur de contour. Le périmètre ne servira qu'à mesurer un tour (par exemple pour un rail de fixation).
Karim installe un champ de panneaux solaires sur le toit-terrasse (toit plat) d'un gymnase communal, à Nantes. Avant la pose, il doit vérifier quelle surface du toit les panneaux vont occuper, quelle part du toit cela représente, et quelle surface restera libre pour circuler et entretenir l'installation.
À l'aide des Documents 1 et 2, indique la forme de la toiture, celle d'un panneau et celle du champ de panneaux, puis relève leurs dimensions.
La toiture (toit-terrasse) est un rectangle de 24 m × 15 m. Un panneau est un rectangle de 1,70 m × 1,00 m. Le champ de panneaux est un rectangle de 17 m × 12 m (120 panneaux, en 10 colonnes × 12 rangées).
Calcule l'aire totale de la toiture (rectangle). Rappel : \(\mathcal{A} = L \times l\).
\(\mathcal{A}_{\text{toit}} = L \times l = 24 \times 15 = \mathbf{360\ \text{m}^2}\).
Le champ de panneaux forme un rectangle de 17 m × 12 m. Calcule son aire (la surface occupée par les panneaux).
\(\mathcal{A}_{\text{champ}} = 17 \times 12 = \mathbf{204\ \text{m}^2}\).
Vérifie ce résultat autrement : calcule l'aire d'un panneau (1,70 m × 1,00 m), puis multiplie par les 120 panneaux. Retrouves-tu la même aire ?
Aire d'un panneau : \(1{,}70 \times 1{,}00 = 1{,}70\ \text{m}^2\). Pour 120 panneaux : \(120 \times 1{,}70 = \mathbf{204\ \text{m}^2}\).
On retrouve bien 204 m² : les deux méthodes concordent, le résultat est validé.
Quel pourcentage de la toiture le champ de panneaux occupe-t-il ? (Taux de couverture \(= \dfrac{\text{aire occupée}}{\text{aire de la toiture}}\), puis \(\times 100\). Arrondis au dixième.)
\(\dfrac{204}{360} \approx 0{,}567\), soit \(0{,}567 \times 100 \approx \mathbf{56{,}7\ \%}\).
Le champ couvre environ 57 % du toit.
Quelle surface de la toiture reste libre (non couverte par les panneaux) ? Calcule-la par différence.
Aire libre \(= \mathcal{A}_{\text{toit}} - \mathcal{A}_{\text{champ}} = 360 - 204 = \mathbf{156\ \text{m}^2}\).
Pour fixer le champ, Karim pose un rail tout autour. Calcule le périmètre du champ de panneaux, puis compare-le au périmètre de la toiture. Rappel : \(P = 2(L + l)\).
Périmètre du champ : \(P = 2(17 + 12) = 2 \times 29 = \mathbf{58\ \text{m}}\).
Périmètre de la toiture : \(P = 2(24 + 15) = 2 \times 39 = \mathbf{78\ \text{m}}\).
Le rail autour du champ mesure 58 m, contre 78 m pour faire tout le tour du toit.
Rédige 2 à 3 phrases pour la mairie (maître d'ouvrage) : surface occupée par les panneaux, pourcentage du toit couvert, et surface qui reste libre.
Note – champ de panneaux du gymnase
Le champ de 120 panneaux occupe un rectangle de 17 m × 12 m, soit 204 m².
Cela représente environ 57 % de la toiture (360 m²).
Il reste donc 156 m² de toit libres pour l'accès et l'entretien ; le rail de fixation qui entoure le champ mesure 58 m.
L'aire libre est de 156 m². Sans tenir compte des marges d'accès, combien de panneaux supplémentaires de 1,70 m² pourrait-on théoriquement y poser ? Ce nombre est-il réaliste en pratique ? Justifie.
\(156 \div 1{,}70 \approx 91{,}8\), soit au maximum 91 panneaux supplémentaires.
Ce n'est pas réaliste : il faut garder des passages pour l'entretien, éviter les ombres portées et respecter des marges au bord du toit. On ne couvre donc jamais 100 % de la surface.
Réponse à la problématique : le champ de 120 panneaux occupe 204 m², soit environ 57 % de la toiture (360 m²) ; il reste 156 m² de toit libres. Tout part du calcul d'aire des rectangles.
📚 §2 (périmètres) et §3 (aires) de la leçon Ch11.