Fonction carré et variations — Seconde Bac Pro MAMA
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Calculer les images suivantes par la fonction carré \(f(x) = x^2\) :
a) \(f(3) = 3 \times 3 = ...\)
b) \(f(-4) = (-4) \times (-4) = ...\)
c) \(f(0) = ...\)
a) \(f(3) = 3^2 = \mathbf{9}\)
b) \(f(-4) = (-4)^2 = \mathbf{16}\)
c) \(f(0) = 0^2 = \mathbf{0}\)
a) Calculer \(f(5) = ...\) et \(f(-5) = ...\)
b) Que remarque-t-on ?
c) Calculer \(f(1{,}5) = ...\) et \(f(-1{,}5) = ...\)
d) Cette propriété se vérifie-t-elle encore ?
a) \(f(5) = 25\) et \(f(-5) = 25\)
b) Les deux résultats sont égaux : deux nombres opposés ont la même image.
c) \(f(1{,}5) = 2{,}25\) et \(f(-1{,}5) = 2{,}25\)
d) Oui, la propriété \(f(-x) = f(x)\) se vérifie pour tout nombre.
Compléter les phrases suivantes :
a) Sur l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\), la fonction carré est ...........
b) Sur l'intervalle \(]-\infty\,;\,0]\), la fonction carré est ...........
c) Le minimum de la fonction carré est ......, atteint en \(x = ...\)
d) La courbe de la fonction carré s'appelle une ...........
a) Sur \([0\,;\,+\infty[\), la fonction carré est croissante.
b) Sur \(]-\infty\,;\,0]\), la fonction carré est décroissante.
c) Le minimum de la fonction carré est 0, atteint en \(x = \mathbf{0}\).
d) La courbe de la fonction carré s'appelle une parabole.
On cherche les solutions de \(f(x) = 16\), c'est-à-dire \(x^2 = 16\).
a) Quel nombre positif a pour carré 16 ? \(x_1 = \sqrt{16} = ...\)
b) Quel nombre négatif a pour carré 16 ? \(x_2 = -\sqrt{16} = ...\)
c) Vérifier : \(f(x_1) = ...\) et \(f(x_2) = ...\)
d) Donner l'ensemble des solutions : \(\mathcal{S} = \{...\,;\,...\}\)
a) \(x_1 = \sqrt{16} = \mathbf{4}\)
b) \(x_2 = -\sqrt{16} = \mathbf{-4}\)
c) \(f(4) = 16\) ✔ et \(f(-4) = 16\) ✔
d) \(\mathcal{S} = \{-4\,;\,4\}\)
On considère \(g(x) = x^2 + 5\).
a) Calculer \(g(0) = 0^2 + 5 = ...\)
b) Calculer \(g(3) = 3^2 + 5 = ...\)
c) Quel est le minimum de \(g\) ?
a) \(g(0) = 0 + 5 = \mathbf{5}\)
b) \(g(3) = 9 + 5 = \mathbf{14}\)
c) Le minimum de \(g\) est \(\mathbf{5}\), atteint en \(x = 0\).
Barème : 20 points
Calculer les images suivantes par la fonction carré \(f(x) = x^2\) :
a) \(f(5) = 5 \times 5 = ...\)
b) \(f(-3) = (-3) \times (-3) = ...\)
c) \(f(1) = ...\)
a) \(f(5) = 5^2 = \mathbf{25}\)
b) \(f(-3) = (-3)^2 = \mathbf{9}\)
c) \(f(1) = 1^2 = \mathbf{1}\)
a) Calculer \(f(7) = ...\) et \(f(-7) = ...\)
b) Que remarque-t-on ?
c) Calculer \(f(2{,}5) = ...\) et \(f(-2{,}5) = ...\)
d) Cette propriété se vérifie-t-elle encore ?
a) \(f(7) = 49\) et \(f(-7) = 49\)
b) Les deux résultats sont égaux : deux nombres opposés ont la même image.
c) \(f(2{,}5) = 6{,}25\) et \(f(-2{,}5) = 6{,}25\)
d) Oui, la propriété \(f(-x) = f(x)\) se vérifie pour tout nombre.
Compléter les phrases suivantes :
a) Sur l'intervalle \(]-\infty\,;\,0]\), la fonction carré est ...........
b) Sur l'intervalle \([0\,;\,+\infty[\), la fonction carré est ...........
c) La fonction carré admet un ......... égal à ......, atteint en \(x = ...\)
d) La courbe représentative de la fonction carré est symétrique par rapport à l'axe des ...........
a) Sur \(]-\infty\,;\,0]\), la fonction carré est décroissante.
b) Sur \([0\,;\,+\infty[\), la fonction carré est croissante.
c) La fonction carré admet un minimum égal à 0, atteint en \(x = \mathbf{0}\).
d) La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
On cherche les solutions de \(f(x) = 25\), c'est-à-dire \(x^2 = 25\).
a) Quel nombre positif a pour carré 25 ? \(x_1 = \sqrt{25} = ...\)
b) Quel nombre négatif a pour carré 25 ? \(x_2 = -\sqrt{25} = ...\)
c) Vérifier : \(f(x_1) = ...\) et \(f(x_2) = ...\)
d) Donner l'ensemble des solutions : \(\mathcal{S} = \{...\,;\,...\}\)
a) \(x_1 = \sqrt{25} = \mathbf{5}\)
b) \(x_2 = -\sqrt{25} = \mathbf{-5}\)
c) \(f(5) = 25\) ✔ et \(f(-5) = 25\) ✔
d) \(\mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\)
On considère \(g(x) = x^2 + 3\).
a) Calculer \(g(0) = 0^2 + 3 = ...\)
b) Calculer \(g(4) = 4^2 + 3 = ...\)
c) Quel est le minimum de \(g\) ?
a) \(g(0) = 0 + 3 = \mathbf{3}\)
b) \(g(4) = 16 + 3 = \mathbf{19}\)
c) Le minimum de \(g\) est \(\mathbf{3}\), atteint en \(x = 0\).
Barème : 20 points
Calculer les images suivantes par la fonction carré \(f(x) = x^2\) :
a) \(f(7)\) b) \(f(-6)\) c) \(f(2{,}5)\) d) \(f(-0{,}3)\)
a) \(f(7) = 49\) b) \(f(-6) = 36\) c) \(f(2{,}5) = 6{,}25\) d) \(f(-0{,}3) = 0{,}09\)
Un artisan menuisier doit poser un revêtement de sol dans une pièce carrée de côté \(c\) mètres. La surface à couvrir est \(f(c) = c^2\).
a) Calculer la surface pour \(c = 3{,}5\) m.
b) Calculer la surface pour \(c = 7\) m.
c) Le côté a doublé entre les deux questions. La surface a-t-elle doublé ? Expliquer.
a) \(f(3{,}5) = 3{,}5^2 = \mathbf{12{,}25\,\text{m}^2}\)
b) \(f(7) = 7^2 = \mathbf{49\,\text{m}^2}\)
c) Le côté a doublé (\(3{,}5 \times 2 = 7\)), mais la surface est passée de 12,25 à 49, soit \(49 \div 12{,}25 = 4\). La surface est multipliée par 4, pas par 2 (propriété du carré).
Résoudre les équations suivantes :
a) \(x^2 = 25\)
b) \(x^2 = 7\) (valeur exacte puis arrondie au centième)
a) \(x = 5\) ou \(x = -5\) → \(\mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\)
b) \(x = \sqrt{7}\) ou \(x = -\sqrt{7}\) → \(\mathcal{S} = \{-\sqrt{7}\,;\,\sqrt{7}\}\)
Valeur approchée : \(x \approx 2{,}65\) ou \(x \approx -2{,}65\)
On considère la fonction \(g(x) = x^2 + 3\).
a) Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) |
b) Quel est le minimum de \(g\) ? En quelle valeur de \(x\) est-il atteint ?
c) Sur quel intervalle \(g\) est-elle croissante ?
a)
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 12 | 7 | 4 | 3 | 4 | 7 | 12 |
b) Le minimum de \(g\) est \(\mathbf{3}\), atteint en \(x = 0\).
c) \(g\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\).
L'équation \(x^2 = -9\) a-t-elle des solutions ? Justifier.
Non, car \(x^2 \geq 0\) pour tout réel \(x\). Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, il ne peut jamais être égal à \(-9\).
\(\mathcal{S} = \emptyset\) (ensemble vide).
Barème : 20 points
Calculer les images suivantes par la fonction carré \(f(x) = x^2\) :
a) \(f(4)\) b) \(f(-8)\) c) \(f(1{,}5)\) d) \(f(-0{,}7)\)
a) \(f(4) = 16\) b) \(f(-8) = 64\) c) \(f(1{,}5) = 2{,}25\) d) \(f(-0{,}7) = 0{,}49\)
Un fabricant de mobilier découpe des plaques de verre carrées de côté \(c\) mètres. La surface d'une plaque est \(f(c) = c^2\).
a) Calculer la surface pour \(c = 2{,}5\) m.
b) Calculer la surface pour \(c = 5\) m.
c) Le côté a doublé entre les deux questions. La surface a-t-elle doublé ? Expliquer.
a) \(f(2{,}5) = 2{,}5^2 = \mathbf{6{,}25\,\text{m}^2}\)
b) \(f(5) = 5^2 = \mathbf{25\,\text{m}^2}\)
c) Le côté a doublé (\(2{,}5 \times 2 = 5\)), mais la surface est passée de 6,25 à 25, soit \(25 \div 6{,}25 = 4\). La surface est multipliée par 4, pas par 2 (propriété du carré).
Résoudre les équations suivantes :
a) \(x^2 = 49\)
b) \(x^2 = 5\) (valeur exacte puis arrondie au centième)
a) \(x = 7\) ou \(x = -7\) → \(\mathcal{S} = \{-7\,;\,7\}\)
b) \(x = \sqrt{5}\) ou \(x = -\sqrt{5}\) → \(\mathcal{S} = \{-\sqrt{5}\,;\,\sqrt{5}\}\)
Valeur approchée : \(x \approx 2{,}24\) ou \(x \approx -2{,}24\)
On considère la fonction \(g(x) = x^2 + 5\).
a) Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) |
b) Quel est le minimum de \(g\) ? En quelle valeur de \(x\) est-il atteint ?
c) Sur quel intervalle \(g\) est-elle décroissante ?
a)
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 14 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 14 |
b) Le minimum de \(g\) est \(\mathbf{5}\), atteint en \(x = 0\).
c) \(g\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\).
L'équation \(x^2 = -4\) a-t-elle des solutions ? Justifier.
Non, car \(x^2 \geq 0\) pour tout réel \(x\). Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul, il ne peut jamais être égal à \(-4\).
\(\mathcal{S} = \emptyset\) (ensemble vide).
Barème : 20 points
On considère les fonctions \(f(x) = x^2\), \(g(x) = 2x^2\) et \(h(x) = x^2 - 4\).
a) Calculer \(f(3)\), \(g(3)\) et \(h(3)\).
b) Pour chaque fonction, donner le minimum et la valeur de \(x\) en laquelle il est atteint.
a) \(f(3) = 9\) | \(g(3) = 2 \times 9 = 18\) | \(h(3) = 9 - 4 = 5\)
b) \(f\) : minimum \(\mathbf{0}\) en \(x = 0\).
\(g\) : minimum \(\mathbf{0}\) en \(x = 0\) (parabole plus resserrée, mais même sommet).
\(h\) : minimum \(\mathbf{-4}\) en \(x = 0\) (parabole décalée de 4 vers le bas).
Un menuisier agenceur conçoit un panneau décoratif carré. Le coût total (en euros) est modélisé par \(C(c) = 35c^2 + 80\), où \(c\) est le côté du panneau en mètres.
a) Calculer le coût pour un panneau de 1,2 m de côté.
b) Le client dispose d'un budget de 500 €. Déterminer le côté maximal du panneau qu'il peut commander.
c) Si le côté est triplé, par combien le coût du matériau (la partie \(35c^2\)) est-il multiplié ?
a) \(C(1{,}2) = 35 \times 1{,}2^2 + 80 = 35 \times 1{,}44 + 80 = 50{,}4 + 80 = \mathbf{130{,}40\,€}\)
b) \(35c^2 + 80 \leq 500 \Rightarrow 35c^2 \leq 420 \Rightarrow c^2 \leq 12 \Rightarrow c \leq \sqrt{12} \approx \mathbf{3{,}46\,\text{m}}\)
c) Le coût matériau est \(35c^2\). Si \(c\) est triplé : \(35(3c)^2 = 35 \times 9c^2 = 9 \times 35c^2\). Le coût matériau est multiplié par 9.
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
a) \(x^2 = 36\)
b) \(x^2 < 9\) (donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle)
a) \(x = 6\) ou \(x = -6\) → \(\mathcal{S} = \{-6\,;\,6\}\)
b) On cherche les \(x\) tels que la parabole est en dessous de la droite \(y = 9\). La droite coupe la parabole en \(x = -3\) et \(x = 3\).
\(\mathcal{S} = ]-3\,;\,3[\)
On considère \(p(x) = -x^2\).
a) Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) |
b) La fonction \(p\) a-t-elle un minimum ou un maximum ? Lequel ? En quelle valeur de \(x\) ?
c) Donner les intervalles de croissance et de décroissance de \(p\).
a)
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(-9\) | \(-4\) | \(-1\) | 0 | \(-1\) | \(-4\) | \(-9\) |
b) \(p\) a un maximum égal à \(\mathbf{0}\), atteint en \(x = 0\). Elle n'a pas de minimum.
c) \(p\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et décroissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Les variations sont inversées par rapport à \(f(x) = x^2\) car \(k = -1 < 0\).
Un élève affirme : « Si \(a > b\), alors \(a^2 > b^2\). » Cette affirmation est-elle toujours vraie ? Donner un contre-exemple si nécessaire, puis préciser les conditions pour lesquelles elle est vraie.
L'affirmation est fausse en général.
Contre-exemple : \(a = 2\) et \(b = -5\). On a \(2 > -5\), mais \(2^2 = 4 < 25 = (-5)^2\).
L'affirmation est vraie si \(a\) et \(b\) sont tous les deux positifs (la fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\)).
Barème : 20 points
On considère les fonctions \(f(x) = x^2\), \(g(x) = 3x^2\) et \(h(x) = x^2 + 2\).
a) Calculer \(f(-2)\), \(g(-2)\) et \(h(-2)\).
b) Pour chaque fonction, donner le minimum et la valeur de \(x\) en laquelle il est atteint.
a) \(f(-2) = 4\) | \(g(-2) = 3 \times 4 = 12\) | \(h(-2) = 4 + 2 = 6\)
b) \(f\) : minimum \(\mathbf{0}\) en \(x = 0\).
\(g\) : minimum \(\mathbf{0}\) en \(x = 0\) (parabole plus resserrée, mais même sommet).
\(h\) : minimum \(\mathbf{2}\) en \(x = 0\) (parabole décalée de 2 vers le haut).
Un installateur thermique doit isoler un conduit de section carrée. Le coût de l'isolant (en euros) est modélisé par \(C(c) = 28c^2 + 60\), où \(c\) est le côté du conduit en mètres.
a) Calculer le coût pour un conduit de 1,5 m de côté.
b) Le client dispose d'un budget de 400 €. Déterminer le côté maximal du conduit qu'il peut isoler.
c) Si le côté est doublé, par combien le coût de l'isolant (la partie \(28c^2\)) est-il multiplié ?
a) \(C(1{,}5) = 28 \times 1{,}5^2 + 60 = 28 \times 2{,}25 + 60 = 63 + 60 = \mathbf{123\,€}\)
b) \(28c^2 + 60 \leq 400 \Rightarrow 28c^2 \leq 340 \Rightarrow c^2 \leq \dfrac{340}{28} \approx 12{,}14 \Rightarrow c \leq \sqrt{12{,}14} \approx \mathbf{3{,}48\,\text{m}}\)
c) Le coût isolant est \(28c^2\). Si \(c\) est doublé : \(28(2c)^2 = 28 \times 4c^2 = 4 \times 28c^2\). Le coût isolant est multiplié par 4.
Résoudre les équations et inéquations suivantes :
a) \(x^2 = 49\)
b) \(x^2 < 16\) (donner l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle)
a) \(x = 7\) ou \(x = -7\) → \(\mathcal{S} = \{-7\,;\,7\}\)
b) On cherche les \(x\) tels que la parabole est en dessous de la droite \(y = 16\). La droite coupe la parabole en \(x = -4\) et \(x = 4\).
\(\mathcal{S} = ]-4\,;\,4[\)
On considère \(p(x) = -2x^2\).
a) Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) |
b) La fonction \(p\) a-t-elle un minimum ou un maximum ? Lequel ? En quelle valeur de \(x\) ?
c) Donner les intervalles de croissance et de décroissance de \(p\).
a)
| \(x\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(p(x)\) | \(-18\) | \(-8\) | \(-2\) | 0 | \(-2\) | \(-8\) | \(-18\) |
b) \(p\) a un maximum égal à \(\mathbf{0}\), atteint en \(x = 0\). Elle n'a pas de minimum.
c) \(p\) est croissante sur \(]-\infty\,;\,0]\) et décroissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Les variations sont inversées par rapport à \(f(x) = x^2\) car le coefficient est négatif (\(-2 < 0\)).
Un élève affirme : « Si \(a^2 > b^2\), alors \(a > b\). » Cette affirmation est-elle toujours vraie ? Donner un contre-exemple si nécessaire, puis préciser les conditions pour lesquelles elle est vraie.
L'affirmation est fausse en général.
Contre-exemple : \(a = -5\) et \(b = 3\). On a \((-5)^2 = 25 > 9 = 3^2\), mais \(-5 < 3\).
L'affirmation est vraie si \(a\) et \(b\) sont tous les deux positifs (la fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc elle conserve l'ordre).