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Chapitre 10 – Exercices par capacités

Fonction carré et variations  |  2nde Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 08:41

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Calculer des images par \(f(x) = x^2\), y compris pour les négatifs

Rappel de cours — Fonction carré

La fonction carré est définie par \(f(x) = x^2 = x \times x\) pour tout nombre \(x\).

  • On remplace \(x\) par la valeur, entre parenthèses si elle est négative, puis on multiplie le nombre par lui-même.
  • \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\) : le carré est toujours positif ou nul.
  • Attention : \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\), mais \(-3^2 = -(3^2) = -9\).
  • Dans une situation, on écrit le résultat avec son unité : un côté en m donne une aire en m².
Parabole \(f(x) = x^2\) : chaque point a pour ordonnée le carré de son abscisse.

Exercice 1

Calculer :

  1. \(f(5)\)
  2. \(f(-5)\)
  3. \(f(0)\)
  4. \(f(-1)\)
  5. \(f(1{,}5)\)
  6. \(f(-4)\)
  1. \(f(5) = 5^2 = 25\)
  2. \(f(-5) = (-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25\)
  3. \(f(0) = 0^2 = 0\)
  4. \(f(-1) = (-1)^2 = 1\)
  5. \(f(1{,}5) = (1{,}5)^2 = 2{,}25\)
  6. \(f(-4) = (-4)^2 = 16\)
Remarque : \(f(5) = f(-5)\) et \(f(-1) = 1\) (pas \(-1\)). Le carré est toujours positif ou nul.

Exercice 3

Corriger les erreurs dans les calculs suivants. Justifier la correction.

  1. « \((-7)^2 = -49\) »
  2. « \(-3^2 = 9\) »
  3. « \((-2)^2 = -4\) »
  1. Faux. \((-7)^2 = (-7) \times (-7) = +49\). Le carré d'un nombre est toujours positif ou nul.
  2. Faux. \(-3^2 = -(3^2) = -9\) : sans parenthèses, on élève 3 au carré, puis on prend l'opposé. Attention : \(-3^2 \neq (-3)^2\).
  3. Faux. \((-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4\). Le produit de deux nombres négatifs est positif.

Exercice 20

a. Calculer \(f(0{,}3)\), \(f(-0{,}3)\) et \(f(-1{,}2)\).

Un élève écrit : « \((0{,}3)^2 = 0{,}9\) ». Corriger son calcul.

b. La surface de combat d'un tapis de judo est un carré de 8 m de côté. Avec la zone de sécurité autour, le tapis complet est un carré de 14 m de côté. L'aire d'un carré de côté \(c\) mètres est \(A(c) = c^2\), en m².

Calculer l'aire de la surface de combat, puis l'aire du tapis complet. Écrire les unités.

a. \(f(0{,}3) = 0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}09\) ; \(f(-0{,}3) = (-0{,}3) \times (-0{,}3) = 0{,}09\) ; \(f(-1{,}2) = (-1{,}2) \times (-1{,}2) = 1{,}44\).

L'élève a calculé \(0{,}3 \times 3\). Or \(0{,}3 \times 0{,}3\) a deux chiffres après la virgule : \(3 \times 3 = 9\), donc \(0{,}3 \times 0{,}3 = 0{,}09\).

b. Surface de combat : \(A(8) = 8^2 = 64\) m². Tapis complet : \(A(14) = 14^2 = 196\) m².

C2 — Construire un tableau de valeurs et tracer la parabole

Rappel de cours — Tableau de valeurs et parabole

Pour tracer la parabole de \(f(x) = x^2\), on construit le tableau de valeurs pour des valeurs symétriques de \(x\) :

\(x\)−3−2−10123
\(f(x)\)9410149

On place les points, puis on les relie à main levée par une courbe régulière, jamais à la règle. La courbe obtenue s'appelle une parabole. Son point le plus bas est \((0\,;\,0)\).

Lire sur la parabole : pour une image, on part de \(x\) sur l'axe horizontal ; pour les antécédents d'un nombre, on part de ce nombre sur l'axe vertical et on lit les abscisses des points de la courbe à cette hauteur.

Exercice 4

Compléter le tableau de valeurs de \(f(x) = x^2\), puis placer dans le repère ci-dessous les points correspondant à \(x = -3\), \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\), \(3\) et tracer la parabole.

\(x\)−4−3−2−101234
\(f(x)\)904
\(x\)−4−3−2−101234
\(f(x)\)16941014916

On place les points \((-3\,;\,9)\), \((-2\,;\,4)\), \((-1\,;\,1)\), \((0\,;\,0)\), \((1\,;\,1)\), \((2\,;\,4)\), \((3\,;\,9)\), puis on les relie à main levée. Le point le plus bas est \((0\,;\,0)\). Deux nombres opposés (par exemple \(-3\) et \(3\)) ont la même image.

Exercice 6

On a tracé la parabole de \(f(x) = x^2\) dans le repère suivant. Répondre par lecture graphique.

Parabole \(f(x) = x^2\) tracée dans un repère gradué.
  1. Lire \(f(2)\), puis \(f(-2)\).
  2. Lire les antécédents de 9, puis ceux de 4.
  3. Lire une valeur approchée des antécédents de 5. Vérifier en calculant le carré de la valeur lue.
  1. On part de \(x = 2\) sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe : \(f(2) = 4\). De même \(f(-2) = 4\) : les deux points sont à la même hauteur.
  2. On part de 9 sur l'axe vertical : la courbe est à cette hauteur en \(x = -3\) et \(x = 3\). Les antécédents de 9 sont \(-3\) et \(3\). De même, les antécédents de 4 sont \(-2\) et \(2\).
  3. À la hauteur 5, on lit \(x \approx -2{,}2\) et \(x \approx 2{,}2\). Vérification : \(2{,}2^2 = 4{,}84\), proche de 5. La lecture graphique donne une valeur approchée.

Exercice 21

On veut tracer plus précisément la parabole de \(f(x) = x^2\) entre \(-2\) et \(2\).

  1. Compléter le tableau de valeurs.
\(x\)−2−1,5−1−0,500,511,52
\(f(x)\)
  1. Placer les neuf points dans le repère, puis tracer la parabole à main levée.
  2. Lire sur la courbe une valeur approchée de l'antécédent positif de 3.

a.

\(x\)−2−1,5−1−0,500,511,52
\(f(x)\)42,2510,2500,2512,254

Il suffit de calculer la moitié du tableau : deux nombres opposés ont la même image.

b. La parabole obtenue :

c. À la hauteur 3, la courbe passe à peu près en \(x \approx 1{,}7\). Contrôle : \(1{,}7^2 = 2{,}89\), proche de 3.

C3 — Lire et compléter un tableau de variations

Rappel de cours — Tableau de variations de \(f(x) = x^2\)

Décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Minimum : 0, atteint en \(x = 0\). Pas de maximum.

Le minimum est une valeur de \(f\) (écrite dans la ligne des variations) ; l'abscisse où il est atteint se lit dans la ligne des \(x\).

Le tableau et la parabole décrivent les mêmes variations : décroissante puis croissante, avec un minimum en \((0\,;\,0)\).

Exercice 7

Voici le squelette du tableau de variations de \(f(x) = x^2\). Compléter les flèches et les valeurs.

\(x\)\(-\infty\)0\(+\infty\)
Variations de \(f\)??
Valeur au creux?

Première flèche descendante : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\). Seconde flèche montante : \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Au creux, on écrit 0 : c'est le minimum, atteint en \(x = 0\).

Exercice 9

Compléter le tableau de variations de \(f(x) = x^2\), puis l'utiliser pour ranger les nombres \(f(1)\), \(f(2)\) et \(f(3)\) dans l'ordre croissant, sans les calculer.

\(x\)\(-\infty\)0\(+\infty\)
Variations de \(f\)??

Les nombres 1, 2, 3 sont tous dans \([0\,;\,+\infty[\), où \(f\) est croissante : l'ordre est conservé.

Donc \(1 < 2 < 3\) donne \(f(1) < f(2) < f(3)\). Vérification : \(1 < 4 < 9\).

Exercice 22

Répondre à l'aide du tableau de variations de \(f(x) = x^2\), en citant l'intervalle utilisé.

  1. \(f\) est-elle croissante sur \([1\,;\,4]\) ?
  2. \(f\) est-elle croissante sur \([-5\,;\,-2]\) ?
  3. \(f\) est-elle croissante sur \([-1\,;\,3]\) ?
  4. Donner le minimum de \(f\) et l'abscisse où il est atteint.
  5. Un élève affirme : « sur \([2\,;\,5]\), le minimum de \(f\) vaut 0 ». Corriger.
  1. Oui : \([1\,;\,4]\) est contenu dans \([0\,;\,+\infty[\), où \(f\) est croissante.
  2. Non : \([-5\,;\,-2]\) est contenu dans \(]-\infty\,;\,0]\), où \(f\) est décroissante.
  3. Non, ni croissante ni décroissante : \(f\) est décroissante sur \([-1\,;\,0]\), puis croissante sur \([0\,;\,3]\).
  4. Le minimum de \(f\) vaut 0 ; il est atteint en \(x = 0\).
  5. 0 n'appartient pas à \([2\,;\,5]\). Sur cet intervalle, \(f\) est croissante : sa plus petite valeur est \(f(2) = 4\). Le minimum de \(f\) sur \([2\,;\,5]\) vaut 4, atteint en \(x = 2\).

C4 — Utiliser la propriété de symétrie \(f(-x) = f(x)\)

Rappel de cours — Deux nombres opposés ont la même image

Pour tout nombre \(x\) : \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\). Deux nombres opposés ont donc toujours la même image.

Sur la courbe : la parabole est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Si le point \(M(a\,;\,b)\) est sur la parabole, le point \(M'(-a\,;\,b)\) y est aussi : on change le signe de l'abscisse, on garde l'ordonnée.

Exemple : \(f(7) = 49\), donc \(f(-7) = 49\) sans aucun calcul.

Exercice 10

En utilisant uniquement la propriété \(f(-x) = f(x)\), compléter sans calculer :

  1. \(f(6) = 36\), donc \(f(-6) = ?\)
  2. \(f(-8) = 64\), donc \(f(8) = ?\)
  3. \(f(1{,}2) = 1{,}44\), donc \(f(-1{,}2) = ?\)
Deux nombres opposés ont la même image :
  1. \(f(-6) = f(6) = 36\)
  2. \(f(8) = f(-8) = 64\)
  3. \(f(-1{,}2) = f(1{,}2) = 1{,}44\)

Exercice 11

La parabole de \(f(x) = x^2\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

  1. Si la parabole passe par le point \(A(3\,;\,9)\), quel autre point peut-on placer sans calcul ?
  2. Si la parabole passe par \(B(-7\,;\,49)\), quel autre point peut-on placer ?
  3. Un élève place le point \(C(4\,;\,16)\). Quel est le point symétrique de \(C\) par rapport à l'axe des ordonnées ?
  1. \(A'(-3\,;\,9)\) est aussi sur la parabole, car \(f(-3) = f(3) = 9\).
  2. \(B'(7\,;\,49)\) est aussi sur la parabole.
  3. Le symétrique de \(C(4\,;\,16)\) est \(C'(-4\,;\,16)\) : même ordonnée, abscisse opposée.

Exercice 12

Un menuisier reporte sur sa parabole \(f(x) = x^2\) le point \(M(2{,}5\,;\,6{,}25)\).

  1. Vérifier que le point \(M\) appartient bien à la parabole.
  2. En déduire, sans aucun calcul de carré, les coordonnées du point \(M'\) symétrique de \(M\) par rapport à l'axe des ordonnées.
  3. Quelle relation cela illustre-t-il entre \(f(2{,}5)\) et \(f(-2{,}5)\) ?
  1. \(f(2{,}5) = (2{,}5)^2 = 6{,}25\) : l'ordonnée de \(M\) vaut bien \(6{,}25\), donc \(M\) appartient à la parabole.
  2. On change le signe de l'abscisse et on garde l'ordonnée : \(M'(-2{,}5\,;\,6{,}25)\).
  3. Cela illustre \(f(-2{,}5) = f(2{,}5) = 6{,}25\) : deux nombres opposés ont la même image.

C5 — Résoudre \(x^2 = c\) par le calcul

Rappel de cours — Résoudre \(x^2 = c\)
  • Si \(c > 0\) : deux solutions opposées, \(x = \sqrt{c}\) et \(x = -\sqrt{c}\).
  • Si \(c = 0\) : une seule solution, \(x = 0\).
  • Si \(c < 0\) : aucune solution, car un carré est toujours positif ou nul.

Se ramener à \(x^2 = c\) : pour \(k\,x^2 = c\) ou \(x^2 + b = c\), on isole \(x^2\) comme dans une équation du premier degré (on fait passer le terme constant, puis on divise par le coefficient de \(x^2\)).

Revenir à la situation : une longueur, une durée, une intensité mesurée sont positives. On trouve les deux solutions, puis on écarte la négative en le justifiant.

Exercice 13

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(x^2 = 25\)
  2. \(x^2 = 0\)
  3. \(x^2 = 9\)
  4. \(x^2 = -4\)
  1. \(x^2 = 25\) : \(x = 5\) ou \(x = -5\). \(\mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\) (deux solutions).
  2. \(x^2 = 0\) : \(x = 0\). \(\mathcal{S} = \{0\}\) (une seule solution).
  3. \(x^2 = 9\) : \(x = 3\) ou \(x = -3\). \(\mathcal{S} = \{-3\,;\,3\}\).
  4. \(x^2 = -4\) : aucune solution, car un carré est toujours positif ou nul. \(\mathcal{S} = \emptyset\).

Exercice 14

Un carré a une aire de 196 cm². On note \(c\) la longueur de son côté en cm.

Résoudre \(c^2 = 196\) et en déduire la longueur du côté.

\(c^2 = 196\) donne \(c = 14\) ou \(c = -14\).
Une longueur ne peut pas être négative : on écarte \(-14\).
Réponse : le côté mesure 14 cm. Vérification : \(14^2 = 196\).

Exercice 15

Se ramener à une équation \(x^2 = c\), puis résoudre :

  1. \(2x^2 = 50\)
  2. \(x^2 + 7 = 56\)
  3. \(4x^2 = 9\)
  4. \(x^2 + 10 = 6\)
  1. \(x^2 = \dfrac{50}{2} = 25\), donc \(x = 5\) ou \(x = -5\). \(\mathcal{S} = \{-5\,;\,5\}\).
  2. \(x^2 = 56 - 7 = 49\), donc \(x = 7\) ou \(x = -7\). \(\mathcal{S} = \{-7\,;\,7\}\).
  3. \(x^2 = \dfrac{9}{4} = 2{,}25\), donc \(x = 1{,}5\) ou \(x = -1{,}5\). \(\mathcal{S} = \{-1{,}5\,;\,1{,}5\}\).
  4. \(x^2 = 6 - 10 = -4\) : un carré n'est jamais négatif, aucune solution. \(\mathcal{S} = \emptyset\).

Vérification de a : \(2 \times 5^2 = 2 \times 25 = 50\) et \(2 \times (-5)^2 = 50\).

Exercice 23

Une résistance chauffante de 20 Ω dissipe une puissance \(P = 20\,I^2\), avec \(P\) en watts (W) et \(I\) en ampères (A). L'intensité \(I\) lue sur l'ampèremètre est un nombre positif.

  1. Calculer la puissance pour \(I = 3\) A.
  2. Pour quelle intensité la puissance vaut-elle 500 W ? Justifier le choix de la solution.
  3. Même question pour une puissance de 1 280 W.
  1. \(P = 20 \times 3^2 = 20 \times 9 = 180\) W.
  2. \(20\,I^2 = 500\) donne \(I^2 = \dfrac{500}{20} = 25\), donc \(I = 5\) ou \(I = -5\). L'intensité lue est positive : \(I = 5\) A. Vérification : \(20 \times 5^2 = 500\).
  3. \(20\,I^2 = 1\,280\) donne \(I^2 = 64\), donc \(I = 8\) ou \(I = -8\). On garde \(I = 8\) A.

C6 — Exploiter les transformations \(g(x) = x^2 + k\) et \(h(x) = k\,x^2\)

Rappel de cours — Transformations de \(f(x) = x^2\)
  • \(g(x) = x^2 + k\) : parabole de \(f\) décalée verticalement de \(k\) (vers le haut si \(k > 0\), vers le bas si \(k < 0\)). Sommet \(S(0\,;\,k)\) ; minimum \(k\), atteint en \(x = 0\). Les variations ne changent pas.
  • \(h(x) = k\,x^2\) : même sommet \(S(0\,;\,0)\), chaque ordonnée de \(f\) est multipliée par \(k\).
    • \(k > 1\) : parabole plus resserrée ;
    • \(0 < k < 1\) : parabole plus ouverte ;
    • \(k < 0\) : parabole retournée, tournée vers le bas : croissante puis décroissante, le sommet devient un maximum.
Ajouter \(k\) (\(k > 0\)) fait monter toute la parabole de \(k\) : le minimum passe de 0 à \(k\).

Exercice 5

On considère \(g(x) = x^2 + 2\).

  1. Construire le tableau de valeurs de \(g\) pour \(x\) entier de \(-3\) à \(3\).
  2. Donner le sommet de la parabole de \(g\), puis le minimum de \(g\).

Astuce : on calcule d'abord \(x^2\), puis on ajoute 2.

\(x\)−3−2−10123
\(x^2\)9410149
\(g(x)\)116323611

Chaque image a augmenté de 2 : la parabole de \(x^2\) est montée de 2. Le sommet est \(S(0\,;\,2)\) ; le minimum de \(g\) vaut 2, atteint en \(x = 0\).

Exercice 16

On considère \(g(x) = x^2 + 3\).

  1. Calculer \(g(0)\), \(g(1)\), \(g(-1)\), \(g(2)\), \(g(-2)\).
  2. Quel est le minimum de \(g\) ? Pour quelle valeur de \(x\) est-il atteint ?
  3. Comment obtient-on la courbe de \(g\) à partir de la parabole de \(f(x) = x^2\) ?
  1. \(g(0) = 3\) ; \(g(1) = 4\) ; \(g(-1) = 4\) ; \(g(2) = 7\) ; \(g(-2) = 7\).
  2. Le minimum de \(g\) est 3, atteint en \(x = 0\) : on ajoute 3 au minimum 0 de \(x^2\).
  3. La courbe de \(g\) est la parabole de \(f\) décalée de 3 vers le haut. Son sommet est \(S(0\,;\,3)\).

Exercice 17

Trois paraboles de même sommet \(S(0\,;\,0)\).

Comparer les fonctions \(f(x) = x^2\), \(h(x) = 2x^2\) et \(p(x) = \frac{1}{2}x^2\).

  1. Calculer les images de \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\) pour chacune.
  2. Pour \(x = 3\) : classer \(f(3)\), \(h(3)\) et \(p(3)\) dans l'ordre croissant.
  3. La parabole de \(h\) est-elle plus resserrée ou plus ouverte que celle de \(f\) ? Et celle de \(p\) ?
  1. \(x\)−2−1012
    \(f(x)=x^2\)41014
    \(h(x)=2x^2\)82028
    \(p(x)=\frac{1}{2}x^2\)20,500,52
  2. \(p(3) = 4{,}5 < f(3) = 9 < h(3) = 18\).
  3. À une même abscisse, l'ordonnée de \(h\) est le double de celle de \(f\) : la parabole de \(h\) est plus resserrée. Celle de \(p\) (ordonnées divisées par 2) est plus ouverte.

Exercice 24

On considère \(g(x) = x^2 - 4\), \(h(x) = -2x^2\) et \(p(x) = 0{,}5x^2\).

  1. Calculer \(g(0)\), \(g(2)\) et \(g(-3)\). Donner le sommet de la parabole de \(g\) et le minimum de \(g\).
  2. Calculer \(h(0)\), \(h(1)\) et \(h(-2)\). La parabole de \(h\) est-elle tournée vers le haut ou vers le bas ? \(h\) a-t-elle un minimum ou un maximum ?
  3. Sur la figure, les courbes A, B et C représentent \(g\), \(h\) et \(p\). Associer chaque courbe à sa fonction, en justifiant.
Courbes A (trait plein), B (tirets longs) et C (tirets courts).
  1. \(g(0) = 0 - 4 = -4\) ; \(g(2) = 4 - 4 = 0\) ; \(g(-3) = 9 - 4 = 5\). La parabole de \(f\) est descendue de 4 : sommet \(S(0\,;\,-4)\), minimum \(-4\), atteint en \(x = 0\).
  2. \(h(0) = 0\) ; \(h(1) = -2 \times 1 = -2\) ; \(h(-2) = -2 \times 4 = -8\). Comme \(k = -2 < 0\), la parabole est retournée : tournée vers le bas. \(h\) a un maximum, égal à 0, atteint en \(x = 0\).
  3. La courbe B a pour sommet \((0\,;\,-4)\) : c'est \(g\). La courbe C est tournée vers le bas : c'est \(h\). La courbe A passe par \((0\,;\,0)\), est tournée vers le haut et plus ouverte que \(x^2\) (\(p(2) = 2\)) : c'est \(p\).

C7 — Multiplier le côté par \(n\) multiplie l'aire par \(n^2\)

Rappel de cours — Le carré n'est pas proportionnel

Pour tout nombre \(n\) et tout nombre \(x\) : \((n \times x)^2 = n^2 \times x^2\). Si le côté d'un carré est multiplié par \(n\), son aire est multipliée par \(n^2\).

Le côté est multiplié par…231,5
… l'aire est multipliée par\(2^2 = 4\)\(3^2 = 9\)\(1{,}5^2 = 2{,}25\)

Erreur fréquente : « deux fois plus grand coûte deux fois plus cher ». Un revêtement facturé au m² coûte 4 fois plus si le côté double. Le périmètre, lui, double bien.

Exercice 25

Dans un jardin, on compare deux bacs à sable carrés : le petit a 1 m de côté, le grand a 3 m de côté.

  1. Combien de carrés de 1 m de côté recouvrent le grand bac ?
  2. Par combien le côté a-t-il été multiplié ? Par combien l'aire a-t-elle été multipliée ?
  3. Par combien le périmètre a-t-il été multiplié ?
  4. Sans dessin : un bac carré de 4 m de côté a une aire combien de fois plus grande que le petit bac ?
  1. 3 rangées de 3 carrés : \(3 \times 3 = 9\) carrés. L'aire du grand bac est 9 m².
  2. Le côté passe de 1 m à 3 m : il est multiplié par 3. L'aire passe de 1 m² à 9 m² : elle est multipliée par \(3^2 = 9\).
  3. Le périmètre passe de 4 m à 12 m : il est multiplié par 3, comme le côté.
  4. Le côté est multiplié par 4, l'aire est multipliée par \(4^2 = 16\) : 16 m².

Exercice 2

Un agenceur pose un revêtement dans une pièce carrée de côté \(c\) mètres. L'aire est \(A(c) = c^2\), en m².

  1. Calculer l'aire pour des côtés de 3 m, 4,5 m et 6 m.
  2. Comparer \(A(3)\) et \(A(6)\) : par quel nombre l'aire est-elle multipliée quand le côté est multiplié par 2 ?
\(A(3) = 3^2 = 9\) m²
\(A(4{,}5) = 4{,}5^2 = 20{,}25\) m²
\(A(6) = 6^2 = 36\) m²
Quand le côté est multiplié par 2 (de 3 m à 6 m), l'aire est multipliée par 4 : \(A(6) = 36 = 4 \times 9 = 4 \times A(3)\). Ce n'est pas une situation de proportionnalité.

Exercice 26

Un carreleur facture 42 € le mètre carré posé.

  1. Une pièce carrée mesure 2,5 m de côté. Calculer l'aire, puis le montant de la pose.
  2. Une autre pièce carrée mesure 5 m de côté. Sans recalculer l'aire, dire par combien le montant est multiplié, puis donner ce montant.
  3. Même question pour une pièce carrée de 7,5 m de côté.
  4. Le client affirme : « le côté double, donc je paie deux fois plus ». Que lui répondre ? Les plinthes, vendues au mètre et posées sur le tour de la pièce, coûtent-elles deux fois plus ?
  1. Aire : \(2{,}5^2 = 6{,}25\) m². Montant : \(6{,}25 \times 42 = 262{,}50\) €.
  2. \(5 = 2 \times 2{,}5\) : le côté est multiplié par 2, l'aire et le montant par \(2^2 = 4\). Montant : \(4 \times 262{,}50 = 1\,050\) €. Contrôle : \(25 \times 42 = 1\,050\).
  3. \(7{,}5 = 3 \times 2{,}5\) : l'aire et le montant sont multipliés par \(3^2 = 9\). Montant : \(9 \times 262{,}50 = 2\,362{,}50\) €.
  4. C'est faux : le côté double, l'aire est multipliée par 4, donc la pose coûte 4 fois plus. Les plinthes suivent le périmètre, qui double avec le côté : elles coûtent bien deux fois plus.

Exercice 27

  1. Compléter le tableau.
Le côté d'un carré est multiplié par…250,510
… l'aire est multipliée par
  1. L'aire d'un carré a été multipliée par 49. Par combien son côté a-t-il été multiplié ?
  2. Sur un plan à l'échelle 1/50, une terrasse carrée a une aire de 36 cm². Les longueurs réelles sont 50 fois plus grandes que sur le plan. Calculer l'aire réelle de la terrasse en cm², puis en m².

a.

Le côté est multiplié par…250,510
… l'aire est multipliée par4250,25100

Avec 0,5, le carré est réduit : son aire est divisée par 4.

b. On cherche \(n\) positif tel que \(n^2 = 49\) : \(n = 7\). Le côté a été multiplié par 7.

c. Les longueurs sont multipliées par 50, donc l'aire par \(50^2 = 2\,500\). Aire réelle : \(36 \times 2\,500 = 90\,000\) cm², soit 9 m² (1 m² = 10 000 cm²).

Contrôle : sur le plan, le côté mesure 6 cm (\(6^2 = 36\)) ; en réalité \(6 \times 50 = 300\) cm = 3 m, et \(3^2 = 9\) m².

C8 — Comparer deux carrés sans les calculer

Rappel de cours — Trois cas, une seule idée
  • Deux nombres positifs : \(f\) est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), l'ordre est conservé. Si \(0 \leq a < b\), alors \(a^2 < b^2\).
  • Deux nombres négatifs : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), l'ordre est inversé. Si \(a < b \leq 0\), alors \(a^2 > b^2\).
  • Signes contraires : on remplace le négatif par son opposé, qui a le même carré, puis on compare deux positifs.

En une phrase : plus un nombre est éloigné de zéro, plus son carré est grand.

Exercice 8

En utilisant le tableau de variations de \(f(x) = x^2\), comparer sans calculer. Indiquer à chaque fois l'intervalle et le sens de variation utilisés.

  1. \(f(3)\) et \(f(4)\)
  2. \(f(-2)\) et \(f(-5)\)
  3. \((-9)^2\) et \(6^2\)
  1. 3 et 4 sont dans \([0\,;\,+\infty[\), où \(f\) est croissante : \(3 < 4\) donne \(f(3) < f(4)\). En effet : \(9 < 16\).
  2. \(-5\) et \(-2\) sont dans \(]-\infty\,;\,0]\), où \(f\) est décroissante : \(-5 < -2\) donne \(f(-5) > f(-2)\). En effet : \(25 > 4\).
  3. \((-9)^2 = 9^2\). Puis 6 et 9 sont positifs et \(6 < 9\), donc \(6^2 < 9^2\) : \((-9)^2 > 6^2\). En effet : \(81 > 36\).

Exercice 28

  1. Ranger dans l'ordre croissant, sans les calculer : \((-3{,}5)^2\) ; \(2^2\) ; \((-1)^2\) ; \(3^2\) ; \((-0{,}5)^2\).
  2. Comparer sans calculer \(4{,}9^2\) et \(5{,}1^2\).
  3. Comparer sans calculer \((-7{,}2)^2\) et \((-7{,}02)^2\).
  1. On remplace chaque négatif par son opposé : les carrés de 3,5 ; 2 ; 1 ; 3 ; 0,5. Ce sont des nombres positifs, rangés ainsi : \(0{,}5 < 1 < 2 < 3 < 3{,}5\). La fonction carré est croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), donc \((-0{,}5)^2 < (-1)^2 < 2^2 < 3^2 < (-3{,}5)^2\).
  2. 4,9 et 5,1 sont positifs et \(4{,}9 < 5{,}1\) : l'ordre est conservé, \(4{,}9^2 < 5{,}1^2\).
  3. \(-7{,}2 < -7{,}02 < 0\) : deux négatifs, l'ordre est inversé, \((-7{,}2)^2 > (-7{,}02)^2\). \(-7{,}2\) est plus éloigné de zéro.

Exercice 29

Un élève écrit : « \(-7 < -2\), donc \((-7)^2 < (-2)^2\) ».

  1. Vérifier par le calcul que sa conclusion est fausse.
  2. Expliquer son erreur à l'aide du tableau de variations de \(f(x) = x^2\).
  3. Vrai ou faux : « si \(a < b\), alors \(a^2 < b^2\) » ? Donner un contre-exemple si c'est faux, puis préciser dans quel cas la phrase est vraie.
  1. \((-7)^2 = 49\) et \((-2)^2 = 4\) : \(49 > 4\), donc \((-7)^2 > (-2)^2\).
  2. \(-7\) et \(-2\) sont négatifs. Sur \(]-\infty\,;\,0]\), \(f\) est décroissante : l'ordre est inversé. De \(-7 < -2\), on déduit \((-7)^2 > (-2)^2\).
  3. Faux. Contre-exemple : \(-7 < -2\) mais \((-7)^2 > (-2)^2\). La phrase est vraie quand \(a\) et \(b\) sont tous les deux positifs ou nuls.

C9 — Résoudre graphiquement \(x^2 = c\) et \(x^2 < c\)

Rappel de cours — Lire une équation et une inéquation sur la parabole
  1. Tracer la parabole de \(f(x) = x^2\), puis la droite horizontale \(y = c\).
  2. \(x^2 = c\) : lire les abscisses des points d'intersection.
  3. \(x^2 < c\) : repérer les \(x\) pour lesquels la courbe est en dessous de la droite.
  4. \(x^2 > c\) : repérer les \(x\) pour lesquels la courbe est au-dessus de la droite.

La réponse se lit toujours sur l'axe des abscisses. Pour \(c > 0\) : \(x^2 \leq c\) donne \(\mathcal{S} = [-\sqrt{c}\,;\,\sqrt{c}]\) ; \(x^2 \geq c\) donne \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-\sqrt{c}] \cup [\sqrt{c}\,;\,+\infty[\). Avec \(<\) ou \(>\), les bornes sont exclues.

Exemple : la droite \(y = 4\) coupe la parabole en \(x = -2\) et \(x = 2\). Donc \(x^2 = 4\) a pour solutions \(-2\) et \(2\), et \(x^2 < 4\) a pour solution \(]-2\,;\,2[\).

Exercice 30

On a tracé la parabole de \(y = x^2\). Tracer à chaque fois la droite horizontale utile, puis répondre.

Parabole de \(y = x^2\) : une case vaut 0,5 horizontalement et 1 verticalement.
  1. Résoudre graphiquement \(x^2 = 4\).
  2. Résoudre graphiquement \(x^2 = 2{,}25\).
  3. Donner une valeur approchée des solutions de \(x^2 = 6\).
  4. Combien de solutions l'équation \(x^2 = -1\) a-t-elle ? Justifier avec la figure.
  1. La droite \(y = 4\) coupe la parabole en \(x = -2\) et \(x = 2\) : \(\mathcal{S} = \{-2\,;\,2\}\).
  2. La droite \(y = 2{,}25\) coupe la parabole en \(x = -1{,}5\) et \(x = 1{,}5\) : \(\mathcal{S} = \{-1{,}5\,;\,1{,}5\}\). Contrôle : \(1{,}5^2 = 2{,}25\).
  3. La droite \(y = 6\) coupe la parabole en \(x \approx -2{,}4\) et \(x \approx 2{,}4\). Le calcul donne \(\pm\sqrt{6} \approx \pm 2{,}45\).
  4. La droite \(y = -1\) est sous l'axe des abscisses. La parabole est toujours au-dessus de cet axe ou dessus : les deux ne se coupent pas. L'équation n'a aucune solution.

Exercice 18

Résoudre graphiquement les inéquations suivantes en s'appuyant sur le graphique ci-dessous (parabole \(y = x^2\) et droites horizontales \(y = c\)).

Méthode : pour \(x^2 < c\), repérer où la parabole est en dessous de la droite \(y = c\). Pour \(x^2 \geq c\), repérer où la parabole est au-dessus de la droite.

Parabole \(y = x^2\) et droites horizontales : lire les solutions sur l'axe des abscisses.
  1. \(x^2 < 9\)
  2. \(x^2 \geq 4\)
  3. \(x^2 \leq 16\)
  1. \(x^2 < 9\) : la parabole est en dessous de \(y = 9\) entre \(x = -3\) et \(x = 3\), bornes exclues (inégalité stricte). \(\mathcal{S} = ]-3\,;\,3[\).
  2. \(x^2 \geq 4\) : la parabole est au-dessus de \(y = 4\) ou dessus pour \(x \leq -2\) ou \(x \geq 2\). \(\mathcal{S} = ]-\infty\,;\,-2] \cup [2\,;\,+\infty[\).
  3. \(x^2 \leq 16\) : la parabole est en dessous de \(y = 16\) ou dessus entre \(x = -4\) et \(x = 4\). \(\mathcal{S} = [-4\,;\,4]\).

Erreur fréquente : répondre « \(x < 3\) » pour \(x^2 < 9\). La moitié gauche compte aussi : \((-5)^2 = 25\) n'est pas inférieur à 9.

Exercice 31

On construit un bac potager carré de côté \(c\) mètres. Pour qu'il soit facile à entretenir, sa surface doit être d'au moins 4 m² et d'au plus 6,25 m².

Parabole de \(y = x^2\) : une case vaut 0,5 sur chaque axe.
  1. Traduire les deux conditions par deux inéquations portant sur \(c\).
  2. Résoudre graphiquement \(x^2 \geq 4\), puis \(x^2 \leq 6{,}25\).
  3. Une longueur est positive. Quelles longueurs de côté conviennent ?
  1. \(c^2 \geq 4\) et \(c^2 \leq 6{,}25\).
  2. La droite \(y = 4\) coupe la parabole en \(-2\) et \(2\) ; la courbe est au-dessus à l'extérieur : \(x^2 \geq 4\) pour \(x \leq -2\) ou \(x \geq 2\). La droite \(y = 6{,}25\) coupe la parabole en \(-2{,}5\) et \(2{,}5\) ; la courbe est en dessous entre ces deux valeurs : \(x^2 \leq 6{,}25\) pour \(-2{,}5 \leq x \leq 2{,}5\).
  3. On ne garde que les valeurs positives qui vérifient les deux conditions : \(2 \leq c \leq 2{,}5\). Le côté doit mesurer entre 2 m et 2,5 m. Contrôle : \(2^2 = 4\) et \(2{,}5^2 = 6{,}25\).

Exercice 19

Un fabricant de meubles étudie la charge \(R\) (en kg) que supporte une tablette en fonction de son épaisseur \(e\) (en cm). Un modèle simplifié donne \(R(e) = 3e^2\). L'épaisseur \(e\) est positive.

  1. Calculer \(R(1)\), \(R(2)\) et \(R(3)\).
  2. Pour quelles épaisseurs la tablette supporte-t-elle plus de 27 kg ? Résoudre \(3e^2 > 27\).
  3. Pour entrer dans le meuble, l'épaisseur ne doit pas dépasser 5 cm. Donner l'intervalle des épaisseurs qui conviennent.
  1. \(R(1) = 3\) kg ; \(R(2) = 3 \times 4 = 12\) kg ; \(R(3) = 3 \times 9 = 27\) kg.
  2. \(3e^2 > 27\) donne \(e^2 > 9\). La parabole \(y = x^2\) est au-dessus de la droite \(y = 9\) pour \(x < -3\) ou \(x > 3\). L'épaisseur est positive : \(e > 3\). La tablette doit avoir une épaisseur supérieure à 3 cm.
  3. Il faut \(e > 3\) et \(e \leq 5\) : \(e \in ]3\,;\,5]\). L'épaisseur doit être comprise entre 3 cm (exclu) et 5 cm (inclus).

C10 — Exploiter la courbe d'une fonction quelconque : tableau de variations, extremums sur un intervalle, courbes de \(f + k\) et variations de \(k\,f\)

Rappel de cours — Variations et extremums d'une fonction quelconque
  • \(f\) est croissante sur un intervalle si la courbe monte quand on la parcourt de gauche à droite ; décroissante si elle descend.
  • Sur un intervalle, le maximum de \(f\) est la plus grande valeur prise par \(f(x)\) ; le minimum est la plus petite. C'est une ordonnée, atteinte en une abscisse. Un extremum peut être atteint au bord de l'intervalle.

Passer de la courbe au tableau de variations : 1. repérer les points où la courbe change de sens ; 2. écrire dans la ligne des \(x\) les bornes et ces abscisses ; 3. écrire sous chacune son image, en haut pour un sommet, en bas pour un creux ; 4. relier par des flèches.

Ajouter \(k\), multiplier par \(k\) :

  • \(f + k\) : la courbe est décalée verticalement de \(k\) ; mêmes variations ; les extremums augmentent de \(k\), atteints aux mêmes abscisses.
  • \(k\,f\) avec \(k > 0\) : mêmes variations ; chaque image et chaque extremum sont multipliés par \(k\).
  • \(k\,f\) avec \(k < 0\) : variations inversées ; le maximum de \(f\) donne le minimum de \(k\,f\), et inversement.

Erreur fréquente : le maximum est une valeur de \(f\) (lue sur l'axe vertical), pas l'abscisse où il est atteint (lue sur l'axe horizontal).

Exercice 35

On a tracé la courbe d'une fonction \(f\) définie sur \([0\,;\,8]\).

Voici trois tableaux de variations.

Tableau A
Tableau B
Tableau C
  1. Quel tableau correspond à la courbe ? Expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.
  2. Donner le maximum et le minimum de \(f\) sur \([0\,;\,8]\), et les abscisses où ils sont atteints.
  1. La courbe monte de \((0\,;\,1)\) à \((3\,;\,5)\), puis descend jusqu'à \((8\,;\,2)\). C'est le tableau C.
    Tableau A : il dit que \(f\) descend puis remonte, c'est le contraire de la courbe.
    Tableau B : il échange l'abscisse et l'ordonnée du sommet. Le sommet est atteint en \(x = 3\) et vaut 5, pas l'inverse.
  2. Maximum : 5, atteint en \(x = 3\). Minimum : 1, atteint en \(x = 0\), au bord de l'intervalle (\(f(8) = 2\) est plus grand que 1).

Exercice 32

La courbe donne la température \(T\) (en °C) relevée pendant une journée d'été, en fonction de l'heure \(t\) (en h), pour \(0 \leq t \leq 24\).

  1. Dresser le tableau de variations de \(T\) sur \([0\,;\,24]\).
  2. Donner le maximum et le minimum de \(T\) sur \([0\,;\,24]\), et les heures où ils sont atteints.
  3. Donner le maximum et le minimum de \(T\) sur \([16\,;\,24]\).
  4. Une autre journée est plus fraîche de 4 °C à toute heure : sa température est \(T(t) - 4\). Dresser son tableau de variations.

a. La courbe descend de 0 h à 5 h, monte de 5 h à 16 h, puis descend jusqu'à 24 h.

b. Sur \([0\,;\,24]\) : maximum 31 °C, atteint à 16 h ; minimum 16 °C, atteint à 5 h.

c. Sur \([16\,;\,24]\), \(T\) est décroissante : maximum 31 °C à 16 h ; minimum 22 °C à 24 h. Le minimum est atteint au bord de l'intervalle.

d. On enlève 4 à chaque valeur ; les variations ne changent pas.

Exercice 33

La courbe donne la puissance \(P\) (en W) fournie par un panneau photovoltaïque au cours d'une journée ensoleillée, en fonction de l'heure \(t\) (en h), pour \(6 \leq t \leq 20\).

  1. Dresser le tableau de variations de \(P\) sur \([6\,;\,20]\).
  2. Quelle est la puissance maximale ? À quelle heure est-elle atteinte ?
  3. Une installation comporte 12 panneaux identiques. Sa puissance est \(P_{\text{tot}}(t) = 12\,P(t)\). Dresser le tableau de variations de \(P_{\text{tot}}\) et donner son maximum.

a. La courbe monte de 6 h à 13 h, puis descend jusqu'à 20 h.

b. La puissance maximale est 300 W, atteinte à 13 h.

c. \(k = 12 > 0\) : mêmes variations, chaque valeur est multipliée par 12. Maximum : \(12 \times 300 = 3\,600\) W, atteint à 13 h.

Exercice 34

Une fonction \(f\) définie sur \([-3\,;\,5]\) a le tableau de variations suivant.

  1. Donner le maximum et le minimum de \(f\) sur \([-3\,;\,5]\), et les abscisses où ils sont atteints.
  2. Dresser le tableau de variations de \(f - 3\).
  3. Dresser le tableau de variations de \(3f\).
  4. Dresser le tableau de variations de \(-f\), puis donner ses extremums.

a. Maximum : 6, atteint en \(x = 1\). Minimum : \(-1\), atteint en \(x = 5\) (car \(-1 < 2\)).

b. On enlève 3 à chaque valeur ; les variations ne changent pas.

c. \(k = 3 > 0\) : mêmes variations, chaque valeur est multipliée par 3.

d. \(k = -1 < 0\) : les variations sont inversées et chaque valeur change de signe.

Maximum de \(-f\) : 1, atteint en \(x = 5\). Minimum de \(-f\) : \(-6\), atteint en \(x = 1\). Le maximum 6 de \(f\) est devenu le minimum \(-6\) de \(-f\).