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Chapitre 10 – Exercices par capacités

Fonction carré et variations  |  Seconde Bac Pro MAMA  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Calculer des images par \(f(x) = x^2\)

Rappel de cours — Fonction carré

La fonction carré est définie par \(f(x) = x^2\) pour tout réel \(x\).

  • \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\) : le carré est toujours positif ou nul.
  • \(f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)\) : la fonction est paire (symétrie par rapport à l'axe des ordonnées).
  • Attention : \((-a)^2 = a^2 \neq -a^2\). Ne pas confondre \((-3)^2 = 9\) et \(-3^2 = -9\).
x y −2 −1 O 1 2 1 2 3 4 (0;0) (1;1) (−1;1) (2;4) (−2;4) axe de symétrie
Parabole \(f(x) = x^2\) — décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), minimum en \((0\,;\,0)\).

Exercice 1

Calculer :

  1. \(f(5)\)
  2. \(f(-5)\)
  3. \(f(0)\)
  4. \(f(-1)\)
  5. \(f(1{,}5)\)
  6. \(f(-4)\)
  1. \(f(5) = 5^2 = 25\)
  2. \(f(-5) = (-5)^2 = 25\)
  3. \(f(0) = 0^2 = 0\)
  4. \(f(-1) = (-1)^2 = 1\)
  5. \(f(1{,}5) = (1{,}5)^2 = 2{,}25\)
  6. \(f(-4) = (-4)^2 = 16\)
Remarque : \(f(5) = f(-5)\) et \(f(-1) = 1\) (pas −1 !). Le carré est toujours positif ou nul.

Exercice 2

Un agenceur pose un revêtement dans une pièce carrée de côté \(c\) mètres. L'aire est \(A(c) = c^2\).

  1. Calculer l'aire pour des côtés de 3 m, 4,5 m et 6 m.
  2. Comparer \(A(3)\) et \(A(6)\) : par quel nombre l'aire est-elle multipliée quand le côté est multiplié par 2 ?
\(A(3) = 9 \text{ m}^2\)
\(A(4{,}5) = 20{,}25 \text{ m}^2\)
\(A(6) = 36 \text{ m}^2\)
Quand le côté est multiplié par 2 (3 → 6), l'aire est multipliée par 4 : \(A(6) = 4 \times A(3)\). Ce n'est pas proportionnel.

Exercice 3

Corriger les erreurs dans les calculs suivants. Justifier la correction.

  1. « \((-7)^2 = -49\) »
  2. « \(-3^2 = 9\) »
  3. « \((-2)^2 = -4\) »
  1. Faux. \((-7)^2 = (-7) \times (-7) = +49\). Le carré d'un nombre est toujours positif.
  2. Faux. \(-3^2 = -(3^2) = -9\) (le signe est hors du carré). Attention à la convention : \(-3^2 \neq (-3)^2\).
  3. Faux. \((-2)^2 = (-2) \times (-2) = +4\). Deux négatifs multipliés donnent un positif.

C2 — Construire un tableau de valeurs et tracer la parabole

Rappel de cours — Tableau de valeurs et parabole

Pour tracer la parabole de \(f(x) = x^2\), on construit le tableau de valeurs pour des valeurs symétriques de \(x\) :

\(x\)−3−2−10123
\(f(x)\)9410149

La courbe obtenue s'appelle une parabole, symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, avec un minimum en \((0\,;\,0)\).

Exercice 4

Compléter le tableau de valeurs de \(f(x) = x^2\) :

\(x\)−4−3−2−101234
\(f(x)\)904
x y -3 -2 -1 O 1 2 3 1 2 3 4
Repère — placer les points et tracer la parabole
\(x\)−4−3−2−101234
\(f(x)\)16941014916
Observations : le minimum est 0 en \(x = 0\). Les valeurs symétriques (ex: −3 et 3) donnent les mêmes images.

Exercice 5 — anticipation C6

Construire le tableau de valeurs de \(g(x) = x^2 + 2\) pour \(x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\).

Astuce : on calcule d'abord \(x^2\), puis on ajoute 2.

\(x\)−3−2−10123
\(g(x)\)116323611
Le minimum de \(g\) est 2, atteint en \(x = 0\). C'est la parabole de \(x^2\) décalée de 2 vers le haut.

C3 — Lire et compléter un tableau de variations

Rappel de cours — Tableau de variations de \(f(x) = x^2\)
\(x\) \(-\infty\) 0 \(+\infty\)
Variations \(+\infty\) ↘ 0 (min) ↗ \(+\infty\)

Décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\). Minimum : 0, atteint en \(x = 0\).

x \(-\infty\) 0 \(+\infty\) f(x) \(+\infty\) \(+\infty\) 0 decr. croiss. min (0;0)
Le tableau de variations et la forme de la parabole sont deux manieres de decrire les memes variations

Exercice 6

Voici le tableau de variations de \(f(x) = x^2\). Compléter les flèches et les valeurs :

\(x\)\(-\infty\)0\(+\infty\)
Variations de \(f\)??
Valeurs remarquables???
\(x\)\(-\infty\)0\(+\infty\)
Variations de \(f\)\(+\infty\)↘0 (minimum)↗\(+\infty\)
\(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;\,0]\), croissante sur \([0\,;\,+\infty[\), avec un minimum de 0 en \(x = 0\).

Exercice 7

En utilisant le tableau de variations de \(f(x) = x^2\), répondre sans calculer :

  1. Comparer \(f(3)\) et \(f(4)\) : laquelle est la plus grande ?
  2. Comparer \(f(-2)\) et \(f(-5)\) : laquelle est la plus grande ?
  3. \(f\) est-elle croissante sur \([1\,;\,4]\) ?
  1. Sur \([0\,;\,+\infty[\), \(f\) est croissante → \(4 > 3\) donc \(f(4) > f(3)\). En effet : \(16 > 9\).
  2. Sur \(]-\infty\,;\,0]\), \(f\) est décroissante → \(-5 < -2\) donc \(f(-5) > f(-2)\). En effet : \(25 > 4\).
  3. Oui, \(f\) est croissante sur \([1\,;\,4]\) car cet intervalle est inclus dans \([0\,;\,+\infty[\).

C4 — Utiliser la propriété de symétrie

Rappel de cours — Symétrie de la parabole

La parabole de \(f(x) = x^2\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (droite d'équation \(x = 0\)).

Cela se traduit par la propriété : \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x\).

En pratique : si on connaît \(f(a)\), alors \(f(-a) = f(a)\) sans calcul supplémentaire.

Exemple : \(f(7) = 49\), donc \(f(-7) = 49\) immédiatement.

Exercice 8

En utilisant uniquement la symétrie \(f(-x) = f(x)\), compléter sans calculer :

  1. \(f(6) = 36\), donc \(f(-6) = ?\)
  2. \(f(-8) = 64\), donc \(f(8) = ?\)
  3. \(f(1{,}2) = 1{,}44\), donc \(f(-1{,}2) = ?\)
Par symétrie, \(f(-x) = f(x)\) pour tout \(x\) :
  1. \(f(-6) = f(6) = 36\)
  2. \(f(8) = f(-8) = 64\)
  3. \(f(-1{,}2) = f(1{,}2) = 1{,}44\)

Exercice 9

La parabole de \(f(x) = x^2\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (droite \(x = 0\)).

  1. Si la parabole passe par le point \(A(3\,;\,9)\), quel autre point peut-on placer sans calcul ?
  2. Si la parabole passe par \(B(-7\,;\,49)\), quel autre point peut-on placer ?
  3. Un élève place le point \(C(4\,;\,16)\). Quel est le point symétrique de \(C\) par rapport à l'axe des ordonnées ?
  1. Par symétrie : \(A'(-3\,;\,9)\) est aussi sur la parabole.
  2. Par symétrie : \(B'(7\,;\,49)\) est aussi sur la parabole.
  3. Le symétrique de \(C(4\,;\,16)\) est \(C'(-4\,;\,16)\) — même ordonnée, abscisse opposée.

C5 — Résoudre \(x^2 = c\)

Rappel de cours — Résoudre \(x^2 = c\)
  • Si \(c > 0\) : l'équation a deux solutions \(x = \sqrt{c}\) et \(x = -\sqrt{c}\).
  • Si \(c = 0\) : l'équation a une seule solution \(x = 0\).
  • Si \(c < 0\) : l'équation n'a pas de solution dans \(\mathbb{R}\) (le carré est toujours positif ou nul).

Interprétation graphique : les solutions de \(x^2 = c\) sont les abscisses des points d'intersection de la parabole \(y = x^2\) et de la droite horizontale \(y = c\).

x y O −3 −2 −1 1 2 3 1 2 3 4 6 8 y=4 (−2;4) (2;4) f(x)=x²
Résoudre \(x^2 = 4\) graphiquement : les deux intersections avec \(y = 4\) donnent \(x = -2\) et \(x = 2\).

Exercice 10

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(x^2 = 25\)
  2. \(x^2 = 0\)
  3. \(x^2 = 9\)
  4. \(x^2 = -4\)
  1. \(x^2 = 25 \Rightarrow x = 5\) ou \(x = -5\) (deux solutions)
  2. \(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\) (une seule solution)
  3. \(x^2 = 9 \Rightarrow x = 3\) ou \(x = -3\) (deux solutions)
  4. \(x^2 = -4\) : pas de solution dans \(\mathbb{R}\), car le carré est toujours positif ou nul.

Exercice 11

Un carré a une aire de 196 cm². On note \(c\) la longueur de son côté en cm (\(c > 0\) puisque c'est une longueur).

Résoudre \(c^2 = 196\) et en déduire la longueur du côté.

\(c^2 = 196 \Rightarrow c = 14\) ou \(c = -14\)
Une longueur ne peut pas être négative, donc \(c = 14\) cm.
Réponse : le côté mesure 14 cm.
Vérification : \(14^2 = 196\) ✔

Exercice 12

Pour chaque équation, indiquer le nombre de solutions et les trouver :

  1. \(x^2 = 16\)
  2. \(x^2 = 1\)
  3. \(x^2 = 0{,}49\)
  4. \(x^2 = -1\)
  1. Deux solutions : \(x = 4\) et \(x = -4\)
  2. Deux solutions : \(x = 1\) et \(x = -1\)
  3. Deux solutions : \(x = 0{,}7\) et \(x = -0{,}7\) (car \(0{,}7^2 = 0{,}49\))
  4. Aucune solution (le carré ne peut pas être négatif)
Règle : si \(c > 0\) : deux solutions \(\pm\sqrt{c}\) ; si \(c = 0\) : une solution \(x = 0\) ; si \(c < 0\) : aucune solution.

C6 — Transformations de la parabole et inéquations graphiques

Rappel de cours — Transformations de \(f(x) = x^2\)
  • \(g(x) = x^2 + k\) : parabole de \(f\) décalée verticalement de \(k\) (vers le haut si \(k > 0\), vers le bas si \(k < 0\)). Minimum : \(k\).
  • \(h(x) = kx^2\) avec \(k > 0\) : parabole plus resserrée si \(k > 1\), plus large si \(0 < k < 1\).

Inéquations graphiques : pour résoudre \(x^2 < c\) (avec \(c > 0\)), on cherche où la parabole est en dessous de la droite \(y = c\). La solution est \(-\sqrt{c} < x < \sqrt{c}\).

Exercice 13

x y O -2 2 1 2 3 4 5 f(x) = x² g(x) = x² + 3 (0;0) (0;3) (−1;4) (1;4) +3
La parabole de \(g(x) = x^2 + 3\) est celle de \(f(x) = x^2\) decalee de 3 vers le haut ; le minimum passe de 0 a 3.

On considère \(g(x) = x^2 + 3\).

  1. Calculer \(g(0)\), \(g(1)\), \(g(-1)\), \(g(2)\), \(g(-2)\).
  2. Quel est le minimum de \(g\) ? Pour quelle valeur de \(x\) est-il atteint ?
  3. Comment obtient-on la courbe de \(g\) à partir de la parabole de \(f(x) = x^2\) ?
  1. \(g(0) = 3\) ; \(g(1) = 4\) ; \(g(-1) = 4\) ; \(g(2) = 7\) ; \(g(-2) = 7\)
  2. Le minimum de \(g\) est 3, atteint en \(x = 0\). (On ajoute 3 au minimum 0 de \(x^2\).)
  3. La courbe de \(g\) est la parabole de \(f\) décalée de 3 vers le haut (translation verticale de +3).

Exercice 14

x y -2 -1 O 1 2 1 2 3 4 h = 2x² (resserree) f = x² p = 1/2 x² (large)
Plus le coefficient \(k\) est grand, plus la parabole est resserree ; plus \(k\) est petit, plus elle est large.

Comparer les fonctions \(f(x) = x^2\), \(h(x) = 2x^2\) et \(p(x) = \frac{1}{2}x^2\).

  1. Calculer les images de \(-2\), \(-1\), \(0\), \(1\), \(2\) pour chacune.
  2. Pour \(x = 3\) : classer \(f(3)\), \(h(3)\) et \(p(3)\) dans l'ordre croissant.
  3. La parabole de \(h\) est-elle plus ou moins « resserrée » que celle de \(f\) ?
  1. \(x\)−2−1012
    \(f(x)=x^2\)41014
    \(h(x)=2x^2\)82028
    \(p(x)=\frac{1}{2}x^2\)20,500,52
  2. \(p(3) = 4{,}5 < f(3) = 9 < h(3) = 18\)
  3. La parabole de \(h = 2x^2\) est plus resserrée (plus étroite) que celle de \(f\). Celle de \(p = \frac{1}{2}x^2\) est plus large.

Exercice 15

Résoudre graphiquement les inéquations suivantes en s'appuyant sur le graphique ci-dessous (parabole \(y = x^2\) et droites horizontales \(y = c\)).

Méthode : pour \(x^2 < c\), repérer où la parabole est en dessous de la droite \(y = c\). Pour \(x^2 \geq c\), repérer où la parabole est au-dessus de la droite.

x y O 4 9 16 y = x² y = 4 y = 9 y = 16
Parabole y = x² et droites horizontales — lire les solutions
  1. \(x^2 < 9\)   (c'est-à-dire : trouver les \(x\) tels que \(f(x) < 9\))
  2. \(x^2 \geq 4\)
  3. \(x^2 \leq 16\)

Méthode : On cherche graphiquement où la parabole est en dessous (resp. au-dessus) de la droite horizontale \(y = c\).

  1. \(x^2 < 9\) : la parabole est en dessous de \(y = 9\) entre les deux antécédents de 9, c'est-à-dire entre \(x = -3\) et \(x = 3\).
    Solution : \(x \in ]-3\,;\,3[\).
  2. \(x^2 \geq 4\) : la parabole est au-dessus de \(y = 4\) pour \(x \leq -2\) ou \(x \geq 2\).
    Solution : \(x \in ]-\infty\,;\,-2] \cup [2\,;\,+\infty[\).
  3. \(x^2 \leq 16\) : la parabole est en dessous de \(y = 16\) entre \(x = -4\) et \(x = 4\).
    Solution : \(x \in [-4\,;\,4]\).

Exercice 16

Un fabricant de meubles étudie la résistance \(R\) (en kg) d'une tablette en fonction de son épaisseur \(e\) (en cm). Un modèle simplifié donne \(R(e) = 3e^2\) (la résistance évolue comme le carré de l'épaisseur).

  1. Calculer \(R(1)\), \(R(2)\) et \(R(3)\).
  2. Pour quelle épaisseur minimale la tablette supporte-t-elle plus de 27 kg ? (Résoudre \(3e^2 > 27\).)
  3. Comment la résistance évolue-t-elle si l'épaisseur est doublée ?
  1. \(R(1) = 3\) kg ; \(R(2) = 12\) kg ; \(R(3) = 27\) kg
  2. \(3e^2 > 27 \Rightarrow e^2 > 9 \Rightarrow e > 3\) (car \(e > 0\)).
    L'épaisseur doit être supérieure à 3 cm.
  3. Si \(e\) est doublée (ex : 2 → 4), alors \(R(4) = 3 \times 16 = 48\) contre \(R(2) = 12\) : la résistance est multipliée par 4 (pas 2). C'est la propriété de \(e^2\).