Chapitre 10 – Fonction carré et variations | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 16:40
Deux capteurs solaires carrés : l'un de 3 m de côté, l'autre de 6 m de côté (deux fois plus large). Le grand capteur produit-il de l'électricité :
(a) 2 fois plus · (b) 4 fois plus · (c) autre chose ?
Réponse (b) 4 fois plus. En doublant le côté, on ne double pas la surface : un capteur de 3 m fait \(9\ \text{m}^2\), un capteur de 6 m fait \(36\ \text{m}^2\), soit 4 fois plus de surface pour capter la lumière. La puissance produite suit la surface, elle est donc elle aussi multipliée par 4. C'est tout l'intérêt de la fonction carré : la surface (et la puissance) grandit beaucoup plus vite que le côté.
Karim installe des panneaux solaires photovoltaïques sur les toits plats des maisons et des bâtiments. Pour chaque chantier, il dispose souvent d'une zone carrée à couvrir (une toiture-terrasse, un abri, un auvent). Il doit d'abord calculer la surface du capteur, qui dépend de son côté \(c\), puis en déduire la puissance installée (en kilowatts) et enfin la production d'électricité attendue sur l'année. Il remarque que la puissance « grimpe très vite » dès que le capteur s'agrandit un peu.
À partir du schéma (Document 2), écris la formule qui donne l'aire \(A\) d'un capteur carré de côté \(c\). De quelle fonction s'agit-il ?
\(A = c \times c = \mathbf{c^2}\). C'est la fonction carré appliquée au côté \(c\) : à chaque côté \(c\) on associe l'aire \(c^2\).
Complète le tableau des aires en calculant \(A(c) = c^2\) pour chaque côté.
| Côté \(c\) (m) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| Aire \(A = c^2\) (m²) | ? | ? | ? | ? | ? |
\(A(2)=2^2=\mathbf{4\ \text{m}^2}\) ; \(A(3)=3^2=\mathbf{9\ \text{m}^2}\) ; \(A(4)=4^2=\mathbf{16\ \text{m}^2}\) ; \(A(5)=5^2=\mathbf{25\ \text{m}^2}\) ; \(A(6)=6^2=\mathbf{36\ \text{m}^2}\).
La puissance surfacique du capteur est \(0{,}2\ \text{kW/m}^2\). Écris la fonction puissance installée \(P(c)\) en fonction du côté \(c\), puis calcule \(P\) pour \(c = 2\ \text{m}\), \(c = 3\ \text{m}\), \(c = 4\ \text{m}\) et \(c = 5\ \text{m}\).
La puissance, c'est la puissance par m² multipliée par l'aire : \(P(c) = 0{,}2 \times A(c) = 0{,}2 \times c^2 = \mathbf{0{,}2\,c^2}\) (en kW).
De \(c = 2\ \text{m}\) à \(c = 4\ \text{m}\), le côté double. Par combien l'aire est-elle multipliée ? Et la puissance ? Généralise : si on double le côté d'un capteur carré, que devient sa puissance ?
Aire : de \(4\ \text{m}^2\) à \(16\ \text{m}^2\), soit ×4. Puissance : de \(0{,}8\ \text{kW}\) à \(3{,}2\ \text{kW}\), soit ×4 également.
En général : \(P(2c) = 0{,}2 \times (2c)^2 = 0{,}2 \times 4c^2 = 4 \times P(c)\). Doubler le côté multiplie la puissance par 4 (car \(2^2 = 4\)). C'est la propriété de la fonction carré.
À l'aide de la courbe (Document 3), estime le côté \(c\) d'un capteur carré nécessaire pour obtenir une puissance installée de 5 kW. Explique comment tu lis le graphique.
On repère 5 kW sur l'axe vertical (Puissance). On trace une droite horizontale jusqu'à la courbe, puis on descend verticalement sur l'axe des côtés : on lit \(c \approx \mathbf{5\ \text{m}}\).
Pour une puissance installée de 5 kW, Karim a donc besoin d'un capteur carré d'environ 5 m de côté (le point repère \((5\ \text{m}\,;\,5\ \text{kW})\) est marqué sur la courbe).
Vérifie par le calcul le résultat de la question 5 : résous l'équation \(0{,}2\,c^2 = 5\).
\(0{,}2\,c^2 = 5 \;\Longleftrightarrow\; c^2 = \dfrac{5}{0{,}2} = 25 \;\Longleftrightarrow\; c = \sqrt{25} = \mathbf{5}\) (le côté est positif).
Le calcul confirme la lecture graphique : le côté doit valoir \(5\ \text{m}\), pour un capteur de \(25\ \text{m}^2\). Résoudre \(P(c) = \text{cible}\) revient à calculer \(c = \sqrt{\text{cible} \div 0{,}2}\).
La fonction \(P(c) = 0{,}2\,c^2\) est-elle croissante sur \([0\,;\,+\infty[\) ? Qu'est-ce que cela signifie pour l'installateur ? Un client souhaite une puissance d'au moins 3,2 kW : quel côté minimal le capteur carré doit-il avoir ?
Oui, sur \([0\,;\,+\infty[\) la fonction carré est croissante : plus le côté du capteur augmente, plus la puissance installée augmente. Autrement dit, un capteur plus grand produit toujours plus.
Pour 3,2 kW : \(0{,}2\,c^2 = 3{,}2 \;\Longleftrightarrow\; c^2 = \dfrac{3{,}2}{0{,}2} = 16 \;\Longleftrightarrow\; c = \sqrt{16} = \mathbf{4\ \text{m}}\). Comme \(P\) est croissante, il faut un côté \(c \geq 4\ \text{m}\) pour atteindre au moins 3,2 kW (repère \((4\ \text{m}\,;\,3{,}2\ \text{kW})\) sur la courbe).
Karim prépare une fiche pour un client dont le toit permet un capteur carré de 5 m de côté. Rédige en 3 à 4 lignes cette fiche : aire du capteur, puissance installée, et production annuelle estimée (1 kW → 1 200 kWh/an). Compare cette production à la consommation moyenne d'une maison (~4 500 kWh/an).
Éléments à calculer : aire \(A(5) = 5^2 = 25\ \text{m}^2\) ; puissance \(P(5) = 0{,}2 \times 25 = 5\ \text{kW}\) ; production \(5 \times 1\,200 = 6\,000\ \text{kWh/an}\).
Exemple de rédaction :
« Fiche — Capteur carré 5 m × 5 m. Surface : \(25\ \text{m}^2\). Puissance installée : 5 kW (à \(0{,}2\ \text{kW/m}^2\)). Production estimée : environ 6 000 kWh par an. C'est supérieur à la consommation moyenne d'une maison (~4 500 kWh/an, hors chauffage) : l'installation peut couvrir l'essentiel des besoins en électricité. »
Non : doubler le côté quadruple la puissance (×4), pas ×2. Pour seulement doubler la puissance, on cherche \(k\) tel que \(0{,}2\,(k\,c)^2 = 2 \times 0{,}2\,c^2\), soit \(k^2 = 2\), donc \(k = \sqrt{2} \approx \mathbf{1{,}41}\).
Il faut multiplier le côté par environ 1,41. Exemple : passer de \(5\ \text{m}\) à \(5 \times \sqrt{2} \approx 7{,}07\ \text{m}\) donne \(0{,}2 \times (7{,}07)^2 \approx 0{,}2 \times 50 = 10\ \text{kW}\), soit le double de 5 kW.
Réponse à la problématique : la puissance d'une installation solaire carrée suit la fonction carré \(P(c) = 0{,}2\,c^2\) ; pour une puissance cible, le côté nécessaire est \(c = \sqrt{\text{cible} \div 0{,}2}\) (ici 5 kW \(\Rightarrow\) 5 m).
📚 §2 (fonction carré), §5 (sens de variation), §7 (\(kx^2\)) et §8 (résoudre \(c^2 = k\)) de la leçon Ch10.
Ordres de grandeur : puissance surfacique photovoltaïque ≈ 0,2 kW/m² (module ~200 W/m²) ; productible ≈ 1 000–1 300 kWh/an par kW installé en France selon l'exposition (source : ADEME). Valeurs arrondies pour des calculs accessibles ; consommation moyenne d'un logement d'après RTE/ADEME.