Chapitre 10 – Fonction carré et variations | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 16:40
Carreler une pièce carrée de 4 m de côté coûte 800 €. À ton avis, carreler une pièce carrée de 8 m de côté (deux fois plus large) coûtera :
(a) 1 600 € (deux fois plus) · (b) 3 200 € (quatre fois plus) · (c) autre chose ?
Réponse (b) 3 200 €. En doublant le côté, on ne double pas la surface : une pièce de 4 m fait \(16\ \text{m}^2\), une pièce de 8 m fait \(64\ \text{m}^2\), soit 4 fois plus de surface à couvrir. Le prix suit la surface, donc il est lui aussi multiplié par 4. C'est tout l'intérêt de la fonction carré : la surface (et le coût) grandit beaucoup plus vite que le côté.
Sofiane est carreleur. Il intervient chez des particuliers pour poser du carrelage au sol dans des pièces souvent carrées : salle d'eau, buanderie, local technique, terrasse couverte. Pour chaque chantier, il doit d'abord calculer la surface à carreler, qui dépend du côté \(c\) de la pièce, puis en déduire le coût et le nombre de carreaux à prévoir. Il remarque que le prix « grimpe très vite » dès que la pièce s'agrandit un peu.
À partir du Document 2, écris la formule qui donne l'aire \(A\) d'un sol carré de côté \(c\).
\(A = c \times c = \mathbf{c^2}\). C'est la fonction carré appliquée au côté \(c\) : à chaque côté \(c\) on associe l'aire \(c^2\).
Complète le tableau des aires en calculant \(A(c) = c^2\) pour chaque côté.
| Côté \(c\) (m) | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| Aire \(A = c^2\) (m²) | ? | ? | ? | ? |
\(A(2)=2^2=\mathbf{4\ \text{m}^2}\) ; \(A(3)=3^2=\mathbf{9\ \text{m}^2}\) ; \(A(4)=4^2=\mathbf{16\ \text{m}^2}\) ; \(A(5)=5^2=\mathbf{25\ \text{m}^2}\).
Le carrelage standard coûte 50 €/m² posé. Écris la fonction coût \(C(c)\) en fonction du côté \(c\), puis calcule le coût pour \(c = 2\ \text{m}\), \(c = 3\ \text{m}\), \(c = 4\ \text{m}\) et \(c = 5\ \text{m}\).
Le coût, c'est le prix au m² multiplié par la surface : \(C(c) = 50 \times A(c) = 50 \times c^2 = \mathbf{50c^2}\).
Les carreaux mesurent 50 cm × 50 cm. Pour un local de côté \(c = 4\ \text{m}\) :
a) Combien de carreaux place-t-on sur une seule rangée (un côté) ?
b) Combien de carreaux au total pour tout le sol ?
c) Que remarques-tu sur ce nombre total ?
a) Un côté mesure \(4\ \text{m} = 400\ \text{cm}\). Chaque carreau fait 50 cm, donc \(400 \div 50 = \mathbf{8\ \text{carreaux}}\) par rangée.
b) Le sol forme une grille de 8 rangées de 8 carreaux : \(8 \times 8 = \mathbf{64\ \text{carreaux}}\). On peut vérifier avec l'aire : \(16\ \text{m}^2 \div 0{,}25\ \text{m}^2 = 64\) carreaux.
c) Le nombre total de carreaux, \(64 = 8^2\), est lui aussi un carré parfait : \(n\) carreaux par côté donnent \(n^2\) carreaux au total. C'est encore la fonction carré.
À l'aide de la courbe du coût (Document 3), estime le côté maximal \(c\) d'un local carré que Sofiane peut carreler avec un budget de 1 250 €. Explique comment tu lis le graphique.
On repère 1 250 € sur l'axe vertical (Coût). On trace une droite horizontale jusqu'à la courbe, puis on descend verticalement sur l'axe des côtés : on lit \(c \approx \mathbf{5\ \text{m}}\).
1 250 € se situe juste au-dessus de la graduation 1 200 € : on part de cette hauteur, on va horizontalement jusqu'à la courbe, puis on descend sur l'axe des côtés, où l'on tombe sur la graduation 5. Avec 1 250 €, Sofiane peut donc carreler une pièce carrée d'environ 5 m de côté.
Vérifie par le calcul le résultat de la question 5 : résous l'équation \(50c^2 = 1\,250\).
\(50c^2 = 1\,250 \;\Longleftrightarrow\; c^2 = \dfrac{1\,250}{50} = 25 \;\Longleftrightarrow\; c = \sqrt{25} = \mathbf{5}\) (le côté est positif).
Le calcul confirme la lecture graphique : le côté maximal est bien \(5\ \text{m}\), pour une pièce de \(25\ \text{m}^2\). Résoudre \(C(c) = \text{budget}\) revient à calculer \(c = \sqrt{\text{budget} \div \text{prix au m}^2}\).
Pour une salle d'eau carrée de côté \(c = 3\ \text{m}\), le client hésite entre le carrelage standard (50 €/m²) et le carrelage premium (70 €/m²). Calcule le coût dans chaque cas, puis donne l'écart de prix.
Aire du sol : \(A(3) = 3^2 = 9\ \text{m}^2\).
Écart : \(630 - 450 = \mathbf{180\ \text{€}}\). Le carrelage premium revient à 180 € de plus pour cette salle d'eau. (Le coût reste proportionnel à l'aire \(9\ \text{m}^2\) : c'est le prix au m² qui change, pas la fonction carré.)
Sofiane doit remettre un devis pour une buanderie carrée de 3 m de côté (carrelage standard). Rédige en 3 à 4 lignes ce devis : surface, prix au m², coût total et nombre de carreaux.
Éléments à calculer : surface \(A(3) = 9\ \text{m}^2\) ; coût \(50 \times 9 = 450\ \text{€}\) ; nombre de carreaux \(9 \div 0{,}25 = 36\) (grille de \(6 \times 6\)).
Exemple de rédaction :
« Devis — Buanderie carrée 3 m × 3 m. Surface à carreler : \(9\ \text{m}^2\). Carrelage grès cérame posé : 50 €/m². Montant total : 450 €. Fourniture : 36 carreaux de 50 × 50 cm (soit 4 par m²), prévoir quelques carreaux de plus pour les découpes. »
\(C(5) = 50 \times 5^2 + 120 = 50 \times 25 + 120 = 1\,250 + 120 = \mathbf{1\,370\ \text{€}}\).
Ajouter 120 revient à décaler la parabole de 120 vers le haut : c'est une translation verticale, comme \(g(x) = x^2 + k\) avec \(k = 120\) (voir §6 de la leçon). Les variations ne changent pas ; seul le point de départ (le forfait) est relevé.
Réponse à la problématique : le coût du carrelage d'un local carré suit la fonction carré \(C(c) = 50c^2\) ; pour un budget donné, le côté maximal est \(c = \sqrt{\text{budget} \div 50}\) (ici 1 250 € \(\Rightarrow\) 5 m).
📚 §2 (fonction carré), §5 (sens de variation) et §8 (résoudre \(c^2 = k\)) de la leçon Ch10.