Chapitre 10 – Fonctions usuelles (carré, racine) | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Cette activité étudie une fonction polynôme du second degré de la forme \(h(x) = ax^2 + bx\). Le programme officiel de Seconde Bac Pro traite uniquement la fonction carré pure \(f(x) = x^2\) ; les polynômes de degré 2 généraux et leur sommet sont au programme de Première. À utiliser en approfondissement.
L'atelier de Karim a obtenu un contrat pour fabriquer des bancs et des grilles pour un club de tennis. Il faut prévoir l'emplacement précis des grilles de protection contre les balles. Karim consulte le coach qui lui fournit l'équation moyenne de la trajectoire d'une balle frappée à plat depuis le fond de court :
🎾 Trajectoire-type d'une balle
h(x) = −0,02 × x² + 0,5 × x
où x = distance horizontale parcourue (m), h(x) = hauteur de la balle (m)
Validité : x ∈ [0 ; 25] (du départ à l'atterrissage)
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (fonction du 2ème degré f(x) = ax² + bx + c) et §4 (sommet, axe de symétrie).
Calculer la hauteur de la balle pour les distances suivantes :
Remarquer la symétrie : h(5) = h(20) = 2 m. C'est l'axe de symétrie passant par x = 12,5.
Décrire l'allure générale de la trajectoire à partir des résultats de la question 1.
La trajectoire est une parabole tournée vers le bas (« cloche »).
La balle :
Le coefficient devant x² est négatif (−0,02), ce qui donne les branches vers le bas (= sommet en haut).
À partir du graphique, donner les coordonnées du sommet et lire l'axe de symétrie de la parabole.
Sommet : point le plus haut de la parabole = (12,5 ; 3,125).
Axe de symétrie : droite verticale passant par le sommet = x = 12,5.
L'axe de symétrie partage la trajectoire en deux moitiés identiques (montée et descente).
Le filet du tennis est à 9 mètres du joueur, et il mesure 1 m de haut. La balle passe-t-elle au-dessus ?
h(9) = −0,02 × 81 + 4,5 = −1,62 + 4,5 = 2,88 m.
2,88 m > 1 m → oui, la balle passe largement au-dessus du filet. Confortable.
Karim doit poser une grille de 1,5 m de haut pour protéger les spectateurs. La droite \(h = 1{,}5\) est tracée en pointillés sur le graphique.
a) Sur le graphique, la droite \(h = 1{,}5\) coupe la parabole en deux points. On lit environ x₁ ≈ 3,5 m et x₂ ≈ 21,5 m.
b) Il y a deux solutions car la balle est à 1,5 m une fois en montée (x ≈ 3,5 m) et une fois en descente (x ≈ 21,5 m). Caractéristique des paraboles : 2 antécédents pour chaque hauteur (sauf le sommet, antécédent unique).
c) \(x_1 + x_2 \approx 3{,}5 + 21{,}5 = 25 = 2 \times 12{,}5\) ✓. Les deux antécédents sont symétriques par rapport à l'axe x = 12,5.
Pour les curieux (méthode avancée, vue en Première/Terminale) : on peut résoudre algébriquement \(-0{,}02x^2 + 0{,}5x = 1{,}5\), soit \(x^2 - 25x + 75 = 0\). Avec le discriminant : Δ = 625 − 300 = 325, √Δ ≈ 18,03, d'où \(x = (25 \pm 18{,}03)/2\) → \(x_1 \approx 3{,}49\) m et \(x_2 \approx 21{,}51\) m.
Le coach lance maintenant des balles plus fortes : la trajectoire devient h(x) = −0,015 x² + 0,6 x. Calculer la nouvelle distance d'atterrissage.
Atterrissage : h(x) = 0 → x × (−0,015 x + 0,6) = 0.
Solutions : x = 0 (départ) ou −0,015 x + 0,6 = 0 → x = 0,6 / 0,015 = 40 m.
La balle va plus loin (40 m vs 25 m). Logique : un service plus fort = trajectoire plus longue.
Que représentent physiquement les coefficients dans l'équation h(x) = a x² + b x + c ?
a = −0,02 (terme en x²) : lié à la gravité et à la vitesse de la balle. Plus a est petit en valeur absolue (vitesse forte ou gravité faible), plus la trajectoire est tendue. a est négatif → l'objet retombe.
b = 0,5 (terme en x) : lié à l'angle de tir (« inclinaison initiale »). Plus b est grand, plus la balle monte vite au début.
c = 0 (constante) : hauteur initiale du tir. Ici 0 (balle frappée au ras du sol). Si on tirait depuis 1 m, on aurait c = 1.
Rédiger en 5 lignes une note technique pour le client (club de tennis) résumant les caractéristiques de la trajectoire et les recommandations pour les grilles.
Note technique — Trajectoire et grilles de protection
La balle moyenne décrit une parabole d'équation h(x) = −0,02 x² + 0,5 x. Hauteur maximale 3,12 m à mi-court (12,5 m). Atterrissage à 25 m du joueur.
La balle dépasse 1,5 m de hauteur entre les positions x = 3,5 m et x = 21,5 m du serveur. Les grilles de protection latérales doivent donc être au moins de 3,5 m de hauteur sur cette zone (avec marge de sécurité pour balles plus fortes).
Pour les balles puissantes, la portée peut atteindre 40 m → prévoir un dégagement.
Pour la trajectoire h(x) = −0,02 x² + 0,5 x, calculer la hauteur de la balle à 18 m. Vérifier que la symétrie est respectée par rapport à l'axe x = 12,5.
h(18) = −0,02 × 324 + 9 = −6,48 + 9 = 2,52 m.
Vérification symétrie : 18 est à 18 − 12,5 = 5,5 m après l'axe. Le point symétrique est à 12,5 − 5,5 = 7 m.
h(7) = −0,02 × 49 + 3,5 = −0,98 + 3,5 = 2,52 m. ✓
La symétrie est confirmée : h(7) = h(18). Cette propriété permet de diviser par 2 les calculs en pratique : il suffit d'étudier la moitié de la parabole.