Chapitre 10 – Fonctions usuelles (carré, racine) | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Yann, jeune artisan menuisier, cherche un terrain carré pour construire son futur atelier. Le notaire et l'agent immobilier lui présentent les surfaces de plusieurs terrains, certains avec leurs dimensions, d'autres avec seulement leur surface. Il doit savoir convertir entre côté et surface.
Ce tableau sera complété au fil des questions 1, 2 et 3.
| N° | Côté (m) | Surface (m²) | Prix au m² | Prix total |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 12 | ? | 80 € | ? |
| 2 | 25 | ? | 80 € | ? |
| 3 | ? | 400 | 80 € | ? |
| 4 | ? | 1 250 | 80 € | ? |
f(x) = x² ⟺ Surface = côté × côté
Pour retrouver le côté à partir de la surface : côté = √surface (racine carrée).
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (fonction carré) et §2 (racine carrée comme antécédent).
Calculer la surface des terrains 1 et 2 du tableau (côté connu, surface inconnue) en utilisant f(x) = x².
Calculer le côté des terrains 3 et 4 du tableau (surface connue, côté inconnu).
Indication : pour retrouver le côté à partir de la surface, utiliser la racine carrée (touche √ de la calculatrice). On résout x² = surface, donc x = √surface.
Calculer la racine carrée d'une surface, c'est retrouver l'antécédent par la fonction carré.
Calculer le prix total de chaque terrain (au tarif de 80 €/m²).
Indication : prix total = surface × prix au m².
Le prix varie énormément (de 11 k€ à 100 k€) alors que les côtés ne varient que d'un facteur 3 (12 à 35 m). C'est l'effet du carré.
On reprend le calcul de la surface (comme en Q1) pour plusieurs côtés afin d'observer comment la surface évolue.
Compléter le tableau de progression :
| Côté x (m) | 5 | 10 | 20 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| Surface x² (m²) | … | … | … | … |
Quand on double le côté, comment évolue la surface ?
| Côté | 5 | 10 | 20 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| Surface | 25 | 100 | 400 | 1 600 |
De 5 → 10 (×2) : 25 → 100 (×4)
De 10 → 20 (×2) : 100 → 400 (×4)
De 20 → 40 (×2) : 400 → 1 600 (×4)
Règle : doubler le côté quadruple la surface (× 4 = 2²).
Plus généralement, multiplier le côté par k multiplie la surface par k².
Yann a un budget de 100 000 € pour l'achat du terrain (tarif : 80 €/m²).
a) Quelle est la surface maximum qu'il peut acheter ?
b) Quel est le côté correspondant si le terrain est carré ?
a) Surface max : 100 000 ÷ 80 = 1 250 m².
b) Côté : √1 250 ≈ 35,36 m.
C'est le terrain 4 du tableau. À ce prix, terrain confortable pour un atelier (~ 1/4 d'hectare).
Le prix au m² monte de 80 € à 100 € (le terrain devient plus cher). Yann garde son budget de 100 000 €.
a) Quelle est la nouvelle surface qu'il peut acheter ?
b) Quel est le côté correspondant ?
c) De quel pourcentage la surface a-t-elle diminué (par rapport à la question 5) ? Et le côté ?
d) Comparer ces deux pourcentages. Que peut-on en déduire sur l'effet de la racine carrée sur les variations ?
a) Nouvelle surface : 100 000 ÷ 100 = 1 000 m².
b) Côté : √1 000 ≈ 31,62 m.
c) Surface : de 1 250 m² à 1 000 m², soit une baisse de \(\dfrac{1\,250 - 1\,000}{1\,250} = 0{,}20 = \mathbf{20\,\%}\).
Côté : de 35,36 m à 31,62 m, soit une baisse de \(\dfrac{35{,}36 - 31{,}62}{35{,}36} \approx 0{,}106 = \mathbf{10{,}6\,\%}\).
d) Le côté diminue moins que la surface : ~11 % contre 20 %. C'est l'effet de la racine carrée. Quand la surface baisse de 20 %, le côté baisse de seulement ~11 % (car √0,80 ≈ 0,894, soit 89 % du côté initial).
Yann veut un atelier de 100 m² à l'intérieur. Il prévoit un espace extérieur de même surface (parking, déchargement, stockage de bois).
a) Quelle est la surface totale nécessaire du terrain ?
b) Quel doit être le côté minimum du terrain carré ?
c) Vérifier ce résultat sur le graphique.
a) Surface totale : 100 m² (atelier) + 100 m² (extérieur) = 200 m².
b) Côté minimum : √200 ≈ 14,14 m.
c) Sur le graphique : on cherche x tel que x² = 200. On lit x ≈ 14 m, cohérent avec le calcul.
En pratique, pour avoir une marge, Yann choisira plutôt un terrain de 15 m de côté (surface 225 m²).
Rédiger en 4 lignes une note pour Yann récapitulant la méthode pour estimer rapidement la surface d'un terrain carré ou retrouver le côté à partir de la surface.
Méthode — Terrain carré
1. Côté → Surface : faire côté × côté (ex : 12 × 12 = 144 m²).
2. Surface → Côté : faire la racine carrée (ex : √400 = 20 m). Calculatrice scientifique : touche √.
3. Règle pratique : doubler le côté = 4 × la surface ; tripler = 9 × la surface (effet du carré).
4. Estimation rapide : pour avoir 1 000 m², prévoir un côté d'environ 32 m. Pour 500 m² : ~22 m. Pour 100 m² : 10 m.
Yann hésite entre un terrain carré de 35 m de côté et un terrain rectangulaire de 30 m × 45 m. Lequel a la plus grande surface ? Lequel a le périmètre le plus court (économie de clôture) ?
Surfaces :
Rectangle plus grand de 125 m².
Périmètres :
Carré a un périmètre plus court (- 10 m) → moins de clôture à payer.
Propriété mathématique : à périmètre donné, le carré est la forme rectangulaire qui maximise la surface. Inversement, à surface donnée, le carré minimise le périmètre. C'est une optimisation classique.