Fonction affine — Seconde Bac Pro MAMA
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Pour chaque fonction, donner la valeur de \(a\) et de \(b\) :
a) \(f(x) = 3x + 5\) → \(a = ...\), \(b = ...\)
b) \(g(x) = -2x + 7\) → \(a = ...\), \(b = ...\)
c) \(h(x) = 4x\) → \(a = ...\), \(b = ...\)
a) \(a = \mathbf{3}\), \(b = \mathbf{5}\)
b) \(a = \mathbf{-2}\), \(b = \mathbf{7}\)
c) \(a = \mathbf{4}\), \(b = \mathbf{0}\) (c'est une fonction linéaire, cas particulier d'affine)
Soit \(f(x) = 2x + 3\). Calculer :
a) \(f(0) = 2 \times 0 + 3 = ...\)
b) \(f(4) = 2 \times ... + 3 = ...\)
c) \(f(-1) = 2 \times (...) + 3 = ...\)
d) \(f(10) = ...\)
a) \(f(0) = 0 + 3 = \mathbf{3}\)
b) \(f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = \mathbf{11}\)
c) \(f(-1) = 2 \times (-1) + 3 = -2 + 3 = \mathbf{1}\)
d) \(f(10) = 2 \times 10 + 3 = 20 + 3 = \mathbf{23}\)
Soit \(f(x) = 5x - 2\). Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ... | ... | ... | ... |
La droite coupe l'axe des ordonnées en quel point ?
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\mathbf{-2}\) | \(\mathbf{3}\) | \(\mathbf{8}\) | \(\mathbf{13}\) |
La droite coupe l'axe des ordonnées au point \((0\,;\,-2)\) car \(b = -2\).
Pour chaque fonction, dire si elle est croissante ou décroissante :
a) \(f(x) = 3x + 1\) → \(a = 3\), donc la fonction est ...
b) \(g(x) = -4x + 10\) → \(a = ...\), donc la fonction est ...
c) \(h(x) = 7x - 3\) → la fonction est ...
a) \(a = 3 > 0\) → \(f\) est croissante.
b) \(a = -4 < 0\) → \(g\) est décroissante.
c) \(a = 7 > 0\) → \(h\) est croissante.
Un menuisier facture ses interventions selon la formule \(C(h) = 45h + 60\), où \(h\) est le nombre d'heures.
a) Que représente le nombre 45 ? Et le nombre 60 ?
b) Calculer le coût d'une intervention de 4 heures : \(C(4) = ...\)
a) 45 est le tarif horaire (45 €/h). 60 est le forfait de déplacement (frais fixe de 60 €).
b) \(C(4) = 45 \times 4 + 60 = 180 + 60 = \mathbf{240}\) €
Barème : 20 points
Pour chaque fonction, donner la valeur de \(a\) et de \(b\) :
a) \(f(x) = 5x + 2\) → \(a = ...\), \(b = ...\)
b) \(g(x) = -4x + 9\) → \(a = ...\), \(b = ...\)
c) \(h(x) = 6x\) → \(a = ...\), \(b = ...\)
a) \(a = \mathbf{5}\), \(b = \mathbf{2}\)
b) \(a = \mathbf{-4}\), \(b = \mathbf{9}\)
c) \(a = \mathbf{6}\), \(b = \mathbf{0}\) (c'est une fonction linéaire, cas particulier d'affine)
Soit \(f(x) = 3x + 4\). Calculer :
a) \(f(0) = 3 \times 0 + 4 = ...\)
b) \(f(5) = 3 \times ... + 4 = ...\)
c) \(f(-2) = 3 \times (...) + 4 = ...\)
d) \(f(7) = ...\)
a) \(f(0) = 0 + 4 = \mathbf{4}\)
b) \(f(5) = 3 \times 5 + 4 = 15 + 4 = \mathbf{19}\)
c) \(f(-2) = 3 \times (-2) + 4 = -6 + 4 = \mathbf{-2}\)
d) \(f(7) = 3 \times 7 + 4 = 21 + 4 = \mathbf{25}\)
Soit \(f(x) = 4x - 3\). Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ... | ... | ... | ... |
La droite coupe l'axe des ordonnées en quel point ?
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\mathbf{-3}\) | \(\mathbf{1}\) | \(\mathbf{5}\) | \(\mathbf{9}\) |
La droite coupe l'axe des ordonnées au point \((0\,;\,-3)\) car \(b = -3\).
Pour chaque fonction, dire si elle est croissante ou décroissante :
a) \(f(x) = 6x + 2\) → \(a = 6\), donc la fonction est ...
b) \(g(x) = -5x + 8\) → \(a = ...\), donc la fonction est ...
c) \(h(x) = 2x - 9\) → la fonction est ...
a) \(a = 6 > 0\) → \(f\) est croissante.
b) \(a = -5 < 0\) → \(g\) est décroissante.
c) \(a = 2 > 0\) → \(h\) est croissante.
Un plombier facture ses interventions selon la formule \(C(h) = 55h + 40\), où \(h\) est le nombre d'heures.
a) Que représente le nombre 55 ? Et le nombre 40 ?
b) Calculer le coût d'une intervention de 3 heures : \(C(3) = ...\)
a) 55 est le tarif horaire (55 €/h). 40 est le forfait de déplacement (frais fixe de 40 €).
b) \(C(3) = 55 \times 3 + 40 = 165 + 40 = \mathbf{205}\) €
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = -3x + 8\).
a) Calculer \(f(2)\), \(f(0)\) et \(f(-1)\).
b) Trouver l'antécédent de 2 par \(f\).
a) \(f(2) = -3 \times 2 + 8 = -6 + 8 = \mathbf{2}\)
\(f(0) = 0 + 8 = \mathbf{8}\)
\(f(-1) = -3 \times (-1) + 8 = 3 + 8 = \mathbf{11}\)
b) \(-3x + 8 = 2\) → \(-3x = -6\) → \(x = \mathbf{2}\)
Vérification : \(f(2) = 2\) ✔
Déterminer l'expression de la fonction affine \(f(x) = ax + b\) sachant que \(f(1) = 7\) et \(f(3) = 13\).
Étape 1 : \(a = \dfrac{13 - 7}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3}\)
Étape 2 : \(f(1) = 3 \times 1 + b = 7\) → \(b = 7 - 3 = \mathbf{4}\)
Réponse : \(f(x) = 3x + 4\)
Vérification : \(f(3) = 3 \times 3 + 4 = 13\) ✔
Un poseur de carrelage facture selon la formule \(C(s) = 32s + 120\), où \(s\) est la surface en m².
a) Calculer le coût pour 15 m².
b) Un client dispose de 600 €. Quelle surface maximale peut-il faire poser ?
a) \(C(15) = 32 \times 15 + 120 = 480 + 120 = \mathbf{600}\) €
b) \(32s + 120 = 600\) → \(32s = 480\) → \(s = \dfrac{480}{32} = \mathbf{15}\) m²
Avec 600 €, le client peut faire poser exactement 15 m².
On considère les fonctions \(f(x) = 2x + 1\) et \(g(x) = -x + 7\).
a) La fonction \(f\) est-elle croissante ou décroissante ? Et \(g\) ?
b) Pour quelle valeur de \(x\) les deux fonctions ont-elles la même image ? (Résoudre \(f(x) = g(x)\).)
c) Calculer cette image commune.
a) \(f\) est croissante (\(a = 2 > 0\)). \(g\) est décroissante (\(a = -1 < 0\)).
b) \(2x + 1 = -x + 7\) → \(3x = 6\) → \(x = \mathbf{2}\)
c) \(f(2) = 2 \times 2 + 1 = \mathbf{5}\) (et \(g(2) = -2 + 7 = 5\) ✔)
Les deux droites se croisent au point \((2\,;\,5)\).
Les fonctions \(f(x) = 4x - 3\) et \(g(x) = 4x + 2\) ont-elles des droites parallèles ? Justifier.
Les droites se croisent-elles ? Pourquoi ?
Oui, les droites sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur \(a = 4\).
Les droites ne se croisent jamais car elles sont parallèles et distinctes (\(b = -3 \neq 2\)).
Si on tente de résoudre \(4x - 3 = 4x + 2\), on obtient \(-3 = 2\), ce qui est impossible.
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = -4x + 10\).
a) Calculer \(f(3)\), \(f(0)\) et \(f(-2)\).
b) Trouver l'antécédent de 6 par \(f\).
a) \(f(3) = -4 \times 3 + 10 = -12 + 10 = \mathbf{-2}\)
\(f(0) = 0 + 10 = \mathbf{10}\)
\(f(-2) = -4 \times (-2) + 10 = 8 + 10 = \mathbf{18}\)
b) \(-4x + 10 = 6\) → \(-4x = -4\) → \(x = \mathbf{1}\)
Vérification : \(f(1) = -4 + 10 = 6\) ✔
Déterminer l'expression de la fonction affine \(f(x) = ax + b\) sachant que \(f(2) = 9\) et \(f(5) = 21\).
Étape 1 : \(a = \dfrac{21 - 9}{5 - 2} = \dfrac{12}{3} = \mathbf{4}\)
Étape 2 : \(f(2) = 4 \times 2 + b = 9\) → \(b = 9 - 8 = \mathbf{1}\)
Réponse : \(f(x) = 4x + 1\)
Vérification : \(f(5) = 4 \times 5 + 1 = 21\) ✔
Un artisan menuisier facture selon la formule \(C(s) = 28s + 150\), où \(s\) est la surface en m².
a) Calculer le coût pour 20 m².
b) Un client dispose de 710 €. Quelle surface maximale peut-il faire réaliser ?
a) \(C(20) = 28 \times 20 + 150 = 560 + 150 = \mathbf{710}\) €
b) \(28s + 150 = 710\) → \(28s = 560\) → \(s = \dfrac{560}{28} = \mathbf{20}\) m²
Avec 710 €, le client peut faire réaliser exactement 20 m².
On considère les fonctions \(f(x) = 3x + 2\) et \(g(x) = -x + 10\).
a) La fonction \(f\) est-elle croissante ou décroissante ? Et \(g\) ?
b) Pour quelle valeur de \(x\) les deux fonctions ont-elles la même image ? (Résoudre \(f(x) = g(x)\).)
c) Calculer cette image commune.
a) \(f\) est croissante (\(a = 3 > 0\)). \(g\) est décroissante (\(a = -1 < 0\)).
b) \(3x + 2 = -x + 10\) → \(4x = 8\) → \(x = \mathbf{2}\)
c) \(f(2) = 3 \times 2 + 2 = \mathbf{8}\) (et \(g(2) = -2 + 10 = 8\) ✔)
Les deux droites se croisent au point \((2\,;\,8)\).
Les fonctions \(f(x) = -3x + 5\) et \(g(x) = -3x - 1\) ont-elles des droites parallèles ? Justifier.
Les droites se croisent-elles ? Pourquoi ?
Oui, les droites sont parallèles car elles ont le même coefficient directeur \(a = -3\).
Les droites ne se croisent jamais car elles sont parallèles et distinctes (\(b = 5 \neq -1\)).
Si on tente de résoudre \(-3x + 5 = -3x - 1\), on obtient \(5 = -1\), ce qui est impossible.
Barème : 20 points
Déterminer l'expression de la fonction affine \(f(x) = ax + b\) sachant que sa courbe passe par les points \(A(-1\,;\,5)\) et \(B(4\,;\,-10)\).
\(a = \dfrac{-10 - 5}{4 - (-1)} = \dfrac{-15}{5} = \mathbf{-3}\)
Avec le point \(A(-1\,;\,5)\) : \(-3 \times (-1) + b = 5\) → \(3 + b = 5\) → \(b = \mathbf{2}\)
\(f(x) = -3x + 2\)
Vérification : \(f(4) = -3 \times 4 + 2 = -12 + 2 = -10\) ✔
Deux artisans proposent leurs tarifs pour la pose de parquet :
a) Exprimer le coût de chaque artisan en fonction de la surface \(s\) (en m²).
b) Résoudre graphiquement ou algébriquement : pour quelle surface les deux artisans coûtent-ils le même prix ?
c) Un client veut faire poser 18 m² de parquet. Quel artisan choisir ? Justifier.
d) Écrire l'inéquation permettant de savoir quand l'artisan A est moins cher que l'artisan B, et la résoudre.
a) \(C_A(s) = 25s + 200\) et \(C_B(s) = 40s\)
b) \(25s + 200 = 40s\) → \(200 = 15s\) → \(s = \dfrac{200}{15} \approx \mathbf{13{,}3}\) m²
Les deux artisans coûtent le même prix pour environ 13,3 m².
c) \(C_A(18) = 25 \times 18 + 200 = 650\) € et \(C_B(18) = 40 \times 18 = 720\) €.
L'artisan A est moins cher (650 € < 720 €).
d) \(25s + 200 < 40s\) → \(200 < 15s\) → \(s > \dfrac{200}{15} \approx 13{,}3\).
L'artisan A est moins cher à partir de 14 m² (entier supérieur).
On considère le système d'équations suivant :
\(\begin{cases} y = 3x - 1 \\ y = -2x + 9 \end{cases}\)
a) Résoudre ce système (trouver le point d'intersection des deux droites).
b) Vérifier la solution en remplaçant dans les deux équations.
a) \(3x - 1 = -2x + 9\) → \(5x = 10\) → \(x = \mathbf{2}\)
\(y = 3 \times 2 - 1 = \mathbf{5}\)
Le point d'intersection est \(\mathbf{(2\,;\,5)}\).
b) Vérification : \(y = 3 \times 2 - 1 = 5\) ✔ et \(y = -2 \times 2 + 9 = 5\) ✔
Un fabricant de mobilier produit des tabourets. Le coût de production est modélisé par \(C(x) = 18x + 350\) et le chiffre d'affaires par \(R(x) = 45x\), où \(x\) est le nombre de tabourets.
a) Exprimer le bénéfice \(B(x) = R(x) - C(x)\).
b) À partir de combien de tabourets le fabricant est-il bénéficiaire ?
c) Quel bénéfice réalise-t-il en vendant 25 tabourets ?
a) \(B(x) = 45x - (18x + 350) = 27x - 350\)
b) \(27x - 350 > 0\) → \(27x > 350\) → \(x > \dfrac{350}{27} \approx 12{,}96\)
Il faut vendre au minimum 13 tabourets pour être bénéficiaire.
Vérification : \(B(13) = 27 \times 13 - 350 = 351 - 350 = 1 > 0\) ✔
c) \(B(25) = 27 \times 25 - 350 = 675 - 350 = \mathbf{325}\) €
Soit \(f(x) = ax + b\). On sait que \(f\) est décroissante et que \(f(0) = 6\).
a) Que peut-on dire du signe de \(a\) ? Quelle est la valeur de \(b\) ?
b) On apprend de plus que \(f(3) = 0\). Déterminer complètement \(f(x)\).
c) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) > 0\) ?
a) \(f\) décroissante → \(a < 0\). \(f(0) = b = \mathbf{6}\).
b) \(f(3) = 3a + 6 = 0\) → \(3a = -6\) → \(a = \mathbf{-2}\)
\(f(x) = -2x + 6\)
c) \(-2x + 6 > 0\) → \(-2x > -6\) → \(x < 3\) (on divise par \(-2\), on inverse).
\(f(x) > 0\) pour \(x \in \mathbf{]-\infty ; 3[}\).
Barème : 20 points
Déterminer l'expression de la fonction affine \(f(x) = ax + b\) sachant que sa courbe passe par les points \(A(2\,;\,7)\) et \(B(5\,;\,-8)\).
\(a = \dfrac{-8 - 7}{5 - 2} = \dfrac{-15}{3} = \mathbf{-5}\)
Avec le point \(A(2\,;\,7)\) : \(-5 \times 2 + b = 7\) → \(-10 + b = 7\) → \(b = \mathbf{17}\)
\(f(x) = -5x + 17\)
Vérification : \(f(5) = -5 \times 5 + 17 = -25 + 17 = -8\) ✔
Deux artisans proposent leurs tarifs pour la pose de revêtement mural :
a) Exprimer le coût de chaque artisan en fonction de la surface \(s\) (en m²).
b) Résoudre graphiquement ou algébriquement : pour quelle surface les deux artisans coûtent-ils le même prix ?
c) Un client veut faire poser 16 m² de revêtement. Quel artisan choisir ? Justifier.
d) Écrire l'inéquation permettant de savoir quand l'artisan A est moins cher que l'artisan B, et la résoudre.
a) \(C_A(s) = 30s + 180\) et \(C_B(s) = 45s\)
b) \(30s + 180 = 45s\) → \(180 = 15s\) → \(s = \dfrac{180}{15} = \mathbf{12}\) m²
Les deux artisans coûtent le même prix pour 12 m².
c) \(C_A(16) = 30 \times 16 + 180 = 660\) € et \(C_B(16) = 45 \times 16 = 720\) €.
L'artisan A est moins cher (660 € < 720 €).
d) \(30s + 180 < 45s\) → \(180 < 15s\) → \(s > 12\).
L'artisan A est moins cher à partir de 13 m² (entier supérieur strict).
On considère le système d'équations suivant :
\(\begin{cases} y = 4x - 3 \\ y = -x + 12 \end{cases}\)
a) Résoudre ce système (trouver le point d'intersection des deux droites).
b) Vérifier la solution en remplaçant dans les deux équations.
a) \(4x - 3 = -x + 12\) → \(5x = 15\) → \(x = \mathbf{3}\)
\(y = 4 \times 3 - 3 = \mathbf{9}\)
Le point d'intersection est \(\mathbf{(3\,;\,9)}\).
b) Vérification : \(y = 4 \times 3 - 3 = 9\) ✔ et \(y = -3 + 12 = 9\) ✔
Un fabricant de mobilier produit des étagères. Le coût de production est modélisé par \(C(x) = 22x + 420\) et le chiffre d'affaires par \(R(x) = 50x\), où \(x\) est le nombre d'étagères.
a) Exprimer le bénéfice \(B(x) = R(x) - C(x)\).
b) À partir de combien d'étagères le fabricant est-il bénéficiaire ?
c) Quel bénéfice réalise-t-il en vendant 30 étagères ?
a) \(B(x) = 50x - (22x + 420) = 28x - 420\)
b) \(28x - 420 > 0\) → \(28x > 420\) → \(x > \dfrac{420}{28} = 15\)
Il faut vendre au minimum 16 étagères pour être bénéficiaire.
Vérification : \(B(16) = 28 \times 16 - 420 = 448 - 420 = 28 > 0\) ✔
c) \(B(30) = 28 \times 30 - 420 = 840 - 420 = \mathbf{420}\) €
Soit \(f(x) = ax + b\). On sait que \(f\) est décroissante et que \(f(0) = 10\).
a) Que peut-on dire du signe de \(a\) ? Quelle est la valeur de \(b\) ?
b) On apprend de plus que \(f(5) = 0\). Déterminer complètement \(f(x)\).
c) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) > 0\) ?
a) \(f\) décroissante → \(a < 0\). \(f(0) = b = \mathbf{10}\).
b) \(f(5) = 5a + 10 = 0\) → \(5a = -10\) → \(a = \mathbf{-2}\)
\(f(x) = -2x + 10\)
c) \(-2x + 10 > 0\) → \(-2x > -10\) → \(x < 5\) (on divise par \(-2\), on inverse).
\(f(x) > 0\) pour \(x \in \mathbf{]-\infty ; 5[}\).