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Chapitre 9 – Exercices par capacités

Fonction affine  |  2nde Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Capacités et connaissances du programme :

Les codes sont ceux du cours PDF du chapitre ; ce ne sont pas des codes officiels. Pour aller plus loin (hors programme de Seconde) : la résolution d'un système par le calcul, signalée dans les corrections de C6.

C1 — Identifier les paramètres \(a\) et \(b\)

Rappel de cours — Fonction affine

Une fonction affine est définie par \(f(x) = ax + b\), où :

  • \(a\) est le coefficient directeur (pente de la droite)
  • \(b\) est l'ordonnée à l'origine (valeur de \(f\) en \(x = 0\))

Cas particuliers : si \(a = 0\), c'est une fonction constante ; si \(b = 0\), c'est une fonction linéaire.

Exercice 1

Pour chaque fonction, identifier \(a\) (coefficient directeur) et \(b\) (ordonnée à l'origine) :

  1. \(f(x) = 3x + 5\)
  2. \(g(x) = -2x + 7\)
  3. \(h(x) = 4x\)
  4. \(k(x) = -6\)
  5. \(m(x) = 0{,}5x - 3\)
  1. \(a = 3\), \(b = 5\)
  2. \(a = -2\), \(b = 7\)
  3. \(a = 4\), \(b = 0\) → fonction linéaire (cas particulier)
  4. \(a = 0\), \(b = -6\) → fonction constante (cas particulier)
  5. \(a = 0{,}5\), \(b = -3\)

Exercice 2

Un menuisier facture ses interventions selon la formule \(C(h) = 32h + 45\) €.

  1. Identifier \(a\) et \(b\) et expliquer leur signification concrète.
  2. Calculer \(C(0)\) et interpréter le résultat.
  1. \(a = 32\) : taux horaire de 32 €/h. \(b = 45\) : forfait fixe (déplacement) de 45 €.
  2. \(C(0) = 45\) € : même sans travailler, le déplacement coûte 45 €. C'est l'ordonnée à l'origine.

Exercice 2b

Pour chaque situation, indiquer s'il s'agit d'une fonction affine. Si oui, donner \(a\) et \(b\).

  1. Le prix d'un trajet en taxi : 3,50 € du km + 5 € de prise en charge.
  2. L'aire d'un carré de côté \(c\) : \(A = c^2\).
  3. La température qui baisse de 2 °C par heure à partir de 18 °C.
  1. Oui : \(P(d) = 3{,}5d + 5\) → \(a = 3{,}5\), \(b = 5\).
  2. Non : \(A = c^2\) est une fonction carré (degré 2), pas affine.
  3. Oui : \(T(h) = -2h + 18\) → \(a = -2\), \(b = 18\).

C2 — Calculer des images et construire un tableau de valeurs

Rappel de cours — Calculer une image

Pour calculer \(f(x_0)\), on remplace \(x\) par la valeur \(x_0\) dans l'expression de la fonction.

Exemple : pour \(f(x) = 3x - 1\), calculer \(f(4)\) : \(f(4) = 3 \times 4 - 1 = 12 - 1 = 11\).

Le tableau de valeurs liste plusieurs couples \((x\,;\,f(x))\) pour différentes valeurs de \(x\).

Exercice 3

Soit \(f(x) = -x + 4\). Calculer \(f(-2)\), \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(3)\), \(f(5)\).

\(f(-2) = -(-2) + 4 = 6\)
\(f(0) = 0 + 4 = 4\)
\(f(1) = -1 + 4 = 3\)
\(f(3) = -3 + 4 = 1\)
\(f(5) = -5 + 4 = -1\)

Exercice 4

Construire le tableau de valeurs de \(g(x) = 2x - 3\) pour \(x \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}\).

\(x\)−101234
\(g(x)\)−5−3−1135
Calcul : \(g(-1) = 2\times(-1) - 3 = -5\) ; \(g(4) = 8 - 3 = 5\).

Exercice 5

Le coût de fabrication d'une étagère est modélisé par \(C(n) = 12n + 80\) €, où \(n\) est le nombre d'étagères. Calculer le coût pour 0, 5, 10 et 15 étagères.

\(C(0) = 80\) € (coût fixe : outillage, réglages)
\(C(5) = 60 + 80 = 140\) €
\(C(10) = 120 + 80 = 200\) €
\(C(15) = 180 + 80 = 260\) €

C3 — Tracer la droite représentative

Rappel de cours — Tracer une droite affine

La représentation graphique de \(f(x) = ax + b\) est une droite. Pour la tracer :

  1. Calculer deux points : le plus simple est de prendre \(x = 0\) (donne le point \((0\,;\,b)\)) et une autre valeur de \(x\).
  2. Placer les deux points dans le repère et tracer la droite à la règle.
  3. Vérifier avec un troisième point.

Exemple : droite représentative de \(g(x) = x + 2\) (a = 1 > 0 : droite croissante, b = 2 : ordonnée à l'origine)

Exercice 6

Pour tracer la droite de \(f(x) = 2x + 1\), calculer deux points caractéristiques et tracer la droite dans le repère ci-dessous.

x y O 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Repère vierge — placer les points et tracer la droite
On choisit deux valeurs de \(x\) faciles :
\(f(0) = 1\) → point \(A(0\,;\,1)\) (ordonnée à l'origine)
\(f(2) = 5\) → point \(B(2\,;\,5)\)
On place \(A\) et \(B\) dans le repère, puis on trace la droite.
Vérification : \(f(1) = 3\) → point \(C(1\,;\,3)\) doit être sur la droite.

Exercice 7

Tracer la droite de \(h(x) = 0{,}5x + 1\) dans le repère ci-dessous. Commencer par dresser un tableau de valeurs pour \(x \in \{0\,;\,2\,;\,4\}\).

x y O 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Repère vierge — placer les points et tracer la droite
Tableau de valeurs :
\(x\)024
\(h(x)\)123
Calcul : \(h(0) = 0{,}5\times 0 + 1 = 1\) ; \(h(2) = 0{,}5\times 2 + 1 = 2\) ; \(h(4) = 0{,}5\times 4 + 1 = 3\).
On place les points \((0\,;\,1)\), \((2\,;\,2)\) et \((4\,;\,3)\) puis on trace la droite à la règle.
La droite est croissante (\(a = 0{,}5 > 0\)) et coupe l'axe des ordonnées en \((0\,;\,1)\).

Exercice 7b

Tracer la droite de \(g(x) = -x + 4\) dans le repère ci-dessous.

x y O 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Repère vierge — tracer g(x) = −x + 4
Deux points : \(g(0) = 4\) → \(A(0\,;\,4)\) et \(g(4) = 0\) → \(B(4\,;\,0)\).
La droite est décroissante (a = −1 < 0), elle passe par (0;4) et (4;0).

C4 — Déterminer le sens de variation selon le signe de \(a\)

Rappel de cours — Sens de variation
  • Si \(a > 0\) : \(f\) est croissante (la droite monte de gauche à droite).
  • Si \(a < 0\) : \(f\) est décroissante (la droite descend de gauche à droite).
  • Si \(a = 0\) : \(f\) est constante (droite horizontale).

Le signe de \(a\) seul suffit pour conclure — pas besoin de calculer des valeurs.

a > 0 croissante a < 0 décroissante a = 0 constante
Les trois cas de variation d'une fonction affine selon le signe de \(a\)

Exercice 8

Sans calculer, dire si chaque fonction est croissante ou décroissante :

  1. \(f(x) = 5x + 2\)
  2. \(g(x) = -3x + 8\)
  3. \(h(x) = 0{,}1x - 7\)
  4. \(k(x) = -0{,}5x\)
  5. \(m(x) = 4\)
  1. \(a = 5 > 0\) → croissante
  2. \(a = -3 < 0\) → décroissante
  3. \(a = 0{,}1 > 0\) → croissante
  4. \(a = -0{,}5 < 0\) → décroissante
  5. \(a = 0\) → constante (ni croissante ni décroissante)

Exercice 9

Un agenceur vend des placards. Son bénéfice diminue de 15 € par placard vendu en dessous du prix cible (à cause des remises). Le bénéfice de base est 500 €. Modéliser par une fonction affine et préciser son sens de variation.

\(B(x) = -15x + 500\) où \(x\) est le nombre de remises accordées.
\(a = -15 < 0\) → la fonction est décroissante : plus on accorde de remises, moins le bénéfice est élevé.

Exercice 9b

La température d'un atelier évolue selon \(T(t) = -1{,}5t + 22\) (en °C), où \(t\) est le temps en heures après 8h du matin.

  1. La température augmente-t-elle ou diminue-t-elle ? Justifier par le signe de \(a\).
  2. De combien de degrés baisse-t-elle chaque heure ?
  3. Quelle est la température à 8h ? À 12h (\(t = 4\)) ?
  1. \(a = -1{,}5 < 0\) → la température diminue (fonction décroissante).
  2. Elle baisse de 1,5 °C par heure (c'est la valeur absolue de \(a\)).
  3. \(T(0) = 22\) °C à 8h. \(T(4) = -1{,}5 \times 4 + 22 = -6 + 22 = 16\) °C à 12h.

C5 — Déterminer l'expression à partir de deux points

Rappel de cours — Trouver \(a\) et \(b\) à partir de deux points

Si la droite passe par les points \((x_1\,;\,y_1)\) et \((x_2\,;\,y_2)\), alors :

\(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

Puis on trouve \(b\) en substituant un des points : \(b = y_1 - a \times x_1\).

Cas particulier : si l'un des points est \((0\,;\,b_0)\), alors \(b = b_0\) directement.

Lire \(a\) (pente) et \(b\) (ordonnée à l'origine) sur le graphique d'une fonction affine : entre (1 ; 2) et (3 ; 4), \(\Delta x = +2\) et \(\Delta y = +2\), donc \(a = \dfrac{2}{2} = 1\) ; avec \(b = 1\), on obtient \(f(x) = x + 1\).

Exercice 10

Trouver la fonction affine \(f(x) = ax + b\) sachant que :

  1. \(f(0) = 3\) et \(f(2) = 9\)
  2. \(f(1) = 5\) et \(f(3) = 11\)
  1. \(a = \dfrac{9 - 3}{2 - 0} = 3\)
    \(f(0) = 3\) → \(b = 3\)
    \(f(x) = 3x + 3\)
  2. \(a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = 3\)
    \(f(1) = 5\) → \(3 \times 1 + b = 5 \Rightarrow b = 2\)
    \(f(x) = 3x + 2\)

Exercice 11

Un artisan mesure que sa machine consomme 3 kWh pour 0 pièce (veille) et 11 kWh pour 4 pièces produites. Trouver la fonction affine modélisant la consommation en fonction du nombre de pièces.

Points : \((0\,;\,3)\) et \((4\,;\,11)\)
\(a = \dfrac{11 - 3}{4 - 0} = 2\)
\(b = 3\) (valeur en \(x = 0\))
\(C(n) = 2n + 3\) kWh
Interprétation : 2 kWh par pièce produite + 3 kWh de veille.

Exercice 12

Une droite passe par les points \(A(2\,;\,1)\) et \(B(5\,;\,7)\). Déterminer son équation \(y = ax + b\).

\(a = \dfrac{7 - 1}{5 - 2} = \dfrac{6}{3} = 2\)
Avec \(A(2\,;\,1)\) : \(1 = 2 \times 2 + b \Rightarrow b = 1 - 4 = -3\)
\(y = 2x - 3\)
Vérification avec \(B\) : \(2 \times 5 - 3 = 7\) ✔

C6 — Résoudre un système de deux équations, graphiquement ou avec un outil numérique

Rappel de cours — Résoudre un système

Résoudre le système \(\begin{cases} y = f(x) \\ y = g(x) \end{cases}\) revient à trouver le point d'intersection des deux droites.

  1. Graphiquement : tracer les deux droites dans le même repère, puis lire les coordonnées \((x_0\,;\,y_0)\) du point d'intersection.
  2. Avec un outil numérique : au grapheur, la commande Intersection(f, g) de GeoGebra (ou le menu d'intersection de la calculatrice) affiche le point ; au tableur, la solution se lit sur la ligne où les deux colonnes sont égales.
  3. Vérifier : calculer \(f(x_0)\) et \(g(x_0)\). Les deux doivent valoir \(y_0\).

S'il n'y a pas d'intersection (droites parallèles), le système n'a pas de solution.

Pour aller plus loin (hors programme de Seconde) : on peut aussi résoudre par le calcul, en égalant les deux expressions.

Exercice 13

On considère le système : \(\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}\)

  1. Lire graphiquement les coordonnées du point d'intersection des deux droites.
  2. Vérifier en calculant l'ordonnée des deux droites pour l'abscisse lue.
  3. Donner la solution du système.
  1. Les deux droites se croisent au point \((2\,;\,3)\).
  2. Pour \(x = 2\) : \(2 + 1 = 3\) et \(-2 + 5 = 3\). Les deux ordonnées valent 3.
  3. Solution : le couple \((2\,;\,3)\), c'est-à-dire \(x = 2\) et \(y = 3\).

Pour aller plus loin : \(x + 1 = -x + 5\) donne \(2x = 4\), donc \(x = 2\), puis \(y = 3\).

Exercice 14

Deux artisans proposent des tarifs pour la pose de parquet :
— Artisan A : \(C_A(x) = 15x + 80\)
— Artisan B : \(C_B(x) = 20x + 30\)
où \(x\) est la surface en m² et le coût est en euros.

  1. Lire sur le graphique la surface pour laquelle les deux artisans pratiquent le même tarif, puis vérifier par le calcul des deux coûts.
  2. Quel artisan est moins cher pour une surface de 5 m² ? Pour 15 m² ?
  1. Les deux droites se coupent pour \(x = 10\) m², vers 230 €.
    Vérification : \(C_A(10) = 15 \times 10 + 80 = 230\) € et \(C_B(10) = 20 \times 10 + 30 = 230\) €. La solution du système est \((10\,;\,230)\).
  2. Pour 5 m² : \(C_A(5) = 155\) € ; \(C_B(5) = 130\) € → Artisan B moins cher.
    Pour 15 m² : \(C_A(15) = 305\) € ; \(C_B(15) = 330\) € → Artisan A moins cher.

Pour aller plus loin : \(15x + 80 = 20x + 30\) donne \(50 = 5x\), donc \(x = 10\).

Exercice 14b

Un chauffagiste compare deux systèmes de chauffage :
— Système électrique : 800 € d'installation, puis 120 € de fonctionnement par an. Le coût total après \(t\) années est \(E(t) = 800 + 120t\) € (t en années)
— Pompe à chaleur : 3 200 € d'installation, puis 40 € de fonctionnement par an, soit un coût total \(P(t) = 3\,200 + 40t\) €

  1. Au tableur, on écrit les années en colonne A. Quelles formules écrire en B2 pour \(E\) et en C2 pour \(P\) ?
  2. Calculer le coût total de chaque système après 5 ans, 10 ans, 20 ans et 30 ans.
  3. À l'aide de ce tableau, dire au bout de combien d'années les deux systèmes reviennent au même prix. Donner la solution du système \(y = E(t)\), \(y = P(t)\).
  4. Quel système est le moins cher à long terme ? Justifier.
  1. =800+120*A2 en B2 et =3200+40*A2 en C2, puis on recopie vers le bas.
  2. \(t\) (années)5102030
    \(E(t)\)1 400 €2 000 €3 200 €4 400 €
    \(P(t)\)3 400 €3 600 €4 000 €4 400 €
  3. Pour \(t = 30\), les deux coûts valent 4 400 € : les systèmes reviennent au même prix au bout de 30 ans. La solution du système est \((30\,;\,4\,400)\).
  4. Avant 30 ans : l'électrique est moins cher. Après 30 ans : la pompe à chaleur est moins chère (a = 40 < 120, son coût augmente moins vite).

Pour aller plus loin : \(800 + 120t = 3\,200 + 40t\) donne \(80t = 2\,400\), donc \(t = 30\).

C7 — Résoudre une équation \(f(x) = c\)

Rappel de cours — Résoudre \(f(x) = c\)

\(ax + b = c\) : on isole le terme en \(x\) (\(ax = c - b\)), on divise par \(a\), puis on vérifie en recalculant l'image de la valeur trouvée.

Le zéro de \(f\) est le cas \(c = 0\). Graphiquement, la solution est l'abscisse du point où la droite coupe l'horizontale \(y = c\).

Exercice 15

Un artisan facture \(f(h) = 50h + 80\) € pour \(h\) heures de travail.

  1. Résoudre \(f(h) = 330\). Interpréter.
  2. Résoudre \(f(h) = 80\). Interpréter.
  3. Résoudre \(f(h) = 500\). Donner la durée en heures et minutes.
  1. \(50h + 80 = 330 \Rightarrow 50h = 250 \Rightarrow h = 5\). Pour 5 heures, le coût est 330 €.
  2. \(50h + 80 = 80 \Rightarrow 50h = 0 \Rightarrow h = 0\). Sans travail, le coût est le forfait (80 €).
  3. \(50h + 80 = 500 \Rightarrow 50h = 420 \Rightarrow h = 8{,}4\). Or \(0{,}4\) h \(= 0{,}4 \times 60 = 24\) min : la facture atteint 500 € pour 8 h 24 de travail.

Exercice 15b

  1. Soit \(f(x) = 5x - 20\). Résoudre \(f(x) = 15\), puis vérifier.
  2. Déterminer le zéro de \(g(x) = -4x + 12\), c'est-à-dire la solution de \(g(x) = 0\).
  1. \(5x - 20 = 15 \Rightarrow 5x = 35 \Rightarrow x = 7\). Vérification : \(f(7) = 35 - 20 = 15\).
  2. \(-4x + 12 = 0 \Rightarrow -4x = -12 \Rightarrow x = 3\). La droite de \(g\) coupe l'axe des abscisses en \((3\,;\,0)\).

C8 — Déterminer graphiquement le coefficient directeur et l'interpréter comme un taux d'accroissement (pente)

Rappel de cours — Taux d'accroissement

Pour deux points \(A(x_1\,;\,y_1)\) et \(B(x_2\,;\,y_2)\) de la droite : \(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\). C'est de combien \(f(x)\) varie quand \(x\) augmente de 1. Il vaut toujours \(a\), quels que soient les deux points.

Sur un graphique, on lit la variation de \(x\) (vers la droite) puis la variation de \(y\) (vers le haut ou le bas). Une pente de 50 m par kilomètre vaut \(\dfrac{50}{1\,000} = 5\) %.

Exercice 16

Le coefficient directeur d'une droite passant par \(A(1\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,9)\) est-il un taux d'accroissement ? Calculer ce taux et interpréter.

\(a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2\)
Oui, le coefficient directeur est le taux d'accroissement : quand \(x\) augmente de 1, \(y\) augmente de 2. C'est la pente de la droite.

Exercice 16b

La droite ci-dessous passe par les points \(P(0\,;\,5)\) et \(Q(4\,;\,3)\).

  1. De \(P\) à \(Q\), de combien avance-t-on vers la droite ? De combien descend-on ?
  2. En déduire le coefficient directeur de la droite.
  1. On avance de 4 et on descend de 2.
  2. \(a = \dfrac{-2}{4} = -0{,}5\). La droite descend de 0,5 quand \(x\) augmente de 1 : \(a\) est négatif.

Exercice 16c

Sur un relevé topographique, une route gagne 60 m d'altitude sur 1,2 km.

  1. Calculer le coefficient directeur de son profil en long, en mètres par kilomètre.
  2. Exprimer la pente de la route en pourcentage.
  1. \(a = \dfrac{60}{1{,}2} = 50\) m par kilomètre.
  2. 50 m gagnés pour 1 000 m parcourus : \(\dfrac{50}{1\,000} = 0{,}05\), soit une pente de 5 %.

C9 — Résoudre une inéquation \(f(x) < c\)

Rappel de cours — Résoudre \(f(x) < c\)

\(ax + b < c\) : même méthode que l'équation, mais on change le sens de l'inégalité si l'on divise par un nombre négatif. On conclut par une phrase.

Graphiquement : \(f(x) < c\) là où la droite passe sous l'horizontale \(y = c\). La réponse se lit sur l'axe des abscisses.

Exercice 17

Un artisan facture \(f(h) = 50h + 80\) € pour \(h\) heures de travail. Résoudre \(f(h) > 500\). À partir de quelle durée le coût dépasse-t-il 500 € ?

\(50h + 80 > 500 \Rightarrow 50h > 420 \Rightarrow h > 8{,}4\). Le coefficient 50 est positif : le sens ne change pas. Le coût dépasse 500 € au-delà de 8 h 24 de travail.

Exercice 17b

Une cuve se vide selon \(V(t) = 200 - 15t\), en litres, \(t\) étant le nombre de minutes.

  1. Résoudre \(V(t) < 50\). Attention au sens de l'inégalité.
  2. Vérifier avec \(t = 12\).
  1. \(200 - 15t < 50 \Rightarrow -15t < -150\). On divise par \(-15\), qui est négatif : le sens change, et \(t > 10\). Il reste moins de 50 L au-delà de 10 minutes.
  2. \(V(12) = 200 - 180 = 20\), qui est bien inférieur à 50.

Exercice 17c

Le graphique représente le montant \(m(h) = 40h + 60\) facturé pour \(h\) heures, et l'horizontale \(y = 300\).

  1. Lire l'abscisse du point d'intersection des deux droites.
  2. Lire l'ensemble des durées pour lesquelles le montant reste inférieur à 300 €.
  3. Vérifier par le calcul, en résolvant \(40h + 60 < 300\).
  1. Les deux droites se coupent pour \(h = 6\).
  2. À gauche de 6, la droite est sous l'horizontale : le montant reste inférieur à 300 € pour \(h < 6\) heures.
  3. \(40h + 60 < 300 \Rightarrow 40h < 240 \Rightarrow h < 6\). Le coefficient 40 est positif : le sens ne change pas.

C10 — Reconnaître des droites parallèles

Rappel de cours — Droites parallèles

Deux droites \(y = a_1x + b_1\) et \(y = a_2x + b_2\) sont parallèles si \(a_1 = a_2\) (même coefficient directeur). Si de plus \(b_1 = b_2\), elles sont confondues.

Exercice 18

Parmi les droites suivantes, identifier celles qui sont parallèles. Justifier.

  1. \(d_1 : y = 3x + 1\)
  2. \(d_2 : y = -2x + 5\)
  3. \(d_3 : y = 3x - 4\)
  4. \(d_4 : y = 3x\)
Les droites \(d_1\), \(d_3\) et \(d_4\) ont le même coefficient directeur \(a = 3\) : elles sont parallèles entre elles. Leurs ordonnées à l'origine (1, −4 et 0) sont différentes : elles ne sont pas confondues.
\(d_2\) a \(a = -2\), donc elle n'est parallèle à aucune des autres.

Exercice 18b

Une route et sa voie de service ont pour profils en long \(R(d) = 60d + 200\) et \(S(d) = 60d + 170\), où \(d\) est la distance en kilomètres et l'altitude est en mètres.

  1. Les deux profils sont-ils parallèles ? Justifier.
  2. Les deux voies se rejoignent-elles si on les prolonge ? Justifier.
  1. Oui : même coefficient directeur, 60 m par kilomètre. Les deux voies ont la même pente.
  2. Non : les ordonnées à l'origine, 200 et 170, sont différentes. Les droites sont parallèles et distinctes, elles ne se coupent jamais : l'écart d'altitude reste de 30 m.