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Chapitre 9 – Exercices par capacités

Fonction affine  |  Seconde Bac Pro MAMA  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 7 mai 2026, fix structure C5/C6

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Identifier les paramètres \(a\) et \(b\)

Rappel de cours — Fonction affine

Une fonction affine est définie par \(f(x) = ax + b\), où :

  • \(a\) est le coefficient directeur (pente de la droite)
  • \(b\) est l'ordonnée à l'origine (valeur de \(f\) en \(x = 0\))

Cas particuliers : si \(a = 0\), c'est une fonction constante ; si \(b = 0\), c'est une fonction linéaire.

Exercice 1

Pour chaque fonction, identifier \(a\) (coefficient directeur) et \(b\) (ordonnée à l'origine) :

  1. \(f(x) = 3x + 5\)
  2. \(g(x) = -2x + 7\)
  3. \(h(x) = 4x\)
  4. \(k(x) = -6\)
  5. \(m(x) = 0{,}5x - 3\)
  1. \(a = 3\), \(b = 5\)
  2. \(a = -2\), \(b = 7\)
  3. \(a = 4\), \(b = 0\) → fonction linéaire (cas particulier)
  4. \(a = 0\), \(b = -6\) → fonction constante (cas particulier)
  5. \(a = 0{,}5\), \(b = -3\)

Exercice 2

Un menuisier facture ses interventions selon la formule \(C(h) = 45h + 60\) €.

  1. Identifier \(a\) et \(b\) et expliquer leur signification concrète.
  2. Calculer \(C(0)\) et interpréter le résultat.
  1. \(a = 45\) : taux horaire de 45 €/h. \(b = 60\) : forfait fixe (déplacement) de 60 €.
  2. \(C(0) = 60\) € : même sans travailler, le déplacement coûte 60 €. C'est l'ordonnée à l'origine.

Exercice 2b

Pour chaque situation, indiquer s'il s'agit d'une fonction affine. Si oui, donner \(a\) et \(b\).

  1. Le prix d'un trajet en taxi : 3,50 € du km + 5 € de prise en charge.
  2. L'aire d'un carré de côté \(c\) : \(A = c^2\).
  3. La température qui baisse de 2 °C par heure à partir de 18 °C.
  1. Oui : \(P(d) = 3{,}5d + 5\) → \(a = 3{,}5\), \(b = 5\).
  2. Non : \(A = c^2\) est une fonction carré (degré 2), pas affine.
  3. Oui : \(T(h) = -2h + 18\) → \(a = -2\), \(b = 18\).

C2 — Calculer des images et construire un tableau de valeurs

Rappel de cours — Calculer une image

Pour calculer \(f(x_0)\), on remplace \(x\) par la valeur \(x_0\) dans l'expression de la fonction.

Exemple : pour \(f(x) = 3x - 1\), calculer \(f(4)\) : \(f(4) = 3 \times 4 - 1 = 12 - 1 = 11\).

Le tableau de valeurs liste plusieurs couples \((x\,;\,f(x))\) pour différentes valeurs de \(x\).

Exercice 3

Soit \(f(x) = -x + 4\). Calculer \(f(-2)\), \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(3)\), \(f(5)\).

\(f(-2) = -(-2) + 4 = 6\)
\(f(0) = 0 + 4 = 4\)
\(f(1) = -1 + 4 = 3\)
\(f(3) = -3 + 4 = 1\)
\(f(5) = -5 + 4 = -1\)

Exercice 4

Construire le tableau de valeurs de \(g(x) = 2x - 3\) pour \(x \in \{-1, 0, 1, 2, 3, 4\}\).

\(x\)−101234
\(g(x)\)−5−3−1135
Calcul : \(g(-1) = 2\times(-1) - 3 = -5\) ; \(g(4) = 8 - 3 = 5\).

Exercice 5

Le coût de fabrication d'une étagère est modélisé par \(C(n) = 12n + 80\) €, où \(n\) est le nombre d'étagères. Calculer le coût pour 0, 5, 10 et 15 étagères.

\(C(0) = 80\) € (coût fixe : outillage, réglages)
\(C(5) = 60 + 80 = 140\) €
\(C(10) = 120 + 80 = 200\) €
\(C(15) = 180 + 80 = 260\) €

C3 — Tracer la droite représentative

Rappel de cours — Tracer une droite affine

La représentation graphique de \(f(x) = ax + b\) est une droite. Pour la tracer :

  1. Calculer deux points : le plus simple est de prendre \(x = 0\) (donne le point \((0\,;\,b)\)) et une autre valeur de \(x\).
  2. Placer les deux points dans le repère et tracer la droite à la règle.
  3. Vérifier avec un troisième point.
x y 1 2 3 4 1 2 3 4 O (0 ; 1) (1 ; 3) f(x) = 2x+1
Droite représentative de \(f(x) = 2x + 1\) (a = 2 > 0 : droite croissante, b = 1 : ordonnée à l'origine)

Exercice 6

Pour tracer la droite de \(f(x) = 2x + 1\), calculer deux points caractéristiques et tracer la droite dans le repère ci-dessous.

x y O 1 2 3 4 1 2 3 4 5
Repère vierge — placer les points et tracer la droite
On choisit deux valeurs de \(x\) faciles :
\(f(0) = 1\) → point \(A(0\,;\,1)\) (ordonnée à l'origine)
\(f(2) = 5\) → point \(B(2\,;\,5)\)
On place \(A\) et \(B\) dans le repère, puis on trace la droite.
Vérification : \(f(1) = 3\) → point \(C(1\,;\,3)\) doit être sur la droite.

Exercice 7

Deux droites ont pour équations \(y = x + 2\) et \(y = x - 3\). Sans tracer, dire si elles sont parallèles. Justifier.

Les deux fonctions ont le même coefficient directeur \(a = 1\) mais des ordonnées à l'origine différentes (\(b = 2\) et \(b = -3\)).
→ Les droites sont parallèles (même pente, positions différentes).

Exercice 7b

Tracer la droite de \(g(x) = -x + 4\) dans le repère ci-dessous.

x y O 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Repère vierge — tracer g(x) = −x + 4
Deux points : \(g(0) = 4\) → \(A(0\,;\,4)\) et \(g(4) = 0\) → \(B(4\,;\,0)\).
La droite est décroissante (a = −1 < 0), elle passe par (0;4) et (4;0).

C4 — Déterminer le sens de variation selon le signe de \(a\)

Rappel de cours — Sens de variation
  • Si \(a > 0\) : \(f\) est croissante (la droite monte de gauche à droite).
  • Si \(a < 0\) : \(f\) est décroissante (la droite descend de gauche à droite).
  • Si \(a = 0\) : \(f\) est constante (droite horizontale).

Le signe de \(a\) seul suffit pour conclure — pas besoin de calculer des valeurs.

a > 0 croissante a < 0 décroissante a = 0 constante
Les trois cas de variation d'une fonction affine selon le signe de \(a\)

Exercice 8

Sans calculer, dire si chaque fonction est croissante ou décroissante :

  1. \(f(x) = 5x + 2\)
  2. \(g(x) = -3x + 8\)
  3. \(h(x) = 0{,}1x - 7\)
  4. \(k(x) = -0{,}5x\)
  5. \(m(x) = 4\)
  1. \(a = 5 > 0\) → croissante
  2. \(a = -3 < 0\) → décroissante
  3. \(a = 0{,}1 > 0\) → croissante
  4. \(a = -0{,}5 < 0\) → décroissante
  5. \(a = 0\) → constante (ni croissante ni décroissante)

Exercice 9

Un agenceur vend des placards. Son bénéfice diminue de 15 € par placard vendu en dessous du prix cible (à cause des remises). Le bénéfice de base est 500 €. Modéliser par une fonction affine et préciser son sens de variation.

\(B(x) = -15x + 500\) où \(x\) est le nombre de remises accordées.
\(a = -15 < 0\) → la fonction est décroissante : plus on accorde de remises, moins le bénéfice est élevé.

Exercice 9b

La température d'un atelier évolue selon \(T(t) = -1{,}5t + 22\) (en °C), où \(t\) est le temps en heures après 8h du matin.

  1. La température augmente-t-elle ou diminue-t-elle ? Justifier par le signe de \(a\).
  2. De combien de degrés baisse-t-elle chaque heure ?
  3. Quelle est la température à 8h ? À 12h (\(t = 4\)) ?
  1. \(a = -1{,}5 < 0\) → la température diminue (fonction décroissante).
  2. Elle baisse de 1,5 °C par heure (c'est la valeur absolue de \(a\)).
  3. \(T(0) = 22\) °C à 8h. \(T(4) = -1{,}5 \times 4 + 22 = -6 + 22 = 16\) °C à 12h.

C5 — Déterminer l'expression d'une fonction affine à partir de deux points

Rappel de cours — Trouver \(a\) et \(b\) à partir de deux points

Si la droite passe par les points \((x_1\,;\,y_1)\) et \((x_2\,;\,y_2)\), alors :

\(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)

Puis on trouve \(b\) en substituant un des points : \(b = y_1 - a \times x_1\).

Cas particulier : si l'un des points est \((0\,;\,b_0)\), alors \(b = b_0\) directement.

x y O 1 2 3 4 1 2 3 4 b = 1 +2 +2 a = +2 / +2 = 1 , b = 1 donc f(x) = x + 1 f(x) = x + 1
Lire \(a\) (pente) et \(b\) (ordonnee a l'origine) sur le graphique d'une fonction affine

Exercice 10

Trouver la fonction affine \(f(x) = ax + b\) sachant que :

  1. \(f(0) = 3\) et \(f(2) = 9\)
  2. \(f(1) = 5\) et \(f(3) = 11\)
  1. \(a = \dfrac{9 - 3}{2 - 0} = 3\)
    \(f(0) = 3\) → \(b = 3\)
    \(f(x) = 3x + 3\)
  2. \(a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = 3\)
    \(f(1) = 5\) → \(3 \times 1 + b = 5 \Rightarrow b = 2\)
    \(f(x) = 3x + 2\)

Exercice 11

Un artisan mesure que sa machine consomme 3 kWh pour 0 pièce (veille) et 11 kWh pour 4 pièces produites. Trouver la fonction affine modélisant la consommation en fonction du nombre de pièces.

Points : \((0\,;\,3)\) et \((4\,;\,11)\)
\(a = \dfrac{11 - 3}{4 - 0} = 2\)
\(b = 3\) (valeur en \(x = 0\))
\(C(n) = 2n + 3\) kWh
Interprétation : 2 kWh par pièce produite + 3 kWh de veille.

Exercice 12

Une droite passe par les points \(A(2\,;\,1)\) et \(B(5\,;\,7)\). Déterminer son équation \(y = ax + b\).

\(a = \dfrac{7 - 1}{5 - 2} = \dfrac{6}{3} = 2\)
Avec \(A(2\,;\,1)\) : \(1 = 2 \times 2 + b \Rightarrow b = 1 - 4 = -3\)
\(y = 2x - 3\)
Vérification avec \(B\) : \(2 \times 5 - 3 = 7\) ✔

C6 — Résoudre graphiquement un système de deux équations

Rappel de cours — Résolution graphique d'un système

Résoudre le système \(\begin{cases} y = f(x) \\ y = g(x) \end{cases}\) graphiquement revient à trouver le point d'intersection des deux droites.

  1. Tracer les deux droites dans le même repère.
  2. Lire les coordonnées \((x_0\,;\,y_0)\) du point d'intersection.
  3. Vérifier algébriquement que \(f(x_0) = g(x_0)\).

S'il n'y a pas d'intersection (droites parallèles), le système n'a pas de solution.

Exercice 13

On considère le système : \(\begin{cases} y = x + 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}\)

x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 O y = x + 1 y = −x + 5
  1. Calculer quelques valeurs de chaque fonction pour les tracer.
  2. Trouver graphiquement le point d'intersection.
  3. Vérifier algébriquement en résolvant \(x + 1 = -x + 5\).
Valeurs de \(y = x + 1\) : \((0\,;\,1)\), \((1\,;\,2)\), \((2\,;\,3)\), \((3\,;\,4)\)
Valeurs de \(y = -x + 5\) : \((0\,;\,5)\), \((1\,;\,4)\), \((2\,;\,3)\), \((3\,;\,2)\)
Les deux courbes se croisent en \((2\,;\,3)\).

Vérification : \(x + 1 = -x + 5 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2\), puis \(y = 3\). ✔
Solution : \(x = 2\) et \(y = 3\).

Exercice 14

Deux artisans proposent des tarifs pour la pose de parquet :
— Artisan A : \(C_A(x) = 15x + 80\)
— Artisan B : \(C_B(x) = 20x + 30\)
où \(x\) est la surface en m².

x (m²) eur 0 5 10 15 50 100 150 200 250 300 Artisan A : 15x + 80 Artisan B : 20x + 30
Tarifs des artisans A et B en fonction de la surface
  1. Pour quelle surface les deux artisans pratiquent-ils le même tarif ?
  2. Quel artisan est moins cher pour une surface de 5 m² ? Pour 15 m² ?
  1. \(15x + 80 = 20x + 30 \Rightarrow 50 = 5x \Rightarrow x = 10\) m²
    Pour 10 m², les deux artisans coûtent \(15 \times 10 + 80 = 230\) €.
  2. Pour 5 m² : \(C_A(5) = 155\) € ; \(C_B(5) = 130\) € → Artisan B moins cher.
    Pour 15 m² : \(C_A(15) = 305\) € ; \(C_B(15) = 330\) € → Artisan A moins cher.

Exercice 14b

Un chauffagiste compare deux systèmes de chauffage :
— Système électrique : coût annuel \(E(t) = 800 + 120t\) € (t en années)
— Pompe à chaleur : coût annuel \(P(t) = 3\,200 + 40t\) €

  1. Calculer le coût total de chaque système après 5 ans, 10 ans, 20 ans et 30 ans.
  2. Résoudre algébriquement \(E(t) = P(t)\) pour trouver au bout de combien d'années les deux systèmes reviennent au même prix.
  3. Quel système est le moins cher à long terme ? Justifier.
  1. \(t\) (années)5102030
    \(E(t)\)1 400 €2 000 €3 200 €4 400 €
    \(P(t)\)3 400 €3 600 €4 000 €4 400 €
  2. \(800 + 120t = 3\,200 + 40t \Rightarrow 80t = 2\,400 \Rightarrow t = 30\) ans.
  3. Avant 30 ans : l'électrique est moins cher. Après 30 ans : la pompe à chaleur est moins chère (a = 40 < 120, elle augmente moins vite).

C7 — Reconnaître des droites parallèles ; résoudre \(f(x) = c\)

À retenir

Deux droites \(y = a_1x + b_1\) et \(y = a_2x + b_2\) sont parallèles si et seulement si \(a_1 = a_2\) (même coefficient directeur, ordonnées à l'origine différentes).
Résoudre \(f(x) = c\) avec \(f\) affine : \(ax + b = c \Rightarrow x = \frac{c - b}{a}\). Graphiquement : abscisse de l'intersection de la droite avec la droite horizontale \(y = c\).

Exercice 15

Parmi les droites suivantes, identifier celles qui sont parallèles. Justifier.

  1. \(d_1 : y = 3x + 1\)
  2. \(d_2 : y = -2x + 5\)
  3. \(d_3 : y = 3x - 4\)
  4. \(d_4 : y = 3x\)
Les droites ont le même coefficient directeur \(a = 3\) :
\(d_1\), \(d_3\) et \(d_4\) sont parallèles entre elles (même pente, ordonnées à l'origine différentes).
\(d_2\) a \(a = -2\), donc elle n'est parallèle à aucune des autres.

Exercice 16

Un artisan facture \(f(h) = 50h + 80\) € pour \(h\) heures de travail.

  1. Résoudre \(f(h) = 330\). Interpréter.
  2. Résoudre \(f(h) = 80\). Interpréter.
  3. Résoudre \(f(h) > 500\). Pour quelle durée le coût dépasse-t-il 500 € ?
  1. \(50h + 80 = 330 \Rightarrow 50h = 250 \Rightarrow h = 5\). Pour 5 heures, le coût est 330 €.
  2. \(50h + 80 = 80 \Rightarrow 50h = 0 \Rightarrow h = 0\). Sans travail, le coût est le forfait (80 €).
  3. \(50h + 80 > 500 \Rightarrow 50h > 420 \Rightarrow h > 8{,}4\). Le coût dépasse 500 € à partir de 8h24 de travail.

Exercice 17

Le coefficient directeur d'une droite passant par \(A(1\,;\,3)\) et \(B(4\,;\,9)\) est-il un taux d'accroissement ? Calculer ce taux et interpréter.

\(a = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2\)
Oui, le coefficient directeur est le taux d'accroissement : quand \(x\) augmente de 1, \(y\) augmente de 2. C'est la pente de la droite.