Devoir Surveillé – Chapitre 9

Fonction affine | 2^de Pro MA-MA

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Reconnaître une fonction affine f(x) = ax + b
Déterminer le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine
Représenter graphiquement une fonction affine
Déterminer le sens de variation d'une fonction affine

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Socle

Partie A – Connaissances (Socle) 4 points

Les formules utiles sont rappelées. Compléter les cases.

Rappels : Fonction affine \(f(x) = ax + b\) | \(a\) = coefficient directeur | \(b\) = ordonnée à l'origine
Si \(a > 0\) → croissante | Si \(a < 0\) → décroissante | Si \(a = 0\) → constante

1. (1 pt) Parmi les fonctions suivantes, entourer les fonctions affines (de la forme \(ax + b\)) :

a) \(f(x) = 3x + 5\) b) \(g(x) = x^2 - 1\) c) \(h(x) = -2x\) d) \(k(x) = \dfrac{4}{x} + 3\) e) \(m(x) = 7\)

Les fonctions affines sont : ………………………………

2. (1,5 pt) Compléter le tableau pour les fonctions affines identifiées :

Fonction	Coefficient directeur \(a\)	Ordonnée à l'origine \(b\)
\(f(x) = 3x + 5\)	…	…
\(h(x) = -2x\)	…	…
\(m(x) = 7\)	…	…

3. (1,5 pt) Compléter le tableau (utiliser les rappels ci-dessus) :

Fonction	Valeur de \(a\)	Signe de \(a\)	Sens de variation
\(f(x) = 3x + 5\)	3	\(+\)	…
\(h(x) = -2x\)	−2	\(-\)	…
\(m(x) = 7\)	0	0	…

1. Fonctions affines : a), c), e) (b) contient \(x^2\), d) contient \(\frac{1}{x}\))

Fonction	\(a\)	\(b\)
\(f(x) = 3x + 5\)	3	5
\(h(x) = -2x\)	−2	0
\(m(x) = 7\)	0	7

3. \(f\) : croissante | \(h\) : décroissante | \(m\) : constante

Partie B – Tableaux et graphique (Socle) 6 points

On considère les fonctions affines \(f(x) = 2x - 1\) et \(g(x) = -x + 5\).

Rappel calcul d'image : Pour calculer \(f(2)\), remplacer \(x\) par 2 : \(f(2) = 2 \times 2 - 1 = 3\).

1. (2 pts) Compléter les tableaux (le premier exemple est fait) :

Tableau de \(f(x) = 2x - 1\) :

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
Calcul	\(2 \times (-1) - 1 = -3\)	\(2 \times 0 - 1 =\) …	…	…	…
\(f(x)\)	−3	…	…	…	…

Tableau de \(g(x) = -x + 5\) :

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
Calcul	\(-(-1) + 5 = 6\)	…	…	…	…
\(g(x)\)	6	…	…	…	…

2. (2 pts) Dans un repère, tracer les droites représentant \(f\) et \(g\) (placer au moins 2 points par droite).

3. (1 pt) Observer le tableau : pour quelle valeur de \(x\) a-t-on \(f(x) = g(x)\) ? Le point d'intersection est : \((\)… ; …\()\)

4. (1 pt) Vérifier par le calcul : résoudre \(2x - 1 = -x + 5\) :

\(2x - 1 = -x + 5\)
\(2x + x = 5 + \)… → \(3x = \)… → \(x = \)…

\(f(x) = 2x - 1\) :

\(x\)	−1	0	1	2	3
\(f(x)\)	−3	−1	1	3	5

\(g(x) = -x + 5\) :

\(x\)	−1	0	1	2	3
\(g(x)\)	6	5	4	3	2

3. Pour \(x = 2\), \(f(2) = g(2) = 3\). Intersection : (2 ; 3).

4. \(3x = 6 \Rightarrow x = 2\). Puis \(f(2) = 3\). Point d'intersection : \((2\,;\,3)\). ✔

Partie C – Trouver l'expression (Socle) 5 points

Rappel : Pour trouver \(f(x) = ax + b\) à partir de deux points :
• Calcul de \(a\) : \(a = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
• Calcul de \(b\) : remplacer \(a\) et un point dans \(y = ax + b\)

1. (2 pts) Déterminer l'expression de la fonction affine \(f\) sachant que \(f(2) = 7\) et \(f(5) = 13\).

Étape 1 : Calculer \(a\) :
\(a = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{13 - 7}{\ldots} = \dfrac{6}{\ldots} = \)…

Étape 2 : Calculer \(b\) (utiliser \(f(2) = 7\) et \(a = 2\)) :
\(7 = 2 \times 2 + b\) → \(7 = 4 + b\) → \(b = \)…

Étape 3 : Écrire \(f(x) = \)………

2. (1 pt) Tracer la droite \(f\) dans un repère en plaçant deux points.

3. (2 pts) On considère \(p(x) = 2x - 3\). Comparer les coefficients directeurs de \(f\) et \(p\). Les droites sont-elles parallèles ?

Coefficient directeur de \(f\) : \(a_f = \)… | Coefficient directeur de \(p\) : \(a_p = \)…
Sont-ils égaux ? … → Les droites sont-elles parallèles ? …

1. \(a = \dfrac{6}{3} = 2\) | \(b = 7 - 4 = 3\) | \(\mathbf{f(x) = 2x + 3}\)

Vérification : \(f(5) = 2 \times 5 + 3 = 13\) ✔

3. \(a_f = 2\) et \(a_p = 2\). Les coefficients directeurs sont égaux → droites parallèles.

Partie D – Problème contextualisé (Socle) 5 points

Un menuisier facture ses prestations selon la formule \(f(x) = 45x + 80\), où \(x\) est le nombre d'heures et \(f(x)\) le montant en euros.

1. (1 pt) Compléter :

Tarif horaire : 45 signifie que chaque heure coûte ……… €
Forfait fixe : 80 signifie qu'on paie toujours ……… € même sans travailler

2. (1 pt) Calculer le coût pour 3 heures et 6 heures :

\(f(3) = 45 \times \)… \(+ 80 = \)… \(+ 80 = \)… €
\(f(6) = 45 \times \)… \(+ 80 = \)… €

3. (1,5 pt) Un client a un budget de 350 €. Résoudre (calcul amorcé) :

\(45x + 80 = 350\)
\(45x = 350 - 80 = \)…
\(x = \dfrac{\ldots}{45} = \)… heures

4. (1,5 pt) Un concurrent propose \(g(x) = 55x + 30\). Résoudre \(f(x) = g(x)\) (calcul amorcé) :

\(45x + 80 = 55x + 30\)
\(80 - 30 = 55x - 45x\)
\(\)… \(= \)… \(x\)
\(x = \)…

1. Tarif horaire : 45 €/h | Forfait fixe : 80 €

2. \(f(3) = 135 + 80 = \mathbf{215\,€}\) | \(f(6) = 270 + 80 = \mathbf{350\,€}\)

3. \(45x = 270 \Rightarrow x = 6\) heures

4. \(50 = 10x \Rightarrow x = 5\). Égalité pour 5 heures. Au-delà, \(f\) est moins chère.

TOTAL SOCLE : 20 points

Standard

Partie A – Connaissances 4 points

Barème détaillé indiqué par question.

1. (1 pt) Parmi les fonctions suivantes, indiquer lesquelles sont des fonctions affines :

a) \(f(x) = 3x + 5\) b) \(g(x) = x^2 - 1\) c) \(h(x) = -2x\) d) \(k(x) = \dfrac{4}{x} + 3\) e) \(m(x) = 7\)

2. (1,5 pt) Pour chaque fonction affine identifiée à la question 1, donner le coefficient directeur \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\).

3. (1,5 pt) Pour chaque fonction affine identifiée, indiquer si elle est croissante ou décroissante. Justifier.

1. Les fonctions affines sont de la forme \(f(x) = ax + b\).

a) \(f(x) = 3x + 5\) : oui (affine, \(a = 3\), \(b = 5\))
b) \(g(x) = x^2 - 1\) : non (présence de \(x^2\))
c) \(h(x) = -2x\) : oui (linéaire, cas particulier d'affine avec \(a = -2\), \(b = 0\))
d) \(k(x) = \dfrac{4}{x} + 3\) : non (présence de \(\dfrac{1}{x}\))
e) \(m(x) = 7\) : oui (constante, cas particulier d'affine avec \(a = 0\), \(b = 7\))

\(f(x) = 3x + 5\) : \(a = 3\), \(b = 5\)
\(h(x) = -2x\) : \(a = -2\), \(b = 0\)
\(m(x) = 7\) : \(a = 0\), \(b = 7\)

3. La fonction affine est croissante si \(a > 0\) et décroissante si \(a < 0\).

\(f\) : \(a = 3 > 0\) donc \(f\) est croissante.
\(h\) : \(a = -2 < 0\) donc \(h\) est décroissante.
\(m\) : \(a = 0\) donc \(m\) est constante (ni croissante, ni décroissante).

Partie B – Représentation graphique 6 points

On considère les fonctions affines \(f(x) = 2x - 1\) et \(g(x) = -x + 5\).

1. (2 pts) Compléter les tableaux de valeurs suivants :

Tableau de \(f\) :

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)\)

Tableau de \(g\) :

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(g(x)\)

2. (2 pts) Dans un repère, tracer les droites représentant \(f\) et \(g\).

3. (1 pt) Lire graphiquement les coordonnées du point d'intersection des deux droites.

4. (1 pt) Vérifier ce résultat par le calcul en résolvant \(f(x) = g(x)\).

1. Tableaux de valeurs :

\(f(x) = 2x - 1\) :

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(f(x)\)	\(-3\)	\(-1\)	\(1\)	\(3\)	\(5\)

\(g(x) = -x + 5\) :

\(x\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(g(x)\)	\(6\)	\(5\)	\(4\)	\(3\)	\(2\)

2. On place les points et on trace les droites. \(f\) est croissante (pente positive), \(g\) est décroissante (pente négative).

3. Graphiquement, les deux droites se coupent au point \((2\,;\,3)\).

4. On résout \(f(x) = g(x)\) :

\[2x - 1 = -x + 5\]

\[2x + x = 5 + 1\]

\[3x = 6\]

\[x = 2\]

Puis \(f(2) = 2 \times 2 - 1 = 3\).

Le point d'intersection est bien \((2\,;\,3)\). ✓

Partie C – Détermination d'expression 5 points

1. (2 pts) Déterminer l'expression de la fonction affine \(f\) sachant que \(f(2) = 7\) et \(f(5) = 13\).

2. (1 pt) Tracer la droite représentant \(f\) dans un repère.

3. (2 pts) On considère la fonction \(p(x) = 2x - 3\). Les droites représentant \(f\) et \(p\) sont-elles parallèles ? Justifier.

1. On cherche \(f(x) = ax + b\).

On calcule le coefficient directeur :

\[a = \frac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \frac{13 - 7}{3} = \frac{6}{3} = 2\]

On détermine \(b\) en utilisant \(f(2) = 7\) :

\[7 = 2 \times 2 + b\]

\[7 = 4 + b\]

\[b = 3\]

Donc \(f(x) = 2x + 3\).

Vérification : \(f(5) = 2 \times 5 + 3 = 13\). ✓

2. On place deux points, par exemple \(A(0\,;\,3)\) et \(B(2\,;\,7)\), puis on trace la droite passant par ces points.

3. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Coefficient directeur de \(f\) : \(a_f = 2\)
Coefficient directeur de \(p\) : \(a_p = 2\)

Les coefficients directeurs sont égaux (\(a_f = a_p = 2\)), donc les droites sont parallèles.

Remarque : elles ne sont pas confondues car \(b_f = 3 \neq b_p = -3\).

Partie D – Problème contextualisé 5 points

Un menuisier facture ses prestations selon la formule \(f(x) = 45x + 80\), où \(x\) représente le nombre d'heures de travail et \(f(x)\) le montant total en euros.

1. (1 pt) Calculer le coût d'une prestation de 3 heures, puis de 6 heures.

2. (1 pt) Que représentent les nombres 45 et 80 dans le contexte de ce problème ?

3. (1,5 pt) Un client dispose d'un budget de 350 €. Combien d'heures de travail peut-il demander au maximum ?

4. (1,5 pt) Un concurrent propose la formule \(g(x) = 55x + 30\). À partir de combien d'heures le premier menuisier devient-il plus avantageux ? Justifier.

\(f(3) = 45 \times 3 + 80 = 135 + 80 = 215\) €

\(f(6) = 45 \times 6 + 80 = 270 + 80 = 350\) €

\(45\) est le coefficient directeur : c'est le tarif horaire du menuisier (45 €/h).
\(80\) est l'ordonnée à l'origine : c'est le coût fixe de déplacement (80 €), facturé quelle que soit la durée de l'intervention.

3. On résout \(f(x) = 350\) :

\[45x + 80 = 350\]

\[45x = 350 - 80 = 270\]

\[x = \frac{270}{45} = 6\]

Le client peut demander au maximum 6 heures de travail.

4. On cherche quand le premier menuisier devient moins cher, c'est-à-dire quand \(f(x) < g(x)\) :

\[45x + 80 < 55x + 30\]

\[80 - 30 < 55x - 45x\]

\[50 < 10x\]

\[x > 5\]

À partir de 6 heures (première valeur entière supérieure à 5), le premier menuisier est plus avantageux.

Vérification :

Pour \(x = 5\) : \(f(5) = 305\) € et \(g(5) = 305\) € (même prix).
Pour \(x = 6\) : \(f(6) = 350\) € et \(g(6) = 360\) €. Le premier est bien moins cher. ✓

TOTAL STANDARD : 20 points

Approfondissement

Partie A – Analyse de fonctions 4 points

Justifier toutes les réponses.

1. (1 pt) Parmi les fonctions suivantes, identifier les fonctions affines et expliquer pourquoi les autres ne le sont pas :

a) \(f(x) = 3x + 5\) b) \(g(x) = x^2 - 1\) c) \(h(x) = -2x\) d) \(k(x) = \dfrac{4}{x} + 3\) e) \(m(x) = 7\)

2. (1,5 pt) Pour chaque fonction affine, donner \(a\), \(b\), et son sens de variation. Justifier le sens de variation.

3. (1,5 pt) Sans calculer, dire si les droites représentant \(f(x) = 3x + 5\) et \(p(x) = 3x - 8\) sont parallèles, sécantes ou confondues. Justifier rigoureusement. Peut-on trouver un point d'intersection ? Calculer si oui.

1. Fonctions affines : a), c), e).
b) : présence de \(x^2\) — non affine.
d) : présence de \(\frac{1}{x}\) (fonction inverse) — non affine.

\(f(x) = 3x + 5\) : \(a = 3 > 0\) → croissante
\(h(x) = -2x\) : \(a = -2 < 0\) → décroissante
\(m(x) = 7\) : \(a = 0\) → constante

3. \(f\) et \(p\) ont le même coefficient directeur \(a = 3\) mais des ordonnées à l'origine différentes (\(5 \neq -8\)). Donc les droites sont parallèles (et non confondues). Deux droites parallèles distinctes ne se croisent jamais : il n'y a pas de point d'intersection.

Partie B – Représentation et systèmes 6 points

On considère les fonctions \(f(x) = 2x - 1\) et \(g(x) = -x + 5\).

1. (1 pt) Sans tableau de valeurs, expliquer comment placer exactement deux points permettant de tracer chaque droite. Quel est l'intérêt de choisir \(x = 0\) et le zéro de la fonction ?

2. (2 pts) Tracer les deux droites dans un repère soigné (axes gradués, légende).

3. (1 pt) Résoudre algébriquement le système \(\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}\) en détaillant la démarche.

4. (1 pt) Pour quelles valeurs de \(x\) a-t-on \(f(x) > g(x)\) ? Résoudre l'inéquation et interpréter graphiquement.

5. (1 pt) La droite \(h(x) = 2x + 4\) est-elle parallèle à \(f\) ? Tracer \(h\) dans le même repère et vérifier graphiquement.

1. On peut placer l'ordonnée à l'origine (\(x=0\)) et le zéro de la fonction (\(f(x)=0\)). Pour \(f\) : \(f(0) = -1\) et \(2x-1=0 \Rightarrow x = 0{,}5\). Ces deux points suffisent pour tracer la droite avec précision.

3. \(2x - 1 = -x + 5 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2\). Puis \(y = f(2) = 3\). Solution : \((2\,;\,3)\).

4. \(f(x) > g(x) \Leftrightarrow 2x - 1 > -x + 5 \Leftrightarrow 3x > 6 \Leftrightarrow x > 2\).
Graphiquement : la droite \(f\) est au-dessus de \(g\) pour \(x > 2\).

5. \(h(x) = 2x + 4\) et \(f(x) = 2x - 1\) ont le même coefficient directeur \(a = 2\) → droites parallèles. \(b_h = 4 \neq b_f = -1\) donc elles sont distinctes.

Partie C – Détermination d'expression et analyse 5 points

1. (2 pts) Déterminer l'expression de la fonction affine \(f\) sachant que \(f(2) = 7\) et \(f(5) = 13\). Détailler toutes les étapes du calcul.

2. (1 pt) Une autre droite \(q\) passe par \(A(1\,;\,0)\) et \(B(0\,;\,4)\). Déterminer son expression. Les droites \(f\) et \(q\) sont-elles sécantes ? Si oui, calculer le point d'intersection.

3. (2 pts) On considère la famille de fonctions \(f_k(x) = kx + 3\) où \(k\) est un réel. Pour quelles valeurs de \(k\) la droite représentant \(f_k\) est-elle : a) croissante ? b) décroissante ? c) parallèle à \(f(x) = 2x + 3\) ? d) confondue avec \(f(x) = 2x + 3\) ?

1. \(a = \dfrac{13 - 7}{5 - 2} = 2\). Avec \(f(2) = 7\) : \(7 = 4 + b \Rightarrow b = 3\). Donc \(\mathbf{f(x) = 2x + 3}\).

2. \(a = \dfrac{4 - 0}{0 - 1} = -4\). Avec \(B(0\,;\,4)\) : \(b = 4\). Donc \(q(x) = -4x + 4\).
\(f(x) = q(x) \Rightarrow 2x + 3 = -4x + 4 \Rightarrow 6x = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{6}\). \(y = 2 \times \frac{1}{6} + 3 = \frac{10}{3}\). Intersection : \(\left(\frac{1}{6}\,;\,\frac{10}{3}\right)\).

3. a) \(f_k\) croissante : \(k > 0\) | b) décroissante : \(k < 0\) | c) parallèle à \(f(x) = 2x + 3\) : pour être parallèle, il faut le même coefficient directeur, donc \(k = 2\). Mais alors \(f_k(x) = 2x + 3 = f(x)\) : les deux droites sont confondues (même \(a\) et même \(b\)), pas parallèles distinctes. Aucune valeur de \(k\) ne donne une droite strictement parallèle et distincte de \(f\). | d) confondue avec \(f\) : \(k = 2\).

Partie D – Problème ouvert — Gestion d'atelier 5 points

Un atelier de menuiserie-agencement propose deux formules d'abonnement mensuel à ses clients professionnels :

Formule Confort : 80 € de forfait mensuel + 45 €/heure d'intervention
Formule Eco : 30 € de forfait mensuel + 55 €/heure d'intervention

1. (1 pt) Modéliser le coût mensuel de chaque formule par une fonction affine de \(x\) (nombre d'heures/mois). Identifier \(a\) et \(b\) pour chaque formule.

2. (1 pt) Pour combien d'heures les deux formules coûtent-elles le même prix ? Résoudre algébriquement.

3. (1 pt) Un client utilise en moyenne 7 heures par mois. Quelle formule lui conseiller ? Calculer l'économie réalisée sur un an.

4. (1 pt) Le gérant souhaite proposer une troisième formule « Premium » : 120 € de forfait et 38 €/heure. Pour quels volumes d'heures cette formule est-elle moins chère que chacune des deux formules précédentes ?

5. (1 pt) Représenter graphiquement les trois fonctions sur \([0\,;\,20]\). Identifier les zones de rentabilité de chaque formule.

1. Confort : \(C(x) = 45x + 80\) (\(a = 45\), \(b = 80\)). Eco : \(E(x) = 55x + 30\) (\(a = 55\), \(b = 30\)).

2. \(45x + 80 = 55x + 30 \Rightarrow 50 = 10x \Rightarrow x = 5\). Pour 5 heures, les deux coûtent \(C(5) = E(5) = 305\,€\).

3. \(C(7) = 315 + 80 = 395\,€\) et \(E(7) = 385 + 30 = 415\,€\). La formule Confort est moins chère de \(20\,€/\text{mois}\), soit \(240\,€\) économisés sur un an.

4. Formule Premium : \(P(x) = 38x + 120\).
\(P < C \Rightarrow 38x + 120 < 45x + 80 \Rightarrow 40 < 7x \Rightarrow x > \frac{40}{7} \approx 5{,}7\), soit \(x \geq 6\) heures.
\(P < E \Rightarrow 38x + 120 < 55x + 30 \Rightarrow 90 < 17x \Rightarrow x > \frac{90}{17} \approx 5{,}3\), soit \(x \geq 6\) heures.
La formule Premium est la moins chère à partir de 6 heures.

TOTAL APPROFONDISSEMENT : 20 points