Fonction affine | 2de Bac Pro
Dernière mise à jour : 27 juillet 2026, 21:10
Chaque niveau propose deux sujets complets et de difficulté équivalente, utilisables en rangs alternés :
Les deux sujets évaluent exactement les mêmes capacités, avec des valeurs numériques différentes.
a) \(f(x) = 4x + 3\) b) \(g(x) = x^2 - 2\) c) \(h(x) = -3x\) d) \(k(x) = \dfrac{5}{x} + 1\) e) \(m(x) = 6\)
Les fonctions affines sont :
| Fonction | Coefficient directeur \(a\) | Ordonnée à l'origine \(b\) |
|---|---|---|
| \(f(x) = 4x + 3\) | … | … |
| \(h(x) = -3x\) | … | … |
| \(m(x) = 6\) | … | … |
| Fonction | Valeur de \(a\) | Signe de \(a\) | Sens de variation |
|---|---|---|---|
| \(f(x) = 4x + 3\) | 4 | \(+\) | … |
| \(h(x) = -3x\) | −3 | \(-\) | … |
| \(m(x) = 6\) | 0 | 0 | … |
1. Fonctions affines : a), c), e) — b) contient \(x^2\), d) contient \(\frac{1}{x}\).
2. \(f\) : \(a = \mathbf{4}\), \(b = \mathbf{3}\) | \(h\) : \(a = \mathbf{-3}\), \(b = \mathbf{0}\) | \(m\) : \(a = \mathbf{0}\), \(b = \mathbf{6}\)
3. \(f\) : croissante | \(h\) : décroissante | \(m\) : constante
On considère les fonctions affines \(f(x) = 3x - 2\) et \(g(x) = -x + 6\).
Tableau de \(f(x) = 3x - 2\) :
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Calcul | \(3 \times (-1) - 2 = -5\) | \(3 \times 0 - 2 =\) … | … | … | … |
| \(f(x)\) | −5 | … | … | … | … |
Tableau de \(g(x) = -x + 6\) :
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Calcul | \(-(-1) + 6 = 7\) | … | … | … | … |
| \(g(x)\) | 7 | … | … | … | … |
\(3x + x = 6 + \)… → \(4x = \)… → \(x = \)…
1.
| \(x\) | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | −5 | −2 | 1 | 4 | 7 |
| \(g(x)\) | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 |
2. On place les points de chaque tableau, puis on trace les deux droites à la règle :
3. Pour \(x = 2\), \(f(2) = g(2) = 4\). Intersection : (2 ; 4).
4. \(4x = 8 \Rightarrow x = 2\), puis \(f(2) = 4\). On retrouve bien \((2\,;\,4)\). ✔
Étape 1 : \(a = \dfrac{f(6) - f(2)}{6 - 2} = \dfrac{29 - 9}{\ldots} = \dfrac{20}{\ldots} = \)…
Étape 2 : avec \(f(2) = 9\) : \(9 = a \times 2 + b\), donc \(b = 9 - 2a = \)…
Étape 3 : \(f(x) = \)………
\(a_f = \) | \(a_p = \)
Sont-ils égaux ? → Les droites sont-elles parallèles ?
1. \(a = \dfrac{20}{4} = 5\) | \(b = 9 - 10 = -1\) | \(\mathbf{f(x) = 5x - 1}\)
Vérification : \(f(6) = 30 - 1 = 29\) ✔
2. On place \(A(2\,;\,9)\) et \(B(6\,;\,29)\), puis on trace la droite :
3. \(a_f = 5\) et \(a_p = 5\) : ils sont égaux, donc les droites sont parallèles.
Une cuve de récupération d'eau de pluie se vide à débit constant. Le volume d'eau restant, en litres, après \(t\) minutes est donné par \(V(t) = 240 - 8t\).
240 est le volume d'eau (à \(t = 0\)), exprimé en .
−8 signifie que le volume de 8 litres chaque minute.
\(V(5) = 240 - 8 \times \)… \(= 240 - \)… \(= \)… L
\(V(15) = 240 - 8 \times \)… \(= \)… L
\(240 - 8t = 80\) → \(8t = 240 - 80 = \)… → \(t = \dfrac{\ldots}{8} = \)… min
\(240 - 8t = 0\) → \(8t = \)… → \(t = \)… min
1. 240 est le volume au départ, en litres. −8 signifie que le volume diminue de 8 litres par minute : c'est le débit de vidange.
2. \(V(5) = 240 - 40 = \mathbf{200}\) L | \(V(15) = 240 - 120 = \mathbf{120}\) L
3. \(8t = 160 \Rightarrow t = \mathbf{20}\) min
4. \(8t = 240 \Rightarrow t = \mathbf{30}\) min : la cuve est vide au bout de 30 minutes.
a) \(f(x) = 5x + 2\) b) \(g(x) = x^2 + 3\) c) \(h(x) = -4x\) d) \(k(x) = \dfrac{2}{x} - 1\) e) \(m(x) = 9\)
Les fonctions affines sont :
| Fonction | Coefficient directeur \(a\) | Ordonnée à l'origine \(b\) |
|---|---|---|
| \(f(x) = 5x + 2\) | … | … |
| \(h(x) = -4x\) | … | … |
| \(m(x) = 9\) | … | … |
| Fonction | Valeur de \(a\) | Signe de \(a\) | Sens de variation |
|---|---|---|---|
| \(f(x) = 5x + 2\) | 5 | \(+\) | … |
| \(h(x) = -4x\) | −4 | \(-\) | … |
| \(m(x) = 9\) | 0 | 0 | … |
1. Fonctions affines : a), c), e) — b) contient \(x^2\), d) contient \(\frac{1}{x}\).
2. \(f\) : \(a = \mathbf{5}\), \(b = \mathbf{2}\) | \(h\) : \(a = \mathbf{-4}\), \(b = \mathbf{0}\) | \(m\) : \(a = \mathbf{0}\), \(b = \mathbf{9}\)
3. \(f\) : croissante | \(h\) : décroissante | \(m\) : constante
On considère les fonctions affines \(f(x) = 2x - 3\) et \(g(x) = -2x + 5\).
Tableau de \(f(x) = 2x - 3\) :
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Calcul | \(2 \times (-1) - 3 = -5\) | \(2 \times 0 - 3 =\) … | … | … | … |
| \(f(x)\) | −5 | … | … | … | … |
Tableau de \(g(x) = -2x + 5\) :
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Calcul | \(-2 \times (-1) + 5 = 7\) | … | … | … | … |
| \(g(x)\) | 7 | … | … | … | … |
\(2x + 2x = 5 + \)… → \(4x = \)… → \(x = \)…
1.
| \(x\) | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | −5 | −3 | −1 | 1 | 3 |
| \(g(x)\) | 7 | 5 | 3 | 1 | −1 |
2. On place les points de chaque tableau, puis on trace les deux droites à la règle :
3. Pour \(x = 2\), \(f(2) = g(2) = 1\). Intersection : (2 ; 1).
4. \(4x = 8 \Rightarrow x = 2\), puis \(f(2) = 1\). On retrouve bien \((2\,;\,1)\). ✔
Étape 1 : \(a = \dfrac{f(7) - f(3)}{7 - 3} = \dfrac{30 - 14}{\ldots} = \dfrac{16}{\ldots} = \)…
Étape 2 : avec \(f(3) = 14\) : \(14 = a \times 3 + b\), donc \(b = 14 - 3a = \)…
Étape 3 : \(f(x) = \)………
\(a_f = \) | \(a_p = \)
Sont-ils égaux ? → Les droites sont-elles parallèles ?
1. \(a = \dfrac{16}{4} = 4\) | \(b = 14 - 12 = 2\) | \(\mathbf{f(x) = 4x + 2}\)
Vérification : \(f(7) = 28 + 2 = 30\) ✔
2. On place \(A(3\,;\,14)\) et \(B(7\,;\,30)\), puis on trace la droite :
3. \(a_f = 4\) et \(a_p = 4\) : ils sont égaux, donc les droites sont parallèles.
Une entreprise d'isolation facture la pose de laine de roche en combles selon la formule \(C(x) = 32x + 120\), où \(x\) est la surface isolée en m² et \(C(x)\) le montant en euros.
32 est le prix , exprimé en €/m².
120 est le de déplacement, facturé quelle que soit la surface.
\(C(5) = 32 \times \)… \(+ 120 = \)… \(+ 120 = \)… €
\(C(10) = 32 \times \)… \(+ 120 = \)… €
\(32x + 120 = 600\) → \(32x = 600 - 120 = \)… → \(x = \dfrac{\ldots}{32} = \)… m²
\(32x + 120 = 42x + 50\)
\(120 - 50 = 42x - 32x\) → …\( = \)…\(x\) → \(x = \)… m²
1. 32 est le prix au m² (32 €/m²). 120 est le forfait fixe de déplacement.
2. \(C(5) = 160 + 120 = \mathbf{280}\) € | \(C(10) = 320 + 120 = \mathbf{440}\) €
3. \(32x = 480 \Rightarrow x = \mathbf{15}\) m²
4. \(70 = 10x \Rightarrow x = \mathbf{7}\) m². Les deux entreprises facturent alors le même montant : \(C(7) = 224 + 120 = 344\) € et \(D(7) = 294 + 50 = 344\) €. ✔
a) \(f(x) = 4x + 3\) b) \(g(x) = x^2 - 2\) c) \(h(x) = -3x\) d) \(k(x) = \dfrac{5}{x} + 1\) e) \(m(x) = 6\)
1. Une fonction affine s'écrit \(f(x) = ax + b\).
2. \(f\) : \(a = 4\), \(b = 3\) | \(h\) : \(a = -3\), \(b = 0\) | \(m\) : \(a = 0\), \(b = 6\)
3. \(f\) : \(a = 4 > 0\) → croissante ; \(h\) : \(a = -3 < 0\) → décroissante ; \(m\) : \(a = 0\) → constante.
On considère les fonctions affines \(f(x) = 3x - 2\) et \(g(x) = -x + 6\).
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | |||||
| \(g(x)\) |
1.
| \(x\) | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | −5 | −2 | 1 | 4 | 7 |
| \(g(x)\) | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 |
2. \(f\) est croissante (pente positive), \(g\) est décroissante (pente négative).
3. Les deux droites se coupent au point \((2\,;\,4)\).
4. \(3x - 2 = -x + 6 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2\), puis \(f(2) = 4\). Le point d'intersection est bien \((2\,;\,4)\). ✓
1. \(a = \dfrac{f(6) - f(2)}{6 - 2} = \dfrac{29 - 9}{4} = \dfrac{20}{4} = 5\)
Avec \(f(2) = 9\) : \(9 = 5 \times 2 + b \Rightarrow 9 = 10 + b \Rightarrow b = -1\). Donc \(\mathbf{f(x) = 5x - 1}\).
Vérification : \(f(6) = 30 - 1 = 29\) ✓
2. On place par exemple \(A(2\,;\,9)\) et \(B(6\,;\,29)\), puis on trace la droite :
3. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Ici \(a_f = 5\) et \(a_p = 5\) : les droites sont parallèles. Elles ne sont pas confondues car \(b_f = -1 \neq b_p = 2\).
Une cuve de récupération d'eau de pluie se vide à débit constant. Le volume d'eau restant, en litres, après \(t\) minutes est donné par \(V(t) = 240 - 8t\).
1. 240 est l'ordonnée à l'origine : c'est le volume d'eau au départ, à \(t = 0\), soit 240 litres. −8 est le coefficient directeur : le volume diminue de 8 litres par minute, c'est le débit de vidange. Comme \(a < 0\), la fonction est décroissante — cohérent avec une cuve qui se vide.
2. \(V(5) = 240 - 40 = \mathbf{200}\) L | \(V(15) = 240 - 120 = \mathbf{120}\) L
3. \(240 - 8t = 80 \Rightarrow 8t = 160 \Rightarrow t = \mathbf{20}\) min
4. \(240 - 8t = 0 \Rightarrow 8t = 240 \Rightarrow t = \mathbf{30}\) min.
C'est cohérent : à 20 min il reste encore 80 L, et il faut \(80 \div 8 = 10\) minutes de plus pour les évacuer, soit \(20 + 10 = 30\) min. ✓
a) \(f(x) = 5x + 2\) b) \(g(x) = x^2 + 3\) c) \(h(x) = -4x\) d) \(k(x) = \dfrac{2}{x} - 1\) e) \(m(x) = 9\)
1. Une fonction affine s'écrit \(f(x) = ax + b\).
2. \(f\) : \(a = 5\), \(b = 2\) | \(h\) : \(a = -4\), \(b = 0\) | \(m\) : \(a = 0\), \(b = 9\)
3. \(f\) : \(a = 5 > 0\) → croissante ; \(h\) : \(a = -4 < 0\) → décroissante ; \(m\) : \(a = 0\) → constante.
On considère les fonctions affines \(f(x) = 2x - 3\) et \(g(x) = -2x + 5\).
| \(x\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | |||||
| \(g(x)\) |
1.
| \(x\) | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | −5 | −3 | −1 | 1 | 3 |
| \(g(x)\) | 7 | 5 | 3 | 1 | −1 |
2. \(f\) est croissante (pente positive), \(g\) est décroissante (pente négative).
3. Les deux droites se coupent au point \((2\,;\,1)\).
4. \(2x - 3 = -2x + 5 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2\), puis \(f(2) = 1\). Le point d'intersection est bien \((2\,;\,1)\). ✓
1. \(a = \dfrac{f(7) - f(3)}{7 - 3} = \dfrac{30 - 14}{4} = \dfrac{16}{4} = 4\)
Avec \(f(3) = 14\) : \(14 = 4 \times 3 + b \Rightarrow 14 = 12 + b \Rightarrow b = 2\). Donc \(\mathbf{f(x) = 4x + 2}\).
Vérification : \(f(7) = 28 + 2 = 30\) ✓
2. On place par exemple \(A(3\,;\,14)\) et \(B(7\,;\,30)\), puis on trace la droite :
3. Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Ici \(a_f = 4\) et \(a_p = 4\) : les droites sont parallèles. Elles ne sont pas confondues car \(b_f = 2 \neq b_p = -5\).
Une entreprise d'isolation facture la pose de laine de roche en combles selon la formule \(C(x) = 32x + 120\), où \(x\) est la surface isolée en m² et \(C(x)\) le montant en euros.
1. 32 est le coefficient directeur : c'est le prix au m² (32 €/m²). 120 est l'ordonnée à l'origine : c'est le forfait fixe de déplacement, facturé quelle que soit la surface.
2. \(C(5) = 160 + 120 = \mathbf{280}\) € | \(C(10) = 320 + 120 = \mathbf{440}\) €
3. \(32x + 120 = 600 \Rightarrow 32x = 480 \Rightarrow x = \mathbf{15}\) m²
4. On cherche quand \(C(x) < D(x)\) :
\(32x + 120 < 42x + 50 \Rightarrow 120 - 50 < 42x - 32x \Rightarrow 70 < 10x \Rightarrow x > 7\)
La première entreprise est moins chère dès que la surface dépasse 7 m². Pour exactement 7 m², les deux devis sont identiques.
Attention : une surface n'est pas forcément un nombre entier de m² — on peut isoler 7,5 m². La réponse est donc « au-delà de 7 m² », et non « à partir de 8 m² ».
Vérification : pour \(x = 7\), \(C(7) = 344\) € et \(D(7) = 344\) € (même prix) ; pour \(x = 8\), \(C(8) = 376\) € et \(D(8) = 386\) €. ✓
a) \(f(x) = 4x + 3\) b) \(g(x) = x^2 - 2\) c) \(h(x) = -3x\) d) \(k(x) = \dfrac{5}{x} + 1\) e) \(m(x) = 6\)
1. Fonctions affines : a), c), e). b) contient \(x^2\) : ce n'est pas de la forme \(ax + b\). d) contient \(\dfrac{1}{x}\) : la variable est au dénominateur, ce n'est pas une fonction affine.
2. \(f\) : \(a = 4\), \(b = 3\) ; \(a > 0\) donc \(f\) est croissante. | \(h\) : \(a = -3\), \(b = 0\) ; \(a < 0\) donc \(h\) est décroissante. | \(m\) : \(a = 0\), \(b = 6\) ; \(a = 0\) donc \(m\) est constante.
3. \(f\) et \(q\) ont le même coefficient directeur \(a = 4\), mais des ordonnées à l'origine différentes (\(3 \neq -8\)) : les droites sont parallèles et distinctes. Deux droites parallèles distinctes ne se coupent jamais : il n'y a aucun point d'intersection.
On considère les fonctions \(f(x) = 3x - 2\) et \(g(x) = -x + 6\).
1. On peut placer l'ordonnée à l'origine (\(x = 0\)) et le zéro de la fonction : ce sont les deux points d'intersection avec les axes, ils se placent donc exactement sur les axes, sans erreur de lecture. Ils s'obtiennent de plus presque sans calcul : \(b\) se lit directement dans l'expression, et le zéro ne demande qu'une équation.
Pour \(f\) : \(f(0) = -2\), et \(3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67\).
Attention : ici le zéro n'est pas un nombre entier, et les deux points \((0\,;\,-2)\) et \(\left(\frac{2}{3}\,;\,0\right)\) sont proches l'un de l'autre — la moindre imprécision sur l'un fait beaucoup pivoter la droite. Pour tracer avec précision, il vaut mieux calculer en plus un point éloigné, par exemple \(f(3) = 7\).
2. Repère gradué, une couleur par droite (\(h\) de la question 5 est tracée en pointillés) :
3. \(3x - 2 = -x + 6 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2\), puis \(y = f(2) = 4\). Solution : \((2\,;\,4)\).
4. \(f(x) > g(x) \Leftrightarrow 3x - 2 > -x + 6 \Leftrightarrow 4x > 8 \Leftrightarrow x > 2\).
Graphiquement : la droite de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\) pour \(x > 2\), c'est-à-dire à droite du point d'intersection.
5. \(h(x) = 3x + 5\) et \(f(x) = 3x - 2\) ont le même coefficient directeur \(a = 3\) : les droites sont parallèles. Elles sont distinctes car \(b_h = 5 \neq b_f = -2\). Sur le graphique, elles ne se croisent effectivement jamais.
1. \(a = \dfrac{29 - 9}{6 - 2} = \dfrac{20}{4} = 5\). Avec \(f(2) = 9\) : \(9 = 10 + b \Rightarrow b = -1\). Donc \(\mathbf{f(x) = 5x - 1}\).
2. \(a_q = \dfrac{5 - 13}{4 - 0} = \dfrac{-8}{4} = -2\) et \(b_q = q(0) = 13\), donc \(q(x) = -2x + 13\).
\(a_f = 5 \neq a_q = -2\) : les droites ne sont pas parallèles, elles sont donc sécantes.
\(5x - 1 = -2x + 13 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2\), puis \(y = 5 \times 2 - 1 = 9\). Intersection : \(\mathbf{(2\,;\,9)}\).
3. a) croissante : \(k > 0\) | b) décroissante : \(k < 0\) | c) pour être parallèle à \(f(x) = 5x - 1\) il faudrait \(k = 5\) ; mais alors \(f_k(x) = 5x - 1 = f(x)\) : les droites seraient confondues, pas parallèles distinctes. Aucune valeur de \(k\) ne donne une droite strictement parallèle et distincte de celle de \(f\). | d) confondue : \(k = 5\).
Deux cuves de récupération d'eau se vident simultanément, chacune à débit constant :
1. \(V_1(t) = 240 - 8t\) (\(a = -8\), \(b = 240\)) | \(V_2(t) = 150 - 3t\) (\(a = -3\), \(b = 150\)).
2. \(240 - 8t = 150 - 3t \Rightarrow 240 - 150 = 8t - 3t \Rightarrow 90 = 5t \Rightarrow t = \mathbf{18}\) min.
Volume commun : \(V_1(18) = 240 - 144 = 96\) L et \(V_2(18) = 150 - 54 = 96\) L. ✔
3. Cuve n° 1 : \(240 - 8t = 0 \Rightarrow t = \mathbf{30}\) min. Cuve n° 2 : \(150 - 3t = 0 \Rightarrow t = \mathbf{50}\) min.
La cuve n° 1 se vide la première.
Non, ce résultat ne se lit pas sur les seuls coefficients directeurs. Le coefficient \(-8\) dit seulement que la cuve n° 1 se vide plus vite que la n° 2 — mais elle part aussi d'un volume plus grand. Ce qui décide, c'est le rapport \(\dfrac{b}{|a|}\), c'est-à-dire volume initial ÷ débit : \(\dfrac{240}{8} = 30\) min pour la première, \(\dfrac{150}{3} = 50\) min pour la seconde.
Contre-exemple : une cuve de 500 L se vidant au même débit de 8 L/min mettrait \(\dfrac{500}{8} = 62{,}5\) min, donc plus longtemps que la cuve n° 2, alors que son coefficient directeur est le plus négatif des deux.
4. \(V_1(t) > V_2(t) \Leftrightarrow 240 - 8t > 150 - 3t \Leftrightarrow 90 > 5t \Leftrightarrow t < 18\).
La cuve n° 1 contient plus d'eau que la cuve n° 2 pendant les 18 premières minutes. Après, c'est l'inverse.
5.
Non : au-delà de 30 minutes, la formule \(240 - 8t\) donnerait un volume négatif (par exemple \(V_1(40) = -80\) L), ce qui n'a aucun sens physique. La cuve est vide et le reste : le modèle affine n'est valable que sur \([0\,;\,30]\) pour la cuve n° 1, et sur \([0\,;\,50]\) pour la cuve n° 2.
a) \(f(x) = 5x + 2\) b) \(g(x) = x^2 + 3\) c) \(h(x) = -4x\) d) \(k(x) = \dfrac{2}{x} - 1\) e) \(m(x) = 9\)
1. Fonctions affines : a), c), e). b) contient \(x^2\) : ce n'est pas de la forme \(ax + b\). d) contient \(\dfrac{1}{x}\) : la variable est au dénominateur, ce n'est pas une fonction affine.
2. \(f\) : \(a = 5\), \(b = 2\) ; \(a > 0\) donc \(f\) est croissante. | \(h\) : \(a = -4\), \(b = 0\) ; \(a < 0\) donc \(h\) est décroissante. | \(m\) : \(a = 0\), \(b = 9\) ; \(a = 0\) donc \(m\) est constante.
3. \(f\) et \(q\) ont le même coefficient directeur \(a = 5\), mais des ordonnées à l'origine différentes (\(2 \neq -7\)) : les droites sont parallèles et distinctes. Deux droites parallèles distinctes ne se coupent jamais : il n'y a aucun point d'intersection.
On considère les fonctions \(f(x) = 2x - 3\) et \(g(x) = -2x + 5\).
1. On peut placer l'ordonnée à l'origine (\(x = 0\)) et le zéro de la fonction : ce sont les deux points d'intersection avec les axes, ils se placent donc exactement sur les axes, sans erreur de lecture. Ils s'obtiennent de plus presque sans calcul : \(b\) se lit directement dans l'expression, et le zéro ne demande qu'une équation.
Pour \(f\) : \(f(0) = -3\), et \(2x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1{,}5\).
Attention : ici les deux points \((0\,;\,-3)\) et \((1{,}5\,;\,0)\) sont proches l'un de l'autre — la moindre imprécision sur l'un fait beaucoup pivoter la droite. Pour tracer avec précision, il vaut mieux calculer en plus un point éloigné, par exemple \(f(4) = 5\).
2. Repère gradué, une couleur par droite (\(h\) de la question 5 est tracée en pointillés) :
3. \(2x - 3 = -2x + 5 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2\), puis \(y = f(2) = 1\). Solution : \((2\,;\,1)\).
4. \(f(x) > g(x) \Leftrightarrow 2x - 3 > -2x + 5 \Leftrightarrow 4x > 8 \Leftrightarrow x > 2\).
Graphiquement : la droite de \(f\) est au-dessus de celle de \(g\) pour \(x > 2\), c'est-à-dire à droite du point d'intersection.
5. \(h(x) = 2x + 6\) et \(f(x) = 2x - 3\) ont le même coefficient directeur \(a = 2\) : les droites sont parallèles. Elles sont distinctes car \(b_h = 6 \neq b_f = -3\). Sur le graphique, elles ne se croisent effectivement jamais.
1. \(a = \dfrac{30 - 14}{7 - 3} = \dfrac{16}{4} = 4\). Avec \(f(3) = 14\) : \(14 = 12 + b \Rightarrow b = 2\). Donc \(\mathbf{f(x) = 4x + 2}\).
2. \(a_q = \dfrac{10 - 16}{2 - 0} = \dfrac{-6}{2} = -3\) et \(b_q = q(0) = 16\), donc \(q(x) = -3x + 16\).
\(a_f = 4 \neq a_q = -3\) : les droites ne sont pas parallèles, elles sont donc sécantes.
\(4x + 2 = -3x + 16 \Rightarrow 7x = 14 \Rightarrow x = 2\), puis \(y = 4 \times 2 + 2 = 10\). Intersection : \(\mathbf{(2\,;\,10)}\).
3. a) croissante : \(k > 0\) | b) décroissante : \(k < 0\) | c) pour être parallèle à \(f(x) = 4x + 2\) il faudrait \(k = 4\) ; mais alors \(f_k(x) = 4x + 2 = f(x)\) : les droites seraient confondues, pas parallèles distinctes. Aucune valeur de \(k\) ne donne une droite strictement parallèle et distincte de celle de \(f\). | d) confondue : \(k = 4\).
Trois entreprises proposent d'isoler des combles. Le montant dépend de la surface \(x\), en m² :
1. \(C(x) = 32x + 120\) (\(a = 32\), \(b = 120\)) | \(D(x) = 42x + 50\) (\(a = 42\), \(b = 50\)) | \(E(x) = 28x + 180\) (\(a = 28\), \(b = 180\)).
2. \(32x + 120 = 42x + 50 \Rightarrow 70 = 10x \Rightarrow x = \mathbf{7}\) m². Les deux facturent alors \(C(7) = D(7) = 344\) €.
3. \(C(12) = 384 + 120 = 504\) € | \(D(12) = 504 + 50 = 554\) € | \(E(12) = 336 + 180 = \mathbf{516}\) €.
Pour 12 m², c'est l'entreprise C la moins chère (504 €).
4. \(E < C \Rightarrow 28x + 180 < 32x + 120 \Rightarrow 60 < 4x \Rightarrow x > 15\).
\(E < D \Rightarrow 28x + 180 < 42x + 50 \Rightarrow 130 < 14x \Rightarrow x > \dfrac{65}{7} \approx 9{,}3\).
Les deux conditions sont réunies pour \(x > 15\) : l'entreprise E est la moins chère dès que la surface dépasse 15 m² (une surface n'étant pas forcément un nombre entier de m², on ne dit pas « à partir de 16 m² »). Pour exactement 15 m², E et C sont à égalité, à 600 € toutes les deux.
Vérification à 20 m² : \(C(20) = 760\) €, \(D(20) = 890\) €, \(E(20) = 740\) € — E est bien la moins chère. ✓
5.
Zones de rentabilité (l'entreprise la moins chère est celle dont la droite est la plus basse) :
Plus la surface augmente, plus c'est le prix au m² — le coefficient directeur — qui l'emporte sur le forfait fixe.