Chapitre 9 – Fonction affine | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 3 juillet 2026
Une toupie (le camion qui transporte le béton) arrive pleine sur un chantier. Pendant qu'on coule la dalle, le béton s'écoule de la cuve à vitesse régulière. À ton avis, le volume de béton qui reste dans la cuve augmente-t-il ou diminue-t-il au fil du temps ?
Il diminue : à chaque minute, une partie du béton quitte la cuve pour être coulée dans la dalle. Le volume restant baisse régulièrement, jusqu'à ce que la cuve soit vide. C'est le contraire d'un remplissage.
Karim est conducteur de travaux sur un chantier de gros œuvre. Aujourd'hui, ses équipes coulent une dalle de béton. Une toupie arrive pleine et déverse son béton à débit régulier dans la pompe qui alimente la dalle. Karim veut suivre le volume de béton encore présent dans la cuve à chaque instant, et savoir à quel moment la toupie sera vide pour commander la suivante juste à temps et éviter d'arrêter le coulage.
Volume de béton restant \(V\) (en m³) en fonction du temps \(t\) (en minutes). La droite descend : la cuve se vide.
Relève dans le Document les deux données de départ : quel est le volume de béton dans la toupie au tout début du coulage (à \(t=0\)) ? À quel débit le béton sort-il de la cuve ?
Au départ (\(t=0\)), la cuve contient \(V_0=\mathbf{6\ \text{m}^3}\) de béton. Le béton s'écoule à un débit constant de 0,5 m³ par minute.
Chaque minute qui passe, de combien de m³ le volume de béton dans la cuve varie-t-il ? Ce volume augmente-t-il ou diminue-t-il ?
Chaque minute, il sort \(0{,}5\ \text{m}^3\) de la cuve : le volume restant diminue de 0,5 m³ par minute. Le volume décroît au fil du temps.
Le volume restant après \(t\) minutes se note \(V(t)\). Sachant qu'on part de \(6\ \text{m}^3\) et qu'on retire \(0{,}5\ \text{m}^3\) chaque minute, écris \(V(t)\) sous la forme \(V(t)=a\,t+b\).
On part de \(6\) (c'est \(b\)) et on enlève \(0{,}5\) par minute (c'est \(a\), qui est négatif car on retire) :
\[V(t)=6-0{,}5\,t \qquad(\text{soit } V(t)=-0{,}5\,t+6)\]
Calcule le volume de béton encore présent dans la cuve après 4 minutes de coulage, c'est-à-dire \(V(4)\).
\[V(4)=6-0{,}5\times 4=6-2=\mathbf{4\ \text{m}^3}\]Après 4 minutes, il reste 4 m³ de béton dans la cuve.
Dans l'expression \(V(t)=6-0{,}5\,t\), identifie le coefficient directeur \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\). Que représente chacun pour Karim ? Pourquoi \(a\) est-il négatif ?
\(a=-0{,}5\) : coefficient directeur (pente de la droite). Il correspond au débit de vidange (\(-0{,}5\ \text{m}^3\) par minute). Il est négatif parce que la cuve se vide : le volume diminue quand le temps augmente (fonction décroissante).
\(b=6\) : ordonnée à l'origine, c'est-à-dire \(V(0)\), le volume de béton au tout début du coulage (\(6\ \text{m}^3\)).
Vérifie ta réponse de la Question 4 sur le graphique : place-toi à \(t=4\) min, monte jusqu'à la droite et lis le volume. Le résultat est-il cohérent avec ton calcul ?
Sur le graphique, à \(t=4\) la droite passe par le point \((4\,;\,4)\) : on lit \(V=\mathbf{4\ \text{m}^3}\). C'est exactement le résultat du calcul \(V(4)=4\ \text{m}^3\). La lecture graphique et le calcul concordent.
À quel instant la toupie sera-t-elle complètement vide ? Traduis « cuve vide » par \(V(t)=0\), puis résous l'équation \(6-0{,}5\,t=0\). Retrouve ensuite ce résultat sur le graphique.
\[6-0{,}5\,t=0 \;\Rightarrow\; 0{,}5\,t=6 \;\Rightarrow\; t=\dfrac{6}{0{,}5}=\mathbf{12\ \text{min}}\]La cuve est vide au bout de 12 minutes. Sur le graphique, la droite coupe l'axe horizontal au point \((12\,;\,0)\) : c'est bien le même résultat.
Rédige 2 à 3 phrases pour expliquer à un apprenti que le volume restant dans la cuve est une fonction affine décroissante, en employant les mots ordonnée à l'origine, coefficient directeur négatif et cuve vide.
Exemple : « Le volume restant suit la fonction affine \(V(t)=6-0{,}5\,t\). Son ordonnée à l'origine est 6 : c'est le volume au départ. Son coefficient directeur est négatif (\(-0{,}5\)), donc la droite descend : la cuve perd 0,5 m³ chaque minute. Elle atteint 0, c'est-à-dire la cuve vide, au bout de 12 minutes. »
Il faut que le volume restant soit \(1{,}5\ \text{m}^3\) :
\[6-0{,}5\,t=1{,}5 \;\Rightarrow\; 0{,}5\,t=6-1{,}5=4{,}5 \;\Rightarrow\; t=\dfrac{4{,}5}{0{,}5}=\mathbf{9\ \text{min}}\]Karim doit arrêter le coulage au bout de 9 minutes : il aura alors coulé 4,5 m³ et il restera 1,5 m³ dans la toupie.
Réponse à la problématique : le volume restant \(V(t)=6-0{,}5\,t\) est une fonction affine décroissante ; la toupie est vide au bout de 12 min.
📚 Cette activité s'appuie sur §1 (définition de la fonction affine), §4 (coefficient directeur) et §5 (sens de variation) de la leçon Ch09.