Chapitre 9 – Fonction affine | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 5 mai 2026, 11:00
Karim, gérant d'une menuiserie, doit décider de l'éclairage de son atelier (300 m²). Deux options :
💡 Option LED : 11 panneaux LED 30 W (≈ 333 W au total pour 300 m²)
• Coût installation : 800 € (achat + pose)
• Consommation : 0,333 kWh/h × 0,18 €/kWh ≈ 0,06 €/h
• Durée de vie : ~ 50 000 h (≈ 19 ans à l'usage prévu, voir Q2)
💡 Option Néon : 23 tubes fluorescents 36 W (≈ 833 W au total)
• Coût installation : 200 € (déjà en place pour partie)
• Consommation : 0,833 kWh/h × 0,18 €/kWh ≈ 0,15 €/h
• Durée de vie : ~ 10 000 h (≈ 4 ans à l'usage prévu)
L'abonnement EDF est de 12 €/mois, identique dans les deux cas. On note h le nombre d'heures d'éclairage utilisé dans le mois (variable).
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (signification de a et b) et §4 (comparaison de deux fonctions affines).
On note fLED(h) et fnéon(h) les coûts mensuels totaux (en €) avec respectivement les LED et les néons, en fonction du nombre h d'heures d'éclairage par mois (la variable).
a) Écrire l'expression de fLED(h).
b) Écrire l'expression de fnéon(h).
c) Identifier l'ordonnée à l'origine et la pente de chaque fonction.
a) fLED(h) = 12 + 0,06 h (abonnement fixe 12 € + énergie LED).
b) fnéon(h) = 12 + 0,15 h (abonnement fixe 12 € + énergie néon).
c) Ordonnée à l'origine commune : b = 12 € (abonnement EDF, indépendant de l'éclairage choisi).
Pentes : aLED = 0,06 €/h et anéon = 0,15 €/h.
Les deux fonctions ont la même ordonnée à l'origine mais des pentes différentes.
L'atelier est ouvert 11 h/jour, 20 jours par mois (h = 220 h/mois). Calculer le coût mensuel pour chaque option et l'économie réalisée avec les LED.
f_LED(220) = 12 + 0,06 × 220 = 12 + 13,20 = 25,20 €/mois.
f_néon(220) = 12 + 0,15 × 220 = 12 + 33 = 45 €/mois.
Économie LED : 45 − 25,20 = 19,80 €/mois.
Calculer l'économie réalisée sur une année (12 mois) en passant aux LED.
Économie annuelle : 19,80 × 12 = 237,60 €/an.
Sur 5 ans : 1 188 €. Sur 10 ans : 2 376 €. Effet cumulé important.
Pourquoi les deux fonctions ont-elles le même 12 € en ordonnée à l'origine ? Et pourquoi seules les pentes diffèrent ?
Les 12 € représentent l'abonnement EDF mensuel, fixe et indépendant du système d'éclairage choisi (lié au compteur, pas à la consommation).
Les pentes différentes (0,06 vs 0,15 €/h) viennent du fait que les LED consomment 2,5 fois moins d'énergie par heure que les néons.
Sur le graphique : deux droites qui partent du même point (h=0, y=12) mais la droite LED monte moins vite. Elles ne sont pas parallèles — la différence se creuse avec le temps.
L'installation LED coûte 800 € (vs 200 € pour les néons), soit un surcoût initial de 600 €. Calculer le temps nécessaire pour rentabiliser ce surcoût grâce aux économies d'énergie.
Surcoût LED : 800 − 200 = 600 €.
Économie mensuelle : 19,80 €.
Temps de retour : 600 / 19,80 ≈ 30,3 mois ≈ 2 ans et 6 mois.
Au-delà de 2,5 ans, les LED sont plus rentables que les néons. Sur la durée de vie LED (20 ans), le gain net est très significatif.
Calculer le coût total cumulé sur 10 ans pour chaque option (en tenant compte des installations et de l'usage). Hypothèse : les néons doivent être remplacés tous les 4 ans (200 €/remplacement).
LED sur 10 ans :
Néon sur 10 ans :
Économie LED sur 10 ans : 6 000 − 3 824 = 2 176 €.
Conclusion : les LED sont gagnantes à long terme, pas seulement énergétiquement mais aussi économiquement (en tenant compte des remplacements).
Si Karim n'utilise son atelier que 80 h/mois (= mi-temps), calculer le coût pour chaque option et l'économie. Le passage aux LED reste-t-il rentable ?
f_LED(80) = 12 + 4,80 = 16,80 €/mois.
f_néon(80) = 12 + 12 = 24 €/mois.
Économie : 7,20 €/mois = 86,40 €/an.
Temps de retour pour le surcoût 600 € : 600 / 7,20 ≈ 83 mois ≈ 7 ans.
Encore rentable à long terme (durée LED 20 ans), mais retour sur investissement nettement plus lent. À considérer aussi : impact écologique, qualité d'éclairage.
Rédiger en 5 lignes la recommandation pour Karim, en justifiant sur les calculs réalisés.
Recommandation — éclairage atelier menuiserie
Pour un usage à temps plein (220 h/mois), opter pour les LED est clairement gagnant :
Pour un usage occasionnel (80 h/mois), retour sur investissement plus long (7 ans) mais reste rentable et plus écologique. Recommandation : choisir les LED, en se renseignant aussi sur les aides aux entreprises pour la transition énergétique (CEE).
Karim peut bénéficier d'une aide CEE pour la rénovation de l'éclairage de son atelier (fiche standardisée BAT-EQ-127 ou IND-UT-117 selon le statut professionnel ; montant variable selon les fournisseurs d'énergie). On suppose ici une aide de 300 €. Recalculer le temps de retour sur investissement à temps plein (220 h/mois).
Surcoût LED net : 600 − 300 = 300 €.
Temps de retour : 300 / 19,80 ≈ 15,2 mois ≈ 1 an 3 mois.
Avec l'aide, le retour est 2 fois plus rapide. Très bon argument pour décider tout de suite.
Toujours se renseigner sur les aides disponibles avant un investissement énergétique : CEE (Certificats d'Économies d'Énergie), aides régionales pour artisans, dispositifs ADEME, prêts à taux zéro éco-PTZ, etc.
Bonus écologique : les tubes fluorescents contiennent du mercure (déchet dangereux à recycler en filière DEEE), alors que les LED sont sans mercure et 90 % recyclables. Argument écologique en plus du gain économique.