Fonction linéaire et proportionnalité — Seconde Bac Pro MAMA
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions linéaires ?
a) \(f(x) = 7x\)
b) \(g(x) = 3x + 5\)
c) \(h(x) = -2x\)
a) \(f(x) = 7x\) → oui, c'est une fonction linéaire avec \(a = 7\).
b) \(g(x) = 3x + 5\) → non, c'est une fonction affine (il y a le « +5 »).
c) \(h(x) = -2x\) → oui, c'est une fonction linéaire avec \(a = -2\).
Soit \(f(x) = 6x\). Calculer :
a) \(f(3) = 6 \times ... = ...\)
b) \(f(0) = ...\)
c) \(f(5) = ...\)
d) \(f(-2) = 6 \times (...) = ...\)
a) \(f(3) = 6 \times 3 = \mathbf{18}\)
b) \(f(0) = 6 \times 0 = \mathbf{0}\)
c) \(f(5) = 6 \times 5 = \mathbf{30}\)
d) \(f(-2) = 6 \times (-2) = \mathbf{-12}\)
Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ? Justifier en calculant les rapports.
| \(x\) | 2 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 10 | 20 | 30 | 50 |
\(\dfrac{10}{2} = ...\) \(\dfrac{20}{4} = ...\) \(\dfrac{30}{6} = ...\) \(\dfrac{50}{10} = ...\)
\(\dfrac{10}{2} = 5\) \(\dfrac{20}{4} = 5\) \(\dfrac{30}{6} = 5\) \(\dfrac{50}{10} = 5\)
Le rapport est constant = 5 → oui, c'est un tableau de proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité est \(k = 5\), et la fonction est \(f(x) = 5x\).
Un menuisier achète des lames de bois à 9 € le mètre linéaire.
a) Écrire la fonction qui donne le prix en fonction de la longueur \(x\) : \(f(x) = ...x\)
b) Calculer le prix de 7 mètres : \(f(7) = ...\)
c) Le menuisier a payé 108 €. Quelle longueur a-t-il achetée ? (résoudre \(9x = 108\))
a) \(f(x) = 9x\)
b) \(f(7) = 9 \times 7 = \mathbf{63}\) €
c) \(9x = 108\) → \(x = \dfrac{108}{9} = \mathbf{12}\) mètres.
Vérification : \(9 \times 12 = 108\) ✔
Soit \(f(x) = 3x\). Compléter le tableau et placer les points dans un repère :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ... | ... | ... | ... |
La courbe passe-t-elle par l'origine ?
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\mathbf{0}\) | \(\mathbf{3}\) | \(\mathbf{6}\) | \(\mathbf{9}\) |
Points : \((0\,;\,0)\), \((1\,;\,3)\), \((2\,;\,6)\), \((3\,;\,9)\).
Oui, la courbe passe par l'origine car \(f(0) = 0\).
Barème : 20 points
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions linéaires ?
a) \(f(x) = -5x\)
b) \(g(x) = 4x - 1\)
c) \(h(x) = 8x\)
a) \(f(x) = -5x\) → oui, c'est une fonction linéaire avec \(a = -5\).
b) \(g(x) = 4x - 1\) → non, c'est une fonction affine (il y a le « −1 »).
c) \(h(x) = 8x\) → oui, c'est une fonction linéaire avec \(a = 8\).
Soit \(f(x) = 4x\). Calculer :
a) \(f(5) = 4 \times ... = ...\)
b) \(f(0) = ...\)
c) \(f(8) = ...\)
d) \(f(-3) = 4 \times (...) = ...\)
a) \(f(5) = 4 \times 5 = \mathbf{20}\)
b) \(f(0) = 4 \times 0 = \mathbf{0}\)
c) \(f(8) = 4 \times 8 = \mathbf{32}\)
d) \(f(-3) = 4 \times (-3) = \mathbf{-12}\)
Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ? Justifier en calculant les rapports.
| \(x\) | 3 | 6 | 9 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 12 | 24 | 36 | 48 |
\(\dfrac{12}{3} = ...\) \(\dfrac{24}{6} = ...\) \(\dfrac{36}{9} = ...\) \(\dfrac{48}{12} = ...\)
\(\dfrac{12}{3} = 4\) \(\dfrac{24}{6} = 4\) \(\dfrac{36}{9} = 4\) \(\dfrac{48}{12} = 4\)
Le rapport est constant = 4 → oui, c'est un tableau de proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité est \(k = 4\), et la fonction est \(f(x) = 4x\).
Un artisan achète des tasseaux de bois à 7 € le mètre linéaire.
a) Écrire la fonction qui donne le prix en fonction de la longueur \(x\) : \(f(x) = ...x\)
b) Calculer le prix de 9 mètres : \(f(9) = ...\)
c) L'artisan a payé 91 €. Quelle longueur a-t-il achetée ? (résoudre \(7x = 91\))
a) \(f(x) = 7x\)
b) \(f(9) = 7 \times 9 = \mathbf{63}\) €
c) \(7x = 91\) → \(x = \dfrac{91}{7} = \mathbf{13}\) mètres.
Vérification : \(7 \times 13 = 91\) ✔
Soit \(f(x) = 5x\). Compléter le tableau et placer les points dans un repère :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ... | ... | ... | ... |
La courbe passe-t-elle par l'origine ?
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\mathbf{0}\) | \(\mathbf{5}\) | \(\mathbf{10}\) | \(\mathbf{15}\) |
Points : \((0\,;\,0)\), \((1\,;\,5)\), \((2\,;\,10)\), \((3\,;\,15)\).
Oui, la courbe passe par l'origine car \(f(0) = 0\).
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = ax\) une fonction linéaire. On sait que \(f(4) = 14\).
a) Déterminer le coefficient \(a\).
b) Calculer \(f(10)\) et \(f(1)\).
a) \(a = \dfrac{f(4)}{4} = \dfrac{14}{4} = \mathbf{3{,}5}\)
b) \(f(10) = 3{,}5 \times 10 = \mathbf{35}\)
\(f(1) = 3{,}5 \times 1 = \mathbf{3{,}5}\)
Un peintre consomme 0,4 L de vernis par m² de surface à traiter.
a) Écrire la fonction linéaire qui donne la quantité de vernis en fonction de la surface \(s\).
b) Calculer la quantité de vernis pour 25 m².
c) Le peintre dispose de 6 L de vernis. Quelle surface maximale peut-il traiter ?
a) \(V(s) = 0{,}4s\)
b) \(V(25) = 0{,}4 \times 25 = \mathbf{10}\) L
c) \(0{,}4s = 6\) → \(s = \dfrac{6}{0{,}4} = \mathbf{15}\) m²
Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ? Justifier.
| \(x\) | 3 | 5 | 8 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 15 | 25 | 42 | 60 |
\(\dfrac{15}{3} = 5\) \(\dfrac{25}{5} = 5\) \(\dfrac{42}{8} = 5{,}25\) \(\dfrac{60}{12} = 5\)
Le rapport n'est pas constant (\(5{,}25 \neq 5\)) → non, ce n'est pas un tableau de proportionnalité.
Un artisan menuisier pose du plancher. Il constate qu'en 4 heures, il pose 28 m de lames.
a) Vérifier qu'il s'agit d'une situation de proportionnalité et déterminer le coefficient.
b) Écrire la fonction linéaire \(f(t)\) qui donne la longueur posée en fonction du temps \(t\) (en heures).
c) Quelle longueur peut-il poser en une journée de travail de 7 heures ?
d) Combien de temps lui faudra-t-il pour poser 56 m de lames ?
a) Le rapport est constant : \(\dfrac{28}{4} = 7\) m/h → c'est bien une proportionnalité avec \(k = 7\).
b) \(f(t) = 7t\)
c) \(f(7) = 7 \times 7 = \mathbf{49}\) m
d) \(7t = 56\) → \(t = \dfrac{56}{7} = \mathbf{8}\) heures.
Sur un graphique, une droite passe par l'origine et par le point \(A(3\,;\,12)\).
a) Déterminer le coefficient directeur \(a\).
b) En déduire l'expression de la fonction linéaire.
a) \(a = \dfrac{12 - 0}{3 - 0} = \dfrac{12}{3} = \mathbf{4}\)
b) La fonction est \(f(x) = 4x\).
Vérification : \(f(3) = 4 \times 3 = 12\) ✔
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = ax\) une fonction linéaire. On sait que \(f(6) = 27\).
a) Déterminer le coefficient \(a\).
b) Calculer \(f(8)\) et \(f(2)\).
a) \(a = \dfrac{f(6)}{6} = \dfrac{27}{6} = \mathbf{4{,}5}\)
b) \(f(8) = 4{,}5 \times 8 = \mathbf{36}\)
\(f(2) = 4{,}5 \times 2 = \mathbf{9}\)
Un menuisier consomme 0,6 L de colle par m² de surface à encoller.
a) Écrire la fonction linéaire qui donne la quantité de colle en fonction de la surface \(s\).
b) Calculer la quantité de colle pour 15 m².
c) Le menuisier dispose de 12 L de colle. Quelle surface maximale peut-il encoller ?
a) \(C(s) = 0{,}6s\)
b) \(C(15) = 0{,}6 \times 15 = \mathbf{9}\) L
c) \(0{,}6s = 12\) → \(s = \dfrac{12}{0{,}6} = \mathbf{20}\) m²
Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ? Justifier.
| \(x\) | 4 | 6 | 9 | 15 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 28 | 42 | 63 | 100 |
\(\dfrac{28}{4} = 7\) \(\dfrac{42}{6} = 7\) \(\dfrac{63}{9} = 7\) \(\dfrac{100}{15} \approx 6{,}67\)
Le rapport n'est pas constant (\(6{,}67 \neq 7\)) → non, ce n'est pas un tableau de proportionnalité.
Un fabricant de meubles ponce des panneaux. Il constate qu'en 3 heures, il ponce 18 m² de surface.
a) Vérifier qu'il s'agit d'une situation de proportionnalité et déterminer le coefficient.
b) Écrire la fonction linéaire \(f(t)\) qui donne la surface poncée en fonction du temps \(t\) (en heures).
c) Quelle surface peut-il poncer en une journée de travail de 8 heures ?
d) Combien de temps lui faudra-t-il pour poncer 42 m² ?
a) Le rapport est constant : \(\dfrac{18}{3} = 6\) m²/h → c'est bien une proportionnalité avec \(k = 6\).
b) \(f(t) = 6t\)
c) \(f(8) = 6 \times 8 = \mathbf{48}\) m²
d) \(6t = 42\) → \(t = \dfrac{42}{6} = \mathbf{7}\) heures.
Sur un graphique, une droite passe par l'origine et par le point \(A(5\,;\,20)\).
a) Déterminer le coefficient directeur \(a\).
b) En déduire l'expression de la fonction linéaire.
a) \(a = \dfrac{20 - 0}{5 - 0} = \dfrac{20}{5} = \mathbf{4}\)
b) La fonction est \(f(x) = 4x\).
Vérification : \(f(5) = 4 \times 5 = 20\) ✔
Barème : 20 points
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions linéaires telles que \(f(3) = 21\) et \(g(5) = 15\).
a) Déterminer l'expression de \(f\) et de \(g\).
b) Calculer \(f(10)\) et \(g(10)\).
c) Quelle fonction croît le plus vite ? Justifier.
a) \(f(x) = ax\) avec \(a = \dfrac{21}{3} = 7\) → \(f(x) = 7x\)
\(g(x) = bx\) avec \(b = \dfrac{15}{5} = 3\) → \(g(x) = 3x\)
b) \(f(10) = 70\) et \(g(10) = 30\)
c) \(f\) croît plus vite car son coefficient directeur est plus grand : \(7 > 3\).
Un ébéniste compare trois essences de bois pour fabriquer des meubles :
a) Écrire les trois fonctions linéaires donnant le prix en fonction de la surface.
b) Un client commande un panneau de 3{,}5 m². Calculer le prix pour chaque essence.
c) La différence de prix entre le chêne et le pin est-elle proportionnelle à la surface ? Justifier par un calcul.
a) Chêne : \(C(s) = 45s\), Hêtre : \(H(s) = 30s\), Pin : \(P(s) = 18s\)
b) Chêne : \(C(3{,}5) = 45 \times 3{,}5 = \mathbf{157{,}50}\) €
Hêtre : \(H(3{,}5) = 30 \times 3{,}5 = \mathbf{105}\) €
Pin : \(P(3{,}5) = 18 \times 3{,}5 = \mathbf{63}\) €
c) Différence chêne − pin : \(D(s) = 45s - 18s = 27s\). C'est une fonction linéaire de coefficient 27.
Donc oui, la différence de prix est proportionnelle à la surface.
On donne le tableau suivant :
| \(x\) | 2 | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 7 | 10{,}5 | 17{,}5 | 28 |
a) Montrer que c'est un tableau de proportionnalité.
b) Déterminer le coefficient de proportionnalité et la fonction linéaire associée.
c) Calculer l'antécédent de 42 par cette fonction.
a) \(\dfrac{7}{2} = 3{,}5\), \(\dfrac{10{,}5}{3} = 3{,}5\), \(\dfrac{17{,}5}{5} = 3{,}5\), \(\dfrac{28}{8} = 3{,}5\) → rapport constant ✔
b) \(k = 3{,}5\) → \(f(x) = 3{,}5x\)
c) \(3{,}5x = 42\) → \(x = \dfrac{42}{3{,}5} = \mathbf{12}\)
Vérification : \(3{,}5 \times 12 = 42\) ✔
Un livreur de matériaux roule à vitesse constante. Il parcourt 180 km en 2{,}5 heures.
a) Montrer que la distance parcourue est une fonction linéaire du temps et déterminer son expression.
b) En combien de temps parcourra-t-il 324 km ?
c) Quelle distance aura-t-il parcourue en 45 minutes ? (Convertir d'abord en heures.)
a) Vitesse constante → proportionnalité. \(v = \dfrac{180}{2{,}5} = 72\) km/h.
La fonction est \(d(t) = 72t\).
b) \(72t = 324\) → \(t = \dfrac{324}{72} = \mathbf{4{,}5}\) heures, soit 4 h 30 min.
c) 45 min \(= 0{,}75\) h. \(d(0{,}75) = 72 \times 0{,}75 = \mathbf{54}\) km.
On considère deux fonctions linéaires \(f(x) = 4x\) et \(g(x) = -3x\).
a) \(f\) est-elle croissante ou décroissante ? Et \(g\) ?
b) Déterminer la valeur de \(x\) pour laquelle \(f(x) = g(x)\).
a) \(f\) est croissante car \(a = 4 > 0\). \(g\) est décroissante car \(a = -3 < 0\).
b) \(4x = -3x\) → \(4x + 3x = 0\) → \(7x = 0\) → \(x = \mathbf{0}\)
Les deux droites se croisent à l'origine, ce qui est logique car toute fonction linéaire passe par \((0\,;\,0)\).
Barème : 20 points
Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions linéaires telles que \(f(4) = 24\) et \(g(6) = 18\).
a) Déterminer l'expression de \(f\) et de \(g\).
b) Calculer \(f(8)\) et \(g(8)\).
c) Quelle fonction croît le plus vite ? Justifier.
a) \(f(x) = ax\) avec \(a = \dfrac{24}{4} = 6\) → \(f(x) = 6x\)
\(g(x) = bx\) avec \(b = \dfrac{18}{6} = 3\) → \(g(x) = 3x\)
b) \(f(8) = 48\) et \(g(8) = 24\)
c) \(f\) croît plus vite car son coefficient directeur est plus grand : \(6 > 3\).
Un menuisier agenceur compare trois types de panneaux pour un aménagement intérieur :
a) Écrire les trois fonctions linéaires donnant le prix en fonction de la surface.
b) Un client commande un panneau de 4{,}5 m². Calculer le prix pour chaque type.
c) La différence de prix entre le contreplaqué et l'aggloméré est-elle proportionnelle à la surface ? Justifier par un calcul.
a) Contreplaqué : \(C(s) = 22s\), MDF : \(M(s) = 15s\), Aggloméré : \(A(s) = 9s\)
b) Contreplaqué : \(C(4{,}5) = 22 \times 4{,}5 = \mathbf{99}\) €
MDF : \(M(4{,}5) = 15 \times 4{,}5 = \mathbf{67{,}50}\) €
Aggloméré : \(A(4{,}5) = 9 \times 4{,}5 = \mathbf{40{,}50}\) €
c) Différence contreplaqué − aggloméré : \(D(s) = 22s - 9s = 13s\). C'est une fonction linéaire de coefficient 13.
Donc oui, la différence de prix est proportionnelle à la surface.
On donne le tableau suivant :
| \(x\) | 3 | 4 | 6 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 13{,}5 | 18 | 27 | 45 |
a) Montrer que c'est un tableau de proportionnalité.
b) Déterminer le coefficient de proportionnalité et la fonction linéaire associée.
c) Calculer l'antécédent de 63 par cette fonction.
a) \(\dfrac{13{,}5}{3} = 4{,}5\), \(\dfrac{18}{4} = 4{,}5\), \(\dfrac{27}{6} = 4{,}5\), \(\dfrac{45}{10} = 4{,}5\) → rapport constant ✔
b) \(k = 4{,}5\) → \(f(x) = 4{,}5x\)
c) \(4{,}5x = 63\) → \(x = \dfrac{63}{4{,}5} = \mathbf{14}\)
Vérification : \(4{,}5 \times 14 = 63\) ✔
Un livreur de matériaux roule à vitesse constante. Il parcourt 210 km en 3 heures.
a) Montrer que la distance parcourue est une fonction linéaire du temps et déterminer son expression.
b) En combien de temps parcourra-t-il 280 km ?
c) Quelle distance aura-t-il parcourue en 40 minutes ? (Convertir d'abord en heures.)
a) Vitesse constante → proportionnalité. \(v = \dfrac{210}{3} = 70\) km/h.
La fonction est \(d(t) = 70t\).
b) \(70t = 280\) → \(t = \dfrac{280}{70} = \mathbf{4}\) heures.
c) 40 min \(= \dfrac{40}{60} = \dfrac{2}{3}\) h. \(d\!\left(\dfrac{2}{3}\right) = 70 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{140}{3} \approx \mathbf{46{,}7}\) km.
On considère deux fonctions linéaires \(f(x) = 5x\) et \(g(x) = -2x\).
a) \(f\) est-elle croissante ou décroissante ? Et \(g\) ?
b) Déterminer la valeur de \(x\) pour laquelle \(f(x) = g(x)\).
a) \(f\) est croissante car \(a = 5 > 0\). \(g\) est décroissante car \(a = -2 < 0\).
b) \(5x = -2x\) → \(5x + 2x = 0\) → \(7x = 0\) → \(x = \mathbf{0}\)
Les deux droites se croisent à l'origine, ce qui est logique car toute fonction linéaire passe par \((0\,;\,0)\).