← Retour au sommaire

Chapitre 8 – Exercices par capacités

Fonction linéaire et proportionnalité  |  2nde Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 18:00

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Reconnaître une situation de proportionnalité et une fonction linéaire

Rappel de cours

Une fonction linéaire est de la forme \(f(x) = kx\) (avec \(k\) constante, pas de terme constant). Elle modélise une proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité, tous les rapports \(\frac{\text{valeur de sortie}}{\text{valeur d'entrée}}\) sont égaux à \(k\).

Exercice 1

Pour chaque tableau, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. Justifier en calculant les rapports.

Tableau A :

Longueur (m)24610
Prix (€)14284270

Tableau B :

Temps (h)1234
Distance (km)60110180240
Tableau A : rapports \(\frac{14}{2} = 7\), \(\frac{28}{4} = 7\), \(\frac{42}{6} = 7\), \(\frac{70}{10} = 7\). Tous égaux → tableau de proportionnalité, \(k = 7\).

Tableau B : rapports \(\frac{60}{1} = 60\), \(\frac{110}{2} = 55\), \(\frac{180}{3} = 60\), \(\frac{240}{4} = 60\). Pas tous égaux (55 ≠ 60) → pas proportionnel.

Exercice 2

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions linéaires ? Pour celles qui le sont, donner le coefficient.

  1. \(f(x) = 5x\)
  2. \(g(x) = 3x + 2\)
  3. \(h(x) = -4x\)
  4. \(p(x) = x^2\)
  5. \(m(x) = 0{,}5x\)
Une fonction linéaire est de la forme \(f(x) = kx\) : elle vérifie \(f(0) = 0\) et sa droite passe par l'origine.
Linéaires : a) \(f(x) = 5x\) ✔ (coefficient \(5\)) ; c) \(h(x) = -4x\) ✔ (coefficient \(-4\)) ; e) \(m(x) = 0{,}5x\) ✔ (coefficient \(0{,}5\))
Pas linéaires : b) \(g(x) = 3x + 2\) car \(g(0) = 2 \neq 0\) ; d) \(p(x) = x^2\) car elle n'est pas de la forme \(kx\) (\(p(1)=1\) mais \(p(2)=4\), le rapport \(p(x)/x\) n'est pas constant).

Exercice 2b

Un artisan vernisseur utilise toujours la même quantité de vernis par m² de surface traitée. Pour 6 m², il utilise 1,8 L.

  1. S'agit-il d'une situation de proportionnalité ? Justifier.
  2. Si oui, écrire la fonction linéaire correspondante.
  3. Quelle quantité pour 15 m² ?
  1. Oui : "même quantité par m²" signifie un rapport constant → proportionnalité.
  2. \(k = \dfrac{1{,}8}{6} = 0{,}3\) L/m². Donc \(V(x) = 0{,}3x\).
  3. \(V(15) = 0{,}3 \times 15 = 4{,}5\) L.

C2 — Déterminer le coefficient de proportionnalité \(k\)

Formule clé

Si \(f(x) = kx\), alors \(\displaystyle k = \frac{f(x)}{x}\) pour tout \(x \neq 0\).

Exercice 3

Déterminer le coefficient \(k\) de la fonction linéaire \(f(x) = kx\) dans chaque cas :

  1. \(f(4) = 20\)
  2. \(f(3) = -9\)
  3. \(f(0{,}5) = 3\)
On utilise \(k = \dfrac{f(x)}{x}\) :
  1. \(k = \dfrac{20}{4} = 5\) donc \(f(x) = 5x\)
  2. \(k = \dfrac{-9}{3} = -3\) donc \(f(x) = -3x\)
  3. \(k = \dfrac{3}{0{,}5} = 6\) donc \(f(x) = 6x\)

Exercice 4

Un poseur de parquet facture 12 € par m² posé. Écrire la fonction linéaire modélisant le coût, puis identifier \(k\).

\(C(x) = 12x\) où \(x\) est la surface en m² et \(C(x)\) le coût en €.
Le coefficient de proportionnalité est \(k = 12\) (€/m²).

Exercice 5

Un tableau de proportionnalité donne : pour 5 m de planche, le prix est 17,50 €. Trouver \(k\) puis calculer le prix pour 8 m.

\(k = \dfrac{17{,}50}{5} = 3{,}50\) €/m
Prix pour 8 m : \(f(8) = 3{,}50 \times 8 = 28\) €

Exercice 5 bis

5 kg d'enduit coûtent 22 €. Pour trouver le prix au kilogramme, un élève écrit : « \(k = \dfrac{5}{22} \approx 0{,}23\) ».

  1. Expliquer son erreur.
  2. Calculer le bon coefficient et donner son unité.
  3. Une autre facture indique 8 kg pour 35,20 €. Le prix au kilogramme est-il le même ?
  1. Il a divisé la masse par le prix : il a retourné la division. On divise la sortie (le prix) par l'entrée (la masse). Son résultat serait en kilogrammes par euro.
  2. \(k = \dfrac{22}{5} = 4{,}4\) €/kg.
  3. \(\dfrac{35{,}20}{8} = 4{,}4\) €/kg : oui, c'est le même prix au kilogramme.

C3 — Calculer une image avec \(f(x) = kx\)

Rappel de cours

Pour calculer \(f(a) = k \times a\), on multiplie simplement le coefficient \(k\) par la valeur \(a\). Propriété importante : \(f(0) = 0\) pour toute fonction linéaire.

Exercice 6

Soit \(f(x) = 6x\). Calculer :

  1. \(f(0)\)
  2. \(f(7)\)
  3. \(f(-3)\)
  4. \(f(1{,}5)\)
  1. \(f(0) = 6 \times 0 = 0\) (toute fonction linéaire s'annule en 0)
  2. \(f(7) = 6 \times 7 = 42\)
  3. \(f(-3) = 6 \times (-3) = -18\)
  4. \(f(1{,}5) = 6 \times 1{,}5 = 9\)

Exercice 7

Un fabricant de meubles consomme 0,3 litre de vernis par m² de surface. Calculer la quantité nécessaire pour des surfaces de 3 m², 7,5 m² et 12 m².

\(V(x) = 0{,}3x\) litres
\(V(3) = 0{,}3 \times 3 = 0{,}9\) L
\(V(7{,}5) = 0{,}3 \times 7{,}5 = 2{,}25\) L
\(V(12) = 0{,}3 \times 12 = 3{,}6\) L

Exercice 7b

Soit \(f(x) = -2{,}5x\). Calculer \(f(4)\), \(f(-6)\) et \(f(0)\). Que remarque-t-on pour \(f(0)\) ?

\(f(4) = -2{,}5 \times 4 = -10\)
\(f(-6) = -2{,}5 \times (-6) = 15\)
\(f(0) = -2{,}5 \times 0 = 0\). L'image de 0 est toujours 0 pour une fonction linéaire : la droite passe par l'origine.
Rappel de cours — Des images en série

Au tableur : la colonne A contient les quantités à partir de la ligne 2 (la ligne 1 porte les titres). En B2, on écrit =A2*8, puis on recopie la formule vers le bas : elle devient =A3*8, =A4*8… Une formule commence toujours par =. Un tableur réglé en français écrit les décimaux avec une virgule : =A2*15,5.

En Python : l'en-tête def prix(x): est donné ; on écrit la ligne return 8*x. En Python, un décimal s'écrit avec un point : 15.5*x.

Exercice 7 ter — Au tableur

Un électricien facture la pose de câble 3,50 € le mètre : \(P(x) = 3{,}5x\). Il prépare cette feuille de calcul.

AB
1Longueur (m)Prix (€)
210?
325
440
  1. Quelle formule saisir en B2 ?
  2. On recopie la formule vers le bas. Qu'est-il écrit en B4 ?
  3. Quels nombres le tableur affiche-t-il en B2, B3 et B4 ?
  1. =A2*3,5 (ou =3,5*A2). Dans un tableur réglé en anglais, on écrirait =A2*3.5.
  2. En recopiant, le numéro de ligne suit : B4 contient =A4*3,5.
  3. B2 : \(3{,}5 \times 10 = 35\) ; B3 : \(3{,}5 \times 25 = 87{,}5\) ; B4 : \(3{,}5 \times 40 = 140\). Soit 35 €, 87,50 € et 140 €.

Exercice 7 quater — En Python

Un atelier consomme 0,25 L de vernis par mètre carré : \(V(s) = 0{,}25s\).

  1. Compléter la fonction Python :
def vernis(s):
    return ........
  1. Que renvoie vernis(12) ? Écrire le calcul.
  2. On ajoute les lignes ci-dessous. Qu'affiche le programme ?
for s in [4, 10, 30]:
    print(s, vernis(s))
  1. return 0.25*s — en Python, le décimal s'écrit avec un point.
  2. \(0{,}25 \times 12 = 3\) : la fonction renvoie 3.0, soit 3 L.
  3. Le programme affiche trois lignes : 4 1.0, puis 10 2.5, puis 30 7.5. Ce sont les surfaces et les volumes de vernis : 1 L, 2,5 L et 7,5 L.

C4 — Construire le tableau de valeurs et tracer la droite

Rappel de cours

La droite représentative d'une fonction linéaire passe toujours par l'origine \(O(0\,;\,0)\). Pour la tracer, il suffit de deux points : l'origine, puis un point calculé loin de l'origine. Un troisième point calculé sert à vérifier le tracé.

Exercice 8

Compléter le tableau de valeurs de \(f(x) = 3x\) :

\(x\)−3−10124
\(f(x)\)

Que remarque-t-on en \(x = 0\) ? Que peut-on en déduire sur la droite représentative ?

\(x\)−3−10124
\(f(x)\)−9−303612
En \(x = 0\), \(f(0) = 0\) : la droite passe par l'origine du repère \((0\,;\,0)\). C'est une propriété de toutes les fonctions linéaires.

Exercice 9

Pour tracer la droite de \(f(x) = 4x\), on a besoin d'au moins deux points. Calculer les coordonnées de deux points et expliquer pourquoi l'un d'eux est toujours évident.

Point évident : \(f(0) = 0\) → le point \(O(0\,;\,0)\) est toujours sur la droite d'une fonction linéaire.
Deuxième point, choisi loin de l'origine : par exemple \(f(5) = 20\) → point \(A(5\,;\,20)\). Le point \((1\,;\,4)\) est juste, mais trop proche de l'origine pour un tracé précis.
On trace la droite passant par \(O\) et \(A\).

Exercice 9b

Tracer la droite de \(g(x) = -1{,}5x\) dans le repère ci-dessous. Commencer par calculer \(g(0)\), \(g(2)\) et \(g(-2)\).

x y O −2 −1 1 2 1 2 −1 −2 −3
Repère vierge — tracer g(x) = −1,5x
\(g(0) = 0\) → point O(0;0)
\(g(2) = -1{,}5 \times 2 = -3\) → point A(2;−3)
\(g(-2) = -1{,}5 \times (-2) = 3\) → point B(−2;3)
La droite passe par O, descend (k = −1,5 < 0 → décroissante).

Exercice 9 ter

La pose de plinthes est facturée 15 € le mètre : \(f(x) = 15x\).

  1. Un camarade trace la droite de \(f\) avec l'origine et le point \((1\,;\,15)\), sur un repère gradué jusqu'à 150 €. Pourquoi ce choix donne-t-il un tracé imprécis ? Proposer un meilleur second point.
  2. Sans lire de graphique, dire si le point \(B(8\,;\,115)\) est sur la droite de \(f\). Justifier par un calcul.
  1. Le point \((1\,;\,15)\) est presque collé à l'origine : une erreur d'un millimètre fait pivoter toute la droite. On prend un point loin de l'origine, par exemple \(f(10) = 150\), soit \((10\,;\,150)\).
  2. \(f(8) = 15 \times 8 = 120 \neq 115\) : le point \(B\) n'est pas sur la droite.

C5 — Lire graphiquement une fonction linéaire

Exercice 10

La droite représentative d'une fonction linéaire \(f\) passe par les points \(O(0\,;\,0)\) et \(A(4\,;\,10)\).

  1. Calculer le coefficient \(k\).
  2. Écrire l'expression de \(f(x)\).
  3. Calculer \(f(6)\).
  4. Trouver l'antécédent de 25.
  1. \(k = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\)
  2. \(f(x) = 2{,}5x\)
  3. \(f(6) = 2{,}5 \times 6 = 15\)
  4. \(2{,}5x = 25 \Rightarrow x = 10\)

Exercice 11

Sur un graphique, la droite d'une fonction linéaire passe par \(O(0\,;\,0)\) et \(B(3\,;\,-6)\).

  1. La droite monte ou descend-elle ?
  2. Quel est le coefficient \(k\) ?
  3. Calculer \(f(5)\) et \(f(-2)\).
  1. La droite descend (quand \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue).
  2. \(k = \dfrac{-6}{3} = -2\) → \(f(x) = -2x\)
  3. \(f(5) = -2 \times 5 = -10\) ; \(f(-2) = -2 \times (-2) = 4\)

Exercice 11 bis

Le graphique ci-dessus représente une fonction linéaire \(g\).

  1. Lire graphiquement \(g(2)\).
  2. Lire graphiquement l'antécédent de \(6\) par \(g\).
  3. En déduire le coefficient de \(g\), puis son expression \(g(x)\).
  1. Pour \(x = 2\), on lit \(g(2) = 3\).
  2. On cherche \(x\) tel que \(g(x) = 6\) : l'antécédent est \(x = 4\).
  3. \(k = \dfrac{g(2)}{2} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\), donc \(g(x) = 1{,}5\,x\) (vérification : \(g(4) = 1{,}5 \times 4 = 6\) ✔).

Exercice 11 ter

Les droites \(f\) et \(g\) représentent deux fonctions linéaires.

  1. Sans calcul, laquelle a le plus grand coefficient ? Justifier.
  2. Un élève lit sur la droite \(f\) le point \((3\,;\,7)\) et en déduit \(k = \dfrac{7}{3} \approx 2{,}33\). Expliquer pourquoi son coefficient est faux, puis trouver le bon.
  1. La droite \(f\) : elle est plus inclinée, elle monte plus vite. Plus le coefficient est grand, plus la droite s'élève rapidement.
  2. Le point lu n'est pas sur un croisement du quadrillage : la droite passe par \((3\,;\,7{,}5)\), entre deux graduations. On choisit un point bien lisible, \((2\,;\,5)\) : \(k = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\), donc \(f(x) = 2{,}5x\).

C6 — Revenir à la quantité : résoudre \(kx = b\)

Rappel de cours

On connaît la sortie et l'on cherche l'entrée : on résout \(kx = b\), donc \(x = \dfrac{b}{k}\). On vérifie en recalculant l'image. Entrée connue → on multiplie ; sortie connue → on divise.

Tableau x f(x) 0 2 4 0 9 18 × 4,5 k = 4,50 €/m Graphique x (m) € 2 4 6 8 9 18 36 f(x) = 4,5x
Le tableau de proportionnalité et le graphique sont deux représentations de la même fonction linéaire \(f(x) = 4{,}5x\)

Exercice 12

Un artisan menuisier achète des lames de bois à 4,50 € le mètre linéaire. Il a besoin de 14 m pour une commande.

  1. Modéliser le coût par une fonction linéaire.
  2. Calculer le coût total de la commande.
  3. Avec un budget de 90 €, quelle longueur peut-il acheter ?
  1. \(C(x) = 4{,}50x\)
  2. \(C(14) = 4{,}50 \times 14 = 63\) €
  3. \(4{,}50x = 90 \Rightarrow x = 20\) m

Exercice 13

Pour peindre 20 m² de surface, il faut 2,5 L de peinture. En supposant une proportionnalité :

  1. Calculer le coefficient de proportionnalité (en L/m²).
  2. Combien de litres faut-il pour 48 m² ?
  3. Quelle surface peut-on couvrir avec 10 L ?
  1. \(k = \dfrac{2{,}5}{20} = 0{,}125\) L/m²
  2. \(V(48) = 0{,}125 \times 48 = 6\) L
  3. \(0{,}125 \times x = 10 \Rightarrow x = \dfrac{10}{0{,}125} = 80\) m²

Exercice 14

Un cycliste parcourt 90 km en 3 h à vitesse constante. Calculer sa vitesse, puis la distance parcourue en 5 h et le temps nécessaire pour parcourir 210 km.

Vitesse : \(k = \dfrac{90}{3} = 30\) km/h → \(d(t) = 30t\)
En 5 h : \(d(5) = 30 \times 5 = 150\) km
Pour 210 km : \(30t = 210 \Rightarrow t = 7\) h

Exercice 14 bis

Un câble est vendu 6,50 € le mètre : \(P(x) = 6{,}5x\). Un client pose deux questions.

  • Question 1 : « Combien coûtent 12 m de câble ? »
  • Question 2 : « Quelle longueur ai-je pour 104 € ? »
  1. Pour chaque question, dire si l'on cherche une image ou un antécédent, sans calculer.
  2. Répondre à la question 2, puis vérifier.
  3. Un radiateur de 1,5 kW consomme \(E(t) = 1{,}5t\) kWh en \(t\) heures. Pendant combien de temps a-t-il fonctionné s'il a consommé 9 kWh ?
  1. Question 1 : la longueur est connue, on cherche une image (on multiplie). Question 2 : le montant est connu, on cherche un antécédent (on divise).
  2. \(6{,}5x = 104\), donc \(x = \dfrac{104}{6{,}5} = 16\). Vérification : \(P(16) = 6{,}5 \times 16 = 104\). Le client a 16 m de câble.
  3. \(1{,}5t = 9\), donc \(t = \dfrac{9}{1{,}5} = 6\). Vérification : \(E(6) = 9\). Le radiateur a fonctionné 6 h.

C7 — Résoudre un problème de proportionnalité

Rappel de cours

Quatre calculs sont des fonctions linéaires déguisées : c'est toujours \(y = kx\).

  • Prendre \(p\) % d'un nombre : \(k = \dfrac{p}{100}\). Une TVA à 20 % : \(T(x) = 0{,}20x\).
  • Après une remise de \(p\) %, le prix payé correspond à \(k = 1 - \dfrac{p}{100}\) : pour 12 %, \(P(x) = 0{,}88x\), alors que le montant de la remise est \(R(x) = 0{,}12x\).
  • Convertir une unité : \(k\) est le facteur de conversion.
  • Échelle \(1/n\) : la longueur réelle est \(R(x) = nx\), dans la même unité que la mesure sur le plan.

Exercice 15 — Du plan au réel

Un plan est à l'échelle 1/50 : \(R(x) = 50x\), en centimètres.

  1. Une allée mesure 7 cm sur le plan. Calculer sa longueur réelle, en mètres.
  2. Un mur réel mesure 4 m. Quelle longueur occupe-t-il sur le plan ?
  1. \(R(7) = 50 \times 7 = 350\) cm, soit 3,5 m.
  2. 4 m = 400 cm. On résout \(50x = 400\) : \(x = 8\). Le mur occupe 8 cm sur le plan.

Exercice 16 — La TVA

Des travaux sont facturés 850 € hors taxes (HT). La TVA est de 20 %.

  1. Écrire la fonction \(T(x)\) qui donne le montant de la TVA pour un prix HT \(x\).
  2. Calculer le montant de la TVA, puis le prix à payer.
  1. \(T(x) = 0{,}20x\).
  2. \(T(850) = 0{,}20 \times 850 = 170\) € de TVA. Prix à payer : \(850 + 170 = 1\,020\) €. On peut aussi calculer \(1{,}2 \times 850 = 1\,020\) €.

Exercice 17 — Une remise

Un fournisseur accorde une remise de 12 % sur une commande de 450 €.

  1. Écrire la fonction \(R(x)\) du montant de la remise et la fonction \(P(x)\) du prix payé.
  2. Calculer le prix payé.
  3. Un élève écrit \(P(450) = 0{,}12 \times 450 = 54\) €. Expliquer son erreur.
  1. \(R(x) = 0{,}12x\) et \(P(x) = x - 0{,}12x = 0{,}88x\).
  2. \(P(450) = 0{,}88 \times 450 = 396\) €.
  3. 54 € est le montant de la remise, pas le prix payé : il a pris le coefficient 0,12 au lieu de 0,88.

Exercice 18 — Des pouces aux centimètres

Un pouce vaut exactement 2,54 cm.

  1. Écrire la fonction \(C(x)\) qui convertit \(x\) pouces en centimètres.
  2. Un écran a une diagonale de 24 pouces. Calculer cette diagonale en centimètres.
  3. Un tube a un diamètre de 3,81 cm. Quel est ce diamètre en pouces ?
  1. \(C(x) = 2{,}54x\) : le coefficient est le facteur de conversion.
  2. \(C(24) = 2{,}54 \times 24 = 60{,}96\) : environ 61 cm.
  3. \(2{,}54x = 3{,}81\), donc \(x = \dfrac{3{,}81}{2{,}54} = 1{,}5\) pouce.