← Retour au sommaire

Chapitre 8 – Exercices par capacités

Fonction linéaire et proportionnalité  |  2nde Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 27 juillet 2026, 22:45

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Reconnaître une situation de proportionnalité et une fonction linéaire

Rappel de cours

Une fonction linéaire est de la forme \(f(x) = kx\) (avec \(k\) constante, pas de terme constant). Elle modélise une proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité, tous les rapports \(\frac{\text{valeur de sortie}}{\text{valeur d'entrée}}\) sont égaux à \(k\).

Exercice 1

Pour chaque tableau, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. Justifier en calculant les rapports.

Tableau A :

Longueur (m)24610
Prix (€)14284270

Tableau B :

Temps (h)1234
Distance (km)60110180240
Tableau A : rapports \(\frac{14}{2} = 7\), \(\frac{28}{4} = 7\), \(\frac{42}{6} = 7\), \(\frac{70}{10} = 7\). Tous égaux → tableau de proportionnalité, \(k = 7\).

Tableau B : rapports \(\frac{60}{1} = 60\), \(\frac{110}{2} = 55\), \(\frac{180}{3} = 60\), \(\frac{240}{4} = 60\). Pas tous égaux (55 ≠ 60) → pas proportionnel.

Exercice 2

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions linéaires ? Pour celles qui le sont, donner le coefficient.

  1. \(f(x) = 5x\)
  2. \(g(x) = 3x + 2\)
  3. \(h(x) = -4x\)
  4. \(k(x) = x^2\)
  5. \(m(x) = 0{,}5x\)
Une fonction linéaire est de la forme \(f(x) = ax\) : elle vérifie \(f(0) = 0\) et sa droite passe par l'origine.
Linéaires : a) \(f(x) = 5x\) ✔ (coefficient \(5\)) ; c) \(h(x) = -4x\) ✔ (coefficient \(-4\)) ; e) \(m(x) = 0{,}5x\) ✔ (coefficient \(0{,}5\))
Pas linéaires : b) \(g(x) = 3x + 2\) car \(g(0) = 2 \neq 0\) ; d) \(k(x) = x^2\) car elle n'est pas de la forme \(ax\) (\(k(1)=1\) mais \(k(2)=4\), le rapport \(k(x)/x\) n'est pas constant).

Exercice 2b

Un artisan vernisseur utilise toujours la même quantité de vernis par m² de surface traitée. Pour 6 m², il utilise 1,8 L.

  1. S'agit-il d'une situation de proportionnalité ? Justifier.
  2. Si oui, écrire la fonction linéaire correspondante.
  3. Quelle quantité pour 15 m² ?
  1. Oui : "même quantité par m²" signifie un rapport constant → proportionnalité.
  2. \(k = \dfrac{1{,}8}{6} = 0{,}3\) L/m². Donc \(V(x) = 0{,}3x\).
  3. \(V(15) = 0{,}3 \times 15 = 4{,}5\) L.

C2 — Déterminer le coefficient de proportionnalité \(k\)

Formule clé

Si \(f(x) = kx\), alors \(\displaystyle k = \frac{f(x)}{x}\) pour tout \(x \neq 0\).

Exercice 3

Déterminer le coefficient \(k\) de la fonction linéaire \(f(x) = kx\) dans chaque cas :

  1. \(f(4) = 20\)
  2. \(f(3) = -9\)
  3. \(f(0{,}5) = 3\)
On utilise \(k = \dfrac{f(x)}{x}\) :
  1. \(k = \dfrac{20}{4} = 5\) donc \(f(x) = 5x\)
  2. \(k = \dfrac{-9}{3} = -3\) donc \(f(x) = -3x\)
  3. \(k = \dfrac{3}{0{,}5} = 6\) donc \(f(x) = 6x\)

Exercice 4

Un poseur de parquet facture 12 € par m² posé. Écrire la fonction linéaire modélisant le coût, puis identifier \(k\).

\(C(x) = 12x\) où \(x\) est la surface en m² et \(C(x)\) le coût en €.
Le coefficient de proportionnalité est \(k = 12\) (€/m²).

Exercice 5

Un tableau de proportionnalité donne : pour 5 m de planche, le prix est 17,50 €. Trouver \(k\) puis calculer le prix pour 8 m.

\(k = \dfrac{17{,}50}{5} = 3{,}50\) €/m
Prix pour 8 m : \(f(8) = 3{,}50 \times 8 = 28\) €

C3 — Calculer une image avec \(f(x) = kx\)

Rappel de cours

Pour calculer \(f(a) = k \times a\), on multiplie simplement le coefficient \(k\) par la valeur \(a\). Propriété importante : \(f(0) = 0\) pour toute fonction linéaire.

Exercice 6

Soit \(f(x) = 6x\). Calculer :

  1. \(f(0)\)
  2. \(f(7)\)
  3. \(f(-3)\)
  4. \(f(1{,}5)\)
  1. \(f(0) = 6 \times 0 = 0\) (toute fonction linéaire s'annule en 0)
  2. \(f(7) = 6 \times 7 = 42\)
  3. \(f(-3) = 6 \times (-3) = -18\)
  4. \(f(1{,}5) = 6 \times 1{,}5 = 9\)

Exercice 7

Un fabricant de meubles consomme 0,3 litre de vernis par m² de surface. Calculer la quantité nécessaire pour des surfaces de 3 m², 7,5 m² et 12 m².

\(V(x) = 0{,}3x\) litres
\(V(3) = 0{,}3 \times 3 = 0{,}9\) L
\(V(7{,}5) = 0{,}3 \times 7{,}5 = 2{,}25\) L
\(V(12) = 0{,}3 \times 12 = 3{,}6\) L

Exercice 7b

Soit \(f(x) = -2{,}5x\). Calculer \(f(4)\), \(f(-6)\) et \(f(0)\). Que remarque-t-on pour \(f(0)\) ?

\(f(4) = -2{,}5 \times 4 = -10\)
\(f(-6) = -2{,}5 \times (-6) = 15\)
\(f(0) = -2{,}5 \times 0 = 0\). L'image de 0 est toujours 0 pour une fonction linéaire : la droite passe par l'origine.

C4 — Construire le tableau de valeurs et tracer la droite

Rappel de cours

La droite représentative d'une fonction linéaire passe toujours par l'origine \(O(0\,;\,0)\). Pour la tracer, il suffit de deux points : l'origine et un autre point \((1\,;\,k)\) ou un point commode.

Exercice 8

Compléter le tableau de valeurs de \(f(x) = 3x\) :

\(x\)−3−10124
\(f(x)\)

Que remarque-t-on en \(x = 0\) ? Que peut-on en déduire sur la droite représentative ?

\(x\)−3−10124
\(f(x)\)−9−303612
En \(x = 0\), \(f(0) = 0\) : la droite passe par l'origine du repère \((0\,;\,0)\). C'est une propriété de toutes les fonctions linéaires.

Exercice 9

Pour tracer la droite de \(f(x) = 4x\), on a besoin d'au moins deux points. Calculer les coordonnées de deux points et expliquer pourquoi l'un d'eux est toujours évident.

Point évident : \(f(0) = 0\) → le point \(O(0\,;\,0)\) est toujours sur la droite d'une fonction linéaire.
Deuxième point : par exemple \(f(1) = 4\) → point \(A(1\,;\,4)\).
On trace la droite passant par \(O\) et \(A\).

Exercice 9b

Tracer la droite de \(g(x) = -1{,}5x\) dans le repère ci-dessous. Commencer par calculer \(g(0)\), \(g(2)\) et \(g(-2)\).

x y O −2 −1 1 2 1 2 −1 −2 −3
Repère vierge — tracer g(x) = −1,5x
\(g(0) = 0\) → point O(0;0)
\(g(2) = -1{,}5 \times 2 = -3\) → point A(2;−3)
\(g(-2) = -1{,}5 \times (-2) = 3\) → point B(−2;3)
La droite passe par O, descend (k = −1,5 < 0 → décroissante).

C5 — Lire graphiquement une fonction linéaire

Exercice 10

La droite représentative d'une fonction linéaire \(f\) passe par les points \(O(0\,;\,0)\) et \(A(4\,;\,10)\).

  1. Calculer le coefficient \(k\).
  2. Écrire l'expression de \(f(x)\).
  3. Calculer \(f(6)\).
  4. Trouver l'antécédent de 25.
  1. \(k = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\)
  2. \(f(x) = 2{,}5x\)
  3. \(f(6) = 2{,}5 \times 6 = 15\)
  4. \(2{,}5x = 25 \Rightarrow x = 10\)

Exercice 11

Sur un graphique, la droite d'une fonction linéaire passe par \(O(0\,;\,0)\) et \(B(3\,;\,-6)\).

  1. La droite monte ou descend-elle ?
  2. Quel est le coefficient \(k\) ?
  3. Calculer \(f(5)\) et \(f(-2)\).
  1. La droite descend (quand \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue).
  2. \(k = \dfrac{-6}{3} = -2\) → \(f(x) = -2x\)
  3. \(f(5) = -2 \times 5 = -10\) ; \(f(-2) = -2 \times (-2) = 4\)

Exercice 11 bis

Le graphique ci-dessus représente une fonction linéaire \(g\).

  1. Lire graphiquement \(g(2)\).
  2. Lire graphiquement l'antécédent de \(6\) par \(g\).
  3. En déduire le coefficient de \(g\), puis son expression \(g(x)\).
  1. Pour \(x = 2\), on lit \(g(2) = 3\).
  2. On cherche \(x\) tel que \(g(x) = 6\) : l'antécédent est \(x = 4\).
  3. \(k = \dfrac{g(2)}{2} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5\), donc \(g(x) = 1{,}5\,x\) (vérification : \(g(4) = 1{,}5 \times 4 = 6\) ✔).

C6 — Résoudre un problème de proportionnalité

Tableau x f(x) 0 2 4 0 9 18 x 4,5 k = 4,50 eur/m Graphique x (m) eur 2 4 6 8 9 18 36 f(x) = 4,5x
Le tableau de proportionnalite et le graphique sont deux representations de la meme fonction lineaire \(f(x) = 4{,}5x\)

Exercice 12

Un artisan menuisier achète des lames de bois à 4,50 € le mètre linéaire. Il a besoin de 14 m pour une commande.

  1. Modéliser le coût par une fonction linéaire.
  2. Calculer le coût total de la commande.
  3. Avec un budget de 90 €, quelle longueur peut-il acheter ?
  1. \(C(x) = 4{,}50x\)
  2. \(C(14) = 4{,}50 \times 14 = 63\) €
  3. \(4{,}50x = 90 \Rightarrow x = 20\) m

Exercice 13

Pour peindre 20 m² de surface, il faut 2,5 L de peinture. En supposant une proportionnalité :

  1. Calculer le coefficient de proportionnalité (en L/m²).
  2. Combien de litres faut-il pour 48 m² ?
  3. Quelle surface peut-on couvrir avec 10 L ?
  1. \(k = \dfrac{2{,}5}{20} = 0{,}125\) L/m²
  2. \(V(48) = 0{,}125 \times 48 = 6\) L
  3. \(0{,}125 \times x = 10 \Rightarrow x = \dfrac{10}{0{,}125} = 80\) m²

Exercice 14

Un cycliste parcourt 90 km en 3 h à vitesse constante. Calculer sa vitesse, puis la distance parcourue en 5 h et le temps nécessaire pour parcourir 210 km.

Vitesse : \(k = \dfrac{90}{3} = 30\) km/h → \(d(t) = 30t\)
En 5 h : \(d(5) = 30 \times 5 = 150\) km
Pour 210 km : \(30t = 210 \Rightarrow t = 7\) h