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Chapitre 8 – Exercices par capacités

Fonction linéaire et proportionnalité  |  Seconde Bac Pro MAMA  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 11 mai 2026

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Reconnaître une situation de proportionnalité et une fonction linéaire

Rappel de cours

Une fonction linéaire est de la forme \(f(x) = kx\) (avec \(k\) constante, pas de terme constant). Elle modélise une proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité, tous les rapports \(\frac{\text{valeur de sortie}}{\text{valeur d'entrée}}\) sont égaux à \(k\).

Exercice 1

Pour chaque tableau, dire s'il s'agit d'un tableau de proportionnalité. Justifier en calculant les rapports.

Tableau A :

Longueur (m)24610
Prix (€)14284270

Tableau B :

Temps (h)1234
Distance (km)60110180240
Tableau A : rapports \(\frac{14}{2} = 7\), \(\frac{28}{4} = 7\), \(\frac{42}{6} = 7\), \(\frac{70}{10} = 7\). Tous égaux → tableau de proportionnalité, \(k = 7\).

Tableau B : rapports \(\frac{60}{1} = 60\), \(\frac{110}{2} = 55\), \(\frac{180}{3} = 60\), \(\frac{240}{4} = 60\). Pas tous égaux (55 ≠ 60) → pas proportionnel.

Exercice 2

Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont des fonctions linéaires ?

  1. \(f(x) = 5x\)
  2. \(g(x) = 3x + 2\)
  3. \(h(x) = -4x\)
  4. \(k(x) = x^2\)
  5. \(m(x) = 0{,}5x\)
Une fonction linéaire est de la forme \(f(x) = kx\) (terme constant nul, degré 1).
Linéaires : a) \(f(x) = 5x\) ✔ ; c) \(h(x) = -4x\) ✔ ; e) \(m(x) = 0{,}5x\) ✔
Pas linéaires : b) \(g(x) = 3x + 2\) (terme +2 → fonction affine) ; d) \(k(x) = x^2\) (degré 2).

Exercice 2b

Un artisan vernisseur utilise toujours la même quantité de vernis par m² de surface traitée. Pour 6 m², il utilise 1,8 L.

  1. S'agit-il d'une situation de proportionnalité ? Justifier.
  2. Si oui, écrire la fonction linéaire correspondante.
  3. Quelle quantité pour 15 m² ?
  1. Oui : "même quantité par m²" signifie un rapport constant → proportionnalité.
  2. \(k = \dfrac{1{,}8}{6} = 0{,}3\) L/m². Donc \(V(x) = 0{,}3x\).
  3. \(V(15) = 0{,}3 \times 15 = 4{,}5\) L.

C2 — Déterminer le coefficient de proportionnalité \(k\)

Formule clé

Si \(f(x) = kx\), alors \(\displaystyle k = \frac{f(x)}{x}\) pour tout \(x \neq 0\).

Exercice 3

Déterminer le coefficient \(k\) de la fonction linéaire \(f(x) = kx\) dans chaque cas :

  1. \(f(4) = 20\)
  2. \(f(3) = -9\)
  3. \(f(0{,}5) = 3\)
On utilise \(k = \dfrac{f(x)}{x}\) :
  1. \(k = \dfrac{20}{4} = 5\) donc \(f(x) = 5x\)
  2. \(k = \dfrac{-9}{3} = -3\) donc \(f(x) = -3x\)
  3. \(k = \dfrac{3}{0{,}5} = 6\) donc \(f(x) = 6x\)

Exercice 4

Un poseur de parquet facture 12 € par m² posé. Écrire la fonction linéaire modélisant le coût, puis identifier \(k\).

\(C(x) = 12x\) où \(x\) est la surface en m² et \(C(x)\) le coût en €.
Le coefficient de proportionnalité est \(k = 12\) (€/m²).

Exercice 5

Un tableau de proportionnalité donne : pour 5 m de planche, le prix est 17,50 €. Trouver \(k\) puis calculer le prix pour 8 m.

\(k = \dfrac{17{,}50}{5} = 3{,}50\) €/m
Prix pour 8 m : \(f(8) = 3{,}50 \times 8 = 28\) €

C3 — Calculer une image avec \(f(x) = kx\)

Rappel de cours

Pour calculer \(f(a) = k \times a\), on multiplie simplement le coefficient \(k\) par la valeur \(a\). Propriété importante : \(f(0) = 0\) pour toute fonction linéaire.

Exercice 6

Soit \(f(x) = 6x\). Calculer :

  1. \(f(0)\)
  2. \(f(7)\)
  3. \(f(-3)\)
  4. \(f(1{,}5)\)
  1. \(f(0) = 6 \times 0 = 0\) (toute fonction linéaire s'annule en 0)
  2. \(f(7) = 6 \times 7 = 42\)
  3. \(f(-3) = 6 \times (-3) = -18\)
  4. \(f(1{,}5) = 6 \times 1{,}5 = 9\)

Exercice 7

Un fabricant de meubles consomme 2,4 litres de vernis par m² de surface. Calculer la quantité nécessaire pour des surfaces de 3 m², 7,5 m² et 12 m².

\(V(x) = 2{,}4x\) litres
\(V(3) = 2{,}4 \times 3 = 7{,}2\) L
\(V(7{,}5) = 2{,}4 \times 7{,}5 = 18\) L
\(V(12) = 2{,}4 \times 12 = 28{,}8\) L

Exercice 7b

Soit \(f(x) = -2{,}5x\). Calculer \(f(4)\), \(f(-6)\) et \(f(0)\). Que remarque-t-on pour \(f(0)\) ?

\(f(4) = -2{,}5 \times 4 = -10\)
\(f(-6) = -2{,}5 \times (-6) = 15\)
\(f(0) = -2{,}5 \times 0 = 0\). L'image de 0 est toujours 0 pour une fonction linéaire : la droite passe par l'origine.

C4 — Construire le tableau de valeurs et tracer la droite

Rappel de cours

La droite représentative d'une fonction linéaire passe toujours par l'origine \(O(0\,;\,0)\). Pour la tracer, il suffit de deux points : l'origine et un autre point \((1\,;\,k)\) ou un point commode.

x y 1 2 3 0 3 6 O(0;0) (1;3) f(x)=3x
Droite de \(f(x) = 3x\) passant par l'origine

Exercice 8

Compléter le tableau de valeurs de \(f(x) = 3x\) :

\(x\)−3−10124
\(f(x)\)

Que remarque-t-on en \(x = 0\) ? Que peut-on en déduire sur la droite représentative ?

\(x\)−3−10124
\(f(x)\)−9−303612
En \(x = 0\), \(f(0) = 0\) : la droite passe par l'origine du repère \((0\,;\,0)\). C'est une propriété de toutes les fonctions linéaires.

Exercice 9

Pour tracer la droite de \(f(x) = 4x\), on a besoin d'au moins deux points. Calculer les coordonnées de deux points et expliquer pourquoi l'un d'eux est toujours évident.

Point évident : \(f(0) = 0\) → le point \(O(0\,;\,0)\) est toujours sur la droite d'une fonction linéaire.
Deuxième point : par exemple \(f(1) = 4\) → point \(A(1\,;\,4)\).
On trace la droite passant par \(O\) et \(A\).

Exercice 9b

Tracer la droite de \(g(x) = -1{,}5x\) dans le repère ci-dessous. Commencer par calculer \(g(0)\), \(g(2)\) et \(g(-2)\).

x y O −2 −1 1 2 1 2 −1 −2 −3
Repère vierge — tracer g(x) = −1,5x
\(g(0) = 0\) → point O(0;0)
\(g(2) = -1{,}5 \times 2 = -3\) → point A(2;−3)
\(g(-2) = -1{,}5 \times (-2) = 3\) → point B(−2;3)
La droite passe par O, descend (k = −1,5 < 0 → décroissante).

C5 — Lire graphiquement une fonction linéaire

x y O 1 2 3 4 5 2 4 6 -2 -4 (2 ; 5) f(x) = 2,5x (2 ; -2) g(x) = -x k = 2,5 > 0 : montante k = -1 < 0 : descendante
Deux fonctions lineaires : si \(k > 0\) la droite monte, si \(k < 0\) elle descend. Les deux passent par l'origine.

Exercice 10

La droite représentative d'une fonction linéaire \(f\) passe par les points \(O(0\,;\,0)\) et \(A(4\,;\,10)\).

  1. Calculer le coefficient \(k\).
  2. Écrire l'expression de \(f(x)\).
  3. Calculer \(f(6)\).
  4. Trouver l'antécédent de 25.
  1. \(k = \dfrac{10}{4} = 2{,}5\)
  2. \(f(x) = 2{,}5x\)
  3. \(f(6) = 2{,}5 \times 6 = 15\)
  4. \(2{,}5x = 25 \Rightarrow x = 10\)

Exercice 11

x y O 1 2 3 -2 -4 -6 B(3 ; -6) Delta x = 3 Delta y = -6 k = Delta y / Delta x = ?
Droite passant par O et B(3 ; −6) — déterminer le coefficient k

Sur un graphique, la droite d'une fonction linéaire passe par \(O(0\,;\,0)\) et \(B(3\,;\,-6)\).

  1. La droite monte ou descend-elle ?
  2. Quel est le coefficient \(k\) ?
  3. Calculer \(f(5)\) et \(f(-2)\).
  1. La droite descend (quand \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue).
  2. \(k = \dfrac{-6}{3} = -2\) → \(f(x) = -2x\)
  3. \(f(5) = -2 \times 5 = -10\) ; \(f(-2) = -2 \times (-2) = 4\)

C6 — Résoudre un problème de proportionnalité

Tableau x f(x) 0 2 4 0 9 18 x 4,5 k = 4,50 eur/m Graphique x (m) eur 2 4 6 8 9 18 36 f(x) = 4,5x
Le tableau de proportionnalite et le graphique sont deux representations de la meme fonction lineaire \(f(x) = 4{,}5x\)

Exercice 12

Un artisan menuisier achète des lames de bois à 4,50 € le mètre linéaire. Il a besoin de 14 m pour une commande.

  1. Modéliser le coût par une fonction linéaire.
  2. Calculer le coût total de la commande.
  3. Avec un budget de 90 €, quelle longueur peut-il acheter ?
  1. \(C(x) = 4{,}50x\)
  2. \(C(14) = 4{,}50 \times 14 = 63\) €
  3. \(4{,}50x = 90 \Rightarrow x = 20\) m

Exercice 13

Pour peindre 20 m² de surface, il faut 2,5 L de peinture. En supposant une proportionnalité :

  1. Calculer le coefficient de proportionnalité (en L/m²).
  2. Combien de litres faut-il pour 48 m² ?
  3. Quelle surface peut-on couvrir avec 10 L ?
  1. \(k = \dfrac{2{,}5}{20} = 0{,}125\) L/m²
  2. \(V(48) = 0{,}125 \times 48 = 6\) L
  3. \(0{,}125 \times x = 10 \Rightarrow x = \dfrac{10}{0{,}125} = 80\) m²

Exercice 14

Un cycliste parcourt 90 km en 3 h à vitesse constante. Calculer sa vitesse, puis la distance parcourue en 5 h et le temps nécessaire pour parcourir 210 km.

Vitesse : \(k = \dfrac{90}{3} = 30\) km/h → \(d(t) = 30t\)
En 5 h : \(d(5) = 30 \times 5 = 150\) km
Pour 210 km : \(30t = 210 \Rightarrow t = 7\) h