Devoir Surveillé – Chapitre 8

Fonction linéaire et affine | 2^de Bac Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Reconnaître une fonction linéaire et déterminer son coefficient
Représenter graphiquement une fonction linéaire
Faire le lien entre proportionnalité et fonction linéaire
Résoudre des problèmes de proportionnalité par la fonction linéaire

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer

Socle

Exercice 1 – Calculer avec une fonction linéaire 8 points

Un menuisier pose du parquet. Il pose 5 m² par heure. On note \(S(h) = 5h\) la surface posée (en m²) après \(h\) heures.

Formule à utiliser : \(S(h) = 5 \times h\)
Pour calculer \(S(h)\), on remplace \(h\) par la valeur et on multiplie par 5.

1. REA Compléter le tableau de valeurs. (3 pts)

h (heures)	0	1	2	4	6
S(h) m²

2. REA Calculer la surface posée après 3 heures de travail. Montrer le calcul. (2 pts)

S(3) = 5 × ___ = ___ m²

3. ANA Le chantier nécessite 40 m² de parquet. Compléter pour trouver le temps de travail nécessaire. (3 pts)

Équation : \(5h = 40\)
On divise les deux membres par 5 : \(h = \dfrac{40}{5} = \) ___

h	0	1	2	4	6
S(h)	0	5	10	20	30

2. \(S(3) = 5 \times 3 = \mathbf{15}\) m².

3. \(5h = 40 \Rightarrow h = \dfrac{40}{5} = \mathbf{8}\) heures.

Exercice 2 – Reconnaître la proportionnalité 6 points

Pour chaque tableau, dire si les deux grandeurs sont proportionnelles. Calculer le rapport \(\dfrac{y}{x}\) pour chaque colonne.

Méthode : On calcule \(\dfrac{y}{x}\) pour chaque colonne. Si tous les rapports sont égaux → proportionnel. Sinon → non proportionnel.

Tableau A — Longueur de bois (m) / Prix (€) (3 pts)

Longueur (m)	2	5	8	10
Prix (€)	14	35	56	70
\(\dfrac{\text{Prix}}{\text{Longueur}}\)

Les rapports sont-ils tous égaux ? OUI / NON Coefficient de proportionnalité : \(a =\) ___

Tableau B — Heures de travail / Facture avec forfait (€) (3 pts)

Heures (h)	1	2	3	4
Facture (€)	75	110	145	180
\(\dfrac{\text{Facture}}{\text{Heures}}\)

Les rapports sont-ils tous égaux ? OUI / NON

Tableau A : \(\dfrac{14}{2}=\dfrac{35}{5}=\dfrac{56}{8}=\dfrac{70}{10}=7\) → tous égaux → OUI, proportionnel, \(a = 7\) €/m.

Tableau B : \(\dfrac{75}{1}=75\) ; \(\dfrac{110}{2}=55\) → rapports différents → NON, pas proportionnel (il y a un forfait de déplacement fixe de 40 €).

Exercice 3 – Problème guidé : coût de matériaux 6 points

Des vis de menuiserie coûtent 0,50 € la vis. Un artisan achète \(n\) vis.

1. APP Compléter la phrase et l'expression. (2 pts)

On note \(C(n)\) le coût total. C'est une fonction _______________ car le coût est proportionnel au nombre de vis.
\(C(n) = \)___ \(\times\, n\)

2. REA Calculer le coût pour 30 vis. (2 pts)

\(C(30) = 0{,}50 \times \) ___ = ___ €

3. REA L'artisan dispose de 12 €. Combien peut-il acheter de vis ? Compléter la résolution. (2 pts)

\(0{,}50\,n = 12\)
\(n = \dfrac{12}{0{,}50} = \)___

1. C'est une fonction linéaire. \(C(n) = 0{,}50 \times n\).

2. \(C(30) = 0{,}50 \times 30 = \mathbf{15}\) €.

3. \(n = \dfrac{12}{0{,}50} = \mathbf{24}\) vis.

Standard

Exercice 1 – Étude d'une fonction affine 8 points

Soit la fonction affine \(f(x) = -2x + 6\).

1. APP Identifier le coefficient directeur \(a\) et l'ordonnée à l'origine \(b\). La fonction est-elle croissante ou décroissante ? (2 pts)

2. REA Calculer \(f(0)\) et \(f(3)\). Placer les points correspondants et tracer la droite. (3 pts)

3. ANA Résoudre \(f(x) = 0\). Interpréter graphiquement. (3 pts)

1. \(a = -2\) (coefficient directeur), \(b = 6\) (ordonnée à l'origine). Comme \(a < 0\), la fonction est décroissante.

2. \(f(0) = 6\) → point \((0\;;\;6)\). \(f(3) = -2 \times 3 + 6 = 0\) → point \((3\;;\;0)\).

3. \(-2x + 6 = 0 \Rightarrow -2x = -6 \Rightarrow x = \mathbf{3}\). Graphiquement, c'est l'abscisse du point d'intersection de la droite avec l'axe des abscisses.

Exercice 2 – Déterminer une fonction affine 6 points

On connaît deux points d'une droite : \(C(1\;;\;4)\) et \(D(3\;;\;10)\).

1. REA Calculer le coefficient directeur \(a = \dfrac{y_D - y_C}{x_D - x_C}\). (2 pts)

2. REA En déduire l'ordonnée à l'origine \(b\) en utilisant le point \(C\). (2 pts)

3. VAL Vérifier que le point \(D\) appartient bien à la droite trouvée. (2 pts)

1. \(a = \dfrac{10 - 4}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = \mathbf{3}\).

2. \(y = 3x + b\). En \(C(1\;;\;4)\) : \(4 = 3 \times 1 + b \Rightarrow b = 1\). Donc \(\mathbf{f(x) = 3x + 1}\).

3. \(f(3) = 3 \times 3 + 1 = 10 = y_D\) ✓ Le point \(D\) est bien sur la droite.

Exercice 3 – Tarif d'un artisan 6 points

Un plombier facture ses interventions : 50 € de déplacement + 45 € par heure de travail. On note \(h\) le nombre d'heures.

1. ANA Exprimer le coût total \(C(h)\) en fonction de \(h\). De quel type de fonction s'agit-il ? (2 pts)

2. REA Calculer le coût pour 3 heures d'intervention. (1 pt)

3. REA La facture d'un client s'élève à 230 €. Calculer la durée de l'intervention. (2 pts)

4. COM Un concurrent facture 70 € de déplacement + 35 € par heure. Pour quelle durée les deux tarifs sont-ils égaux ? (1 pt)

1. \(C(h) = 45h + 50\). C'est une fonction affine (de la forme \(ah + b\)).

2. \(C(3) = 45 \times 3 + 50 = 135 + 50 = \mathbf{185}\) €.

3. \(45h + 50 = 230 \Rightarrow 45h = 180 \Rightarrow h = \mathbf{4}\) heures.

4. \(45h + 50 = 35h + 70 \Rightarrow 10h = 20 \Rightarrow h = \mathbf{2}\) heures. Au-delà de 2 h, le concurrent est moins cher.

Approfondissement

Exercice 1 – Analyse d'une fonction affine 8 points

Soit la fonction affine \(f(x) = 3x - 9\).

1. APP Donner les caractéristiques de \(f\) (coefficient directeur, ordonnée à l'origine, sens de variation). (2 pts)

2. REA Construire le tableau de valeurs pour \(x \in \{-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\}\), puis tracer la droite dans un repère orthogonal. (3 pts)

3. ANA Résoudre \(f(x) = 0\) et \(f(x) = 6\). Interpréter chaque solution graphiquement. (3 pts)

1. \(a = 3 > 0\) → fonction croissante. \(b = -9\) → ordonnée à l'origine en \((0\;;\;-9)\).

2. Tableau : \(f(-1)=-12\), \(f(0)=-9\), \(f(1)=-6\), \(f(2)=-3\), \(f(3)=0\), \(f(4)=3\).

3. \(3x-9=0 \Rightarrow x=3\) (zéro de la fonction, point d'intersection avec l'axe des abscisses). \(3x-9=6 \Rightarrow 3x=15 \Rightarrow x=5\) (abscisse du point d'ordonnée 6).

Exercice 2 – Comparaison de deux fournisseurs de bois 6 points

Un atelier de menuiserie doit s'approvisionner en planches de chêne. Deux fournisseurs proposent :

Fournisseur A (BoisNord) : 12 € la planche, sans frais de livraison.
Fournisseur B (ChênePro) : 9 € la planche + forfait livraison de 45 €.

1. ANA Écrire les fonctions coût \(C_A(n)\) et \(C_B(n)\) en fonction du nombre \(n\) de planches. Préciser le type de chaque fonction. (2 pts)

2. REA Résoudre \(C_A(n) = C_B(n)\). Interpréter le résultat. (2 pts)

3. COM L'atelier commande 20 planches. Quel fournisseur choisir ? Argumenter en comparant les coûts et en précisant l'économie réalisée. (2 pts)

1. \(C_A(n) = 12n\) (fonction linéaire) ; \(C_B(n) = 9n + 45\) (fonction affine).

2. \(12n = 9n + 45 \Rightarrow 3n = 45 \Rightarrow n = 15\). Pour 15 planches, les deux fournisseurs coûtent le même prix : \(C_A(15) = C_B(15) = 180\) €.

3. \(C_A(20) = 240\) € ; \(C_B(20) = 9 \times 20 + 45 = 225\) €. On choisit ChênePro (B). Économie : \(240 - 225 = 15\) €. (Remarque : au-delà de 15 planches, B est toujours moins cher.)

Exercice 3 – Vitesse de pose et rentabilité chantier 6 points

Un agenceur pose du carrelage à la vitesse de 4,5 m² par heure. Ses charges fixes journalières (amortissement matériel, assurance) sont de 36 €. Il facture 22 € par m² posé au client.

1. ANA Exprimer en fonction du nombre d'heures travaillées \(h\) :
— la surface posée \(S(h)\) ;
— le chiffre d'affaires \(CA(h)\) (recettes brutes) ;
— le bénéfice \(B(h)\) (recettes − charges). (3 pts)

2. REA À partir de combien d'heures l'agenceur commence-t-il à être bénéficiaire (c'est-à-dire \(B(h) > 0\)) ? (2 pts)

3. VAL En 8 heures de travail, quel bénéfice réalise-t-il ? Est-ce cohérent avec la question 2 ? (1 pt)

1. \(S(h) = 4{,}5h\) (m²) ; \(CA(h) = 22 \times 4{,}5h = 99h\) (€) ; \(B(h) = 99h - 36\) (€).

2. \(B(h) > 0 \Rightarrow 99h - 36 > 0 \Rightarrow h > \dfrac{36}{99} \approx 0{,}36\) heure. Dès environ 22 minutes de travail, l'agenceur est bénéficiaire.

3. \(B(8) = 99 \times 8 - 36 = 792 - 36 = \mathbf{756}\) €. Oui, c'est cohérent : 8 h > 0,36 h donc le bénéfice est positif.