Chapitre 8 – Fonction linéaire et proportionnalité | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 13:05
Si l'on double l'énergie disponible dans la batterie (par exemple, on passe de \(20\) kWh à \(40\) kWh), la distance que la voiture peut parcourir devient-elle : deux fois plus grande, un peu plus grande, ou identique ?
Elle devient deux fois plus grande. Avec deux fois plus d'énergie, on peut rouler deux fois plus loin : c'est une situation de proportionnalité. C'est exactement ce que l'on va démontrer dans cette activité.
Relevé d'essais du constructeur (à consommation constante) :
| Énergie utilisée \(E\) (kWh) | 10 | 20 | 30 | 40 |
|---|---|---|---|---|
| Distance parcourue \(d\) (km) | 50 | 100 | 150 | 200 |
D'après le graphique (Document 2), par quel point particulier passe la droite ? Que signifie ce point pour le véhicule ?
La droite passe par l'origine \((0\,;\,0)\). Cela veut dire qu'avec \(0\) kWh d'énergie, on parcourt \(0\) km : batterie vide, véhicule à l'arrêt. C'est le signe d'une situation de proportionnalité.
Sur le graphique, lis la distance parcourue \(d\) pour une énergie de 20 kWh, puis de 40 kWh.
Pour \(20\) kWh, on lit \(d = \mathbf{100}\) km. Pour \(40\) kWh, on lit \(d = \mathbf{200}\) km (points marqués sur la droite).
À partir du relevé d'essais (Document 1), calcule le rapport \(\dfrac{d}{E}\) pour chaque colonne. Que remarques-tu ?
\(\dfrac{50}{10} = 5\) | \(\dfrac{100}{20} = 5\) | \(\dfrac{150}{30} = 5\) | \(\dfrac{200}{40} = 5\).
Le rapport est constant, égal à \(5\) : la distance est donc proportionnelle à l'énergie, de coefficient \(5\).
Que représente concrètement ce coefficient 5 ? Quelle unité lui donnes-tu ? Fais le lien avec la consommation du Document 1.
Le coefficient \(5\) est le nombre de kilomètres parcourus avec \(1\) kWh : l'autonomie est de 5 km par kWh (5 km/kWh). C'est le coefficient directeur (la pente) de la droite.
Il correspond bien à la consommation annoncée : \(20\) kWh pour \(100\) km, soit \(0{,}20\) kWh par km ; et \(\dfrac{1}{0{,}20} = 5\) km par kWh. Le coefficient d'autonomie est l'inverse de la consommation par km.
Écris l'expression de la fonction linéaire \(f\) qui donne la distance \(d\) en fonction de l'énergie \(E\).
\(d = f(E) = 5 \times E\), soit \(\boxed{f(E) = 5E}\). C'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 5\).
La batterie pleine contient 50 kWh utilisables. Calcule l'autonomie du véhicule, c'est-à-dire la distance parcourue avec une charge complète.
\(f(50) = 5 \times 50 = \mathbf{250}\) km. L'autonomie à pleine charge est de 250 km.
Le client fait chaque jour une tournée de 180 km.
a. Une seule charge suffit-elle ?
b. Quelle énergie faut-il exactement pour parcourir \(180\) km ? (On cherche l'antécédent de \(180\).)
a. L'autonomie \(250\) km est supérieure à \(180\) km : oui, une charge suffit, avec une marge de \(250 - 180 = 70\) km.
b. On résout \(5E = 180\), donc \(E = \dfrac{180}{5} = \mathbf{36}\) kWh. Il faut 36 kWh pour la tournée.
Rédige 2 à 3 phrases pour expliquer au client le lien entre l'énergie de sa batterie et la distance qu'il peut parcourir.
Exemple : « La distance que vous pouvez parcourir est proportionnelle à l'énergie disponible dans la batterie : chaque kWh vous fait avancer de \(5\) km, ce qui se calcule avec la formule \(d = 5E\). Avec une batterie pleine de \(50\) kWh, vous roulez \(250\) km, largement assez pour votre tournée de \(180\) km. Plus la batterie stocke d'énergie, plus l'autonomie est grande. »
En hiver, le chauffage de l'habitacle fait grimper la consommation à 25 kWh pour 100 km.
a. Quel est le nouveau nombre de km parcourus par kWh ?
b. Quelle est alors l'autonomie avec la batterie pleine de \(50\) kWh ? La tournée de \(180\) km reste-t-elle possible ?
a. \(25\) kWh pour \(100\) km, soit \(0{,}25\) kWh par km ; \(\dfrac{1}{0{,}25} = 4\) km par kWh. La fonction devient \(d = 4E\).
b. \(f(50) = 4 \times 50 = 200\) km. L'autonomie tombe de \(250\) à \(200\) km (perte de \(50\) km), mais \(200 > 180\) : la tournée reste possible, avec une marge réduite de \(20\) km.
Réponse à la problématique : avec une charge complète (\(50\) kWh), l'autonomie est \(f(50) = 5 \times 50 = 250\) km ; c'est bien supérieur aux \(180\) km de la tournée, donc une seule charge suffit.
📚 §2 (proportionnalité), §3 (fonction linéaire) et §9 (lecture du coefficient) de la leçon Ch08.
Utilitaire électrique compact : valeurs réalistes à titre d'illustration (batterie ≈ 50 kWh, consommation ≈ 20 kWh/100 km, soit une autonomie d'environ 250 km à consommation constante). Le relevé d'essais sert de support pédagogique.