Chapitre 8 – Fonction linéaire et proportionnalité | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 13:05
Sur un chantier, si l'on produit deux fois plus de gravats à évacuer, le coût de l'évacuation sera-t-il identique, un peu plus élevé, ou deux fois plus élevé ? Que penses-tu ?
Si le transporteur facture uniquement selon le volume enlevé (sans forfait fixe), alors deux fois plus de gravats coûtent deux fois plus cher. Le coût suit le volume « à l'identique » : c'est une situation de proportionnalité. C'est justement ce que nous allons vérifier.
| Zone du chantier | Volume de gravats \(V\) (m³) | Coût d'évacuation \(C\) (€) |
|---|---|---|
| Démolition des cloisons | 2 | 90 |
| Dépose des sols (carrelage + chape) | 4 | 180 |
| Salle de bain | 3 | ? |
| Cuisine | 5 | ? |
| Cave (débarras) | ? | 270 |
Tarif : \(45\) € le m³, sans forfait (Document 1).
D'après le Document 1, quel est le coût d'évacuation de \(1\) m³ de gravats ? Et de \(2\) m³ ? Que remarques-tu quand le volume double ?
Pour \(1\) m³ : \(45\) €. Pour \(2\) m³ : \(45 \times 2 = 90\) €. Quand le volume double (de \(1\) à \(2\) m³), le coût double aussi (de \(45\) à \(90\) €) : c'est le signe d'une situation de proportionnalité.
Karim veut vérifier que l'entreprise facture bien de façon proportionnelle (sans forfait caché). Calcule le rapport \(\dfrac{C}{V}\) pour les deux premières lignes du tableau : cloisons (\(2\) m³ → \(90\) €) et sols (\(4\) m³ → \(180\) €).
\(\dfrac{90}{2} = 45\) et \(\dfrac{180}{4} = 45\). Le rapport \(\dfrac{C}{V}\) est constant, égal à \(45\) : le tableau est bien un tableau de proportionnalité, de coefficient \(45\). La facturation est proportionnelle, il n'y a pas de forfait fixe.
Que représente concrètement ce coefficient \(45\) ? Écris ensuite l'expression de la fonction linéaire \(C\) qui donne le coût \(C\) (en €) en fonction du volume \(V\) (en m³).
\(45\) est le prix d'évacuation d'un m³ de gravats, en €/m³ (le tarif unitaire de l'entreprise). La fonction est \(\boxed{C(V) = 45\,V}\) : c'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 45\).
Complète le tableau pour la salle de bain (\(3\) m³) et la cuisine (\(5\) m³) : calcule \(C(3)\) et \(C(5)\).
\(C(3) = 45 \times 3 = \mathbf{135}\) € (salle de bain).
\(C(5) = 45 \times 5 = \mathbf{225}\) € (cuisine).
Pour la cave, on connaît le coût (\(270\) €) mais pas le volume. Retrouve le volume de gravats en résolvant l'équation \(45\,V = 270\).
\(45\,V = 270\) donc \(V = \dfrac{270}{45} = \mathbf{6}\) m³. On a cherché l'antécédent de \(270\) : \(270\) € correspondent à \(6\) m³ de gravats.
Observe le graphique (Document 3).
a. La droite passe-t-elle par l'origine \((0\,;\,0)\) ? Que cela signifie-t-il pour l'évacuation ?
b. Lis sur le graphique le coût pour \(7\) m³ de gravats, puis vérifie ta lecture par le calcul.
a. Oui, la droite passe par l'origine : pour \(0\) m³ de gravats, le coût est \(0\) € (aucun forfait). C'est la caractéristique d'une fonction linéaire et d'une situation de proportionnalité.
b. En \(V = 7\) m³, on lit environ \(315\) € sur l'axe des coûts. Vérification : \(C(7) = 45 \times 7 = \mathbf{315}\) € ✓. La lecture graphique et le calcul concordent.
Dans son devis, Karim avait provisionné \(850\) € pour l'évacuation. Le volume total réel de gravats du chantier est la somme des \(5\) zones : \(2 + 4 + 3 + 5 + 6\) m³. Calcule le coût réel d'évacuation, puis dis si la provision de Karim est suffisante.
Volume total : \(2 + 4 + 3 + 5 + 6 = 20\) m³.
Coût réel : \(C(20) = 45 \times 20 = \mathbf{900}\) €.
Or Karim n'avait prévu que \(850\) € : \(900 - 850 = 50\) €. La provision est insuffisante de \(50\) € — Karim a sous-estimé son devis et devra le réajuster.
Explique en 2 à 3 phrases, pour un nouvel apprenti, pourquoi le coût d'évacuation des gravats est un calcul de proportionnalité, et à quoi sert le coefficient \(45\) €/m³ pour établir un devis.
Exemple : « Le coût d'évacuation est proportionnel au volume de gravats : deux fois plus de gravats, deux fois plus cher, et \(0\) m³ coûte \(0\) € (pas de forfait). On le modélise par la fonction linéaire \(C(V) = 45\,V\). Le coefficient \(45\) €/m³ permet de chiffrer n'importe quelle zone d'une seule multiplication : c'est rapide et fiable pour remplir le devis. »
Karim décide de faire du tri sélectif : en séparant les matériaux valorisables, il réduit de \(25\,\%\) le volume de gravats à évacuer (le volume total passe de \(20\) m³ à un volume plus faible). Calcule le nouveau volume, le nouveau coût d'évacuation, et l'économie réalisée.
Réduction de \(25\,\%\) : on enlève \(0{,}25 \times 20 = 5\) m³. Nouveau volume : \(20 - 5 = 15\) m³.
Nouveau coût : \(C(15) = 45 \times 15 = \mathbf{675}\) €.
Économie : \(900 - 675 = \mathbf{225}\) €. Le coefficient reste \(45\) €/m³ (toujours proportionnel) : c'est en réduisant le volume qu'on baisse la facture.
Réponse à la problématique : le coût d'évacuation est proportionnel au volume de gravats : \(C(V) = 45\,V\). Le coefficient \(45\) €/m³ permet de chiffrer chaque zone d'une seule multiplication.
📚 Cette activité s'appuie sur §2 (proportionnalité), §3 (fonction linéaire) et §6 (représentation graphique) de la leçon Ch08.
Ordre de grandeur : évacuation de gravats inertes de chantier (chargement + transport + traitement en déchetterie professionnelle) ≈ 40 à 50 €/m³ selon la région (tarifs indicatifs déchetteries pro / location de bennes, 2025). Valeurs arrondies pour l'activité.