Chapitre 8 – Fonction linéaire et proportionnalité | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 5 mai 2026, 11:15
Beaucoup de lois physiques utilisées dans les métiers techniques (menuiserie, énergie, électricité, mécanique) sont des fonctions linéaires. Pourquoi cette omniprésence du linéaire ?
| Loi physique | Formule | Coefficient | Domaine d'application |
|---|---|---|---|
| Loi de Hooke (ressort) | F = k × x | k = raideur (N/m) | Petits étirements |
| Loi d'Ohm (électricité) | U = R × I | R = résistance (Ω) | Composants ohmiques |
| Mouvement uniforme | d = v × t | v = vitesse (m/s) | Vitesse constante |
| Dilatation thermique | ΔL = α × L₀ × ΔT | α = coef. dilatation | Variations modérées de T |
| Densité (masse/volume) | m = ρ × V | ρ = masse volumique (kg/m³) | Matériaux homogènes |
| Loi d'Archimède (poussée) | F = ρ × V × g | g ≈ 9,81 m/s² | Tout fluide |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (proportionnalité), §3 (lois physiques) et complète le programme PC.
Pour chacune des lois du document 1, identifier la grandeur de sortie et la grandeur d'entrée (« j'ai X, je veux Y »).
Calculer la masse de 0,5 m³ de chêne, sachant que ρ_chêne = 700 kg/m³.
m = ρ × V = 700 × 0,5 = 350 kg.
Donc 0,5 m³ de chêne pèse 350 kg, soit environ 5 personnes adultes (~ 70 kg chacun). À soulever avec un transpalette ou en équipe pour la sécurité.
Une barre d'acier de longueur L₀ = 10 m est exposée au soleil et passe de 0 °C à 30 °C. Coefficient de dilatation de l'acier : α = 1,2 × 10⁻⁵ °C⁻¹. Calculer son allongement ΔL en mm.
ΔL = α × L₀ × ΔT = 1,2 × 10⁻⁵ × 10 × 30 = 3,6 × 10⁻³ m = 3,6 mm.
3,6 mm peut paraître petit, mais c'est crucial pour les rails de chemin de fer (joints de dilatation), les ponts (appareils d'appui), les fenêtres en aluminium (jeu fonctionnel).
Sur le ressort du document 2, on accroche une masse de 2 kg, soit une force d'environ 20 N. Combien le ressort va-t-il s'allonger ?
F = k × x avec k = 5 N/cm.
x = F / k = 20 / 5 = 4 cm.
4 cm < 5 cm (limite élastique) → on est encore dans le domaine linéaire. Le ressort retrouvera sa forme initiale après décharge.
On accroche maintenant une masse de 4 kg (40 N). Si on extrapole avec F = 5 x, on obtient x = 8 cm. Sur le graphique, ce résultat est-il fiable ? Justifier.
Non, le résultat n'est pas fiable.
À 8 cm, on est au-delà de la limite élastique (5 cm). La courbe devient non linéaire (zone rouge) : F augmente moins vite que prévu.
De plus, le ressort risque de subir une déformation plastique : il ne reviendra pas à sa forme initiale après décharge — il sera endommagé.
Leçon : les lois linéaires ont un domaine de validité. Hors de ce domaine, elles donnent des résultats faux et peuvent endommager le matériel.
Pourquoi la nature « préfère »-t-elle la linéarité ? Donner 2 raisons.
1. Approximation au premier ordre : pour de petites variations, n'importe quelle fonction régulière peut être approchée par une droite. C'est l'idée du « zoom assez fort » sur une courbe : elle apparaît rectiligne. Mathématiquement, c'est le principe de la tangente (étudiée en Terminale).
2. Symétrie des phénomènes : beaucoup de lois physiques expriment une réponse proportionnelle à une cause (« deux fois plus de cause = deux fois plus d'effet »). Quand il n'y a pas de mécanisme particulier de saturation ou de cumul, le linéaire émerge naturellement.
Hors des conditions « petites variations » et « pas de saturation », la non-linéarité réapparaît : ressort qui casse, conducteur qui chauffe, peinture qui sèche...
Donner 3 exemples de phénomènes non linéaires qu'on rencontre en menuiserie/agencement.
Rédiger en 5 lignes ce qu'il faut retenir sur les lois linéaires en sciences appliquées.
Mémo — Linéarité en physique appliquée
De nombreuses lois sont linéaires : F = k x (ressort), U = R I (Ohm), m = ρ V (densité). Elles permettent des prédictions simples : doubler l'entrée double la sortie.
Mais attention au domaine de validité : tout modèle linéaire a ses limites (limite élastique d'un ressort, échauffement d'un conducteur, etc.). Hors de ce domaine, le matériau peut être endommagé ou les calculs faux.
Avant chaque calcul, identifier la loi, ses unités, et son domaine de validité. Toujours vérifier la cohérence du résultat (ordre de grandeur, signe). Le linéaire est un outil puissant, pas une vérité absolue.
Les ailes d'un avion subissent une force de portance F = ½ × ρ × S × v² × CL (où CL est un coefficient sans dimension). Cette loi est-elle linéaire en v (vitesse) ? Comment évolue F si v double ?
F dépend de v². Ce n'est pas linéaire en v, c'est une fonction quadratique.
Si v double : F est multipliée par 4. Si v triple : F × 9.
Conséquence : un avion qui décolle a besoin d'une vitesse minimale pour générer assez de portance. À mi-vitesse, la portance ne fait que 25 % du nécessaire — l'avion ne peut pas voler.
De même, la résistance d'un panneau au vent dépend de v² : un panneau de 10 m² subit 4 fois plus de force quand le vent passe de 30 à 60 km/h. Important pour fixer les enseignes !