Chapitre 8 – Fonction linéaire et proportionnalité | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 13:05
| Loi physique | Formule | Coefficient | Domaine d'application |
|---|---|---|---|
| Loi de Hooke (ressort) | F = k × x | k = raideur (N/m) | Petits étirements |
| Loi d'Ohm (électricité) | U = R × I | R = résistance (Ω) | Composants ohmiques |
| Mouvement uniforme | d = v × t | v = vitesse (m/s) | Vitesse constante |
| Dilatation thermique | ΔL = α × L₀ × ΔT | α = coef. dilatation | Variations modérées de T |
| Masse volumique (masse/volume) | m = ρ × V | ρ = masse volumique (kg/m³) | Matériaux homogènes |
| Loi d'Archimède (poussée) | F = ρ × V × g | g ≈ 9,81 m/s² | Tout fluide |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (proportionnalité), §3 (fonction linéaire) et complète le programme PC.
Pour chacune des lois du document 1, identifier la grandeur de sortie et la grandeur d'entrée (« j'ai X, je veux Y »).
Calculer la masse de 0,5 m³ de chêne, sachant que ρchêne = 700 kg/m³.
m = ρ × V = 700 × 0,5 = 350 kg.
Donc 0,5 m³ de chêne pèse 350 kg, soit environ 5 personnes adultes (~ 70 kg chacun). À soulever avec un transpalette ou en équipe pour la sécurité.
Une barre d'acier de longueur L₀ = 10 m est exposée au soleil et passe de 0 °C à 30 °C. Coefficient de dilatation de l'acier : α = 1,2 × 10⁻⁵ °C⁻¹. Calculer son allongement ΔL en mm.
ΔL = α × L₀ × ΔT = 1,2 × 10⁻⁵ × 10 × 30 = 3,6 × 10⁻³ m = 3,6 mm.
3,6 mm peut paraître petit, mais c'est crucial pour les rails de chemin de fer (joints de dilatation), les ponts (appareils d'appui), les fenêtres en aluminium (jeu fonctionnel).
Sur le ressort du document 2, on accroche une masse de 2 kg, soit une force d'environ 20 N. Combien le ressort va-t-il s'allonger ?
F = k × x avec k = 5 N/cm.
x = F / k = 20 / 5 = 4 cm.
4 cm < 5 cm (limite élastique) → on est encore dans le domaine linéaire. Le ressort retrouvera sa forme initiale après décharge.
On accroche maintenant une masse de 4 kg (40 N). Si on extrapole avec F = 5 x, on obtient x = 8 cm. Sur le graphique, ce résultat est-il fiable ? Justifier.
Non, le résultat n'est pas fiable.
À 8 cm, on est au-delà de la limite élastique (5 cm). La courbe devient non linéaire (zone rouge) : F augmente moins vite que prévu.
De plus, le ressort risque de subir une déformation plastique : il ne reviendra pas à sa forme initiale après décharge — il sera endommagé.
Leçon : les lois linéaires ont un domaine de validité. Hors de ce domaine, elles donnent des résultats faux et peuvent endommager le matériel.
À partir des lois du document 1, formuler deux critères permettant de reconnaître une relation de proportionnalité.
1. Le rapport \(\dfrac{\text{sortie}}{\text{entrée}}\) est constant : il correspond au coefficient de la loi.
2. Si l'entrée double, la sortie double ; pour une entrée nulle, la sortie est nulle. Graphiquement, les points sont alignés avec l'origine.
Le ressort reste proportionnel seulement jusqu'à \(5\) cm d'allongement. Expliquer comment un technicien peut vérifier, à partir de mesures, si ce modèle linéaire reste valable.
Il relève plusieurs couples \((x\,;\,F)\), calcule chaque rapport \(\dfrac{F}{x}\) et vérifie qu'il reste égal à \(5\) N/cm. Il peut aussi placer les points : tant qu'ils sont alignés avec l'origine, le modèle \(F=5x\) convient. Dès que les rapports changent ou que les points quittent la droite, il faut arrêter d'utiliser ce modèle.
Rédiger en 5 lignes ce qu'il faut retenir sur les lois linéaires en sciences appliquées.
Mémo — Linéarité en physique appliquée
De nombreuses lois sont linéaires : F = k x (ressort), U = R I (Ohm), m = ρ V (densité). Elles permettent des prédictions simples : doubler l'entrée double la sortie.
Mais attention au domaine de validité : tout modèle linéaire a ses limites (limite élastique d'un ressort, échauffement d'un conducteur, etc.). Hors de ce domaine, le matériau peut être endommagé ou les calculs faux.
Avant chaque calcul, identifier la loi, ses unités, et son domaine de validité. Toujours vérifier la cohérence du résultat (ordre de grandeur, signe). Le linéaire est un outil puissant, pas une vérité absolue.
Un ressort de coefficient \(5\) N/cm est utilisé uniquement jusqu'à \(5\) cm. Calculer la force maximale compatible avec ce modèle, puis expliquer pourquoi on ne doit pas extrapoler au-delà.
\(F(5)=5\times5=\mathbf{25}\) N. Jusqu'à \(25\) N, le rapport \(F/x\) reste égal à \(5\) et le modèle est valable.
Au-delà de \(5\) cm, le graphique fourni quitte la droite : le rapport n'est plus constant. Continuer avec \(F=5x\) donnerait donc une prévision non fiable.