Chapitre 8 – Fonction linéaire et proportionnalité | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 13:05
Tom est apprenti menuisier. Il prépare la commande de bois pour une nouvelle bibliothèque. Son fournisseur lui propose des planches de chêne au mètre linéaire :
On note f la fonction qui à une longueur de planche x (en m) associe son prix f(x) (en €).
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (proportionnalité) et §3 (fonction linéaire f(x) = ax).
Calculer le prix de :
Compléter le tableau des prix :
| Longueur (m) | 1 | 2 | 3 | 4,5 | 7 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | … | … | … | … | … | … |
| Longueur (m) | 1 | 2 | 3 | 4,5 | 7 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 22 | 44 | 66 | 99 | 154 | 220 |
La fonction f est définie par f(x) = 22 x. Elle est linéaire.
Vérifier que ce tableau correspond à une situation de proportionnalité.
Vérification : pour chaque colonne, on doit avoir prix / longueur = même valeur (= coefficient).
Toutes les colonnes donnent 22 → proportionnalité confirmée. Le coefficient est 22 €/m.
Tom a un budget de 130 €. Quelle longueur de chêne peut-il acheter au maximum ?
22 x = 130 → x = 130 / 22 ≈ 5,909 m.
Comme les coupes se font à 0,1 m près, Tom peut acheter 5,9 m (prix : 22 × 5,9 = 129,80 €). Il restera 0,20 €.
Si la coupe avait été à 0,5 m près, il aurait pris 5,5 m (121 €) — moins optimal.
Que représente le coefficient 22 dans la fonction f(x) = 22 x ?
a. Géométriquement : 22 est la pente (= coefficient directeur) de la droite. Pour 1 m d'augmentation horizontale, la droite monte de 22 €.
b. En métier : 22 € est le prix au mètre (€/m), le tarif unitaire pratiqué par le fournisseur. C'est l'information clé d'un devis.
De plus, la droite passe par l'origine (0 m → 0 €), caractéristique d'une fonction linéaire.
Un autre fournisseur (« Bois Plus ») propose le chêne à 18 €/m mais avec un forfait fixe de 25 € (frais de coupe). Quelle fonction \(g\) modélise le prix chez ce fournisseur ? Le prix est-il proportionnel à la longueur ?
\(g(x) = 25 + 18 \times x\).
\(g\) n'est pas linéaire : \(g(0) = 25 \neq 0\), la droite ne passe pas par l'origine.
Le prix n'est donc pas proportionnel à la longueur : \(g(1) = 43\) € mais \(g(2) = 61\) € (et non \(86\) €).
Pour Tom (qui veut 5,9 m), quel fournisseur est le moins cher : Bois Sébastien (22 €/m, sans forfait) ou Bois Plus (25 € de forfait + 18 €/m) ? À partir de quelle longueur l'autre devient-il plus avantageux ?
Pour x = 5,9 m :
Bois Sébastien est ici moins cher de 1,40 €.
Seuil de bascule : 22 x = 25 + 18 x → 4 x = 25 → x = 6,25 m.
Au-delà de 6,25 m, Bois Plus devient moins cher (son prix au mètre est plus bas). En dessous, Bois Sébastien gagne.
Rédiger un mode opératoire en 4 lignes pour aider un nouvel apprenti à choisir son fournisseur de bois en fonction de la longueur à commander.
Choix du fournisseur de chêne
1. Évaluer la longueur totale x (m) à commander.
2. Vérifier s'il y a un forfait : sans forfait, le prix est proportionnel (fonction linéaire) ; avec forfait, il ne l'est pas.
3. Si x < 6,25 m : choisir Bois Sébastien (22 €/m, pas de forfait). Si x > 6,25 m : choisir Bois Plus (25 € + 18 €/m).
4. Calculer le prix final, puis vérifier l'unité et l'ordre de grandeur.
Pour prévoir les chutes de coupe, Tom commande \(10\,\%\) de longueur en plus. Quelle longueur doit-il commander pour un besoin utile de \(5{,}9\) m, et quel sera le prix chez Bois Plus ?
Longueur à commander : \(5{,}9\times1{,}10=\mathbf{6{,}49}\) m, soit \(6{,}5\) m avec des coupes au décimètre.
Prix chez Bois Sébastien : \(f(6{,}5)=22\times6{,}5=\mathbf{143}\) €.
Prix chez Bois Plus : \(g(6{,}5)=25+18\times6{,}5=25+117=\mathbf{142}\) €.
On a dépassé le seuil de 6,25 m : Bois Plus devient (de peu) le moins cher.