Chapitre 8 – Fonction linéaire et proportionnalité | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Tom est apprenti menuisier. Il prépare la commande de bois pour une nouvelle bibliothèque. Son fournisseur lui propose des planches de chêne au mètre linéaire :
📋 Tarif fournisseur — Bois Sébastien & Fils
• Chêne raboté section 27 × 100 mm : 22 €/m linéaire
• Pas de forfait minimum
• Pas de remise quantité
• Coupes possibles à 0,1 m près
On note f la fonction qui à une longueur de planche x (en m) associe son prix f(x) (en €).
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (proportionnalité) et §2 (fonction linéaire f(x) = ax).
Calculer le prix de :
Compléter le tableau des prix :
| Longueur (m) | 1 | 2 | 3 | 4,5 | 7 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | … | … | … | … | … | … |
| Longueur (m) | 1 | 2 | 3 | 4,5 | 7 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 22 | 44 | 66 | 99 | 154 | 220 |
La fonction f est définie par f(x) = 22 x. Elle est linéaire.
Vérifier que ce tableau correspond à une situation de proportionnalité.
Vérification : pour chaque colonne, on doit avoir prix / longueur = même valeur (= coefficient).
Toutes les colonnes donnent 22 → proportionnalité confirmée. Le coefficient est 22 €/m.
Tom a un budget de 130 €. Quelle longueur de chêne peut-il acheter au maximum ?
22 x = 130 → x = 130 / 22 ≈ 5,909 m.
Comme les coupes se font à 0,1 m près, Tom peut acheter 5,9 m (prix : 22 × 5,9 = 129,80 €). Il restera 0,20 €.
Si la coupe avait été à 0,5 m près, il aurait pris 5,5 m (121 €) — moins optimal.
Que représente le coefficient 22 dans la fonction f(x) = 22 x ?
a. Géométriquement : 22 est la pente (= coefficient directeur) de la droite. Pour 1 m d'augmentation horizontale, la droite monte de 22 €.
b. En métier : 22 € est le prix au mètre (€/m), le tarif unitaire pratiqué par le fournisseur. C'est l'information clé d'un devis.
De plus, la droite passe par l'origine (0 m → 0 €), caractéristique d'une fonction linéaire.
Un autre fournisseur (« Bois Plus ») propose le chêne à 18 €/m mais avec un forfait fixe de 25 € (frais de coupe). Quelle est la fonction g modélisant le prix chez ce fournisseur ? Est-elle linéaire ?
g(x) = 25 + 18 × x.
g n'est pas linéaire, elle est affine (forfait + variable).
Vérification : g(0) = 25 ≠ 0 → ne passe pas par l'origine. Pas une situation de proportionnalité.
Pour Tom (qui veut 5,9 m), quel fournisseur est le moins cher : Bois Sébastien (linéaire 22 €/m) ou Bois Plus (affine 25 € + 18 €/m) ? À partir de combien de mètres l'un devient-il plus avantageux que l'autre ?
Pour x = 5,9 m :
Bois Sébastien gagne ici de 1,40 €.
Seuil de bascule : 22 x = 25 + 18 x → 4 x = 25 → x = 6,25 m.
Au-delà de 6,25 m, Bois Plus devient moins cher (sa pente est plus douce). En-dessous, Bois Sébastien gagne.
Rédiger un mode opératoire en 4 lignes pour aider un nouveau apprenti à choisir son fournisseur de bois en fonction de la longueur à commander.
Choix du fournisseur de chêne
1. Évaluer la longueur totale x (m) à commander.
2. Si x ≤ 6 m : choisir Bois Sébastien (22 €/m, pas de forfait).
3. Si x ≥ 6 m : choisir Bois Plus (25 € + 18 €/m, plus rentable malgré le forfait).
4. Toujours vérifier les deux factures avant commande, le marché peut changer.
Le fournisseur Bois Sébastien propose une remise de 5 % à partir de 100 € d'achat. Calculer le prix réel pour 5,9 m (en tenant compte de la remise). Quelle longueur faut-il acheter au minimum pour en bénéficier ?
Seuil 100 € : 22 x = 100 → x ≈ 4,55 m. Donc dès 4,6 m, on a la remise.
Pour 5,9 m : prix brut 129,80 €. Avec 5 % de remise : 129,80 × 0,95 = 123,31 €.
Économie : 6,49 €. La fonction n'est plus exactement linéaire (cassure à 4,55 m), elle est linéaire par morceaux.
Ces remises « par paliers » sont fréquentes : elles incitent à grouper les achats.