Notion de fonction — Seconde Bac Pro MAMA
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = 3x + 2\). Calculer :
a) \(f(4) = 3 \times ... + 2 = ...\)
b) \(f(0) = 3 \times ... + 2 = ...\)
c) \(f(-1) = 3 \times (...) + 2 = ...\)
a) \(f(4) = 3 \times 4 + 2 = 12 + 2 = \mathbf{14}\)
b) \(f(0) = 3 \times 0 + 2 = 0 + 2 = \mathbf{2}\)
c) \(f(-1) = 3 \times (-1) + 2 = -3 + 2 = \mathbf{-1}\)
Soit \(f(x) = 5x - 3\).
a) Quelle est l'image de 2 par \(f\) ?
b) Quelle est l'image de 10 par \(f\) ?
c) On sait que \(f(a) = 12\). Que vaut \(a\) ? (indication : résoudre \(5a - 3 = 12\))
a) \(f(2) = 5 \times 2 - 3 = 10 - 3 = \mathbf{7}\)
b) \(f(10) = 5 \times 10 - 3 = 50 - 3 = \mathbf{47}\)
c) \(5a - 3 = 12\) → \(5a = 15\) → \(a = \mathbf{3}\). L'antécédent de 12 est 3.
Vérification : \(f(3) = 5 \times 3 - 3 = 15 - 3 = 12\) ✔
Soit \(f(x) = 2x + 1\). Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ... | ... | ... | ... |
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\mathbf{1}\) | \(\mathbf{3}\) | \(\mathbf{5}\) | \(\mathbf{7}\) |
\(f(0) = 1\), \(f(1) = 3\), \(f(2) = 5\), \(f(3) = 7\).
Le graphique ci-dessous représente une fonction \(f\). On y lit notamment les points \(A(1\,;\,4)\), \(B(2\,;\,7)\) et \(C(3\,;\,10)\).
a) Quelle est l'image de 1 ? → \(f(1) = ...\)
b) Quelle est l'image de 3 ? → \(f(3) = ...\)
c) 7 est l'image de quel nombre ? → L'antécédent de 7 est ...
a) \(f(1) = \mathbf{4}\)
b) \(f(3) = \mathbf{10}\)
c) L'antécédent de 7 est \(\mathbf{2}\) car \(f(2) = 7\).
Un menuisier facture ses interventions selon la formule : \(C(h) = 40h + 50\), où \(h\) est le nombre d'heures et 50 € les frais de déplacement.
a) Calculer le coût pour 3 heures : \(C(3) = 40 \times ... + 50 = ...\)
b) Calculer le coût pour 6 heures.
a) \(C(3) = 40 \times 3 + 50 = 120 + 50 = \mathbf{170}\) €
b) \(C(6) = 40 \times 6 + 50 = 240 + 50 = \mathbf{290}\) €
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = 2x + 5\). Calculer :
a) \(f(3) = 2 \times ... + 5 = ...\)
b) \(f(0) = 2 \times ... + 5 = ...\)
c) \(f(-2) = 2 \times (...) + 5 = ...\)
a) \(f(3) = 2 \times 3 + 5 = 6 + 5 = \mathbf{11}\)
b) \(f(0) = 2 \times 0 + 5 = 0 + 5 = \mathbf{5}\)
c) \(f(-2) = 2 \times (-2) + 5 = -4 + 5 = \mathbf{1}\)
Soit \(f(x) = 4x - 1\).
a) Quelle est l'image de 3 par \(f\) ?
b) Quelle est l'image de 7 par \(f\) ?
c) On sait que \(f(a) = 19\). Que vaut \(a\) ? (indication : résoudre \(4a - 1 = 19\))
a) \(f(3) = 4 \times 3 - 1 = 12 - 1 = \mathbf{11}\)
b) \(f(7) = 4 \times 7 - 1 = 28 - 1 = \mathbf{27}\)
c) \(4a - 1 = 19\) → \(4a = 20\) → \(a = \mathbf{5}\). L'antécédent de 19 est 5.
Vérification : \(f(5) = 4 \times 5 - 1 = 20 - 1 = 19\) ✔
Soit \(f(x) = 3x - 2\). Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ... | ... | ... | ... |
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(\mathbf{-2}\) | \(\mathbf{1}\) | \(\mathbf{4}\) | \(\mathbf{7}\) |
\(f(0) = -2\), \(f(1) = 1\), \(f(2) = 4\), \(f(3) = 7\).
Le graphique ci-dessous représente une fonction \(g\). On y lit notamment les points \(A(1\,;\,3)\), \(B(2\,;\,5)\) et \(C(4\,;\,9)\).
a) Quelle est l'image de 2 ? → \(g(2) = ...\)
b) Quelle est l'image de 4 ? → \(g(4) = ...\)
c) 3 est l'image de quel nombre ? → L'antécédent de 3 est ...
a) \(g(2) = \mathbf{5}\)
b) \(g(4) = \mathbf{9}\)
c) L'antécédent de 3 est \(\mathbf{1}\) car \(g(1) = 3\).
Un artisan menuisier facture la pose de plinthes selon la formule : \(P(m) = 12m + 30\), où \(m\) est le nombre de mètres linéaires et 30 € les frais de déplacement.
a) Calculer le coût pour 5 mètres : \(P(5) = 12 \times ... + 30 = ...\)
b) Calculer le coût pour 10 mètres.
a) \(P(5) = 12 \times 5 + 30 = 60 + 30 = \mathbf{90}\) €
b) \(P(10) = 12 \times 10 + 30 = 120 + 30 = \mathbf{150}\) €
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = 4x - 7\). Calculer :
a) \(f(3)\)
b) \(f(-2)\)
c) \(f(0{,}5)\)
a) \(f(3) = 4 \times 3 - 7 = 12 - 7 = \mathbf{5}\)
b) \(f(-2) = 4 \times (-2) - 7 = -8 - 7 = \mathbf{-15}\)
c) \(f(0{,}5) = 4 \times 0{,}5 - 7 = 2 - 7 = \mathbf{-5}\)
Soit \(g(x) = -2x + 9\).
a) Trouver l'antécédent de 3 par \(g\).
b) Trouver l'antécédent de 0 par \(g\).
a) On résout \(-2x + 9 = 3\) → \(-2x = -6\) → \(x = \mathbf{3}\)
Vérification : \(g(3) = -2 \times 3 + 9 = -6 + 9 = 3\) ✔
b) On résout \(-2x + 9 = 0\) → \(-2x = -9\) → \(x = \mathbf{4{,}5}\)
Vérification : \(g(4{,}5) = -2 \times 4{,}5 + 9 = -9 + 9 = 0\) ✔
Soit \(h(x) = x^2 - 4\). Compléter le tableau de valeurs suivant :
| \(x\) | −3 | −1 | 0 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) |
| \(x\) | −3 | −1 | 0 | 1 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | \(\mathbf{5}\) | \(\mathbf{-3}\) | \(\mathbf{-4}\) | \(\mathbf{-3}\) | \(\mathbf{5}\) |
\(h(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5\)
\(h(-1) = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3\)
\(h(0) = 0 - 4 = -4\)
\(h(1) = 1 - 4 = -3\)
\(h(3) = 9 - 4 = 5\)
Un artisan propose la formule de facturation suivante : \(C(h) = 35h + 80\), où \(h\) est le nombre d'heures d'intervention.
a) Que représentent les nombres 35 et 80 dans cette formule ?
b) Calculer le coût d'une intervention de 5 heures.
c) Un client a payé 255 €. Combien d'heures a duré l'intervention ?
a) 35 représente le tarif horaire (35 €/h) et 80 représente les frais fixes de déplacement (80 €).
b) \(C(5) = 35 \times 5 + 80 = 175 + 80 = \mathbf{255}\) €
c) On cherche l'antécédent de 255 : \(35h + 80 = 255\) → \(35h = 175\) → \(h = \dfrac{175}{35} = \mathbf{5}\) heures.
Vérification : \(C(5) = 255\) ✔
Un élève affirme : « Si \(f(x) = x^2\), alors \(f(2 + 3) = f(2) + f(3)\). »
a) Calculer \(f(2 + 3) = f(5)\).
b) Calculer \(f(2) + f(3)\).
c) L'affirmation est-elle correcte ? Justifier.
a) \(f(5) = 5^2 = \mathbf{25}\)
b) \(f(2) + f(3) = 4 + 9 = \mathbf{13}\)
c) L'affirmation est fausse car \(25 \neq 13\). En général, \(f(a+b) \neq f(a) + f(b)\).
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = 3x + 5\). Calculer :
a) \(f(4)\)
b) \(f(-3)\)
c) \(f(1{,}5)\)
a) \(f(4) = 3 \times 4 + 5 = 12 + 5 = \mathbf{17}\)
b) \(f(-3) = 3 \times (-3) + 5 = -9 + 5 = \mathbf{-4}\)
c) \(f(1{,}5) = 3 \times 1{,}5 + 5 = 4{,}5 + 5 = \mathbf{9{,}5}\)
Soit \(g(x) = -3x + 15\).
a) Trouver l'antécédent de 6 par \(g\).
b) Trouver l'antécédent de 0 par \(g\).
a) On résout \(-3x + 15 = 6\) → \(-3x = -9\) → \(x = \mathbf{3}\)
Vérification : \(g(3) = -3 \times 3 + 15 = -9 + 15 = 6\) ✔
b) On résout \(-3x + 15 = 0\) → \(-3x = -15\) → \(x = \mathbf{5}\)
Vérification : \(g(5) = -3 \times 5 + 15 = -15 + 15 = 0\) ✔
Soit \(h(x) = x^2 - 9\). Compléter le tableau de valeurs suivant :
| \(x\) | −4 | −2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) |
| \(x\) | −4 | −2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(h(x)\) | \(\mathbf{7}\) | \(\mathbf{-5}\) | \(\mathbf{-9}\) | \(\mathbf{-5}\) | \(\mathbf{7}\) |
\(h(-4) = (-4)^2 - 9 = 16 - 9 = 7\)
\(h(-2) = (-2)^2 - 9 = 4 - 9 = -5\)
\(h(0) = 0 - 9 = -9\)
\(h(2) = 4 - 9 = -5\)
\(h(4) = 16 - 9 = 7\)
Un plombier chauffagiste propose la formule de facturation suivante : \(C(h) = 45h + 60\), où \(h\) est le nombre d'heures d'intervention.
a) Que représentent les nombres 45 et 60 dans cette formule ?
b) Calculer le coût d'une intervention de 4 heures.
c) Un client a payé 330 €. Combien d'heures a duré l'intervention ?
a) 45 représente le tarif horaire (45 €/h) et 60 représente les frais fixes de déplacement (60 €).
b) \(C(4) = 45 \times 4 + 60 = 180 + 60 = \mathbf{240}\) €
c) On cherche l'antécédent de 330 : \(45h + 60 = 330\) → \(45h = 270\) → \(h = \dfrac{270}{45} = \mathbf{6}\) heures.
Vérification : \(C(6) = 45 \times 6 + 60 = 270 + 60 = 330\) ✔
Un élève affirme : « Si \(f(x) = x^2\), alors \(f(3 \times 2) = 3 \times f(2)\). »
a) Calculer \(f(3 \times 2) = f(6)\).
b) Calculer \(3 \times f(2)\).
c) L'affirmation est-elle correcte ? Justifier.
a) \(f(6) = 6^2 = \mathbf{36}\)
b) \(3 \times f(2) = 3 \times 4 = \mathbf{12}\)
c) L'affirmation est fausse car \(36 \neq 12\). En général, \(f(k \times a) \neq k \times f(a)\).
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = \dfrac{3x + 6}{2}\).
a) Calculer \(f(4)\) et \(f(-2)\).
b) Trouver l'antécédent de 0 par \(f\).
a) \(f(4) = \dfrac{3 \times 4 + 6}{2} = \dfrac{18}{2} = \mathbf{9}\)
\(f(-2) = \dfrac{3 \times (-2) + 6}{2} = \dfrac{0}{2} = \mathbf{0}\)
b) On résout \(\dfrac{3x + 6}{2} = 0\) → \(3x + 6 = 0\) → \(3x = -6\) → \(x = \mathbf{-2}\)
Vérification : \(f(-2) = 0\) ✔
Deux poseurs de parquet proposent les tarifs suivants :
a) Calculer le coût de chaque artisan pour une surface de 10 m².
b) Pour quelle surface les deux artisans coûtent-ils le même prix ? (Trouver l'antécédent commun.)
c) À partir de quelle surface l'artisan B est-il plus avantageux ?
a) \(C_A(10) = 28 \times 10 = \mathbf{280}\) € et \(C_B(10) = 22 \times 10 + 90 = 220 + 90 = \mathbf{310}\) €
b) On résout \(28s = 22s + 90\) → \(6s = 90\) → \(s = \mathbf{15}\) m²
Vérification : \(C_A(15) = 420\) € et \(C_B(15) = 330 + 90 = 420\) € ✔
c) L'artisan B est plus avantageux quand \(C_B < C_A\), soit \(22s + 90 < 28s\) → \(s > 15\).
L'artisan B est plus avantageux à partir de 16 m².
Soit \(f(x) = ax + b\). On sait que \(f(2) = 11\) et \(f(5) = 23\).
a) Déterminer la valeur de \(a\) en utilisant : \(a = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2}\).
b) En déduire la valeur de \(b\).
c) Donner l'expression de \(f(x)\) et vérifier.
a) \(a = \dfrac{23 - 11}{5 - 2} = \dfrac{12}{3} = \mathbf{4}\)
b) \(f(2) = 4 \times 2 + b = 11\) → \(8 + b = 11\) → \(b = \mathbf{3}\)
c) \(f(x) = 4x + 3\)
Vérification : \(f(5) = 4 \times 5 + 3 = 23\) ✔
Soit \(g(x) = x^2 + 1\).
a) Montrer que 5 a deux antécédents par \(g\). Les déterminer.
b) Le nombre \(-3\) a-t-il un antécédent par \(g\) ? Justifier.
a) On résout \(x^2 + 1 = 5\) → \(x^2 = 4\) → \(x = \mathbf{2}\) ou \(x = \mathbf{-2}\).
Vérification : \(g(2) = 4 + 1 = 5\) ✔ et \(g(-2) = 4 + 1 = 5\) ✔
b) On résout \(x^2 + 1 = -3\) → \(x^2 = -4\). Comme un carré est toujours positif ou nul, il n'existe aucun antécédent de \(-3\) par \(g\).
Un métreur estime le coût total d'un chantier de pose de carrelage selon la formule \(C(m) = 32m + 150\), où \(m\) est la surface en m².
a) Le client dispose d'un budget de 950 €. Quelle surface maximale peut-il faire poser ?
b) Pour 25 m², quel sera le prix au m² (coût total divisé par la surface) ?
a) \(32m + 150 = 950\) → \(32m = 800\) → \(m = \dfrac{800}{32} = \mathbf{25}\) m²
b) \(C(25) = 32 \times 25 + 150 = 800 + 150 = 950\) €
Prix au m² : \(\dfrac{950}{25} = \mathbf{38}\) €/m²
Note : le prix au m² (38 €) est supérieur au tarif unitaire (32 €) à cause des frais fixes.
Barème : 20 points
Soit \(f(x) = \dfrac{5x - 10}{2}\).
a) Calculer \(f(6)\) et \(f(-4)\).
b) Trouver l'antécédent de 0 par \(f\).
a) \(f(6) = \dfrac{5 \times 6 - 10}{2} = \dfrac{20}{2} = \mathbf{10}\)
\(f(-4) = \dfrac{5 \times (-4) - 10}{2} = \dfrac{-30}{2} = \mathbf{-15}\)
b) On résout \(\dfrac{5x - 10}{2} = 0\) → \(5x - 10 = 0\) → \(5x = 10\) → \(x = \mathbf{2}\)
Vérification : \(f(2) = \dfrac{5 \times 2 - 10}{2} = \dfrac{0}{2} = 0\) ✔
Deux installateurs thermiques proposent les tarifs suivants pour l'entretien de chaudières :
a) Calculer le coût de chaque technicien pour une intervention de 3 heures.
b) Pour quelle durée les deux techniciens coûtent-ils le même prix ?
c) À partir de quelle durée le technicien B est-il plus avantageux ?
a) \(C_A(3) = 55 \times 3 = \mathbf{165}\) € et \(C_B(3) = 40 \times 3 + 60 = 120 + 60 = \mathbf{180}\) €
b) On résout \(55h = 40h + 60\) → \(15h = 60\) → \(h = \mathbf{4}\) heures
Vérification : \(C_A(4) = 220\) € et \(C_B(4) = 160 + 60 = 220\) € ✔
c) Le technicien B est plus avantageux quand \(C_B < C_A\), soit \(40h + 60 < 55h\) → \(h > 4\).
Le technicien B est plus avantageux à partir de 5 heures.
Soit \(f(x) = ax + b\). On sait que \(f(1) = 5\) et \(f(4) = 17\).
a) Déterminer la valeur de \(a\) en utilisant : \(a = \dfrac{f(4) - f(1)}{4 - 1}\).
b) En déduire la valeur de \(b\).
c) Donner l'expression de \(f(x)\) et vérifier.
a) \(a = \dfrac{17 - 5}{4 - 1} = \dfrac{12}{3} = \mathbf{4}\)
b) \(f(1) = 4 \times 1 + b = 5\) → \(4 + b = 5\) → \(b = \mathbf{1}\)
c) \(f(x) = 4x + 1\)
Vérification : \(f(4) = 4 \times 4 + 1 = 17\) ✔
Soit \(g(x) = x^2 + 2\).
a) Montrer que 11 a deux antécédents par \(g\). Les déterminer.
b) Le nombre 1 a-t-il un antécédent par \(g\) ? Justifier.
a) On résout \(x^2 + 2 = 11\) → \(x^2 = 9\) → \(x = \mathbf{3}\) ou \(x = \mathbf{-3}\).
Vérification : \(g(3) = 9 + 2 = 11\) ✔ et \(g(-3) = 9 + 2 = 11\) ✔
b) On résout \(x^2 + 2 = 1\) → \(x^2 = -1\). Comme un carré est toujours positif ou nul, il n'existe aucun antécédent de 1 par \(g\).
Un fabricant de meubles estime le coût de production d'une bibliothèque sur mesure selon la formule \(C(n) = 45n + 200\), où \(n\) est le nombre d'étagères.
a) Le client dispose d'un budget de 650 €. Combien d'étagères peut-il faire réaliser au maximum ?
b) Pour 8 étagères, quel sera le coût par étagère (coût total divisé par le nombre d'étagères) ?
a) \(45n + 200 = 650\) → \(45n = 450\) → \(n = \dfrac{450}{45} = \mathbf{10}\) étagères
b) \(C(8) = 45 \times 8 + 200 = 360 + 200 = 560\) €
Coût par étagère : \(\dfrac{560}{8} = \mathbf{70}\) €/étagère
Note : le coût par étagère (70 €) est supérieur au coût unitaire de fabrication (45 €) à cause des frais fixes.