Inéquations du premier degré — Seconde Bac Pro MAMA
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Compléter avec le bon symbole (\(<\), \(>\), \(\leq\) ou \(\geq\)) :
a) 5 ... 8
b) −3 ... 1
c) Un budget ne doit pas dépasser 500 € : on écrit \(x\) ... \(500\)
a) \(5 < 8\)
b) \(-3 < 1\)
c) \(x \leq 500\)
Résoudre les inéquations suivantes :
a) \(2x + 3 \leq 11\) → \(2x \leq 11 - ... = ...\) → \(x \leq ...\)
b) \(5x - 10 > 15\) → \(5x > 15 + ... = ...\) → \(x > ...\)
a) \(2x \leq 11 - 3 = 8\) → \(x \leq \dfrac{8}{2} = \mathbf{4}\)
Solution : \(x \leq 4\), soit l'intervalle \(]-\infty ; 4]\)
b) \(5x > 15 + 10 = 25\) → \(x > \dfrac{25}{5} = \mathbf{5}\)
Solution : \(x > 5\), soit l'intervalle \(]5 ; +\infty[\)
Résoudre l'inéquation \(-3x \leq 12\).
On divise par \(-3\) (négatif), donc le symbole \(\leq\) devient ...
\(x\) ... \(\dfrac{12}{-3} = ...\)
On divise par \(-3\) (nombre négatif) → le symbole s'inverse :
\(x \geq \dfrac{12}{-3} = \mathbf{-4}\)
Solution : \(x \geq -4\), soit l'intervalle \([-4 ; +\infty[\)
Donner l'intervalle solution et représenter sur une droite graduée :
a) \(x > 2\) → Intervalle : \(] ... ; ... [\)
b) \(x \leq 5\) → Intervalle : \(] ... ; ... ]\)
a) \(x > 2\) → Intervalle \(]2 ; +\infty[\) — point vide ○ en 2, on colorie vers la droite.
b) \(x \leq 5\) → Intervalle \(]-\infty ; 5]\) — point plein ● en 5, on colorie vers la gauche.
Un menuisier a un budget de 200 € pour acheter des planches à 8 € pièce.
a) On pose \(x\) = nombre de planches. Écrire l'inéquation : \(8x\) ... \(200\)
b) Résoudre : \(x \leq \dfrac{200}{...} = ...\)
c) Combien de planches peut-il acheter au maximum ?
a) \(8x \leq 200\)
b) \(x \leq \dfrac{200}{8} = \mathbf{25}\)
c) Il peut acheter au maximum 25 planches.
Barème : 20 points
Compléter avec le bon symbole (\(<\), \(>\), \(\leq\) ou \(\geq\)) :
a) 3 ... 7
b) 2 ... −4
c) La température d'une pièce doit rester au-dessus de 18 °C : on écrit \(T\) ... \(18\)
a) \(3 < 7\)
b) \(2 > -4\)
c) \(T \geq 18\)
Résoudre les inéquations suivantes :
a) \(3x + 5 \leq 20\) → \(3x \leq 20 - ... = ...\) → \(x \leq ...\)
b) \(4x - 6 > 14\) → \(4x > 14 + ... = ...\) → \(x > ...\)
a) \(3x \leq 20 - 5 = 15\) → \(x \leq \dfrac{15}{3} = \mathbf{5}\)
Solution : \(x \leq 5\), soit l'intervalle \(]-\infty ; 5]\)
b) \(4x > 14 + 6 = 20\) → \(x > \dfrac{20}{4} = \mathbf{5}\)
Solution : \(x > 5\), soit l'intervalle \(]5 ; +\infty[\)
Résoudre l'inéquation \(-4x \leq 20\).
On divise par \(-4\) (négatif), donc le symbole \(\leq\) devient ...
\(x\) ... \(\dfrac{20}{-4} = ...\)
On divise par \(-4\) (nombre négatif) → le symbole s'inverse :
\(x \geq \dfrac{20}{-4} = \mathbf{-5}\)
Solution : \(x \geq -5\), soit l'intervalle \([-5 ; +\infty[\)
Donner l'intervalle solution et représenter sur une droite graduée :
a) \(x \geq 4\) → Intervalle : \([ ... ; ... [\)
b) \(x < 3\) → Intervalle : \(] ... ; ... [\)
a) \(x \geq 4\) → Intervalle \([4 ; +\infty[\) — point plein ● en 4, on colorie vers la droite.
b) \(x < 3\) → Intervalle \(]-\infty ; 3[\) — point vide ○ en 3, on colorie vers la gauche.
Un artisan dispose de 150 € pour acheter des tasseaux de bois à 6 € pièce.
a) On pose \(x\) = nombre de tasseaux. Écrire l'inéquation : \(6x\) ... \(150\)
b) Résoudre : \(x \leq \dfrac{150}{...} = ...\)
c) Combien de tasseaux peut-il acheter au maximum ?
a) \(6x \leq 150\)
b) \(x \leq \dfrac{150}{6} = \mathbf{25}\)
c) Il peut acheter au maximum 25 tasseaux.
Barème : 20 points
Résoudre les inéquations suivantes et donner la solution sous forme d'intervalle :
a) \(4x - 7 \geq 13\)
b) \(3x + 8 < 2x + 15\)
a) \(4x \geq 13 + 7 = 20\) → \(x \geq \dfrac{20}{4} = \mathbf{5}\)
Solution : \([5 ; +\infty[\)
b) \(3x - 2x < 15 - 8\) → \(x < \mathbf{7}\)
Solution : \(]-\infty ; 7[\)
Résoudre l'inéquation \(-6x + 18 > 0\). Donner la solution sous forme d'intervalle et représenter sur une droite graduée.
\(-6x > -18\)
On divise par \(-6\) (négatif) → le sens s'inverse :
\(x < \dfrac{-18}{-6} = \mathbf{3}\)
Solution : \(]-\infty ; 3[\) — point vide ○ en 3, on colorie vers la gauche.
Un artisan menuisier dispose d'un budget de 750 € pour acheter des lames de parquet à 12 € le m². Il doit aussi payer 90 € de livraison (forfait fixe).
a) Poser l'inéquation (\(x\) = surface en m²).
b) Résoudre et donner la surface maximale qu'il peut commander.
c) Écrire la solution sous forme d'intervalle.
a) \(12x + 90 \leq 750\)
b) \(12x \leq 660\) → \(x \leq \dfrac{660}{12} = \mathbf{55}\)
Il peut commander au maximum 55 m².
c) Solution : \(x \in ]0 ; 55]\) (en pratique, \(x\) est positif).
Un fabricant de mobilier veut réaliser un bénéfice. Chaque chaise lui coûte 22 € à fabriquer (coûts fixes inclus) et il les vend 35 € pièce. À partir de combien de chaises vendues est-il bénéficiaire, sachant qu'il a 520 € de charges fixes ?
Poser l'inéquation et résoudre.
Bénéfice \(> 0\) : \(35x - (22x + 520) > 0\)
\(35x - 22x - 520 > 0\)
\(13x > 520\)
\(x > \dfrac{520}{13} = \mathbf{40}\)
Il doit vendre au moins 41 chaises pour être bénéficiaire.
Un élève résout \(-2x + 6 \leq 10\) et écrit :
\(-2x \leq 4\) → \(x \leq -2\)
a) Identifier l'erreur commise.
b) Résoudre correctement l'inéquation.
a) L'élève a oublié d'inverser le sens de l'inégalité en divisant par \(-2\) (nombre négatif).
b) \(-2x \leq 4\) → on divise par \(-2\) → \(x \geq \dfrac{4}{-2} = \mathbf{-2}\)
Solution : \([-2 ; +\infty[\)
Barème : 20 points
Résoudre les inéquations suivantes et donner la solution sous forme d'intervalle :
a) \(5x + 3 \leq 28\)
b) \(2x - 4 > 3x - 10\)
a) \(5x \leq 28 - 3 = 25\) → \(x \leq \dfrac{25}{5} = \mathbf{5}\)
Solution : \(]-\infty ; 5]\)
b) \(2x - 3x > -10 + 4\) → \(-x > -6\) → on divise par \(-1\) → \(x < \mathbf{6}\)
Solution : \(]-\infty ; 6[\)
Résoudre l'inéquation \(-5x + 30 > 0\). Donner la solution sous forme d'intervalle et représenter sur une droite graduée.
\(-5x > -30\)
On divise par \(-5\) (négatif) → le sens s'inverse :
\(x < \dfrac{-30}{-5} = \mathbf{6}\)
Solution : \(]-\infty ; 6[\) — point vide ○ en 6, on colorie vers la gauche.
Un installateur thermique dispose d'un budget de 960 € pour acheter des mètres de tuyau de cuivre à 16 € le mètre. Il doit aussi payer 120 € de frais de transport (forfait fixe).
a) Poser l'inéquation (\(x\) = longueur de tuyau en mètres).
b) Résoudre et donner la longueur maximale qu'il peut commander.
c) Écrire la solution sous forme d'intervalle.
a) \(16x + 120 \leq 960\)
b) \(16x \leq 840\) → \(x \leq \dfrac{840}{16} = \mathbf{52{,}5}\)
Il peut commander au maximum 52,5 m de tuyau (soit 52 m en pratique si achat au mètre entier).
c) Solution : \(x \in ]0 ; 52{,}5]\) (en pratique, \(x\) est positif).
Un artisan fabrique des étagères sur mesure. Chaque étagère lui coûte 18 € de matériaux et il les vend 30 € pièce. Il a 600 € de charges fixes mensuelles. À partir de combien d'étagères vendues est-il bénéficiaire ?
Poser l'inéquation et résoudre.
Bénéfice \(> 0\) : \(30x - (18x + 600) > 0\)
\(30x - 18x - 600 > 0\)
\(12x > 600\)
\(x > \dfrac{600}{12} = \mathbf{50}\)
Il doit vendre au moins 51 étagères pour être bénéficiaire.
Un élève résout \(-3x + 9 \leq 15\) et écrit :
\(-3x \leq 6\) → \(x \leq -2\)
a) Identifier l'erreur commise.
b) Résoudre correctement l'inéquation.
a) L'élève a oublié d'inverser le sens de l'inégalité en divisant par \(-3\) (nombre négatif).
b) \(-3x \leq 6\) → on divise par \(-3\) → \(x \geq \dfrac{6}{-3} = \mathbf{-2}\)
Solution : \([-2 ; +\infty[\)
Barème : 20 points
Résoudre les inéquations suivantes et donner la solution sous forme d'intervalle :
a) \(3(2x - 5) \geq 4x + 1\)
b) \(\dfrac{5x - 3}{2} < 6\)
a) \(6x - 15 \geq 4x + 1\) → \(2x \geq 16\) → \(x \geq \mathbf{8}\)
Solution : \([8 ; +\infty[\)
Vérification pour \(x = 10\) : \(3(20-5) = 45\) et \(4\times10+1 = 41\). \(45 \geq 41\) ✔
b) \(5x - 3 < 12\) → \(5x < 15\) → \(x < \mathbf{3}\)
Solution : \(]-\infty ; 3[\)
Un ébéniste fabrique des tables basses. Chaque table nécessite 1,5 m² de bois à 28 € le m² et 45 min de travail à 40 € de l'heure. Il les vend 120 € pièce.
a) Exprimer le coût de fabrication d'une table.
b) Exprimer le bénéfice total pour \(x\) tables vendues.
c) Combien de tables doit-il vendre au minimum pour que son bénéfice dépasse 300 € ?
a) Coût bois : \(1{,}5 \times 28 = 42\) €. Coût main-d'oeuvre : \(0{,}75 \times 40 = 30\) € (45 min = 0,75 h).
Coût unitaire : \(42 + 30 = 72\) € par table.
b) Bénéfice : \(B(x) = 120x - 72x = 48x\)
c) \(48x > 300\) → \(x > \dfrac{300}{48} = 6{,}25\)
Il doit vendre au minimum 7 tables.
Vérification : \(48 \times 7 = 336 > 300\) ✔ et \(48 \times 6 = 288 < 300\) ✔
Deux fournisseurs proposent des panneaux de contreplaqué :
a) Exprimer le coût total de chaque fournisseur en fonction du nombre \(x\) de panneaux.
b) Pour quelles quantités le fournisseur A est-il moins cher que le fournisseur B ?
c) Un menuisier a besoin de 15 panneaux. Quel fournisseur doit-il choisir ? Justifier par le calcul.
a) \(C_A(x) = 15x + 80\) et \(C_B(x) = 19x\)
b) On cherche \(C_A < C_B\) : \(15x + 80 < 19x\) → \(80 < 4x\) → \(x > 20\)
Le fournisseur A est moins cher à partir de 21 panneaux.
c) Pour 15 panneaux : \(C_A = 15 \times 15 + 80 = 305\) € et \(C_B = 19 \times 15 = 285\) €.
Le fournisseur B est plus avantageux (285 € < 305 €).
Résoudre la double inéquation : \(-1 \leq 2x - 5 < 7\).
Exprimer la solution sous forme d'intervalle.
On ajoute 5 à chaque membre : \(-1 + 5 \leq 2x < 7 + 5\) → \(4 \leq 2x < 12\)
On divise par 2 : \(2 \leq x < 6\)
Solution : \([2 ; 6[\)
Un conducteur de travaux doit acheter au moins 50 m² de panneau isolant pour respecter la norme thermique. Chaque panneau fait 1,20 m × 0,60 m. De plus, il faut prévoir 10 % de perte à la découpe.
Combien de panneaux doit-il commander au minimum ?
Surface d'un panneau : \(1{,}20 \times 0{,}60 = 0{,}72\) m²
Avec 10 % de perte, la surface utile d'un panneau est : \(0{,}72 \times 0{,}90 = 0{,}648\) m²
Inéquation : \(0{,}648x \geq 50\)
\(x \geq \dfrac{50}{0{,}648} \approx 77{,}2\)
Il doit commander au minimum 78 panneaux.
Barème : 20 points
Résoudre les inéquations suivantes et donner la solution sous forme d'intervalle :
a) \(2(3x + 4) < 5x + 17\)
b) \(\dfrac{7x + 2}{3} \geq 9\)
a) \(6x + 8 < 5x + 17\) → \(6x - 5x < 17 - 8\) → \(x < \mathbf{9}\)
Solution : \(]-\infty ; 9[\)
Vérification pour \(x = 5\) : \(2(15+4) = 38\) et \(5 \times 5 + 17 = 42\). \(38 < 42\) ✔
b) \(7x + 2 \geq 27\) → \(7x \geq 25\) → \(x \geq \dfrac{25}{7} \approx \mathbf{3{,}57}\)
Solution : \(\left[\dfrac{25}{7} ; +\infty\right[\)
Un menuisier agenceur fabrique des caissons de cuisine. Chaque caisson nécessite 2 m² de panneau mélaminé à 18 € le m² et 30 min de travail à 36 € de l'heure. Il les vend 95 € pièce.
a) Exprimer le coût de fabrication d'un caisson.
b) Exprimer le bénéfice total pour \(x\) caissons vendus.
c) Combien de caissons doit-il vendre au minimum pour que son bénéfice dépasse 200 € ?
a) Coût panneau : \(2 \times 18 = 36\) €. Coût main-d'œuvre : \(0{,}5 \times 36 = 18\) € (30 min = 0,5 h).
Coût unitaire : \(36 + 18 = 54\) € par caisson.
b) Bénéfice : \(B(x) = 95x - 54x = 41x\)
c) \(41x > 200\) → \(x > \dfrac{200}{41} \approx 4{,}88\)
Il doit vendre au minimum 5 caissons.
Vérification : \(41 \times 5 = 205 > 200\) ✔ et \(41 \times 4 = 164 < 200\) ✔
Deux entreprises proposent des radiateurs :
a) Exprimer le coût total de chaque entreprise en fonction du nombre \(x\) de radiateurs.
b) Pour quelles quantités l'entreprise A est-elle moins chère que l'entreprise B ?
c) Un plombier chauffagiste doit installer 5 radiateurs. Quelle entreprise doit-il recommander à son client ? Justifier par le calcul.
a) \(C_A(x) = 85x + 150\) et \(C_B(x) = 110x\)
b) On cherche \(C_A < C_B\) : \(85x + 150 < 110x\) → \(150 < 25x\) → \(x > 6\)
L'entreprise A est moins chère à partir de 7 radiateurs.
c) Pour 5 radiateurs : \(C_A = 85 \times 5 + 150 = 575\) € et \(C_B = 110 \times 5 = 550\) €.
L'entreprise B est plus avantageuse (550 € < 575 €).
Résoudre la double inéquation : \(-3 \leq 3x - 6 < 9\).
Exprimer la solution sous forme d'intervalle.
On ajoute 6 à chaque membre : \(-3 + 6 \leq 3x < 9 + 6\) → \(3 \leq 3x < 15\)
On divise par 3 : \(1 \leq x < 5\)
Solution : \([1 ; 5[\)
Un technicien de maintenance doit poser au moins 30 m² de revêtement de sol dans un hall. Chaque dalle mesure 0,50 m × 0,50 m. De plus, il faut prévoir 15 % de perte à la découpe.
Combien de dalles doit-il commander au minimum ?
Surface d'une dalle : \(0{,}50 \times 0{,}50 = 0{,}25\) m²
Avec 15 % de perte, la surface utile d'une dalle est : \(0{,}25 \times 0{,}85 = 0{,}2125\) m²
Inéquation : \(0{,}2125x \geq 30\)
\(x \geq \dfrac{30}{0{,}2125} \approx 141{,}2\)
Il doit commander au minimum 142 dalles.