Inéquations du premier degré | 2nde Bac Pro | Mathématiques
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 15:00
Capacités et connaissances du programme :
C1 — Utiliser les symboles d’inégalité et représenter des intervalles sur une droite
C2 — Résoudre une inéquation du type ax + b < c
C3 — Résoudre une inéquation du type ax + b ≤ cx + d
C4 — Appliquer la règle du changement de signe
C5 — Mettre en inéquation un problème concret et interpréter
C6 — Vérifier une solution et formaliser la méthode
C7 — Résoudre graphiquement une inéquation
C8 — Se ramener à une forme connue : parenthèses et quotients
Pour aller plus loin (hors programme de Seconde, non évalué) : les encadrements et l'intersection de deux contraintes, présentés au §8 du cours PDF. Aucun exercice de cette page ne les demande.
C1 — Utiliser les symboles d'inégalité et représenter des intervalles sur une droite
Rappel de cours
Les symboles : \(<\) (strictement inférieur), \(\leq\) (inférieur ou égal), \(>\) (strictement supérieur), \(\geq\) (supérieur ou égal). Notation d'intervalle : crochet fermé \([\ ]\) si la borne est incluse, crochet ouvert \(]\ [\) si la borne est exclue. \(+\infty\) et \(-\infty\) sont toujours avec un crochet ouvert.
Exercice 1
Exprimer en écriture d'intervalle, puis représenter sur une droite numérique :
\(x > 3\)
\(x \leq -2\)
\(-1 \leq x < 5\)
\(x \in [-4\,;\,2]\)
\(x > 3\) → \(]3\,;\,+\infty[\) (crochet ouvert en 3, car 3 exclu)
\(x \leq -2\) → \(]-\infty\,;\,-2]\) (crochet fermé en −2, car −2 inclus)
\(-1 \leq x < 5\) → \([-1\,;\,5[\) (fermé en −1, ouvert en 5)
\([-4\,;\,2]\) → \(-4 \leq x \leq 2\) (les deux bornes incluses)
Exercice 2
Réécrire chaque inégalité avec le bon symbole et préciser si les bornes sont incluses ou exclues :
« La longueur \(L\) doit être au moins 150 cm »
« La température \(T\) doit rester strictement inférieure à 40 °C »
« Le nombre de pièces \(n\) est compris entre 10 et 50 inclus »
\(L \geq 150\), soit \(L \in [150\,;\,+\infty[\) — 150 inclus
\(T < 40\), soit \(T \in ]-\infty\,;\,40[\) — 40 exclu
\(10 \leq n \leq 50\), soit \(n \in [10\,;\,50]\) — les deux bornes incluses
Exercice 3
Parmi les valeurs suivantes, lesquelles appartiennent à l'intervalle \(]-2\,;\,5]\) ? Justifier.
L'intervalle \(]-2\,;\,5]\) contient les \(x\) tels que \(-2 < x \leq 5\).
− \(-3\) : non (−3 < −2)
− \(0\) : oui (−2 < 0 ≤ 5) ✔
− \(-2\) : non (−2 est exclu de l'intervalle ouvert en −2)
− \(5\) : oui (5 est inclus) ✔
− \(4{,}9\) : oui ✔
− \(6\) : non (6 > 5)
− \(-1{,}99\) : oui (−2 < −1,99 ≤ 5) ✔
C2 — Résoudre une inéquation du type \(ax + b < c\)
Rappel de cours
On résout une inéquation comme une équation : on retranche \(b\) aux deux membres, puis on divise par \(a\), et on écrit la solution sous forme d'intervalle. Ajouter, retrancher, multiplier ou diviser par un nombre positif ne change pas le sens. Exemple : \(3x + 1 < 10\) → \(3x < 9\) → \(x < 3\), soit \(S = ]-\infty ; 3[\). Le cas d'un nombre négatif relève de C4.
Exercice 4
Résoudre et exprimer les solutions en notation d'intervalle :
Un artisan menuisier facture 35 € de l'heure pour sa main-d'œuvre. Les frais fixes pour un chantier sont 80 €. Pour que le client ne dépasse pas un budget de 500 €, combien d'heures maximum l'artisan peut-il travailler ?
Inéquation : \(35h + 80 \leq 500\)
\(35h \leq 420\)
\(h \leq 12\)
L'artisan peut travailler au maximum 12 heures.
C3 — Résoudre une inéquation du type \(ax + b \leq cx + d\)
Rappel de cours
Regrouper les termes en \(x\) d'un côté et les constantes de l'autre, comme pour une équation. Exemple : \(3x + 2 \leq x + 8\) → \(3x - x \leq 8 - 2\) → \(2x \leq 6\) → \(x \leq 3\). Attention au signe du coefficient de \(x\) lors de la division finale.
Exercice 7
Résoudre :
\(3x + 2 \leq x + 8\)
\(5x - 1 > 2x + 11\)
\(4x + 3 \geq 7x - 9\)
\(3x - x \leq 8 - 2 \Rightarrow 2x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3\) → \(S = ]-\infty\,;\,3]\)
Deux prestataires proposent des services de transport :
— Prestataire A : 50 € de base + 20 € par livraison
— Prestataire B : 10 € de base + 30 € par livraison
À partir de combien de livraisons le prestataire A est-il moins cher que B ?
Coût A : \(50 + 20n\) ; Coût B : \(10 + 30n\)
A < B : \(50 + 20n < 10 + 30n\)
\(50 - 10 < 30n - 20n\)
\(40 < 10n\)
\(n > 4\)
À partir de 5 livraisons, le prestataire A est moins cher.
Exercice 9
Deux loueurs de vélos électriques proposent les tarifs suivants.
Frais de dossier
Prix par jour
Loueur A
24 €
15 €
Loueur B
6 €
18 €
Écrire le prix payé chez chaque loueur pour \(j\) jours.
Résoudre \(24 + 15j < 6 + 18j\), en regroupant les \(j\) du côté où leur coefficient reste positif.
À partir de combien de jours le loueur A est-il strictement moins cher ?
Loueur A : \(24 + 15j\) ; loueur B : \(6 + 18j\), en euros.
On regroupe les \(j\) à droite : \(24 - 6 < 18j - 15j\), soit \(18 < 3j\) et \(6 < j\). Donc \(j > 6\) et \(S = ]6\,;\,+\infty[\).
Pour 6 jours, les deux prix sont égaux : \(24 + 90 = 114\) € et \(6 + 108 = 114\) €. Le loueur A est strictement moins cher à partir de 7 jours : 129 € contre 132 €.
C4 — Appliquer la règle du changement de signe
Rappel de cours — Règle du changement de signe
Lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité s'inverse obligatoirement : \(<\) devient \(>\), \(\leq\) devient \(\geq\). Exemple : \(-2x < 6\) → diviser par \(-2\) → \(x > -3\).
Exercice 10
Résoudre les inéquations suivantes en faisant attention au changement de signe :
\(-2x < 6\)
\(-5x + 3 \geq 18\)
\(-3x - 2 > 7\)
Règle : quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse !
Un élève a résolu \(-4x + 8 > 0\) et écrit : « \(-4x > -8\), donc \(x > 2\). » Corriger son erreur.
L'élève a oublié d'inverser le sens de l'inégalité en divisant par \(-4\).
Correction : \(-4x > -8\) → diviser par \(-4\) (négatif) : \(x < 2\)
Solution correcte : \(S = ]-\infty\,;\,2[\)
Exercice 12
Résoudre \(5 - 3x \leq 2x - 10\) en précisant à chaque étape si le sens de l'inégalité change.
\(5 - 3x \leq 2x - 10\)
\(5 + 10 \leq 2x + 3x\) (on déplace les termes, pas de changement de signe)
\(15 \leq 5x\)
\(3 \leq x\), soit \(x \geq 3\) (division par +5, pas de changement)
\(S = [3\,;\,+\infty[\)
Exercice 12 bis
Compléter chaque inégalité par le bon symbole et par le nombre manquant.
\(x < 4\). On multiplie les deux membres par \(-2\) : \(-2x \ \ldots\ \ldots\)
\(x > -1\). On multiplie les deux membres par \(5\) : \(5x \ \ldots\ \ldots\)
\(-6x \geq 18\). On divise les deux membres par \(-6\) : \(x \ \ldots\ \ldots\)
\(-2x > -8\) : on multiplie par un nombre négatif, le sens change.
\(5x > -5\) : on multiplie par un nombre positif, le sens est conservé, même si \(-1\) est négatif.
\(x \leq -3\) : on divise par un nombre négatif, le sens change.
C5 — Mettre en inéquation un problème concret et interpréter
Rappel de cours
Pour mettre en inéquation : nommer l'inconnue, traduire la contrainte en inégalité (budget maximum → \(\leq\), seuil minimum → \(\geq\)), résoudre, puis interpréter la solution dans le contexte (l'ensemble des solutions est souvent un intervalle).
Exercice 13
Un installateur thermique commande des tuyaux en cuivre à 8 € le mètre. Les frais de livraison sont 25 €. Il dispose d'un budget maximum de 200 €. Quelle longueur maximale peut-il commander ?
Soit \(L\) la longueur (en mètres) commandée.
Inéquation : \(8L + 25 \leq 200\)
\(8L \leq 175\)
\(L \leq 21{,}875\)
Il peut commander au maximum 21,875 m (soit 21 m en prenant un nombre entier de mètres).
Exercice 14
Un menuisier fabrique des cadres. Chaque cadre nécessite 2,4 m de baguette. Il dispose d'un stock de 60 m. Il en a déjà utilisé une partie et il lui reste à fabriquer au moins 15 cadres. Quelle quantité maximale a-t-il pu utiliser avant ?
Soit \(u\) la quantité déjà utilisée (en mètres).
Il doit pouvoir faire encore 15 cadres : \(2{,}4 \times 15 = 36\) m nécessaires.
Stock restant ≥ 36 m → \(60 - u \geq 36\)
\(-u \geq -24\)
\(u \leq 24\) m
Il a pu utiliser au maximum 24 m de baguette.
Exercice 15
Un atelier produit deux types de portes : standard (bénéfice 45 €/porte) et premium (bénéfice 80 €/porte). Ce mois, il fabrique \(n\) portes standard et 5 portes premium. Pour que le bénéfice total dépasse 800 €, combien de portes standard faut-il produire au minimum ?
Inéquation : \(45n + 80 \times 5 > 800\)
\(45n + 400 > 800\)
\(45n > 400\)
\(n > \frac{400}{45} \approx 8{,}89\)
Comme \(n\) est un nombre entier, il faut \(n \geq 9\).
L'atelier doit produire au minimum 9 portes standard.
Exercice 15 bis
Écrire l'inéquation qui traduit chaque situation, en nommant l'inconnue. Ne pas la résoudre.
Une salle de sport demande 10 € d'inscription, puis 25 € par mois. Le budget ne doit pas dépasser 200 €.
Un rouleau contient 50 m de câble. On y coupe des morceaux de 3 m. Il doit rester au moins 8 m sur le rouleau.
\(m\) = nombre de mois : \(10 + 25m \leq 200\) (« ne pas dépasser » autorise l'égalité).
\(n\) = nombre de morceaux coupés : \(50 - 3n \geq 8\) (« au moins » autorise l'égalité).
Exercice 15 ter
Pour la fête du lycée, une association loue un stand pour 30 €. Chaque crêpe lui coûte 0,50 € d'ingrédients et se vend 2 €. Combien de crêpes doit-elle vendre, au minimum, pour réaliser un bénéfice ?
Soit \(n\) le nombre de crêpes vendues. Bénéfice = recettes − dépenses :
\(2n - (30 + 0{,}50n) > 0\)
\(1{,}5n > 30\)
\(n > 20\)
À 20 crêpes, le bénéfice est nul : \(40 - 40 = 0\). Il faut donc vendre au minimum 21 crêpes (bénéfice de 1,50 €). L'inégalité est stricte : 20 ne convient pas.
C6 — Vérifier une solution et formaliser la méthode
Rappel de cours
Valeur-test : une valeur dans l'intervalle trouvé doit rendre l'inéquation vraie, une valeur hors de l'intervalle doit la rendre fausse. Pour une quantité entière, un tableau de valeurs aide aussi à repérer la dernière valeur autorisée ou la première valeur suffisante.
Organigramme de la résolution de \(ax < b\) : si \(a = 0\), pas d'inconnue ; si \(a > 0\), \(x < \frac{b}{a}\) (sens conservé) ; si \(a < 0\), \(x > \frac{b}{a}\) (sens inversé). Le seul embranchement qui compte est le signe de \(a\).
Exercice 16
Résoudre \(3x - 2 \leq 7\), écrire la solution sous forme d'intervalle, puis vérifier avec \(x=3\) et \(x=4\).
\(3x - 2 \leq 7 \Rightarrow 3x \leq 9 \Rightarrow x \leq 3\).
Solution : \(S = ]-\infty\,;\,3]\).
Vérifications : pour \(x=3\), \(3\times3-2=7\), donc la borne est incluse ; pour \(x=4\), \(3\times4-2=10>7\), donc 4 n'est pas solution.
Exercice 17
Un électricien compare deux tarifs pour une intervention de \(h\) heures :
tarif A : \(35h + 50\) € ;
tarif B : \(45h + 20\) €.
Résoudre \(35h + 50 < 45h + 20\).
Vérifier le seuil obtenu pour 2 h, 3 h et 4 h.
\(35h + 50 < 45h + 20 \Rightarrow 30 < 10h \Rightarrow h > 3\).
À 2 h : A = 120 € et B = 110 € ; à 3 h : A = B = 155 € ; à 4 h : A = 190 € et B = 200 €. Le tarif A est donc strictement moins cher pour \(h>3\).
Exercice 18
Un atelier dispose de 12 € pour louer une découpeuse facturée 3 € par pièce. Le tableau donne la dépense pour plusieurs nombres entiers de pièces.
Nombre de pièces \(x\)
0
1
2
3
4
5
Dépense \(3x\) (€)
0
3
6
9
12
15
Écrire puis résoudre l'inéquation de budget.
À l'aide du tableau, donner le nombre maximal de pièces.
Représenter la solution sur une droite graduée.
\(3x \leq 12 \Rightarrow x \leq 4\). Pour un nombre entier de pièces, le tableau confirme qu'on peut produire au maximum 4 pièces.
Exercice 18 bis
L'organigramme ci-dessous formalise la résolution d'une inéquation du type \(ax < b\).
Organigramme de la résolution de \(ax < b\) : losanges = questions, rectangles = actions.
Pour \(-6x < 24\), indiquer la réponse à chacun des deux tests, la branche empruntée, puis la solution.
Même travail pour \(7x < 35\).
Un camarade affirme : « il faut inverser le sens dès qu'il y a un nombre négatif dans l'inéquation ». Examiner \(3x < -12\) : a-t-il raison ? Quel test tranche réellement ?
\(a = -6\) : « \(a = 0\) ? » non ; « \(a > 0\) ? » non. Branche du sens inversé : \(x > \frac{24}{-6} = -4\), soit \(S = ]-4\,;\,+\infty[\).
\(a = 7\) : « \(a = 0\) ? » non ; « \(a > 0\) ? » oui. Branche du sens conservé : \(x < \frac{35}{7} = 5\), soit \(S = ]-\infty\,;\,5[\).
Il a tort. Dans \(3x < -12\), le coefficient \(a = 3\) est positif : le second test répond « oui », le sens est conservé. \(x < -4\), soit \(S = ]-\infty\,;\,-4[\). C'est le signe de \(a\), et lui seul, qui décide.
Exercice 18 ter
On affirme que l'ensemble des solutions de \(-2x + 1 > -5\) est \(]-\infty\,;\,3[\). Contrôler cette affirmation avec une valeur prise dans cet intervalle, puis une valeur prise hors de cet intervalle. Conclure.
Test dans l'intervalle, \(x = 0\) : \(-2 \times 0 + 1 = 1\), et \(1 > -5\) est vrai.
Test hors de l'intervalle, \(x = 5\) : \(-2 \times 5 + 1 = -9\), et \(-9 > -5\) est faux.
Les deux tests répondent comme attendu : l'affirmation est cohérente. (Par le calcul : \(-2x > -6\), puis \(x < 3\).)
C7 — Résoudre graphiquement une inéquation
Rappel de cours
Le programme autorise trois méthodes de résolution : algébrique, graphique ou numérique. Pour résoudre graphiquement \(ax + b \leq c\), on trace la droite d'équation \(y = ax + b\) et la droite horizontale \(y = c\), puis on lit les valeurs de \(x\) pour lesquelles la première droite est en-dessous (ou sur) la seconde.
Exercice 19
Le repère ci-dessous donne la droite d'équation \(y = 3x - 2\) et la droite horizontale \(y = 7\).
Lire graphiquement les solutions de \(3x - 2 \leq 7\) (valeurs de \(x\) pour lesquelles la droite bleue est en-dessous ou sur la droite rouge).
Vérifier algébriquement.
Lire graphiquement les solutions de \(3x - 2 > 7\). Expliquer le choix du crochet.
Les deux droites se coupent à l'abscisse \(x = 3\). La droite \(y = 3x - 2\) est en-dessous (ou sur) la droite \(y = 7\) pour \(x \leq 3\). Solution lue graphiquement : \(]-\infty\,;\,3]\).
\(3x - 2 \leq 7 \Rightarrow 3x \leq 9 \Rightarrow x \leq 3\) ✔ — on retrouve bien \(S = ]-\infty\,;\,3]\).
À droite du point d'intersection, la droite bleue est au-dessus de la rouge : \(S = ]3\,;\,+\infty[\). Le crochet est ouvert en 3 : en \(x = 3\), \(3x - 2 = 7\), qui n'est pas strictement supérieur à 7.
Exercice 20
Un électricien propose deux tarifs pour une intervention de \(h\) heures :
Tarif A : \(35h + 50\) € | Tarif B : \(45h + 20\) €
Le repère ci-dessous donne les deux droites de coût en fonction de la durée \(h\) (en heures).
Coût des tarifs A (bleu) et B (rouge) selon la durée \(h\)
Résoudre graphiquement \(35h + 50 < 45h + 20\) : pour quelles durées le tarif A est-il moins cher ?
Vérifier par le calcul.
Les deux droites se coupent à l'abscisse \(h = 3\) (les deux coûts y valent 155 €). Pour \(h > 3\), la droite A (bleu) passe en-dessous de la droite B (rouge) : le tarif A est moins cher au-delà de 3 heures.
\(35h + 50 < 45h + 20 \Rightarrow 50 - 20 < 45h - 35h \Rightarrow 30 < 10h \Rightarrow h > 3\) ✔ — on retrouve le résultat lu graphiquement.
Exercice 21
Un atelier loue une découpeuse au coût de 3 € par pièce produite. Le budget disponible est de 12 €.
Traduire la situation par une inéquation d'inconnue \(x\) (nombre de pièces).
La résoudre graphiquement en traçant \(y = 3x\) et \(y = 12\) dans le repère vierge ci-dessous.
Combien de pièces peut-on produire au maximum ?
Repère vierge — tracer y = 3x et y = 12, puis lire l'intersection
\(3x \leq 12\).
La droite \(y = 3x\) coupe la droite \(y = 12\) à l'abscisse \(x = 4\) ; pour \(x \leq 4\), la droite \(y = 3x\) est au-dessous (ou sur) la droite \(y = 12\).
Solution : \(x \leq 4\). On peut produire au maximum 4 pièces (vérification : \(3 \times 4 = 12\) €) ✔.
C8 — Se ramener à une forme connue : parenthèses et quotients
Rappel de cours
Parenthèse : développer d'abord. Le facteur multiplie chacun des termes, et un signe « moins » devant la parenthèse change tous les signes : \(-(x + 4) = -x - 4\).
Quotient : multiplier les deux membres par le dénominateur. Dans ce chapitre, il est toujours positif : le sens est conservé. Exemple : \(\frac{3x - 5}{2} \leq 5\) → \(3x - 5 \leq 10\) → \(x \leq 5\).