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Chapitre 6 – Exercices par capacités

Inéquations du premier degré  |  2nde Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 27 juillet 2026, 22:38

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Symboles d'inégalité et représentation d'intervalles

Rappel de cours

Les symboles : \(<\) (strictement inférieur), \(\leq\) (inférieur ou égal), \(>\) (strictement supérieur), \(\geq\) (supérieur ou égal). Notation d'intervalle : crochet fermé \([\ ]\) si la borne est incluse, crochet ouvert \(]\ [\) si la borne est exclue. \(+\infty\) et \(-\infty\) sont toujours avec un crochet ouvert.

Exercice 1

Exprimer en écriture d'intervalle, puis représenter sur une droite numérique :

  1. \(x > 3\)
  2. \(x \leq -2\)
  3. \(-1 \leq x < 5\)
  4. \(x \in [-4\,;\,2]\)
  1. \(x > 3\) → \(]3\,;\,+\infty[\) (crochet ouvert en 3, car 3 exclu)
  2. \(x \leq -2\) → \(]-\infty\,;\,-2]\) (crochet fermé en −2, car −2 inclus)
  3. \(-1 \leq x < 5\) → \([-1\,;\,5[\) (fermé en −1, ouvert en 5)
  4. \([-4\,;\,2]\) → \(-4 \leq x \leq 2\) (les deux bornes incluses)

Exercice 2

Réécrire chaque inégalité avec le bon symbole et préciser si les bornes sont incluses ou exclues :

  1. « La longueur \(L\) doit être au moins 150 cm »
  2. « La température \(T\) doit rester strictement inférieure à 40 °C »
  3. « Le nombre de pièces \(n\) est compris entre 10 et 50 inclus »
  1. \(L \geq 150\), soit \(L \in [150\,;\,+\infty[\) — 150 inclus
  2. \(T < 40\), soit \(T \in ]-\infty\,;\,40[\) — 40 exclu
  3. \(10 \leq n \leq 50\), soit \(n \in [10\,;\,50]\) — les deux bornes incluses

Exercice 3

Parmi les valeurs suivantes, lesquelles appartiennent à l'intervalle \(]-2\,;\,5]\) ? Justifier.

\(-3\) ; \(0\) ; \(-2\) ; \(5\) ; \(4{,}9\) ; \(6\) ; \(-1{,}99\)

L'intervalle \(]-2\,;\,5]\) contient les \(x\) tels que \(-2 < x \leq 5\).
− \(-3\) : non (−3 < −2)
− \(0\) : oui (−2 < 0 ≤ 5) ✔
− \(-2\) : non (−2 est exclu de l'intervalle ouvert en −2)
− \(5\) : oui (5 est inclus) ✔
− \(4{,}9\) : oui ✔
− \(6\) : non (6 > 5)
− \(-1{,}99\) : oui (−2 < −1,99 ≤ 5) ✔

C2 — Résoudre une inéquation du type \(ax + b < c\)

Rappel de cours

On résout une inéquation comme une équation, sauf : quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse (\(<\) devient \(>\)). Exemple : \(3x + 1 < 10\) → \(3x < 9\) → \(x < 3\), soit \(S = ]-\infty ; 3[\).

Exercice 4

Résoudre et exprimer les solutions en notation d'intervalle :

  1. \(3x + 1 < 10\)
  2. \(2x - 5 \geq 3\)
  3. \(5x + 2 \leq 17\)
  4. \(4x - 3 > 9\)
  1. \(3x < 9 \Rightarrow x < 3\) → \(S = ]-\infty\,;\,3[\)
  2. \(2x \geq 8 \Rightarrow x \geq 4\) → \(S = [4\,;\,+\infty[\)
  3. \(5x \leq 15 \Rightarrow x \leq 3\) → \(S = ]-\infty\,;\,3]\)
  4. \(4x > 12 \Rightarrow x > 3\) → \(S = ]3\,;\,+\infty[\)

Exercice 5

Résoudre :

  1. \(\frac{x}{2} + 3 \leq 7\)
  2. \(\frac{x - 1}{3} > 2\)
  1. \(\frac{x}{2} \leq 4 \Rightarrow x \leq 8\) → \(S = ]-\infty\,;\,8]\)
  2. \(x - 1 > 6 \Rightarrow x > 7\) → \(S = ]7\,;\,+\infty[\)

Exercice 6

Un artisan menuisier facture 35 € de l'heure pour sa main-d'œuvre. Les frais fixes pour un chantier sont 80 €. Pour que le client ne dépasse pas un budget de 500 €, combien d'heures maximum l'artisan peut-il travailler ?

Inéquation : \(35h + 80 \leq 500\)
\(35h \leq 420\)
\(h \leq 12\)
L'artisan peut travailler au maximum 12 heures.

C3 — Résoudre \(ax + b \leq cx + d\)

Rappel de cours

Regrouper les termes en \(x\) d'un côté et les constantes de l'autre, comme pour une équation. Exemple : \(3x + 2 \leq x + 8\) → \(3x - x \leq 8 - 2\) → \(2x \leq 6\) → \(x \leq 3\). Attention au signe du coefficient de \(x\) lors de la division finale.

Exercice 7

Résoudre :

  1. \(3x + 2 \leq x + 8\)
  2. \(5x - 1 > 2x + 11\)
  3. \(4x + 3 \geq 7x - 9\)
  1. \(3x - x \leq 8 - 2 \Rightarrow 2x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3\) → \(S = ]-\infty\,;\,3]\)
  2. \(5x - 2x > 11 + 1 \Rightarrow 3x > 12 \Rightarrow x > 4\) → \(S = ]4\,;\,+\infty[\)
  3. \(4x - 7x \geq -9 - 3 \Rightarrow -3x \geq -12 \Rightarrow x \leq 4\) (changement de signe !) → \(S = ]-\infty\,;\,4]\)

Exercice 8

Deux prestataires proposent des services de transport :
— Prestataire A : 50 € de base + 20 € par livraison
— Prestataire B : 10 € de base + 30 € par livraison
À partir de combien de livraisons le prestataire A est-il moins cher que B ?

Coût A : \(50 + 20n\) ; Coût B : \(10 + 30n\)
A < B : \(50 + 20n < 10 + 30n\)
\(50 - 10 < 30n - 20n\)
\(40 < 10n\)
\(n > 4\)
À partir de 5 livraisons, le prestataire A est moins cher.

Exercice 9

Résoudre \(2(x + 3) - 1 \leq 3(x - 1) + 4\).

\(2x + 6 - 1 \leq 3x - 3 + 4\)
\(2x + 5 \leq 3x + 1\)
\(5 - 1 \leq 3x - 2x\)
\(4 \leq x\), soit \(x \geq 4\)
\(S = [4\,;\,+\infty[\)

C4 — Changement de signe (division/multiplication par un négatif)

Rappel de cours — Règle du changement de signe

Lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité s'inverse obligatoirement : \(<\) devient \(>\), \(\leq\) devient \(\geq\). Exemple : \(-2x < 6\) → diviser par \(-2\) → \(x > -3\).

Exercice 10

Résoudre les inéquations suivantes en faisant attention au changement de signe :

  1. \(-2x < 6\)
  2. \(-5x + 3 \geq 18\)
  3. \(-3x - 2 > 7\)

Règle : quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse !

  1. \(-2x < 6\) → diviser par \(-2\) : \(x > -3\) (sens inversé) → \(S = ]-3\,;\,+\infty[\)
  2. \(-5x \geq 15\) → diviser par \(-5\) : \(x \leq -3\) (sens inversé) → \(S = ]-\infty\,;\,-3]\)
  3. \(-3x > 9\) → diviser par \(-3\) : \(x < -3\) (sens inversé) → \(S = ]-\infty\,;\,-3[\)

Exercice 11

Un élève a résolu \(-4x + 8 > 0\) et écrit : « \(-4x > -8\), donc \(x > 2\). » Corriger son erreur.

L'élève a oublié d'inverser le sens de l'inégalité en divisant par \(-4\).
Correction : \(-4x > -8\) → diviser par \(-4\) (négatif) : \(x < 2\)
Solution correcte : \(S = ]-\infty\,;\,2[\)

Exercice 12

Résoudre \(5 - 3x \leq 2x - 10\) en précisant à chaque étape si le sens de l'inégalité change.

\(5 - 3x \leq 2x - 10\)
\(5 + 10 \leq 2x + 3x\) (on déplace les termes, pas de changement de signe)
\(15 \leq 5x\)
\(3 \leq x\), soit \(x \geq 3\) (division par +5, pas de changement)
\(S = [3\,;\,+\infty[\)

C5 — Mise en inéquation et résolution d'un problème concret

Rappel de cours

Pour mettre en inéquation : nommer l'inconnue, traduire la contrainte en inégalité (budget maximum → \(\leq\), seuil minimum → \(\geq\)), résoudre, puis interpréter la solution dans le contexte (l'ensemble des solutions est souvent un intervalle).

Exercice 13

Un installateur thermique commande des tuyaux en cuivre à 8 € le mètre. Les frais de livraison sont 25 €. Il dispose d'un budget maximum de 200 €. Quelle longueur maximale peut-il commander ?

Soit \(L\) la longueur (en mètres) commandée.
Inéquation : \(8L + 25 \leq 200\)
\(8L \leq 175\)
\(L \leq 21{,}875\)
Il peut commander au maximum 21,875 m (soit 21 m en prenant un nombre entier de mètres).

Exercice 14

Un menuisier fabrique des cadres. Chaque cadre nécessite 2,4 m de baguette. Il dispose d'un stock de 60 m. Il en a déjà utilisé une partie et il lui reste à fabriquer au moins 15 cadres. Quelle quantité maximale a-t-il pu utiliser avant ?

Soit \(u\) la quantité déjà utilisée (en mètres).
Il doit pouvoir faire encore 15 cadres : \(2{,}4 \times 15 = 36\) m nécessaires.
Stock restant ≥ 36 m → \(60 - u \geq 36\)
\(-u \geq -24\)
\(u \leq 24\) m
Il a pu utiliser au maximum 24 m de baguette.

Exercice 15

Un atelier produit deux types de portes : standard (bénéfice 45 €/porte) et premium (bénéfice 80 €/porte). Ce mois, il fabrique \(n\) portes standard et 5 portes premium. Pour que le bénéfice total dépasse 800 €, combien de portes standard faut-il produire au minimum ?

Inéquation : \(45n + 80 \times 5 > 800\)
\(45n + 400 > 800\)
\(45n > 400\)
\(n > \frac{400}{45} \approx 8{,}89\)
Comme \(n\) est un nombre entier, il faut \(n \geq 9\).
L'atelier doit produire au minimum 9 portes standard.

C6 — Choisir une méthode et vérifier une solution

Rappel de cours

On peut résoudre une inéquation par le calcul puis contrôler le résultat avec des valeurs-tests. Pour une quantité entière, un tableau de valeurs aide aussi à repérer la dernière valeur autorisée ou la première valeur suffisante.

Exercice 16

Résoudre \(3x - 2 \leq 7\), écrire la solution sous forme d'intervalle, puis vérifier avec \(x=3\) et \(x=4\).

\(3x - 2 \leq 7 \Rightarrow 3x \leq 9 \Rightarrow x \leq 3\).
Solution : \(S = ]-\infty\,;\,3]\).
Vérifications : pour \(x=3\), \(3\times3-2=7\), donc la borne est incluse ; pour \(x=4\), \(3\times4-2=10>7\), donc 4 n'est pas solution.

Exercice 17

Un électricien compare deux tarifs pour une intervention de \(h\) heures :

  • tarif A : \(35h + 50\) € ;
  • tarif B : \(45h + 20\) €.
  1. Résoudre \(35h + 50 < 45h + 20\).
  2. Vérifier le seuil obtenu pour 2 h, 3 h et 4 h.
\(35h + 50 < 45h + 20 \Rightarrow 30 < 10h \Rightarrow h > 3\).
À 2 h : A = 120 € et B = 110 € ; à 3 h : A = B = 155 € ; à 4 h : A = 190 € et B = 200 €. Le tarif A est donc strictement moins cher pour \(h>3\).

Exercice 18

Un atelier dispose de 12 € pour louer une découpeuse facturée 3 € par pièce. Le tableau donne la dépense pour plusieurs nombres entiers de pièces.

Nombre de pièces \(x\)012345
Dépense \(3x\) (€)03691215
  1. Écrire puis résoudre l'inéquation de budget.
  2. À l'aide du tableau, donner le nombre maximal de pièces.
  3. Représenter la solution sur une droite graduée.
\(3x \leq 12 \Rightarrow x \leq 4\). Pour un nombre entier de pièces, le tableau confirme qu'on peut produire au maximum 4 pièces.

C7 — Résoudre graphiquement une inéquation du premier degré

Rappel de cours

Le programme autorise trois méthodes de résolution : algébrique, graphique ou numérique. Pour résoudre graphiquement \(ax + b \leq c\), on trace la droite d'équation \(y = ax + b\) et la droite horizontale \(y = c\), puis on lit les valeurs de \(x\) pour lesquelles la première droite est en-dessous (ou sur) la seconde.

Exercice 19

Le repère ci-dessous donne la droite d'équation \(y = 3x - 2\) et la droite horizontale \(y = 7\).

x y 1 2 3 4 5 2 4 6 8 y = 3x − 2 y = 7
Repère : droite \(y = 3x - 2\) (bleu) et droite \(y = 7\) (rouge)
  1. Lire graphiquement les solutions de \(3x - 2 \leq 7\) (valeurs de \(x\) pour lesquelles la droite bleue est en-dessous ou sur la droite rouge).
  2. Vérifier algébriquement.
  1. Les deux droites se coupent à l'abscisse \(x = 3\). La droite \(y = 3x - 2\) est en-dessous (ou sur) la droite \(y = 7\) pour \(x \leq 3\). Solution lue graphiquement : \(]-\infty\,;\,3]\).
  2. \(3x - 2 \leq 7 \Rightarrow 3x \leq 9 \Rightarrow x \leq 3\) ✔ — on retrouve bien \(S = ]-\infty\,;\,3]\).

Exercice 20

Un électricien propose deux tarifs pour une intervention de \(h\) heures :
Tarif A : \(35h + 50\) €  |  Tarif B : \(45h + 20\) €

Le repère ci-dessous donne les deux droites de coût en fonction de la durée \(h\) (en heures).

h € 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 Tarif A Tarif B
Coût des tarifs A (bleu) et B (rouge) selon la durée \(h\)
  1. Résoudre graphiquement \(35h + 50 < 45h + 20\) : pour quelles durées le tarif A est-il moins cher ?
  2. Vérifier par le calcul.
  1. Les deux droites se coupent à l'abscisse \(h = 3\) (les deux coûts y valent 155 €). Pour \(h > 3\), la droite A (bleu) passe en-dessous de la droite B (rouge) : le tarif A est moins cher au-delà de 3 heures.
  2. \(35h + 50 < 45h + 20 \Rightarrow 50 - 20 < 45h - 35h \Rightarrow 30 < 10h \Rightarrow h > 3\) ✔ — on retrouve le résultat lu graphiquement.

Exercice 21

Un atelier loue une découpeuse au coût de 3 € par pièce produite. Le budget disponible est de 12 €.

  1. Traduire la situation par une inéquation d'inconnue \(x\) (nombre de pièces).
  2. La résoudre graphiquement en traçant \(y = 3x\) et \(y = 12\) dans le repère vierge ci-dessous.
  3. Combien de pièces peut-on produire au maximum ?
x € 1 2 3 4 5 3 6 9 12 15
Repère vierge — tracer y = 3x et y = 12, puis lire l'intersection
  1. \(3x \leq 12\).
  2. La droite \(y = 3x\) coupe la droite \(y = 12\) à l'abscisse \(x = 4\) ; pour \(x \leq 4\), la droite \(y = 3x\) est au-dessous (ou sur) la droite \(y = 12\).
  3. Solution : \(x \leq 4\). On peut produire au maximum 4 pièces (vérification : \(3 \times 4 = 12\) €) ✔.