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Chapitre 6 – Exercices par capacités

Inéquations du premier degré  |  Seconde Bac Pro MAMA  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Symboles d'inégalité et représentation d'intervalles

Rappel de cours

Les symboles : \(<\) (strictement inférieur), \(\leq\) (inférieur ou égal), \(>\) (strictement supérieur), \(\geq\) (supérieur ou égal). Notation d'intervalle : crochet fermé \([\ ]\) si la borne est incluse, crochet ouvert \(]\ [\) si la borne est exclue. \(+\infty\) et \(-\infty\) sont toujours avec un crochet ouvert.

3 x > 3 ]3 ; +∞[ -2 x ≤ -2 ]-∞ ; -2] -1 5 -1 ≤ x < 5 [-1 ; 5[
Représentation d'intervalles sur la droite numérique (point plein = inclus, point vide = exclu)

Exercice 1

Exprimer en écriture d'intervalle, puis représenter sur une droite numérique :

  1. \(x > 3\)
  2. \(x \leq -2\)
  3. \(-1 \leq x < 5\)
  4. \(x \in [-4\,;\,2]\)
  1. \(x > 3\) → \(]3\,;\,+\infty[\) (crochet ouvert en 3, car 3 exclu)
  2. \(x \leq -2\) → \(]-\infty\,;\,-2]\) (crochet fermé en −2, car −2 inclus)
  3. \(-1 \leq x < 5\) → \([-1\,;\,5[\) (fermé en −1, ouvert en 5)
  4. \([-4\,;\,2]\) → \(-4 \leq x \leq 2\) (les deux bornes incluses)

Exercice 2

Réécrire chaque inégalité avec le bon symbole et préciser si les bornes sont incluses ou exclues :

  1. « La longueur \(L\) doit être au moins 150 cm »
  2. « La température \(T\) doit rester strictement inférieure à 40 °C »
  3. « Le nombre de pièces \(n\) est compris entre 10 et 50 inclus »
  1. \(L \geq 150\), soit \(L \in [150\,;\,+\infty[\) — 150 inclus
  2. \(T < 40\), soit \(T \in ]-\infty\,;\,40[\) — 40 exclu
  3. \(10 \leq n \leq 50\), soit \(n \in [10\,;\,50]\) — les deux bornes incluses

Exercice 3

Parmi les valeurs suivantes, lesquelles appartiennent à l'intervalle \(]-2\,;\,5]\) ? Justifier.

\(-3\) ; \(0\) ; \(-2\) ; \(5\) ; \(4{,}9\) ; \(6\) ; \(-1{,}99\)

L'intervalle \(]-2\,;\,5]\) contient les \(x\) tels que \(-2 < x \leq 5\).
− \(-3\) : non (−3 < −2)
− \(0\) : oui (−2 < 0 ≤ 5) ✔
− \(-2\) : non (−2 est exclu de l'intervalle ouvert en −2)
− \(5\) : oui (5 est inclus) ✔
− \(4{,}9\) : oui ✔
− \(6\) : non (6 > 5)
− \(-1{,}99\) : oui (−2 < −1,99 ≤ 5) ✔

C2 — Résoudre une inéquation du type \(ax + b < c\)

Rappel de cours

On résout une inéquation comme une équation, sauf : quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse (\(<\) devient \(>\)). Exemple : \(3x + 1 < 10\) → \(3x < 9\) → \(x < 3\), soit \(S = ]-\infty ; 3[\).

Exercice 4

Résoudre et exprimer les solutions en notation d'intervalle :

  1. \(3x + 1 < 10\)
  2. \(2x - 5 \geq 3\)
  3. \(5x + 2 \leq 17\)
  4. \(4x - 3 > 9\)
  1. \(3x < 9 \Rightarrow x < 3\) → \(S = ]-\infty\,;\,3[\)
  2. \(2x \geq 8 \Rightarrow x \geq 4\) → \(S = [4\,;\,+\infty[\)
  3. \(5x \leq 15 \Rightarrow x \leq 3\) → \(S = ]-\infty\,;\,3]\)
  4. \(4x > 12 \Rightarrow x > 3\) → \(S = ]3\,;\,+\infty[\)
3 a) 4 b) 3 c)
Représentation des solutions sur la droite numérique

Exercice 5

Résoudre :

  1. \(\frac{x}{2} + 3 \leq 7\)
  2. \(\frac{x - 1}{3} > 2\)
  1. \(\frac{x}{2} \leq 4 \Rightarrow x \leq 8\) → \(S = ]-\infty\,;\,8]\)
  2. \(x - 1 > 6 \Rightarrow x > 7\) → \(S = ]7\,;\,+\infty[\)

Exercice 6

Un artisan menuisier facture 35 € de l'heure pour sa main-d'œuvre. Les frais fixes pour un chantier sont 80 €. Pour que le client ne dépasse pas un budget de 500 €, combien d'heures maximum l'artisan peut-il travailler ?

Inéquation : \(35h + 80 \leq 500\)
\(35h \leq 420\)
\(h \leq 12\)
L'artisan peut travailler au maximum 12 heures.

C3 — Résoudre \(ax + b \leq cx + d\)

Rappel de cours

Regrouper les termes en \(x\) d'un côté et les constantes de l'autre, comme pour une équation. Exemple : \(3x + 2 \leq x + 8\) → \(3x - x \leq 8 - 2\) → \(2x \leq 6\) → \(x \leq 3\). Attention au signe du coefficient de \(x\) lors de la division finale.

Exercice 7

Résoudre :

  1. \(3x + 2 \leq x + 8\)
  2. \(5x - 1 > 2x + 11\)
  3. \(4x + 3 \geq 7x - 9\)
  1. \(3x - x \leq 8 - 2 \Rightarrow 2x \leq 6 \Rightarrow x \leq 3\) → \(S = ]-\infty\,;\,3]\)
  2. \(5x - 2x > 11 + 1 \Rightarrow 3x > 12 \Rightarrow x > 4\) → \(S = ]4\,;\,+\infty[\)
  3. \(4x - 7x \geq -9 - 3 \Rightarrow -3x \geq -12 \Rightarrow x \leq 4\) (changement de signe !) → \(S = ]-\infty\,;\,4]\)

Exercice 8

Deux prestataires proposent des services de transport :
— Prestataire A : 50 € de base + 20 € par livraison
— Prestataire B : 10 € de base + 30 € par livraison
À partir de combien de livraisons le prestataire A est-il moins cher que B ?

Coût A : \(50 + 20n\) ; Coût B : \(10 + 30n\)
A < B : \(50 + 20n < 10 + 30n\)
\(50 - 10 < 30n - 20n\)
\(40 < 10n\)
\(n > 4\)
À partir de 5 livraisons, le prestataire A est moins cher.

Exercice 9

Résoudre \(2(x + 3) - 1 \leq 3(x - 1) + 4\).

\(2x + 6 - 1 \leq 3x - 3 + 4\)
\(2x + 5 \leq 3x + 1\)
\(5 - 1 \leq 3x - 2x\)
\(4 \leq x\), soit \(x \geq 4\)
\(S = [4\,;\,+\infty[\)

C4 — Changement de signe (division/multiplication par un négatif)

Rappel de cours — Règle du changement de signe

Lorsque l'on multiplie ou divise les deux membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif, le sens de l'inégalité s'inverse obligatoirement : \(<\) devient \(>\), \(\leq\) devient \(\geq\). Exemple : \(-2x < 6\) → diviser par \(-2\) → \(x > -3\).

Exercice 10

Résoudre les inéquations suivantes en faisant attention au changement de signe :

  1. \(-2x < 6\)
  2. \(-5x + 3 \geq 18\)
  3. \(-3x - 2 > 7\)

Règle : quand on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, le sens de l'inégalité s'inverse !

  1. \(-2x < 6\) → diviser par \(-2\) : \(x > -3\) (sens inversé) → \(S = ]-3\,;\,+\infty[\)
  2. \(-5x \geq 15\) → diviser par \(-5\) : \(x \leq -3\) (sens inversé) → \(S = ]-\infty\,;\,-3]\)
  3. \(-3x > 9\) → diviser par \(-3\) : \(x < -3\) (sens inversé) → \(S = ]-\infty\,;\,-3[\)

Exercice 11

Un élève a résolu \(-4x + 8 > 0\) et écrit : « \(-4x > -8\), donc \(x > 2\). » Corriger son erreur.

L'élève a oublié d'inverser le sens de l'inégalité en divisant par \(-4\).
Correction : \(-4x > -8\) → diviser par \(-4\) (négatif) : \(x < 2\)
Solution correcte : \(S = ]-\infty\,;\,2[\)

Exercice 12

Résoudre \(5 - 3x \leq 2x - 10\) en précisant à chaque étape si le sens de l'inégalité change.

\(5 - 3x \leq 2x - 10\)
\(5 + 10 \leq 2x + 3x\) (on déplace les termes, pas de changement de signe)
\(15 \leq 5x\)
\(3 \leq x\), soit \(x \geq 3\) (division par +5, pas de changement)
\(S = [3\,;\,+\infty[\)

C5 — Mise en inéquation et résolution d'un problème concret

Rappel de cours

Pour mettre en inéquation : nommer l'inconnue, traduire la contrainte en inégalité (budget maximum → \(\leq\), seuil minimum → \(\geq\)), résoudre, puis interpréter la solution dans le contexte (l'ensemble des solutions est souvent un intervalle).

Exercice 13

Un installateur thermique commande des tuyaux en cuivre à 8 € le mètre. Les frais de livraison sont 25 €. Il dispose d'un budget maximum de 200 €. Quelle longueur maximale peut-il commander ?

Soit \(L\) la longueur (en mètres) commandée.
Inéquation : \(8L + 25 \leq 200\)
\(8L \leq 175\)
\(L \leq 21{,}875\)
Il peut commander au maximum 21,875 m (soit 21 m en prenant un nombre entier de mètres).

Exercice 14

Un menuisier fabrique des cadres. Chaque cadre nécessite 2,4 m de baguette. Il dispose d'un stock de 60 m. Il en a déjà utilisé une partie et il lui reste à fabriquer au moins 15 cadres. Quelle quantité maximale a-t-il pu utiliser avant ?

Soit \(u\) la quantité déjà utilisée (en mètres).
Il doit pouvoir faire encore 15 cadres : \(2{,}4 \times 15 = 36\) m nécessaires.
Stock restant ≥ 36 m → \(60 - u \geq 36\)
\(-u \geq -24\)
\(u \leq 24\) m
Il a pu utiliser au maximum 24 m de baguette.

Exercice 15

Un atelier produit deux types de portes : standard (bénéfice 45 €/porte) et premium (bénéfice 80 €/porte). Ce mois, il fabrique \(n\) portes standard et 5 portes premium. Pour que le bénéfice total dépasse 800 €, combien de portes standard faut-il produire au minimum ?

Inéquation : \(45n + 80 \times 5 > 800\)
\(45n + 400 > 800\)
\(45n > 400\)
\(n > \frac{400}{45} \approx 8{,}89\)
Comme \(n\) est un nombre entier, il faut \(n \geq 9\).
L'atelier doit produire au minimum 9 portes standard.

C6 — Résoudre graphiquement une inéquation du premier degré

Rappel de cours

Résoudre graphiquement \(f(x) \leq c\) revient à tracer la droite \(y = f(x)\) et la droite horizontale \(y = c\), puis à lire les valeurs de \(x\) pour lesquelles la droite est en-dessous (ou sur) la droite horizontale.

Exercice 16

On considère \(f(x) = 3x - 2\).

  1. Tracer la droite \(y = 3x - 2\) et la droite \(y = 7\) dans un même repère.
  2. Lire graphiquement les solutions de \(3x - 2 \leq 7\).
  3. Vérifier algébriquement.
  1. La droite \(y = 3x - 2\) passe par \((0\,;\,-2)\) et \((3\,;\,7)\).
  2. La droite est en-dessous de \(y = 7\) pour \(x \leq 3\). Solution : \(]-\infty\,;\,3]\).
  3. \(3x - 2 \leq 7 \Rightarrow 3x \leq 9 \Rightarrow x \leq 3\) ✔

Exercice 17

Un électricien propose deux tarifs :
Tarif A : \(C_A(h) = 35h + 50\) €  |  Tarif B : \(C_B(h) = 45h + 20\) €

  1. Tracer les deux droites dans un même repère.
  2. Résoudre graphiquement \(C_A(h) < C_B(h)\) : pour quelles durées le tarif A est-il moins cher ?
  3. Vérifier par le calcul.
  1. \(C_A\) passe par \((0\,;\,50)\) et \((3\,;\,155)\). \(C_B\) passe par \((0\,;\,20)\) et \((3\,;\,155)\).
  2. Les droites se coupent en \(h = 3\). Pour \(h > 3\), la droite A est en-dessous → tarif A moins cher pour plus de 3 heures.
  3. \(35h + 50 < 45h + 20 \Rightarrow 30 < 10h \Rightarrow h > 3\) ✔