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Devoir Surveillé – Chapitre 6

Inéquations du premier degré  |  2de Bac Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer
🕑 Durée : 1 heure
🧮 Calculatrice : autorisée
✍ Barème : 20 points
📄 Documents : non autorisés
APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer
Socle
Exercice 1 – Intervalles et inégalités 6 points

Compléter les cases. Rappel : ‘[’ = valeur incluse, ‘]’ = valeur exclue.

1. APP Compléter le tableau. (3 pts)

Condition sur \(x\)IntervalleType de crochet
\(x \geq 5\)Fermé en 5
\(x < 3\)
\(-2 \leq x < 7\)Fermé en −2, ouvert en 7

2. REA Résoudre \(2x + 6 \leq 14\). Formule à suivre : (3 pts)

Étape 1 : \(2x \leq 14 - 6 = \) ……
Étape 2 : \(x \leq \dfrac{\ldots}{2} = \) ……
Solution sous forme d’intervalle : …………

1.

  • \(x \geq 5\) → \([5 ; +\infty[\)
  • \(x < 3\) → \(]-\infty ; 3[\) — crochet ouvert en 3 (exclu)
  • \(-2 \leq x < 7\) → \([-2 ; 7[\)

2. \(2x \leq 8\) → \(x \leq 4\). Solution : \(\mathbf{]-\infty ; 4]}\).

Exercice 2 – Budget matériaux 8 points

Un menuisier agenceur dispose d’un budget de 500 € pour acheter des panneaux de bois. Chaque panneau coûte 35 € et les frais de livraison fixes sont de 45 €.

1. ANA Compléter l’inéquation. On appelle \(n\) le nombre de panneaux. (2 pts)

Dépense totale = prix par panneau × nombre + livraison ≤ budget
…… × \(n\) + …… ≤ ……

2. REA Résoudre l’inéquation. (4 pts)

\(35n \leq 500 - 45 = \) ……
\(n \leq \dfrac{\ldots}{35} = \) ……

3. VAL Quel est le nombre maximal de panneaux ? Vérification : (2 pts)

Le menuisier peut acheter au maximum …… panneaux.
Vérif : \(35 \times \ldots + 45 = \ldots\) € ✓ (dans le budget ?)

1. \(35n + 45 \leq 500\).

2. \(35n \leq 455\) → \(n \leq \dfrac{455}{35} = 13\).

3. Le menuisier peut acheter au maximum 13 panneaux.
Vérification : \(35 \times 13 + 45 = 455 + 45 = 500\) € ✓

Exercice 3 – Comparaison de tarifs 6 points

Deux fournisseurs proposent la location d’une ponceuse :

  • Fournisseur A : 20 € par jour, sans forfait.
  • Fournisseur B : 50 € de forfait + 8 € par jour.

On note \(j\) le nombre de jours de location.

1. APP Compléter les formules. (2 pts)

Fournisseur A : \(C_A(j) = \) …… \(\times j\)
Fournisseur B : \(C_B(j) = \) …… + …… \(\times j\)

2. REA Résoudre \(C_A(j) < C_B(j)\). Compléter le calcul. (2 pts)

\(20j < 50 + 8j\)
\(20j - 8j < 50\)
\(\ldots j < 50\)
\(j < \dfrac{50}{\ldots} \approx \) ……

3. COM Pour 5 jours, quel fournisseur choisir ? Compléter. (2 pts)

\(C_A(5) = 20 \times 5 = \) …… €
\(C_B(5) = 50 + 8 \times 5 = \) …… €
Le moins cher est : …………

1. \(C_A(j) = 20j\) et \(C_B(j) = 50 + 8j\).

2. \(12j < 50\) → \(j < \dfrac{50}{12} \approx 4{,}17\). Le fournisseur A est moins cher pour 1, 2, 3 ou 4 jours.

3. \(C_A(5) = 100\) € ; \(C_B(5) = 90\) €. Le fournisseur B est plus avantageux (10 € d’économie).

Standard
Exercice 1 – Résolution d'inéquations 8 points

Détailler toutes les étapes. Donner la solution sous forme d'intervalle et représenter sur une droite graduée.

1. REA Résoudre \(3x + 7 \leq 22\). (2 pts)
2. REA Résoudre \(-2x + 5 \geq 3x - 10\). (3 pts)
3. REA Résoudre \(\dfrac{4x - 3}{2} > 5\). (3 pts)

1. \(3x + 7 \leq 22 \Rightarrow 3x \leq 15 \Rightarrow x \leq 5\). Solution : \(\mathbf{]-\infty\;;\;5]}\).

2. \(-2x + 5 \geq 3x - 10 \Rightarrow -2x - 3x \geq -10 - 5 \Rightarrow -5x \geq -15 \Rightarrow x \leq 3\) (on divise par \(-5\), on inverse le sens). Solution : \(\mathbf{]-\infty\;;\;3]}\).

3. \(\dfrac{4x-3}{2} > 5 \Rightarrow 4x - 3 > 10 \Rightarrow 4x > 13 \Rightarrow x > 3{,}25\). Solution : \(\mathbf{]3{,}25\;;\;+\infty[}\).

Exercice 2 – Budget matériaux 6 points

Un menuisier agenceur dispose d'un budget de 500 € pour acheter des panneaux de bois. Chaque panneau coûte 35 € et les frais de livraison fixes sont de 45 €.

1. ANA Écrire l'inéquation traduisant la contrainte budgétaire, où \(n\) est le nombre de panneaux. (2 pts)
2. REA Résoudre cette inéquation. (2 pts)
3. VAL Quel est le nombre maximal de panneaux ? Vérifier que le budget est respecté. (2 pts)

1. \(35n + 45 \leq 500\).

2. \(35n \leq 455 \Rightarrow n \leq \dfrac{455}{35} = 13\).

3. Le menuisier peut acheter au maximum 13 panneaux.
Vérification : \(35 \times 13 + 45 = 455 + 45 = 500\) € ✓ (pile dans le budget).

Exercice 3 – Comparaison de tarifs 6 points

Deux fournisseurs proposent la location d'une ponceuse :

  • Fournisseur A : 20 € par jour, sans forfait.
  • Fournisseur B : 50 € de forfait + 8 € par jour.

On note \(j\) le nombre de jours de location.

1. APP Exprimer le coût \(C_A(j)\) et le coût \(C_B(j)\) en fonction de \(j\). (2 pts)
2. REA Résoudre l'inéquation \(C_A(j) < C_B(j)\). Pour combien de jours le fournisseur A est-il le moins cher ? (2 pts)
3. COM Conseiller un artisan qui loue la ponceuse pour 5 jours. Justifier. (2 pts)

1. \(C_A(j) = 20j\) et \(C_B(j) = 50 + 8j\).

2. \(20j < 50 + 8j \Rightarrow 12j < 50 \Rightarrow j < \dfrac{50}{12} \approx 4{,}17\).
Le fournisseur A est moins cher pour 1, 2, 3 ou 4 jours.

3. Pour 5 jours : \(C_A = 20 \times 5 = 100\) € ; \(C_B = 50 + 8 \times 5 = 90\) €.
Le fournisseur B est plus avantageux (10 € d'économie).

Approfondissement
Exercice 1 – Résolution d’inéquations 6 points

Détailler toutes les étapes. Donner la solution sous forme d’intervalle. Indiquer les règles utilisées (notamment en cas de division par un négatif).

1. REA Résoudre \(-4x + 9 > 2x - 3\). (2 pts)
2. REA Résoudre \(\dfrac{3x + 1}{4} \leq x - 2\). (2 pts)
3. ANA Justifier que \(-6x + 15 \leq -3\) possède une solution de la forme \([a ; +\infty[\). Donner \(a\). (2 pts)

1. \(-4x + 9 > 2x - 3 \Rightarrow 9 + 3 > 2x + 4x \Rightarrow 12 > 6x \Rightarrow x < 2\). Solution : \(\mathbf{]-\infty ; 2[}\).

2. \(\dfrac{3x+1}{4} \leq x - 2 \Rightarrow 3x + 1 \leq 4x - 8 \Rightarrow 1 + 8 \leq 4x - 3x \Rightarrow 9 \leq x\). Solution : \(\mathbf{[9 ; +\infty[}\).

3. \(-6x + 15 \leq -3 \Rightarrow -6x \leq -18 \Rightarrow x \geq 3\) (division par \(-6\) négatif : on inverse le signe). La solution est \([3 ; +\infty[\), donc \(a = 3\).

Exercice 2 – Optimisation de production 8 points

Un technicien en maintenance automobile doit commander des pièces de rechange. Il dispose d’un budget de 1 200 €. Chaque pièce coûte 42 € et les frais d’expédition s’élèvent à 8 € par pièce (pas de forfait fixe).

1. ANA Modéliser la contrainte budgétaire par une inéquation en fonction de \(n\) (nombre de pièces). (2 pts)
2. REA Résoudre et conclure. (2 pts)
3. ANA Le technicien doit commander au moins 20 pièces. Écrire la double contrainte et déterminer si elle est satisfiable. (2 pts)
4. VAL Si la contrainte n’est pas satisfiable, de quel supplément budgétaire le technicien aurait-il besoin pour commander exactement 20 pièces ? (2 pts)

1. Coût total = \((42 + 8) \times n = 50n\). Inéquation : \(50n \leq 1200\).

2. \(n \leq \dfrac{1200}{50} = 24\). Il peut commander au maximum 24 pièces.

3. Double contrainte : \(20 \leq n \leq 24\). Puisque 20 ≤ 24, cette contrainte est satisfiable. L’artisan peut commander entre 20 et 24 pièces.

4. La contrainte étant satisfiable (Ex 3), aucun supplément n’est nécessaire.
Vérification pour \(n = 20\) : \(50 \times 20 = 1000 \leq 1200\) ✓.

Exercice 3 – Analyse de deux offres 6 points

Un artisan menuisier hésite entre deux machines-outils proposées en location :

  • Machine X : 80 € de forfait mensuel + 12 € par heure d’utilisation.
  • Machine Y : 0 € de forfait + 20 € par heure d’utilisation.

On note \(h\) le nombre d’heures d’utilisation mensuelle.

1. APP Écrire les deux coûts \(C_X(h)\) et \(C_Y(h)\). (1 pt)
2. REA Montrer que la Machine X est plus économique quand \(h > 10\). (2 pts)
3. COM L’artisan utilise la machine environ 15 heures par mois. Quelle machine choisir ? Calculer l’économie mensuelle et annuelle. (3 pts)

1. \(C_X(h) = 80 + 12h\) et \(C_Y(h) = 20h\).

2. \(C_X(h) < C_Y(h) \Rightarrow 80 + 12h < 20h \Rightarrow 80 < 8h \Rightarrow h > 10\). Donc la Machine X est moins chère dès que l’usage dépasse 10 heures.

3. Pour \(h = 15\) : \(C_X(15) = 80 + 180 = 260\) € ; \(C_Y(15) = 300\) €.
Choisir la Machine X. Économie mensuelle : \(300 - 260 = 40\) €.
Économie annuelle : \(40 \times 12 = \mathbf{480}\) €.