Chapitre 6 – Inéquations du premier degré | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 09:40
Pendant une coupure de courant, une batterie domestique prend le relais. À ton avis, qu'est-ce qui limite le nombre d'heures pendant lesquelles elle peut alimenter les appareils : l'énergie stockée dans la batterie, la puissance des appareils branchés, ou les deux ?
Les deux. L'énergie stockée (en kilowattheures) fixe la « réserve » totale disponible ; la puissance des appareils (en watts) fixe la vitesse à laquelle cette réserve se vide. Plus les appareils sont puissants, plus la batterie se décharge vite, donc moins l'autonomie est longue. En pratique, on garde en plus une petite réserve de sécurité qu'on ne consomme jamais, pour préserver la batterie : c'est elle, et non la capacité totale, qui fixe la vraie limite.
Sofiane, installateur photovoltaïque, vient de poser des panneaux solaires et une batterie domestique chez un client. Ce dernier veut savoir, en cas de coupure de courant en soirée, combien de temps la batterie pourra faire fonctionner ses appareils essentiels. Sofiane doit calculer cette autonomie sans épuiser complètement la batterie : il programme une réserve de sécurité qui reste toujours disponible pour protéger la batterie et garder une petite marge.
| Appareil | Puissance |
|---|---|
| Éclairage LED (plusieurs pièces) | \(100\ \text{W}\) |
| Téléviseur + box internet + décodeur | \(150\ \text{W}\) |
| Réfrigérateur | \(120\ \text{W}\) |
| Recharges (ordinateur portable, téléphones) | \(30\ \text{W}\) |
D'après les Documents 1 et 2, quelle énergie ne dépend pas de la durée de fonctionnement (énergie fixe) ? Au contraire, l'énergie consommée par les appareils augmente-t-elle ou diminue-t-elle quand la durée augmente ?
L'énergie fixe est la réserve de sécurité : \(600\ \text{Wh}\) — on la garde toujours, quelle que soit la durée. L'énergie consommée par les appareils, elle, augmente avec la durée : plus les appareils fonctionnent longtemps, plus ils consomment d'énergie.
a) À l'aide du rappel \(E = U \times Q\), calcule la capacité utile de la batterie, en wattheures.
b) À l'aide du Document 2, calcule la puissance totale \(P\) des appareils qui fonctionnent en même temps.
a) Capacité utile : \(E = U \times Q = 48 \times 100 = \mathbf{4800}\ \text{Wh}\) (soit \(4{,}8\ \text{kWh}\)).
b) Puissance totale : \(100 + 150 + 120 + 30 = \mathbf{400}\ \text{W}\) (soit \(0{,}4\ \text{kW}\)).
Les appareils consomment \(400\ \text{W}\) pendant \(x\) heures. Exprime, en fonction de \(x\), l'énergie consommée par les appareils (en Wh). Puis exprime l'énergie totale engagée dans la batterie (énergie consommée par les appareils + réserve à conserver).
Énergie consommée par les appareils : \(E = P \times t = 400 \times x = 400x\ \text{(Wh)}\).
En ajoutant la réserve de \(600\ \text{Wh}\), l'énergie totale engagée dans la batterie est :
\[400x + 600 \quad (\text{en Wh}).\]
Le client envisage de faire fonctionner les appareils pendant \(8\) heures. Calcule l'énergie totale engagée dans la batterie. La capacité utile de \(4800\ \text{Wh}\) est-elle respectée ?
Énergie totale : \(400 \times 8 + 600 = 3200 + 600 = \mathbf{3800}\ \text{Wh}\).
Comme \(3800 \leq 4800\), la capacité utile est respectée (il reste même une marge de \(4800 - 3800 = 1000\ \text{Wh}\) : la batterie pourrait tenir plus longtemps).
Pour ne pas entamer la réserve de sécurité, l'énergie totale engagée ne doit pas dépasser la capacité utile de la batterie. Traduis cette contrainte par une inéquation d'inconnue \(x\).
« Énergie totale engagée inférieure ou égale à la capacité utile » s'écrit :
\[400x + 600 \leq 4800.\]
Résous l'inéquation \(400x + 600 \leq 4800\). Donne la valeur de \(x\) (résultat non arrondi).
\(400x + 600 \leq 4800\)
\(400x \leq 4800 - 600\)
\(400x \leq 4200\)
On divise par \(400\) (positif → le sens de l'inégalité ne change pas) :
\(x \leq \dfrac{4200}{400} = 10{,}5.\)
La solution est l'intervalle \(x \in [0\,;\,10{,}5]\) (une durée est positive).
Interprète le résultat : quelle est la durée maximale de fonctionnement ? Convertis-la en heures et minutes. Vérifie en calculant l'énergie totale pour \(10\) h puis pour \(11\) h.
On a \(x \leq 10{,}5\) : la batterie peut alimenter les appareils pendant \(10{,}5\) heures au maximum. Comme \(0{,}5\ \text{h} = 0{,}5 \times 60 = 30\ \text{min}\), cela fait 10 h 30 min.
Remarque : ici une durée peut être décimale (on peut s'arrêter à \(10\) h \(30\)) — on ne l'arrondit donc pas à l'entier, contrairement à un nombre d'objets. La durée maximale est exactement \(10\) h \(30\) min.
Vérification :
• \(10\) h : \(400 \times 10 + 600 = 4000 + 600 = \mathbf{4600}\ \text{Wh}\) → \(4600 \leq 4800\) ✓ (marge de \(200\ \text{Wh}\)).
• \(11\) h : \(400 \times 11 + 600 = 4400 + 600 = \mathbf{5000}\ \text{Wh}\) → \(5000 > 4800\) ✗ (on entame la réserve).
• \(10{,}5\) h : \(400 \times 10{,}5 + 600 = 4200 + 600 = 4800\ \text{Wh}\) → limite atteinte pile (\(=4800\), autorisé par \(\leq\)).
Donc 10 h 30 min est bien la durée maximale.
Rédige 2 à 3 phrases à transmettre au client : combien de temps la batterie tient en cas de coupure le soir, et pourquoi il ne faut pas dépasser cette durée.
Exemple : « Avec vos appareils du soir (\(400\ \text{W}\) au total), la batterie peut tenir 10 h 30 min au maximum en cas de coupure. Au-delà, on entamerait la réserve de sécurité de \(600\ \text{Wh}\), ce qui déchargerait trop la batterie et réduirait sa durée de vie. Pour tenir plus longtemps, il faudrait éteindre certains appareils ou augmenter la capacité de stockage. »
La nouvelle inéquation est \(400x + 600 \leq 6000\), soit \(400x \leq 5400\) et \(x \leq \dfrac{5400}{400} = 13{,}5\). La batterie peut alors alimenter les appareils 13 h 30 min au maximum (vérification : \(400 \times 13{,}5 + 600 = 6000\ \text{Wh}\) → limite atteinte pile ✓). L'apport solaire fait gagner \(13{,}5 - 10{,}5 = 3\ \text{heures}\) d'autonomie.
Réponse à la problématique : la batterie peut alimenter les appareils du soir pendant 10 h 30 min au maximum (\(x \leq 10{,}5\)), sans entamer la réserve de sécurité de \(600\ \text{Wh}\).
📚 §3 (résolution d'une inéquation) et §7 (mise en inéquation d'une contrainte) de la leçon Ch06.
Ordres de grandeur : batterie domestique lithium (LFP) de \(48\ \text{V}\) et \(100\ \text{Ah}\) \(\approx 4{,}8\ \text{kWh}\) ; consommation d'un foyer en soirée de l'ordre de quelques centaines de watts ; réserve minimale de charge \(\approx 10\text{–}15\ \%\) de la capacité pour préserver la batterie. Valeurs arrondies et simplifiées pour l'activité.