Activité 7 – Charge admissible d'un plancher BÂTIMENT · SITUATION PRO

Chapitre 6 – Inéquations du premier degré | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min

Dernière mise à jour : 21 août 2026, 09:40

Objectifs :

Calculer la charge totale admissible d'une zone de plancher à partir d'une charge en \(\text{kg/m}^2\)
Traduire une contrainte de charge maximale par une inéquation du premier degré
Résoudre l'inéquation et déterminer le nombre maximal de sacs, en arrondissant au bon entier

🤔 Avant de commencer

À l'étage d'un chantier, peut-on empiler autant de sacs de ciment qu'on veut du moment qu'il reste de la place au sol ? À ton avis, qu'est-ce qui limite vraiment la quantité de matériaux qu'on peut poser sur un plancher ?

Non. Même s'il reste de la place, chaque plancher (ou dalle) possède une charge maximale qu'il peut supporter en sécurité, fixée par le bureau d'études — souvent exprimée en kilogrammes par mètre carré. Au-delà, le plancher peut fléchir, se fissurer, voire céder. Ce n'est donc pas la place disponible, mais la charge admissible, qui limite ici le nombre de sacs.

Situation – stocker des matériaux à l'étage

Karim, chef de chantier sur une rénovation, doit entreposer des sacs de ciment au premier étage avant de les utiliser. Le bureau d'études a indiqué la charge que le plancher peut supporter. Karim délimite une zone de stockage et empile les sacs sur une palette. Il doit poser le maximum de sacs sans dépasser la charge admissible du plancher, sous peine de le fragiliser.

Document 1 — Le plancher (données du bureau d'études)

Charge admissible du plancher : \(300\ \text{kg/m}^2\) (masse maximale par mètre carré, à ne pas dépasser).
Zone de stockage délimitée par Karim : \(2\ \text{m}^2\).

Document 2 — Les matériaux à stocker

Masse d'une palette bois vide : \(25\ \text{kg}\) (toujours présente, quel que soit le nombre de sacs).
Masse d'un sac de ciment : \(35\ \text{kg}\).
On note \(x\) le nombre de sacs empilés sur la palette.

Vue en coupe : le poids « palette + sacs » ne doit pas dépasser la charge que le plancher peut supporter sur la zone.

📖 Vocabulaire

Charge admissible: Masse maximale qu'un plancher peut supporter en sécurité, sans se déformer ni se rompre.
Plancher (dalle): Ouvrage horizontal qui sépare deux niveaux d'un bâtiment et supporte les charges de l'étage.
kg/m²: Charge surfacique : nombre de kilogrammes admis sur chaque mètre carré de plancher.
Tare: Masse du support ou de l'emballage vide (ici la palette), qui s'ajoute à la charge utile.
Charge utile: Masse réellement stockée (ici, les sacs de ciment).

Problématique : combien de sacs de ciment de \(35\ \text{kg}\) Karim peut-il empiler au maximum sur cette zone du plancher sans dépasser la charge admissible ?

Question 1 APP

D'après les Documents 1 et 2, quelle masse ne dépend pas du nombre de sacs (masse fixe) ? Quelle est la masse d'un seul sac de ciment ?

La masse fixe est celle de la palette bois vide : \(25\ \text{kg}\) (elle est toujours là, quel que soit le nombre de sacs). La masse d'un sac de ciment est de \(35\ \text{kg}\).

Question 2 REA

Le plancher supporte \(300\ \text{kg}\) par mètre carré et la zone de stockage mesure \(2\ \text{m}^2\). Calcule la charge totale que le plancher peut supporter sur cette zone.

Charge admissible totale \(=\) charge par m² \(\times\) surface :
\[300 \times 2 = 600\ \text{kg}.\]Le plancher supporte au maximum \(600\ \text{kg}\) sur la zone de \(2\ \text{m}^2\).

Question 3 APP

Karim empile \(x\) sacs de ciment sur la palette. Exprime, en fonction de \(x\), la masse totale posée sur le plancher (palette comprise).

Masse des sacs seuls : \(35x\) (kg). En ajoutant la palette (\(25\ \text{kg}\)), la masse totale posée sur le plancher est :
\[35x + 25 \quad (\text{en kg}).\]

Question 4 REA

Karim envisage d'empiler \(15\) sacs. Calcule la masse totale posée sur le plancher. La charge admissible de \(600\ \text{kg}\) est-elle respectée ?

Masse totale : \(35 \times 15 + 25 = 525 + 25 = \mathbf{550}\ \text{kg}\).
Comme \(550 \leq 600\), la charge admissible est respectée (il reste même une marge de \(600 - 550 = 50\ \text{kg}\)).

Question 5 ANA

Pour ne pas fragiliser le plancher, la masse totale posée ne doit pas dépasser la charge admissible. Traduis cette contrainte par une inéquation d'inconnue \(x\).

« Masse totale posée inférieure ou égale à la charge admissible » s'écrit :
\[35x + 25 \leq 600.\]

Question 6 REA

Résous l'inéquation \(35x + 25 \leq 600\). Donne la valeur de \(x\) (résultat non arrondi).

\(35x + 25 \leq 600\)
\(35x \leq 600 - 25\)
\(35x \leq 575\)
On divise par \(35\) (positif → le sens de l'inégalité ne change pas) :
\(x \leq \dfrac{575}{35} \approx 16{,}43.\)

Question 7 VAL

Le nombre de sacs est un nombre entier. Combien de sacs Karim peut-il empiler au maximum ? Vérifie en calculant la masse totale pour \(16\) puis \(17\) sacs.

On a \(x \leq 16{,}43\) : on ne peut pas poser un demi-sac, donc on arrondit vers le bas. Karim peut empiler au maximum 16 sacs.

Vérification :
• \(16\) sacs : \(35 \times 16 + 25 = 560 + 25 = \mathbf{585}\ \text{kg}\) → \(585 \leq 600\) ✓ (marge de \(15\ \text{kg}\)).
• \(17\) sacs : \(35 \times 17 + 25 = 595 + 25 = \mathbf{620}\ \text{kg}\) → \(620 > 600\) ✗ (charge dépassée, risque pour le plancher).
Donc 16 sacs est bien le maximum.

Question 8 COM

Rédige 2 à 3 phrases à transmettre à l'équipe : combien de sacs stocker sur cette zone, quelle masse cela représente, et pourquoi il ne faut pas en ajouter un de plus.

Exemple : « Sur cette zone du plancher (charge admissible \(600\ \text{kg}\)), on peut empiler 16 sacs de ciment au maximum, soit \(585\ \text{kg}\) palette comprise. Il reste \(15\ \text{kg}\) de marge. Poser un 17ᵉ sac porterait la charge à \(620\ \text{kg}\) et dépasserait la limite : cela risquerait de fissurer ou d'endommager le plancher. »

✅ Auto-évaluation

Je sais calculer la charge admissible d'une zone : charge par m² \(\times\) surface. Je sais écrire l'inéquation « charge totale \(\leq\) charge admissible ». Je sais arrondir le nombre de sacs vers le bas pour ne pas dépasser la limite.

🌟 Bonus. Après avoir posé un étai (renfort) sous le plancher, le bureau d'études autorise une charge admissible de \(350\ \text{kg/m}^2\). Reprends le raisonnement : quelle est la nouvelle limite sur la zone de \(2\ \text{m}^2\), et combien de sacs Karim peut-il alors empiler au maximum ?

Nouvelle limite : \(350 \times 2 = 700\ \text{kg}\). L'inéquation devient \(35x + 25 \leq 700\), soit \(35x \leq 675\) et \(x \leq \dfrac{675}{35} \approx 19{,}29\). Karim peut alors empiler 19 sacs au maximum (vérification : \(35 \times 19 + 25 = 690 \leq 700\) ✓ ; \(20\) sacs donneraient \(725 > 700\) ✗). Le renfort permet 3 sacs de plus.

À retenir

Réponse à la problématique : sur cette zone, Karim peut empiler 16 sacs au maximum (\(585\ \text{kg}\)), sans dépasser la charge admissible de \(600\ \text{kg}\).

Une contrainte de charge se traduit par une inéquation : \(\text{charge totale} \leq \text{charge admissible}\).
Charge admissible d'une zone \(=\) charge surfacique \(\times\) surface : ici \(300 \times 2 = 600\ \text{kg}\).
Charge totale \(=\) tare \(+\) masse variable : \(35x + 25\) (palette \(+\) sacs).
On résout comme une équation ; on divise ici par un nombre positif, le sens ne change pas.
Pour une limite de sécurité à ne pas dépasser, on arrondit le nombre d'objets vers le bas (16 sacs, pas 17).

📚 §3 (résolution d'une inéquation) et §7 (mise en inéquation d'une contrainte) de la leçon Ch06.

Ordres de grandeur : sac de ciment CEM standard \(35\ \text{kg}\), palette bois \(\approx 25\ \text{kg}\) ; charge d'exploitation d'un plancher de l'ordre de \(150\ \text{kg/m}^2\) (habitation) à \(250\text{–}350\ \text{kg/m}^2\) (bureaux, stockage léger) d'après l'Eurocode 1 / NF EN 1991-1-1. Valeurs arrondies pour l'activité.