Chapitre 6 – Inéquations du 1er degré | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 11:15
Léa, jeune artisan agenceuse, vient de remporter un contrat avec un client à 200 km de son atelier. Elle doit livrer son mobilier sur place. Elle ne possède pas de fourgon : elle doit en louer un. Deux loueurs proches lui font une proposition :
🚐 Offre A — « Hertz Pro » : 50 € de forfait + 0,30 €/km parcouru
🚐 Offre B — « Europcar Express » : 80 € de forfait + 0,15 €/km parcouru
| Offre | Forfait | Prix par kilomètre |
|---|---|---|
| A | 50 € | 0,30 €/km |
| B | 80 € | 0,15 €/km |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (résolution d'inéquation) et §7 (applications concrètes).
Pour x kilomètres parcourus, exprimer le coût total des deux offres :
a. \(C_A = 50 + 0{,}30x\) (forfait + tarif km).
b. \(C_B = 80 + 0{,}15x\).
Chaque coût est formé d'un forfait fixe et d'une part proportionnelle à la distance.
Calculer le coût des deux offres pour la livraison du contrat (aller-retour, soit 200 + 200 = 400 km).
Offre A pour 400 km : 50 + 0,30 × 400 = 50 + 120 = 170 €.
Offre B pour 400 km : 80 + 0,15 × 400 = 80 + 60 = 140 €.
Pour cette livraison (400 km), l'offre B est 30 € moins chère.
Trouver le seuil x* (en km) à partir duquel l'offre B devient plus avantageuse que A. Écrire et résoudre l'inéquation.
« B moins cher que A » → \(C_B < C_A\) → \(80 + 0{,}15x < 50 + 0{,}30x\)
80 − 50 < 0,30 x − 0,15 x → 30 < 0,15 x
30 / 0,15 < x → 200 < x → x > 200 km.
Conclusion : au-delà de 200 km, B est moins cher. En-dessous, A est moins cher.
Vérifier le résultat précédent : calculer les deux coûts pour x = 200 km (le seuil) et constater l'égalité.
Offre A pour 200 km : 50 + 0,30 × 200 = 50 + 60 = 110 €.
Offre B pour 200 km : 80 + 0,15 × 200 = 80 + 30 = 110 €.
Égalité ✓ → on est bien au seuil. Au-dessous (ex. 100 km), A est moins cher (80 € vs 95 €). Au-dessus (ex. 300 km), B est moins cher (125 € vs 140 €).
Léa effectue souvent des livraisons courtes (≤ 100 km). Quelle offre lui conseilles-tu pour son utilisation habituelle ? Calculer l'économie pour une livraison de 80 km.
Pour x = 80 km :
Économie offre A vs B : 18 € par livraison courte.
Recommandation : pour des livraisons régulières en zone proche, prendre l'offre A. Forfait plus bas = plus économique pour les courts trajets.
Comparer le tarif au kilomètre et le forfait des deux offres. Pourquoi l'offre au kilomètre le moins cher devient-elle avantageuse pour les grands trajets ?
Comparaison :
| Forfait (€) | Tarif (€/km) | |
|---|---|---|
| A | 50 | 0,30 |
| B | 80 | 0,15 |
L'offre A a un forfait plus bas mais un tarif kilométrique plus élevé. L'offre B a un forfait plus haut mais chaque kilomètre supplémentaire coûte moins cher.
Règle générale : pour les grandes distances, le faible tarif kilométrique de B compense son forfait initial plus élevé.
L'offre A propose une promotion : forfait abaissé à 30 € (tarif inchangé à 0,30 €/km). Recalculer le seuil. Comment évolue-t-il ?
Nouveau coût A : \(C_A = 30 + 0{,}30x\).
B < A : 80 + 0,15 x < 30 + 0,30 x → 50 < 0,15 x → x > 50 / 0,15 ≈ 333 km.
Le seuil monte de 200 à 333 km. Avec ce forfait promo, A est avantageux plus souvent (jusqu'à 333 km au lieu de 200). Stratégie commerciale efficace pour gagner les clients « courts trajets ».
Rédiger en 4 lignes une fiche d'aide à la décision pour Léa : selon la distance d'une livraison, quelle offre choisir ?
Aide à la décision — location fourgon
Calcul des kilomètres aller-retour total. Si total ≤ 200 km : choisir l'offre A (Hertz Pro, 50 € + 0,30 €/km). Si total > 200 km : choisir l'offre B (Europcar Express, 80 € + 0,15 €/km).
Au seuil exact (200 km), les deux offres coûtent 110 € — choisir alors selon la disponibilité ou le confort. Refaire ce calcul si l'un des loueurs change ses tarifs.
Léa envisage d'acheter son propre fourgon (12 000 € amortis sur 4 ans) plutôt que de louer. Carburant ≈ 0,12 €/km. Combien de km parcourus par an pour rentabiliser l'achat (par rapport à l'offre B) ?
Coût annuel achat : 12 000 / 4 = 3 000 €/an + carburant 0,12 €/km.
Coût annuel de l'achat : C_achat = 3 000 + 0,12 x (en €/an, x = km/an).
Soit n le nb de livraisons/an avec x km/an total. Pour louer (B) : n × 80 + 0,15 × x.
Difficile à comparer sans hypothèse. Hypothèse : n = x / 100 (livraisons moyennes 100 km). Coût location B annuel : 0,80 x + 0,15 x = 0,95 x.
3 000 + 0,12 x < 0,95 x → 3 000 < 0,83 x → x > 3 614 km/an, soit 36,14 livraisons : il en faut donc au moins 37 par an.
Si Léa fait au moins 37 livraisons/an, l'achat est rentable. Sinon, louer reste plus avantageux.
Note pratique : ce calcul oublie l'assurance, l'entretien, la TVA. À refaire avec un comptable avant décision.