Chapitre 6 – Inéquations du 1er degré | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 11:15
Mehdi, ancien apprenti, se lance comme artisan menuisier. Il a loué un petit atelier dans une zone artisanale. Il a fait son business plan et identifié les éléments suivants pour la fabrication de ses tabourets en chêne :
| Élément | Montant | Type |
|---|---|---|
| Loyer atelier | 500 €/mois | Charge fixe |
| Électricité, assurances | 200 €/mois | Charge fixe |
| Téléphone, internet | 100 €/mois | Charge fixe |
| Total charges fixes | 800 €/mois | |
| Bois et vis (par tabouret) | 10 € | Charge variable |
| Vernis, finition (par tabouret) | 2 € | Charge variable |
| Total charges variables | 12 €/tabouret | |
| Prix de vente unitaire | 35 €/tabouret | Recette |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (résolution d'inéquation) et §7 (seuil de rentabilité).
Pour n tabourets vendus en un mois, exprimer :
a. \(R = 35n\) (chaque tabouret rapporte 35 €).
b. \(C = 800 + 12n\) (loyer fixe + matériaux par tabouret).
Mehdi est rentable quand sa recette dépasse ses charges. Écrire l'inéquation correspondante et la résoudre.
\(R > C\) → \(35n > 800 + 12n\)
35 n − 12 n > 800 → 23 n > 800
n > 800 / 23 ≈ 34,78
Comme n est un nombre entier de tabourets, n ≥ 35 tabourets/mois.
Conclusion : Mehdi doit vendre au minimum 35 tabourets par mois pour être rentable.
Calculer la marge unitaire (= bénéfice apporté par chaque tabouret vendu, hors charges fixes) et l'utiliser pour retrouver le seuil de rentabilité.
Marge unitaire = prix de vente − coût variable = 35 − 12 = 23 €/tabouret.
Pour couvrir les 800 € de charges fixes, il faut vendre 800 / 23 ≈ 34,78 tabourets, soit 35. Cohérent avec la question 2.
La marge unitaire est l'outil clé de tout entrepreneur : elle dit combien chaque vente contribue à couvrir les frais fixes (puis à dégager du bénéfice).
Au mois de mars, Mehdi vend 50 tabourets. Calculer son bénéfice mensuel.
Pour 50 tabourets : \(R = 35 \times 50 = \mathbf{1\,750}\) € et \(C = 800 + 12 \times 50 = \mathbf{1\,400}\) €.
Bénéfice : 1 750 − 1 400 = 350 €/mois.
Ce bénéfice reste faible pour rémunérer le travail de Mehdi et financer le développement de l'atelier. Il doit augmenter ses ventes ou ajuster son prix.
Pour gagner au moins 1 200 €/mois (sur lesquels il devra payer ses cotisations sociales), combien de tabourets Mehdi doit-il vendre ?
Bénéfice = R − C = 35 n − (800 + 12 n) = 23 n − 800.
23 n − 800 ≥ 1 200 → 23 n ≥ 2 000 → n ≥ 86,96 → n ≥ 87 tabourets.
Soit environ 4 tabourets par jour ouvré (87 / 22 ≈ 3,95). Ambitieux pour une fabrication artisanale.
Mehdi envisage d'augmenter son prix de vente à 40 € par tabouret. Calculer le nouveau seuil de rentabilité. Comparer avec le précédent.
Nouvelle marge unitaire : 40 − 12 = 28 €.
Inéquation : 40 n > 800 + 12 n → 28 n > 800 → n > 28,57 → n ≥ 29 tabourets.
Comparaison : seuil passe de 35 à 29 → économie de 6 tabourets/mois à fabriquer. Important au démarrage de l'activité, où la production est limitée.
⚠️ Risque : si le marché ne supporte pas le nouveau prix (perte de clients), le gain s'inverse.
Mehdi pense aussi à réduire ses charges fixes en travaillant à domicile (loyer 0 €). Charges fixes deviendraient : 200 € (électricité, assurances) + 100 € (téléphone, internet) = 300 €. Quel serait alors le seuil au prix initial de 35 € ?
Inéquation : 35 n > 300 + 12 n → 23 n > 300 → n > 13,04 → n ≥ 14 tabourets/mois.
Énorme baisse : de 35 à 14 (− 60 %).
Conclusion : réduire les charges fixes a un effet plus puissant qu'augmenter le prix (de 35 à 29). C'est le premier levier d'optimisation pour un débutant.
Inconvénients à considérer : pas d'image pro, moins de visibilité, voisinage (bruit), assurances spécifiques, espace limité.
Rédiger en 5 lignes le résumé pour le banquier de Mehdi (simulation des scénarios étudiés).
Synthèse — Seuils de rentabilité atelier menuiserie
| Scénario | Prix | Charges fixes | Seuil |
|---|---|---|---|
| Initial | 35 € | 800 € | 35 tab. |
| Prix relevé | 40 € | 800 € | 29 tab. |
| Atelier maison | 35 € | 300 € | 14 tab. |
Pour viser un revenu correct (1 200 €/mois), il faut produire ≥ 87 tabourets/mois (environ 4/jour ouvré) au prix initial. Recommandation : commencer en atelier maison la 1ère année (seuil bas), puis louer un atelier dès que le carnet de commandes est stabilisé.
Le fournisseur augmente le coût des matériaux à 14 € par tabouret. Au prix de vente de 35 €, déterminer le nouveau nombre minimal de tabourets à vendre pour être rentable.
La nouvelle contrainte est \(35n > 800 + 14n\).
\(21n > 800\), donc \(n > 38{,}09\).
Comme \(n\) est entier, il faut vendre au minimum 39 tabourets. La hausse du coût des matériaux augmente le seuil de 4 tabourets.