Chapitre 6 – Inéquations du 1er degré | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 11:15
Hugo, jeune apprenti menuisier, vient de signer son alternance. Il doit acheter un téléphone professionnel pour ses chantiers et appels clients. Deux forfaits sont proposés par son opérateur :
📱 Forfait A — « pas cher mais limité » : 15 €/mois + 0,10 €/min de communication
📱 Forfait B — « tout illimité » : 25 €/mois, communications illimitées
| Forfait | Part fixe | Part variable |
|---|---|---|
| A | 15 € par mois | 0,10 € par minute |
| B | 25 € par mois | aucune |
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (résolution d'inéquation) et §7 (applications concrètes).
Calculer le coût mensuel du forfait A pour :
Comparaison avec B (25 €) : à 100 min, A et B coûtent pareil. Avant : A < B. Après : A > B.
On note x le nombre de minutes par mois.
a. C_A = 15 + 0,10 × x (forfait fixe + variable).
b. C_B = 25 (constant, indépendant de x).
Écrire l'inéquation traduisant « le forfait B est plus avantageux que le forfait A » et la résoudre.
« B plus avantageux que A » → C_B < C_A → 25 < 15 + 0,10 × x
25 − 15 < 0,10 × x → 10 < 0,10 × x
10 / 0,10 < x → 100 < x → x > 100 minutes.
Conclusion : dès que Hugo dépasse 100 min/mois, le forfait B est moins cher.
Hugo estime téléphoner en moyenne 80 minutes par mois. Quel forfait choisir ?
80 < 100 → en-dessous du seuil → Forfait A moins cher.
Vérification : C_A = 15 + 0,10 × 80 = 23 € < 25 € (forfait B).
Économie : 2 €/mois = 24 €/an.
L'année suivante, Hugo prend des responsabilités et passe à 130 minutes par mois. Quel forfait choisir ? Calculer la différence.
130 > 100 → Forfait B moins cher.
C_A = 15 + 0,10 × 130 = 28 € ; C_B = 25 €.
Différence : 3 €/mois = 36 €/an.
Hugo doit changer de forfait pour économiser.
Vérifier le seuil trouvé en calculant les deux coûts pour 99, 100 et 101 minutes. Que constate-t-on ?
| Durée | Forfait A | Forfait B |
|---|---|---|
| 99 min | 24,90 € | 25 € |
| 100 min | 25 € | 25 € |
| 101 min | 25,10 € | 25 € |
À 100 minutes, les coûts sont égaux. Dès 101 minutes, B devient moins cher : la vérification numérique confirme \(x > 100\).
Un troisième opérateur propose le forfait C : 20 €/mois + 0,05 €/min. Hugo téléphone 130 min/mois. Comparer les 3 forfaits et déterminer le moins cher.
Pour 130 min :
Classement : B (25) < C (26,50) < A (28). Le forfait B reste le moins cher.
Pro : toujours recalculer à chaque changement d'usage. Le « bon » forfait n'est pas universel.
Rédiger en 4 lignes une recommandation à Hugo, à partir de l'analyse réalisée.
Hugo, ton choix de forfait dépend de ton temps moyen d'appels par mois. Le seuil de rentabilité est 100 minutes.
– En-dessous (< 100 min/mois), prends le forfait A à 15 € : tu économiseras quelques euros.
– Au-dessus (> 100 min/mois), prends le forfait B à 25 € illimité : tu paieras moins et tu n'auras pas à surveiller le compteur.
Refais le calcul chaque année si ton usage évolue.
Pour gérer les imprévus, on conseille souvent de prendre un forfait avec une « marge de sécurité » de 30 % au-dessus de la consommation moyenne. Pour Hugo (consommation moyenne 80 min/mois), recalculer le seuil utile.
Marge 30 % au-dessus de 80 : 80 × 1,30 = 104 minutes.
104 > 100 → en cas de pic d'utilisation, Hugo peut dépasser 100 min. Le forfait A devient alors plus cher : C_A = 15 + 0,10 × 104 = 25,40 €.
Recommandation finale : avec une marge prudente, le forfait B (25 € illimité) est plus sûr. Le surcoût de 1-2 €/mois est faible comparé au risque d'une grosse facture en cas de mois exceptionnel.
C'est le principe de l'aversion au risque en gestion : payer un peu plus pour éviter un gros aléa.