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Chapitre 5 – Exercices par capacités

Équations du premier degré  |  Seconde Bac Pro MAMA  |  Mathématiques

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Reconnaître une équation du premier degré

Rappel de cours

Une équation du premier degré en \(x\) est une équation de la forme \(ax + b = c\) où l'inconnue \(x\) apparaît uniquement au degré 1 (pas de \(x^2\), de \(\sqrt{x}\), de \(1/x\), etc.). Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de \(x\) qui vérifient l'égalité.

Exercice 1

Parmi les expressions suivantes, indiquer lesquelles sont des équations du premier degré :

  1. \(3x + 5 = 14\)
  2. \(x^2 - 4 = 0\)
  3. \(2x = 10\)
  4. \(\dfrac{1}{x} = 3\)
  5. \(7 - 2x = 1\)
  6. \(x^2 + x = 6\)
Sont des équations du premier degré (l'inconnue apparaît uniquement au degré 1) :
  • a) \(3x + 5 = 14\) ✔ — forme \(ax + b = c\)
  • c) \(2x = 10\) ✔ — forme \(ax = b\)
  • e) \(7 - 2x = 1\) ✔ — forme \(ax + b = c\) (avec \(a = -2\))
Les autres ne sont pas du premier degré :
  • b) \(x^2\) → degré 2
  • d) \(\frac{1}{x}\) → pas un polynôme
  • f) \(x^2 + x\) → degré 2

Exercice 2

Pour chaque équation du premier degré, identifier la valeur de \(a\) et de \(b\) dans la forme \(ax + b = c\) :

  1. \(4x - 3 = 9\)
  2. \(-x + 7 = 2\)
  3. \(5x = 20\)
  1. \(4x - 3 = 9\) : \(a = 4\), \(b = -3\), \(c = 9\)
  2. \(-x + 7 = 2\) : \(a = -1\), \(b = 7\), \(c = 2\)
  3. \(5x = 20\) : \(a = 5\), \(b = 0\), \(c = 20\)

Exercice 3

Un élève affirme que \(x = 3\) est solution de \(2x + 1 = 8\). A-t-il raison ? Justifier.

On remplace \(x\) par 3 dans l'équation :
\(2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7 \neq 8\)
L'élève a tort : \(x = 3\) n'est pas solution de cette équation.

C2 — Résoudre une équation de la forme \(ax = b\)

Rappel de cours

Pour résoudre \(ax = b\) (avec \(a \neq 0\)) : diviser les deux membres par \(a\), soit \(x = \dfrac{b}{a}\). On ne divise jamais par zéro : si \(a = 0\) et \(b \neq 0\), l'équation n'a pas de solution ; si \(a = 0\) et \(b = 0\), tout réel est solution.

Exercice 4

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(5x = 35\)
  2. \(3x = -12\)
  3. \(-4x = 20\)
  4. \(0{,}5x = 6\)
  1. \(5x = 35 \Rightarrow x = \dfrac{35}{5} = 7\)
  2. \(3x = -12 \Rightarrow x = \dfrac{-12}{3} = -4\)
  3. \(-4x = 20 \Rightarrow x = \dfrac{20}{-4} = -5\)
  4. \(0{,}5x = 6 \Rightarrow x = \dfrac{6}{0{,}5} = 12\)

Exercice 5

Un lot de 6 charnières identiques coûte 9,60 €. Écrire et résoudre l'équation permettant de trouver le prix d'une charnière.

DonnéeValeur
Quantité6 charnières
Prix total9,60 €
Inconnue : \(x\) = prix d'une charnière (en €).
Équation : \(6x = 9{,}60\)
\[x = \frac{9{,}60}{6} = 1{,}60 \text{ €}\] Vérification : \(6 \times 1{,}60 = 9{,}60\) ✔
Réponse : une charnière coûte 1,60 €.

Exercice 6

Un menuisier découpe une planche en \(x\) morceaux de 30 cm chacun. La planche mesure 2,10 m. Écrire et résoudre l'équation.

Planche de 210 cm — x morceaux de 30 cm
Combien de morceaux de 30 cm dans 210 cm ?
On convertit : 2,10 m = 210 cm.
Équation : \(30x = 210\)
\[x = \frac{210}{30} = 7\] Vérification : \(30 \times 7 = 210\) ✔
Réponse : la planche est découpée en 7 morceaux.

Exercice 7

Un cycliste roule à vitesse constante. Il parcourt une distance de 54 km en \(x\) heures à 18 km/h. Écrire et résoudre l'équation.

La relation vitesse-distance-durée est : distance = vitesse × durée.
Équation : \(18x = 54\)
\[x = \frac{54}{18} = 3 \text{ h}\] Réponse : le cycliste met 3 heures.

C3 — Résoudre une équation de la forme \(ax + b = c\)

Rappel de cours

Méthode pour \(ax + b = c\) : (1) isoler le terme en \(x\) en soustrayant \(b\) des deux membres → \(ax = c - b\) ; (2) diviser par \(a\) → \(x = \dfrac{c - b}{a}\). On peut toujours ajouter ou soustraire le même nombre des deux membres sans changer les solutions.

3x + 4 19 = -4 -4 On retire la même quantité des deux côtés
Image de la balance : résoudre une équation, c'est garder l'équilibre

Exercice 8

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(3x + 4 = 19\)
  2. \(2x - 7 = 11\)
  3. \(-x + 5 = 2\)
  4. \(4x + 1 = -7\)
  1. \(3x + 4 = 19 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5\)
  2. \(2x - 7 = 11 \Rightarrow 2x = 18 \Rightarrow x = 9\)
  3. \(-x + 5 = 2 \Rightarrow -x = -3 \Rightarrow x = 3\)
  4. \(4x + 1 = -7 \Rightarrow 4x = -8 \Rightarrow x = -2\)

Exercice 9

Un artisan achète des tasseaux à 2,50 € pièce et paye 7,50 € de frais de port. Sa commande s'élève à 32,50 €. Combien de tasseaux a-t-il commandés ?

DonnéeValeur
Prix/tasseau2,50 €
Frais de port7,50 €
Total32,50 €
Inconnue : \(x\) = nombre de tasseaux.
Équation : \(2{,}50x + 7{,}50 = 32{,}50\)
\[2{,}50x = 32{,}50 - 7{,}50 = 25\] \[x = \frac{25}{2{,}50} = 10\] Vérification : \(2{,}50 \times 10 + 7{,}50 = 25 + 7{,}50 = 32{,}50\) ✔
Réponse : il a commandé 10 tasseaux.

Exercice 10

Un abonnement de salle de sport coûte 20 € par mois plus 15 € d'inscription. Marie a dépensé 95 € au total. Depuis combien de mois est-elle abonnée ?

DonnéeValeur
Prix/mois20 €
Inscription15 €
Total dépensé95 €
Inconnue : \(x\) = nombre de mois.
Équation : \(20x + 15 = 95\)
\[20x = 80 \Rightarrow x = 4\] Vérification : \(20 \times 4 + 15 = 80 + 15 = 95\) ✔
Réponse : Marie est abonnée depuis 4 mois.

Exercice 11

Un ébéniste fabrique des cadres. Chaque cadre nécessite 45 min de travail. Après avoir fabriqué \(x\) cadres, il passe encore 30 min à ranger l'atelier. Il a travaillé 4 h 30 min en tout. Trouver \(x\).

On convertit : 4 h 30 min = 270 min.
Équation : \(45x + 30 = 270\)
\[45x = 240 \Rightarrow x = \frac{240}{45} \approx 5{,}3\] Comme le nombre de cadres est entier, on arrondit à l'entier inférieur : \(x = 5\).
Vérification : \(45 \times 5 + 30 = 225 + 30 = 255 \leq 270\) ✔
Réponse : l'ébéniste a fabriqué 5 cadres (avec 15 min restantes).

C4 — Résoudre une équation avec \(x\) des deux membres

Rappel de cours

Quand \(x\) apparaît des deux côtés, regrouper tous les termes en \(x\) d'un même côté et les constantes de l'autre. Exemple : \(5x - 3 = 2x + 9\) → \(5x - 2x = 9 + 3\) → \(3x = 12\) → \(x = 4\). On peut déplacer un terme en changeant son signe.

Exercice 12

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(5x - 3 = 2x + 9\)
  2. \(3x + 7 = x + 15\)
  3. \(4x - 2 = 6x + 8\)
  1. \(5x - 3 = 2x + 9\)
    \(5x - 2x = 9 + 3\)
    \(3x = 12 \Rightarrow x = 4\)
    Vérif : \(5 \times 4 - 3 = 17\) et \(2 \times 4 + 9 = 17\) ✔
  2. \(3x + 7 = x + 15\)
    \(3x - x = 15 - 7\)
    \(2x = 8 \Rightarrow x = 4\)
    Vérif : \(3 \times 4 + 7 = 19\) et \(4 + 15 = 19\) ✔
  3. \(4x - 2 = 6x + 8\)
    \(4x - 6x = 8 + 2\)
    \(-2x = 10 \Rightarrow x = -5\)
    Vérif : \(4 \times (-5) - 2 = -22\) et \(6 \times (-5) + 8 = -22\) ✔

Exercice 13

Deux artisans fabriquent des étagères. On note \(x\) le nombre d'étagères fabriquées par Arthur. Benoît a fabriqué 10 étagères de moins qu'Arthur, donc \(x - 10\). De plus, Arthur en a fabriqué 4 de plus que le double de Benoît. Trouver le nombre d'étagères fabriquées par chacun.

Arthur a fabriqué \(x\) étagères.
Benoît a fabriqué \(x - 10\) étagères.
Condition : Arthur en a fabriqué 4 de plus que le double de Benoît :
\[x = 2(x - 10) + 4\] \[x = 2x - 20 + 4\] \[x = 2x - 16\] \[x - 2x = -16 \Rightarrow -x = -16 \Rightarrow x = 16\] Arthur : 16 étagères, Benoît : \(16 - 10 =\) 6 étagères.
Vérif : \(2 \times 6 + 4 = 16\) ✔

Exercice 14

Deux tarifs de location de camionnette :
— Tarif A : 30 € par jour + 0,20 € par km
— Tarif B : 15 € par jour + 0,35 € par km
Pour quelle distance les deux tarifs sont-ils égaux ?

Inconnue : \(x\) = distance en km.
Tarif A = Tarif B :
\[30 + 0{,}20x = 15 + 0{,}35x\] \[30 - 15 = 0{,}35x - 0{,}20x\] \[15 = 0{,}15x\] \[x = \frac{15}{0{,}15} = 100 \text{ km}\] Vérification : Tarif A : \(30 + 0{,}20 \times 100 = 50\) € ; Tarif B : \(15 + 0{,}35 \times 100 = 50\) € ✔
Réponse : les deux tarifs sont égaux à 100 km.
0 50 100 150 200 x = 100 B moins cher A moins cher km
Droite numérique : point d'égalité des deux tarifs à 100 km

C5 — Traduire une situation concrète par une équation

Rappel de cours

Pour mettre en équation : (1) nommer l'inconnue (\(x\) = quantité cherchée, avec son unité) ; (2) traduire la condition du problème en équation ; (3) résoudre l'équation ; (4) vérifier et conclure dans le contexte (le résultat doit être cohérent : positif, entier si nécessaire, etc.).

Exercice 15

Un panneau de contreplaqué coûte \(x\) euros. Un panneau de MDF coûte 8 € de moins. Ensemble, ils coûtent 46 €. Écrire l'équation correspondant à cette situation (ne pas la résoudre).

Prix du contreplaqué : \(x\) €
Prix du MDF : \(x - 8\) €
Condition (total = 46 €) :
\[x + (x - 8) = 46\] Soit : \(2x - 8 = 46\)

Exercice 16

Un menuisier agenceur a réalisé une commande. Il a fabriqué 3 portes de placard et 2 tiroirs. Chaque porte prend \(x\) minutes et chaque tiroir prend le double d'une porte. Il a travaillé 7 h en tout (420 min). Écrire et résoudre l'équation.

Durée d'une porte : \(x\) min
Durée d'un tiroir : \(2x\) min
Équation :
\[3x + 2 \times 2x = 420\] \[3x + 4x = 420\] \[7x = 420 \Rightarrow x = 60 \text{ min}\] Réponse : chaque porte prend 60 min, chaque tiroir 120 min.
Vérif : \(3 \times 60 + 2 \times 120 = 180 + 240 = 420\) ✔

Exercice 17

Un artisan a dépensé 156 € pour acheter des clous et des vis. Il a acheté 3 boîtes de clous et 5 boîtes de vis. Une boîte de vis coûte le double d'une boîte de clous. Trouver le prix d'une boîte de chaque type.

DonnéeValeur
Boîtes de clous3
Boîtes de vis5
Prix vis2 × prix clous
Total156 €
Inconnue : \(x\) = prix d'une boîte de clous (en €).
Prix d'une boîte de vis : \(2x\)
Équation :
\[3x + 5 \times 2x = 156\] \[3x + 10x = 156\] \[13x = 156 \Rightarrow x = 12 \text{ €}\] Boîte de vis : \(2 \times 12 = 24\) €
Vérification : \(3 \times 12 + 5 \times 24 = 36 + 120 = 156\) ✔
Réponse : boîte de clous : 12 €, boîte de vis : 24 €.

Exercice 18

Un poseur de cuisines dispose d'une barre d'aluminium de 3,60 m. Il doit y découper des poignées de 18 cm chacune. Il conserve une chute en bout de barre. S'il découpe 18 poignées, quelle est la longueur de la chute ?

Inconnue : \(x\) = longueur de la chute (en cm).
Total : 3,60 m = 360 cm.
Équation :
\[18 \times 18 + x = 360\] \[324 + x = 360\] \[x = 36 \text{ cm}\] Vérification : \(324 + 36 = 360\) ✔
Réponse : la chute mesure 36 cm.

C6 — Vérifier une solution et conclure dans le contexte

Rappel de cours

Pour vérifier une solution \(x = k\) : remplacer \(x\) par \(k\) dans l'équation et vérifier que les deux membres sont égaux. Pour conclure : s'assurer que la valeur trouvée est cohérente avec la situation (positive si c'est une longueur, entière si c'est un nombre d'objets, etc.).

Exercice 19

On affirme que \(x = 4\) est solution de l'équation \(3x - 5 = 7\). Vérifier et conclure.

On remplace \(x\) par 4 :
\(3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7\) ✔
Conclusion : \(x = 4\) est bien solution de l'équation.

Exercice 20

Un élève a résolu l'équation \(2x + 6 = 18\) et trouvé \(x = 4\). Vérifier son résultat. S'il a tort, donner la bonne réponse.

Vérification avec \(x = 4\) :
\(2 \times 4 + 6 = 8 + 6 = 14 \neq 18\)
L'élève a tort.

Résolution correcte :
\(2x + 6 = 18 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6\)
Vérification : \(2 \times 6 + 6 = 18\) ✔
La bonne solution est \(x = 6\).

Exercice 21

Un menuisier résout le problème suivant : « Une planche de 180 cm est découpée en \(x\) morceaux égaux, avec une chute de 12 cm. »
Il trouve \(x = 8\) en prenant des morceaux de 21 cm. Vérifier son résultat et conclure en indiquant si c'est cohérent.

Vérification : \(8 \times 21 + 12 = 168 + 12 = 180\) ✔
Conclusion : le menuisier a raison. En découpant 8 morceaux de 21 cm, il obtient bien une chute de 12 cm sur une planche de 180 cm. Le résultat est cohérent (nombre entier de morceaux, chute positive et inférieure à la longueur d'un morceau).

Exercice 22

Résoudre l'équation \(5x + 3 = 28\) puis conclure dans le contexte suivant : « \(x\) représente le nombre de poignées de meuble achetées à 5 € pièce, avec 3 € de frais de port, pour un total de 28 €. »

Résolution :
\(5x = 28 - 3 = 25 \Rightarrow x = 5\)
Vérification : \(5 \times 5 + 3 = 28\) ✔
Conclusion dans le contexte : le menuisier a commandé 5 poignées à 5 € pièce, ce qui donne bien 25 € + 3 € de port = 28 € au total. Le résultat est cohérent (nombre entier, positif).

C7 — Résoudre graphiquement une équation du premier degré

Rappel de cours

Résoudre graphiquement \(f(x) = g(x)\) revient à lire l'abscisse du point d'intersection des courbes de \(f\) et \(g\). Pour \(ax + b = c\), on trace la droite \(y = ax + b\) et la droite horizontale \(y = c\), puis on lit l'abscisse de leur intersection.

Exercice 23

On considère la fonction \(f(x) = 2x - 1\).

  1. Tracer la droite \(y = 2x - 1\) et la droite \(y = 5\) dans un même repère.
  2. Lire graphiquement la solution de \(2x - 1 = 5\).
  3. Vérifier algébriquement.
12345-10123456xy
Repère vierge — tracer y = 2x− 1 et y = 5, puis lire l’intersection
  1. La droite \(y = 2x - 1\) passe par \((0\,;\,-1)\) et \((3\,;\,5)\). La droite \(y = 5\) est horizontale.
  2. Les deux droites se coupent en \(x = 3\). Solution graphique : \(x = 3\).
  3. \(2x - 1 = 5 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3\) ✔

Exercice 24

Un plombier facture \(C(h) = 40h + 60\) € pour \(h\) heures de travail. Le client a un budget de 220 €.

  1. Écrire l'équation correspondant au budget maximum.
  2. Résoudre graphiquement en traçant \(y = 40h + 60\) et \(y = 220\).
  3. Combien d'heures de travail peut-il demander au maximum ?
12345660120180240300hC (€)
Repère vierge — tracer C(h) = 40h + 60 et C = 220, puis lire l’intersection
  1. \(40h + 60 = 220\)
  2. La droite \(y = 40h + 60\) coupe la droite \(y = 220\) en \(h = 4\).
  3. Vérification : \(40 \times 4 + 60 = 220\) ✔. Le client peut demander 4 heures maximum.