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Chapitre 5 – Exercices par capacités

Équations du premier degré  |  2nde Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 27 juillet 2026, 15:53

Capacités et connaissances du programme :

C1 — Reconnaître une équation du premier degré

Rappel de cours

Une équation du premier degré en \(x\) est une équation de la forme \(ax + b = c\) où l'inconnue \(x\) apparaît uniquement au degré 1 (pas de \(x^2\), de \(\sqrt{x}\), de \(1/x\), etc.). Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs de \(x\) qui vérifient l'égalité.

Exercice 1

Parmi les expressions suivantes, indiquer lesquelles sont des équations du premier degré :

  1. \(3x + 5 = 14\)
  2. \(x^2 - 4 = 0\)
  3. \(2x = 10\)
  4. \(\dfrac{1}{x} = 3\)
  5. \(7 - 2x = 1\)
  6. \(x^2 + x = 6\)
Sont des équations du premier degré (l'inconnue apparaît uniquement au degré 1) :
  • a) \(3x + 5 = 14\) ✔ — forme \(ax + b = c\)
  • c) \(2x = 10\) ✔ — forme \(ax = b\)
  • e) \(7 - 2x = 1\) ✔ — forme \(ax + b = c\) (avec \(a = -2\))
Les autres ne sont pas du premier degré :
  • b) \(x^2\) → degré 2
  • d) \(\frac{1}{x}\) → pas un polynôme
  • f) \(x^2 + x\) → degré 2

Exercice 2

Pour chaque équation du premier degré, identifier la valeur de \(a\) et de \(b\) dans la forme \(ax + b = c\) :

  1. \(4x - 3 = 9\)
  2. \(-x + 7 = 2\)
  3. \(5x = 20\)
  1. \(4x - 3 = 9\) : \(a = 4\), \(b = -3\), \(c = 9\)
  2. \(-x + 7 = 2\) : \(a = -1\), \(b = 7\), \(c = 2\)
  3. \(5x = 20\) : \(a = 5\), \(b = 0\), \(c = 20\)

Exercice 3

On considère l'égalité \(2x + 1 = 8\).

  1. Est-ce une équation du premier degré ? Justifier en indiquant \(a\), \(b\) et \(c\).
  2. Un élève affirme que \(x = 3\) en est solution. A-t-il raison ? Justifier.
  1. Oui : l'inconnue \(x\) n'apparaît qu'au degré 1 (pas de \(x^2\), pas de \(\frac{1}{x}\)). C'est la forme \(ax + b = c\) avec \(a = 2\), \(b = 1\) et \(c = 8\).
  2. On remplace \(x\) par 3 dans l'équation :
    \(2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7 \neq 8\)
    L'élève a tort : \(x = 3\) n'est pas solution de cette équation.

C2 — Résoudre une équation de la forme \(ax = b\)

Rappel de cours

Pour résoudre \(ax = b\), avec \(a\) non nul, on divise les deux membres par \(a\), soit \(x = \dfrac{b}{a}\). La règle des signes s'applique au quotient.

Exercice 4

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(5x = 35\)
  2. \(3x = -12\)
  3. \(-4x = 20\)
  4. \(0{,}5x = 6\)
  1. \(5x = 35 \Rightarrow x = \dfrac{35}{5} = 7\)
  2. \(3x = -12 \Rightarrow x = \dfrac{-12}{3} = -4\)
  3. \(-4x = 20 \Rightarrow x = \dfrac{20}{-4} = -5\)
  4. \(0{,}5x = 6 \Rightarrow x = \dfrac{6}{0{,}5} = 12\)

Exercice 5

Un lot de 6 charnières identiques coûte 9,60 €. Écrire et résoudre l'équation permettant de trouver le prix d'une charnière.

DonnéeValeur
Quantité6 charnières
Prix total9,60 €
Inconnue : \(x\) = prix d'une charnière (en €).
Équation : \(6x = 9{,}60\)
\[x = \frac{9{,}60}{6} = 1{,}60 \text{ €}\] Vérification : \(6 \times 1{,}60 = 9{,}60\) ✔
Réponse : une charnière coûte 1,60 €.

Exercice 6

Un menuisier découpe une planche en \(x\) morceaux de 30 cm chacun. La planche mesure 2,10 m. Écrire et résoudre l'équation.

30 cmplanche : 210 cm
Un morceau de 30 cm est repéré : combien en tire-t-on de la planche ?
On convertit : 2,10 m = 210 cm.
Équation : \(30x = 210\)
\[x = \frac{210}{30} = 7\] Vérification : \(30 \times 7 = 210\) ✔
Réponse : la planche est découpée en 7 morceaux.

Exercice 7

Un cycliste roule à vitesse constante. Il parcourt une distance de 54 km en \(x\) heures à 18 km/h. Écrire et résoudre l'équation.

La relation vitesse-distance-durée est : distance = vitesse × durée.
Équation : \(18x = 54\)
\[x = \frac{54}{18} = 3 \text{ h}\] Réponse : le cycliste met 3 heures.

C3 — Résoudre une équation de la forme \(ax + b = c\)

Rappel de cours

Méthode pour \(ax + b = c\) : (1) isoler le terme en \(x\) en soustrayant \(b\) des deux membres → \(ax = c - b\) ; (2) diviser par \(a\) → \(x = \dfrac{c - b}{a}\). On peut toujours ajouter ou soustraire le même nombre des deux membres sans changer les solutions.

3x + 4 19 = -4 -4 On retire la même quantité des deux côtés
Image de la balance : résoudre une équation, c'est garder l'équilibre

Exercice 8

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(3x + 4 = 19\)
  2. \(2x - 7 = 11\)
  3. \(-x + 5 = 2\)
  4. \(4x + 1 = -7\)
  1. \(3x + 4 = 19 \Rightarrow 3x = 15 \Rightarrow x = 5\)
  2. \(2x - 7 = 11 \Rightarrow 2x = 18 \Rightarrow x = 9\)
  3. \(-x + 5 = 2 \Rightarrow -x = -3 \Rightarrow x = 3\)
  4. \(4x + 1 = -7 \Rightarrow 4x = -8 \Rightarrow x = -2\)

Exercice 9

Un artisan achète des tasseaux à 2,50 € pièce et paye 7,50 € de frais de port. Sa commande s'élève à 32,50 €. Combien de tasseaux a-t-il commandés ?

DonnéeValeur
Prix/tasseau2,50 €
Frais de port7,50 €
Total32,50 €
Inconnue : \(x\) = nombre de tasseaux.
Équation : \(2{,}50x + 7{,}50 = 32{,}50\)
\[2{,}50x = 32{,}50 - 7{,}50 = 25\] \[x = \frac{25}{2{,}50} = 10\] Vérification : \(2{,}50 \times 10 + 7{,}50 = 25 + 7{,}50 = 32{,}50\) ✔
Réponse : il a commandé 10 tasseaux.

Exercice 10

Un abonnement de salle de sport coûte 20 € par mois plus 15 € d'inscription. Marie a dépensé 95 € au total. Depuis combien de mois est-elle abonnée ?

DonnéeValeur
Prix/mois20 €
Inscription15 €
Total dépensé95 €
Inconnue : \(x\) = nombre de mois.
Équation : \(20x + 15 = 95\)
\[20x = 80 \Rightarrow x = 4\] Vérification : \(20 \times 4 + 15 = 80 + 15 = 95\) ✔
Réponse : Marie est abonnée depuis 4 mois.

Exercice 11

Un ébéniste fabrique des cadres. Chaque cadre nécessite 40 min de travail. Après avoir fabriqué \(x\) cadres, il passe encore 30 min à ranger l'atelier. Il a travaillé 4 h 30 min en tout. Trouver \(x\).

On convertit : 4 h 30 min = 270 min.
Équation : \(40x + 30 = 270\)
\[40x = 240 \Rightarrow x = \frac{240}{40} = 6\] Vérification : \(40 \times 6 + 30 = 240 + 30 = 270\) ✔
Réponse : l'ébéniste a fabriqué exactement 6 cadres.

C4 — Résoudre une équation avec \(x\) des deux membres

Rappel de cours

Quand \(x\) apparaît des deux côtés, regrouper tous les termes en \(x\) d'un même côté et les constantes de l'autre. Exemple : \(5x - 3 = 2x + 9\) → \(5x - 2x = 9 + 3\) → \(3x = 12\) → \(x = 4\). On peut déplacer un terme en changeant son signe.

Exercice 12

Résoudre les équations suivantes :

  1. \(5x - 3 = 2x + 9\)
  2. \(3x + 7 = x + 15\)
  3. \(4x - 2 = 6x + 8\)
  1. \(5x - 3 = 2x + 9\)
    \(5x - 2x = 9 + 3\)
    \(3x = 12 \Rightarrow x = 4\)
    Vérif : \(5 \times 4 - 3 = 17\) et \(2 \times 4 + 9 = 17\) ✔
  2. \(3x + 7 = x + 15\)
    \(3x - x = 15 - 7\)
    \(2x = 8 \Rightarrow x = 4\)
    Vérif : \(3 \times 4 + 7 = 19\) et \(4 + 15 = 19\) ✔
  3. \(4x - 2 = 6x + 8\)
    \(4x - 6x = 8 + 2\)
    \(-2x = 10 \Rightarrow x = -5\)
    Vérif : \(4 \times (-5) - 2 = -22\) et \(6 \times (-5) + 8 = -22\) ✔

Exercice 13

Deux équipes de plaquistes posent des plaques de plâtre sur un même chantier. On note \(x\) le nombre de plaques posées par l'équipe A. L'équipe B en a posé 10 de moins que l'équipe A, donc \(x - 10\). De plus, l'équipe A en a posé 4 de plus que le double de l'équipe B. Trouver le nombre de plaques posées par chaque équipe.

Équipe A : \(x\) plaques.
Équipe B : \(x - 10\) plaques.
Condition : l'équipe A en a posé 4 de plus que le double de l'équipe B :
\[x = 2(x - 10) + 4\] \[x = 2x - 20 + 4\] \[x = 2x - 16\] \[x - 2x = -16 \Rightarrow -x = -16 \Rightarrow x = 16\] Équipe A : 16 plaques, équipe B : \(16 - 10 =\) 6 plaques.
Vérif : \(2 \times 6 + 4 = 16\) ✔

Exercice 14

Deux tarifs de location de camionnette :
— Tarif A : 30 € par jour + 0,20 € par km
— Tarif B : 15 € par jour + 0,35 € par km
Pour quelle distance les deux tarifs sont-ils égaux ?

Inconnue : \(x\) = distance en km.
Tarif A = Tarif B :
\[30 + 0{,}20x = 15 + 0{,}35x\] \[30 - 15 = 0{,}35x - 0{,}20x\] \[15 = 0{,}15x\] \[x = \frac{15}{0{,}15} = 100 \text{ km}\] Vérification : Tarif A : \(30 + 0{,}20 \times 100 = 50\) € ; Tarif B : \(15 + 0{,}35 \times 100 = 50\) € ✔
Réponse : les deux tarifs sont égaux à 100 km.

C5 — Traduire une situation concrète par une équation

Rappel de cours

Pour mettre en équation : (1) nommer l'inconnue (\(x\) = quantité cherchée, avec son unité) ; (2) traduire la condition du problème en équation ; (3) résoudre l'équation ; (4) vérifier et conclure dans le contexte (le résultat doit être cohérent : positif, entier si nécessaire, etc.).

Exercice 15

Un panneau de contreplaqué coûte \(x\) euros. Un panneau de MDF coûte 8 € de moins. Ensemble, ils coûtent 46 €. Écrire l'équation correspondant à cette situation (ne pas la résoudre).

Prix du contreplaqué : \(x\) €
Prix du MDF : \(x - 8\) €
Condition (total = 46 €) :
\[x + (x - 8) = 46\] Soit : \(2x - 8 = 46\)

Exercice 16

Un menuisier agenceur a réalisé une commande. Il a fabriqué 3 portes de placard et 2 tiroirs. Chaque porte prend \(x\) minutes et chaque tiroir prend le double d'une porte. Il a travaillé 7 h en tout (420 min). Écrire et résoudre l'équation.

Durée d'une porte : \(x\) min
Durée d'un tiroir : \(2x\) min
Équation :
\[3x + 2 \times 2x = 420\] \[3x + 4x = 420\] \[7x = 420 \Rightarrow x = 60 \text{ min}\] Réponse : chaque porte prend 60 min, chaque tiroir 120 min.
Vérif : \(3 \times 60 + 2 \times 120 = 180 + 240 = 420\) ✔

Exercice 17

Un artisan a dépensé 156 € pour acheter des clous et des vis. Il a acheté 3 boîtes de clous et 5 boîtes de vis. Une boîte de vis coûte le double d'une boîte de clous. Trouver le prix d'une boîte de chaque type.

DonnéeValeur
Boîtes de clous3
Boîtes de vis5
Prix vis2 × prix clous
Total156 €
Inconnue : \(x\) = prix d'une boîte de clous (en €).
Prix d'une boîte de vis : \(2x\)
Équation :
\[3x + 5 \times 2x = 156\] \[3x + 10x = 156\] \[13x = 156 \Rightarrow x = 12 \text{ €}\] Boîte de vis : \(2 \times 12 = 24\) €
Vérification : \(3 \times 12 + 5 \times 24 = 36 + 120 = 156\) ✔
Réponse : boîte de clous : 12 €, boîte de vis : 24 €.

Exercice 18

Un poseur de cuisines dispose d'une barre d'aluminium de 3,60 m. Il doit y découper des poignées de 18 cm chacune. Il conserve une chute en bout de barre. S'il découpe 18 poignées, quelle est la longueur de la chute ?

Inconnue : \(x\) = longueur de la chute (en cm).
Total : 3,60 m = 360 cm.
Équation :
\[18 \times 18 + x = 360\] \[324 + x = 360\] \[x = 36 \text{ cm}\] Vérification : \(324 + 36 = 360\) ✔
Réponse : la chute mesure 36 cm.

C6 — Vérifier une solution et conclure dans le contexte

Rappel de cours

Pour vérifier une solution \(x = k\) : remplacer \(x\) par \(k\) dans l'équation et vérifier que les deux membres sont égaux. Pour conclure : s'assurer que la valeur trouvée est cohérente avec la situation (positive si c'est une longueur, entière si c'est un nombre d'objets, etc.).

Exercice 19

On affirme que \(x = 4\) est solution de l'équation \(3x - 5 = 7\). Vérifier et conclure.

On remplace \(x\) par 4 :
\(3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7\) ✔
Conclusion : \(x = 4\) est bien solution de l'équation.

Exercice 20

Un élève a résolu l'équation \(2x + 6 = 18\) et trouvé \(x = 4\). Vérifier son résultat. S'il a tort, donner la bonne réponse.

Vérification avec \(x = 4\) :
\(2 \times 4 + 6 = 8 + 6 = 14 \neq 18\)
L'élève a tort.

Résolution correcte :
\(2x + 6 = 18 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6\)
Vérification : \(2 \times 6 + 6 = 18\) ✔
La bonne solution est \(x = 6\).

Exercice 21

Un menuisier résout le problème suivant : « Une planche de 180 cm est découpée en \(x\) morceaux égaux, avec une chute de 12 cm. »
Il trouve \(x = 8\) en prenant des morceaux de 21 cm. Vérifier son résultat et conclure en indiquant si c'est cohérent.

Vérification : \(8 \times 21 + 12 = 168 + 12 = 180\) ✔
Conclusion : le menuisier a raison. En découpant 8 morceaux de 21 cm, il obtient bien une chute de 12 cm sur une planche de 180 cm. Le résultat est cohérent (nombre entier de morceaux, chute positive et inférieure à la longueur d'un morceau).

Exercice 22

Résoudre l'équation \(5x + 3 = 28\) puis conclure dans le contexte suivant : « \(x\) représente le nombre de poignées de meuble achetées à 5 € pièce, avec 3 € de frais de port, pour un total de 28 €. »

Résolution :
\(5x = 28 - 3 = 25 \Rightarrow x = 5\)
Vérification : \(5 \times 5 + 3 = 28\) ✔
Conclusion dans le contexte : le menuisier a commandé 5 poignées à 5 € pièce, ce qui donne bien 25 € + 3 € de port = 28 € au total. Le résultat est cohérent (nombre entier, positif).

C7 — Résoudre graphiquement une équation du premier degré

Rappel de cours

Résoudre graphiquement \(ax + b = c\), c'est tracer la droite \(y = ax + b\) et la droite horizontale \(y = c\), puis lire l'abscisse de leur point d'intersection. La lecture graphique est approchée ; le calcul algébrique donne la valeur exacte.

Exercice 23

On considère la droite d'équation \(y = 2x - 1\).

  1. Tracer la droite \(y = 2x - 1\) et la droite \(y = 5\) dans un même repère (à la main ou au grapheur).
  2. Lire graphiquement la solution de \(2x - 1 = 5\).
  3. Vérifier algébriquement.
12345-10123456xy
Repère vierge — tracer y = 2x− 1 et y = 5, puis lire l’intersection
  1. La droite \(y = 2x - 1\) passe par \((0\,;\,-1)\) et \((3\,;\,5)\). La droite \(y = 5\) est horizontale.
  2. Les deux droites se coupent en \(x = 3\). Solution graphique : \(x = 3\).
  3. \(2x - 1 = 5 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3\) ✔

Exercice 24

Un plombier facture 40 € par heure et 60 € de déplacement. Une facture totale est de 220 €.

  1. Écrire l'équation correspondant à la facture exacte de 220 €.
  2. Résoudre graphiquement en traçant \(y = 40h + 60\) et \(y = 220\).
  3. Combien d'heures de travail correspondent exactement à cette facture ?
12345660120180240300hC (€)
Repère vierge — tracer y = 40h + 60 et y = 220, puis lire l’intersection
  1. \(40h + 60 = 220\)
  2. Les droites \(y = 40h + 60\) et \(y = 220\) se coupent en \(h = 4\).
  3. Vérification : \(40 \times 4 + 60 = 220\) ✔. La facture correspond exactement à 4 heures.

Exercice 24 bis

Un menuisier facture 20 € par mètre découpé et 30 € de mise en route. Une facture est exactement de 150 €.

  1. Écrire l'équation traduisant un coût de 150 €.
  2. Résoudre graphiquement en traçant \(y = 20x + 30\) et \(y = 150\) dans le repère vierge ci-dessous, puis confirmer par le calcul.
  3. Quelle longueur correspond exactement à cette facture ?
123456306090120150x (m)C (€)
Repère vierge — tracer y = 20x + 30 et y = 150, puis lire l’intersection
  1. \(20x + 30 = 150\)
  2. La droite \(y = 20x + 30\) (qui part de 30 et monte de 20 par mètre) coupe la droite \(y = 150\) en \(x = 6\). Par le calcul : \(20x = 120\), soit \(x = 6\) ✔
  3. Vérification : \(20 \times 6 + 30 = 150\) ✔. La facture correspond exactement à 6 mètres.

C8 — Choisir une méthode adaptée (algébrique, graphique ou numérique)

Rappel de cours

Une même équation peut se résoudre de plusieurs façons :

  • Méthode algébrique : on isole \(x\) par calcul. Elle donne la valeur exacte.
  • Méthode graphique : on lit l'abscisse du point d'intersection de deux droites. Réponse rapide mais approchée (dépend de la précision du tracé).
  • Méthode numérique (calculatrice / tableur) : on calcule les valeurs pour plusieurs \(x\) et on repère celle qui convient. Pratique pour tester ou vérifier.

On choisit la méthode selon l'objectif : valeur exacte → algébrique ; estimation rapide → graphique ; vérification ou tâtonnement → numérique.

Exercice 25

Pour chacune des situations suivantes, indiquer quelle méthode (algébrique, graphique ou numérique au tableur) est la plus adaptée, et justifier en une phrase :

  1. On veut la valeur exacte de la solution de \(7x - 4 = 31\).
  2. On veut une estimation rapide de l'abscisse où deux droites tracées se croisent.
  3. On veut vérifier qu'une valeur trouvée à la main est correcte, sans refaire le calcul.
  1. Méthode algébrique : seul le calcul donne la valeur exacte (ici \(7x = 35\), donc \(x = 5\)).
  2. Méthode graphique : la lecture du point d'intersection donne une estimation immédiate, suffisante quand on ne cherche pas la valeur exacte.
  3. Méthode numérique (calculatrice / tableur) : on remplace \(x\) par la valeur et on contrôle l'égalité, sans refaire toute la résolution.

Exercice 26

On veut résoudre l'équation \(4x + 6 = 30\).

  1. Méthode algébrique : résoudre l'équation par le calcul.
  2. Méthode numérique : on complète le tableau de valeurs de \(4x + 6\) ci-dessous et on repère la valeur de \(x\) qui donne 30.
  3. Les deux méthodes donnent-elles le même résultat ? Laquelle donne la valeur exacte ?
\(x\)34567
\(4x + 6\)
  1. Méthode algébrique : \(4x + 6 = 30 \Rightarrow 4x = 24 \Rightarrow x = 6\).
  2. Méthode numérique : on complète le tableau en remplaçant \(x\) par chaque valeur.
    \(x\)34567
    \(4x + 6\)1822263034
    On cherche la colonne où \(4x + 6\) vaut 30 : c'est celle de \(x = 6\). On lit donc \(x = 6\).
  3. Les deux méthodes donnent \(x = 6\). Ici la valeur tombe juste dans le tableau, mais en général c'est la méthode algébrique qui garantit la valeur exacte (le tableau ne teste que quelques valeurs).

Exercice 27

Deux loueurs de matériel proposent un tarif pour \(x\) jours de location :

  • Loueur 1 : \(P_1 = 6x + 20\) (en €)
  • Loueur 2 : \(P_2 = 10x\) (en €)

On cherche le nombre de jours pour lequel les deux tarifs sont égaux.

  1. Résoudre algébriquement l'équation \(6x + 20 = 10x\).
  2. On pourrait aussi tracer les deux droites et lire le point d'intersection. Citer un avantage et un inconvénient de cette méthode graphique par rapport au calcul.
  3. Conclure : quelle méthode choisir pour donner une réponse certaine au client ?
LoueurForfait fixePrix/jour
Loueur 120 €6 €
Loueur 2—10 €
  1. \(6x + 20 = 10x\)
    \(20 = 10x - 6x\)
    \(20 = 4x \Rightarrow x = \dfrac{20}{4} = 5\)
    Vérif : \(P_1 = 6 \times 5 + 20 = 50\) € et \(P_2 = 10 \times 5 = 50\) € ✔. Les tarifs sont égaux pour 5 jours.
  2. Avantage de la méthode graphique : elle donne une réponse rapide et visuelle (on voit aussi quel loueur est le moins cher selon la durée). Inconvénient : la lecture est approchée et dépend de la précision du tracé.
  3. Pour une réponse certaine, on choisit la méthode algébrique : elle donne la valeur exacte \(x = 5\).