Devoir Surveillé – Chapitre 5

Résolution d'équations du 1^er degré | 2^de Bac Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Résoudre une équation de la forme \(ax = b\) ou \(ax + b = c\)
Traduire une situation concrète par une équation du premier degré
Vérifier une solution et conclure dans le contexte professionnel
Utiliser une calculatrice ou un grapheur pour vérifier une solution

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer

Socle

Exercice 1 – Résoudre des équations (guidé) 10 points

Détailler les étapes en suivant le modèle.

1. REA Résoudre \(4x - 6 = 10\) en complétant : (3 pts)

Étape 1 : On isole \(4x\) → \(4x = 10 + 6 = \) ……
Étape 2 : On divise par 4 → \(x = \dfrac{\ldots}{4} = \) ……

2. REA Résoudre \(5x + 3 = 28\) en complétant : (3 pts)

Étape 1 : \(5x = 28 - \) …… = ……
Étape 2 : \(x = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \) ……

3. REA Résoudre \(2x = 9\). (Le résultat n'est pas entier, donner la valeur exacte.) (2 pts)

4. VAL Vérification : remplacer \(x\) par ta réponse dans \(4x - 6 = 10\) (question 1). Retrouves-tu bien 10 ? (2 pts)

\(4 \times \) …… \(- 6 = \) …… \(- 6 = \) …… ✓ ou ✗

1. \(4x = 16\), \(x = \frac{16}{4} = \mathbf{4}\).

2. \(5x = 28 - 3 = 25\), \(x = \frac{25}{5} = \mathbf{5}\).

3. \(x = \frac{9}{2} = \mathbf{4{,}5}\).

4. \(4 \times 4 - 6 = 16 - 6 = 10\) ✓

Exercice 2 – Problème guidé 10 points

Un menuisier achète des panneaux de bois à 8 € pièce. La livraison coûte 12 €. Il paie en tout 60 €.

1. APP On appelle \(x\) le nombre de panneaux. Compléter l'équation : (2 pts)

…… × \(x\) + …… = ……

2. REA Résoudre l'équation pas à pas : (3 pts)

\(8x = 60 - \) …… = ……
\(x = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \) ……

3. COM Combien de panneaux le menuisier a-t-il achetés ? Écrire une phrase réponse. (2 pts)

4. ANA Le fournisseur augmente le prix des panneaux à 10 €. Combien de panneaux peut-on acheter avec le même budget de 60 € (livraison toujours 12 €) ? (3 pts)

Nouvelle équation : …… × \(x\) + 12 = 60
\(x = \) ……

1. \(8x + 12 = 60\).

2. \(8x = 60 - 12 = 48\), \(x = \frac{48}{8} = \mathbf{6}\).

3. Le menuisier a acheté 6 panneaux.

4. \(10x + 12 = 60\) → \(10x = 48\) → \(x = 4{,}8\). On ne peut acheter que 4 panneaux entiers (reste 8 €).

Standard

Exercice 1 – Résolution d'équations 8 points

Détailler toutes les étapes de résolution.

1. REA Résoudre \(4x - 6 = 10\). (2 pts)

2. REA Résoudre \(3(x + 2) = 2x + 11\). (3 pts)

3. REA Résoudre \(\dfrac{2x + 1}{3} = 5\). (3 pts)

1. \(4x - 6 = 10 \Rightarrow 4x = 16 \Rightarrow x = \mathbf{4}\).

2. \(3(x+2) = 2x + 11 \Rightarrow 3x + 6 = 2x + 11 \Rightarrow x = \mathbf{5}\).

3. \(\frac{2x+1}{3} = 5 \Rightarrow 2x + 1 = 15 \Rightarrow 2x = 14 \Rightarrow x = \mathbf{7}\).

Exercice 2 – Mise en équation 6 points

Une entreprise de menuiserie loue du matériel. Le forfait journalier est de 15 € par jour, plus 2,50 € par outil loué. Un technicien dispose d'un budget de 40 €.

1. APP Écrire l'expression du coût total \(C\) en fonction du nombre d'outils \(n\). (2 pts)

2. REA Résoudre \(C = 40\) pour trouver le nombre d'outils. (2 pts)

3. VAL Vérifier le résultat en remplaçant \(n\) dans l'expression. (2 pts)

1. \(C = 15 + 2{,}5n\).

2. \(15 + 2{,}5n = 40 \Rightarrow 2{,}5n = 25 \Rightarrow n = \mathbf{10}\) outils.

3. \(15 + 2{,}5 \times 10 = 15 + 25 = 40\) € ✓

Exercice 3 – Problème professionnel 6 points

Un agenceur découpe des planches dans une planche de 2,40 m. Chaque découpe produit une planche de longueur \(x\) (en cm) et génère 0,5 cm de perte (trait de scie). Il veut obtenir 6 planches identiques.

1. APP Écrire l'équation (longueur totale = planches + pertes). (2 pts)

2. REA Résoudre et donner la longueur de chaque planche. (2 pts)

3. ANA Le client demande des planches de 40 cm. Est-ce possible ? Justifier. (2 pts)

1. \(6x + 5 \times 0{,}5 = 240\), soit \(6x + 2{,}5 = 240\).

2. \(6x = 237{,}5 \Rightarrow x \approx \mathbf{39{,}58}\) cm.

3. Non : \(6 \times 40 + 2{,}5 = 242{,}5 > 240\). Il manque 2,5 cm.

Approfondissement

Exercice 1 – Équations variées 8 points

Détailler la résolution. Résultat exact exigé.

1. REA Résoudre \(3(2x - 1) = 4(x + 3) - 5\). (2 pts)

2. REA Résoudre \(\dfrac{5x - 2}{4} = \dfrac{x + 6}{2}\). (2 pts)

3. ANA Résoudre \(7x - 3 = 7x + 5\). Que constate-t-on ? Conclure. (2 pts)

4. ANA Résoudre \(2(3x + 1) = 6x + 2\). Que constate-t-on ? Conclure. (2 pts)

1. \(6x - 3 = 4x + 12 - 5 = 4x + 7\) → \(2x = 10\) → \(x = \mathbf{5}\).

2. On multiplie par 4 : \(5x - 2 = 2(x + 6) = 2x + 12\) → \(3x = 14\) → \(x = \mathbf{\frac{14}{3}}\).

3. \(7x - 3 = 7x + 5\) → \(-3 = 5\) : contradiction. L'équation n'a aucune solution.

4. \(6x + 2 = 6x + 2\) → \(0 = 0\) : identité. Tout réel est solution → infinité de solutions.

Exercice 2 – Problème ouvert : comparaison de devis 12 points

Un menuisier doit commander des planches de chêne. Il compare deux fournisseurs :

Fournisseur	Prix par planche	Frais de livraison
A — BoisPro	12 €	30 € (forfait fixe)
B — PanneauDiscount	9 €	60 € (forfait fixe)

1. APP Exprimer le coût total \(C_A\) chez BoisPro et \(C_B\) chez PanneauDiscount en fonction du nombre de planches \(n\). (2 pts)

2. REA À partir de combien de planches le fournisseur B devient-il moins cher que le fournisseur A ? Poser et résoudre l'équation \(C_A = C_B\). (3 pts)

3. VAL Vérifier en calculant \(C_A\) et \(C_B\) pour \(n = 9\) et \(n = 11\). (2 pts)

4. REA Le menuisier a un budget maximal de 200 €. Combien de planches peut-il commander au maximum chez chaque fournisseur ? Poser et résoudre les inéquations correspondantes. (3 pts)

5. COM Rédiger un conseil argumenté : quel fournisseur choisir selon le nombre de planches commandées ? (2 pts)

1. \(C_A = 12n + 30\) et \(C_B = 9n + 60\).

2. \(12n + 30 = 9n + 60\) → \(3n = 30\) → \(n = \mathbf{10}\). À partir de 11 planches, B est moins cher.

3. Pour \(n=9\) : \(C_A = 138\), \(C_B = 141\) → A est moins cher. Pour \(n=11\) : \(C_A = 162\), \(C_B = 159\) → B est moins cher. ✓

4. Chez A : \(12n + 30 \leq 200\) → \(n \leq \frac{170}{12} \approx 14{,}2\) → 14 planches max.
Chez B : \(9n + 60 \leq 200\) → \(n \leq \frac{140}{9} \approx 15{,}6\) → 15 planches max.

5. Pour moins de 10 planches, choisir A (frais fixes plus faibles). Pour 10 planches ou plus, choisir B (prix unitaire plus bas qui compense les frais de livraison élevés). Avec un budget de 200 €, B permet d'acheter 1 planche de plus.