Chapitre 5 – Équations du premier degré | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 09:40
Un mur monté en 12 rangées identiques (les assises) atteint \(2{,}60\) m de haut, avec une base de mortier de \(8\) cm. Sans calcul précis, une assise mesure-t-elle plutôt 5 cm, 20 cm ou 50 cm ?
Plutôt 20 cm. On enlève d'abord la base : \(260 - 8 = 252\) cm à répartir sur 12 assises, soit environ \(252 \div 12 \approx 21\) cm chacune. Une assise de 5 cm serait trop fine, une assise de 50 cm bien trop épaisse. Deviner un ordre de grandeur, c'est déjà préparer l'équation.
Karim est maçon sur le chantier d'une extension de maison. Il monte un mur en blocs béton (parpaings) rangée après rangée. Le plan de l'architecte impose une hauteur totale précise pour ce mur, jusqu'au niveau où viendra reposer la dalle du plancher. Karim empile des assises toutes identiques sur une arase de mortier au pied du mur. Avant de commander ses blocs, il a besoin de connaître la hauteur exacte d'une assise.
Quelle est la dimension inconnue que Karim cherche ? Comment est-elle notée et dans quelle unité ?
L'inconnue est la hauteur d'une assise (un bloc surmonté de son joint), notée \(x\), exprimée en centimètres (cm). C'est la dimension à trouver pour commander les bons blocs.
Écris en français la relation qui lie l'arase (\(8\) cm), les \(12\) assises identiques (chacune de hauteur \(x\)) et la hauteur totale (\(260\) cm).
En empilant l'arase puis les 12 assises, on doit atteindre exactement la hauteur totale :
« arase + (nombre d'assises × hauteur d'une assise) = hauteur totale du mur ».
Traduis cette relation par une équation d'inconnue \(x\). De quelle forme est-elle ?
\[ 12x + 8 = 260 \] C'est une équation du premier degré de la forme \(ax + b = c\), avec \(a = 12\), \(b = 8\) et \(c = 260\).
Résous l'équation pour trouver la hauteur \(x\) d'une assise (détaille les étapes).
On isole d'abord le terme en \(x\), puis on divise par \(12\) : \[ 12x + 8 = 260 \] \[ 12x = 260 - 8 = 252 \] \[ x = \frac{252}{12} = 21 \] Une assise mesure donc \(x = \mathbf{21}\ \text{cm}\).
Vérifie ta solution : remplace \(x\) par la valeur trouvée dans l'équation de départ et contrôle qu'on retombe bien sur \(260\) cm.
\[ 12 \times 21 + 8 = 252 + 8 = 260 \ \text{✔} \] On retrouve bien la hauteur totale : la solution \(x = 21\) cm est correcte.
Le joint de mortier entre deux blocs fait \(1\) cm d'épaisseur. Déduis-en la hauteur d'un bloc. Ce résultat est-il cohérent avec un bloc béton courant ?
Hauteur du bloc = hauteur d'une assise − joint : \[ 21 - 1 = 20\ \text{cm} \] C'est exactement la hauteur d'un bloc béton courant (20 cm) : le résultat est parfaitement cohérent avec le matériel du chantier.
Sur une autre partie du chantier, le plan impose cette fois une hauteur totale de \(2{,}81\) m \((281\) cm\()\), toujours avec une arase de \(8\) cm et des assises de \(21\) cm. Écris l'équation d'inconnue \(n\) (le nombre d'assises), résous-la, puis explique pourquoi la réponse doit être un nombre entier.
Équation : \(21n + 8 = 281\). \[ 21n = 281 - 8 = 273 \] \[ n = \frac{273}{21} = 13 \] Il faut 13 assises. Ici l'inconnue est un nombre d'assises : c'est forcément un entier, et \(13\) convient exactement. (À l'inverse, une dimension comme \(x\) pourrait très bien être un nombre décimal — d'où l'importance d'interpréter chaque solution selon ce qu'elle représente.)
Rédige 2 à 3 phrases expliquant la méthode de Karim : comment retrouver une dimension inconnue d'un ouvrage à l'aide d'une équation ?
Exemple de rédaction : « J'appelle \(x\) la dimension cherchée (la hauteur d'une assise). J'écris que l'arase plus les 12 assises égale la hauteur totale, ce qui donne l'équation \(12x + 8 = 260\). Je la résous en enlevant l'arase puis en divisant par le nombre d'assises : \(x = (260 - 8) \div 12 = 21\) cm. Enfin je vérifie en réinjectant \(21\) dans l'équation, et je contrôle que la dimension trouvée est réaliste. »
L'équation est de la forme \(ax+b=c\) :
\[ 21n + 8 = 134 \]
\[ 21n = 126 \implies n = 6 \]
Il faut \(n = \mathbf{6}\) assises. Vérification avec la première référence : \(21 \times 6 + 8 = \mathbf{134}\) cm, soit \(1{,}34\) m.
Vérification : \(22 \times 6 + 2 = 132 + 2 = 134\) cm ✔.
Réponse à la problématique : pour retrouver une dimension inconnue d'un ouvrage, on la note \(x\), on écrit l'égalité « partie fixe + (nombre d'éléments × dimension) = total », puis on résout l'équation du premier degré.
📚 §3 (résolution) et §4 (mise en équation) de la leçon Ch05.