Chapitre 5 – Équations du 1er degré | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 09:40
Léa, en 2nde Bac Pro, veut s'inscrire dans une salle de sport près du lycée pour faire de la musculation et du cardio. À l'accueil, on lui propose deux formules d'abonnement facturées au mois.
| Formule | Frais d'inscription | Prix par mois |
|---|---|---|
| « Liberté » | 0 € (aucun) | 30 € |
| « Engagement » | 90 € (une seule fois) | 15 € |
On note \(x\) le nombre de mois d'inscription. Le coût total payé est noté en euros.
📚 Cette activité réinvestit le cours §3 (méthode de résolution) et §4 (mise en équation), avec une équation du type \(ax=b\).
Pour quelle durée les deux formules coûtent-elles exactement le même prix ? Quelle offre Léa doit-elle choisir pour dix mois ?
Lire le Document 1, puis recopier et compléter : pour la formule « Liberté », il n'y a pas de frais d'inscription et chaque mois coûte … € ; pour la formule « Engagement », on paie d'abord … € puis … € par mois.
« Liberté » : pas de frais d'inscription, 30 € par mois.
« Engagement » : 90 € de frais d'inscription (une seule fois), puis 15 € par mois.
On note \(x\) le nombre de mois. Écrire avec \(x\) le coût total de chaque formule.
Coût « Liberté » : \(30x\) (euros).
Coût « Engagement » : \(15x + 90\) (euros).
Calculer le coût total de chaque formule pour 3 mois, puis pour 12 mois. Compléter le tableau.
| Durée | Liberté | Engagement |
|---|---|---|
| 3 mois | … € | … € |
| 12 mois | … € | … € |
3 mois : Liberté \(= 30 \times 3 = 90\) € ; Engagement \(= 15 \times 3 + 90 = 45 + 90 = 135\) €.
12 mois : Liberté \(= 30 \times 12 = 360\) € ; Engagement \(= 15 \times 12 + 90 = 180 + 90 = 270\) €.
Sur 3 mois « Liberté » est moins chère ; sur 12 mois c'est « Engagement » qui est moins chère.
Repérer sur le graphique une durée pour laquelle les deux coûts semblent exactement égaux. Expliquer ce que représente le croisement des deux tracés.
Les tracés semblent se croiser pour environ 6 mois. À cet endroit, une même durée correspond au même coût pour les deux formules. Cette lecture reste approchée et doit être vérifiée par une équation.
L'écart mensuel est de 15 €. Écrire l'équation qui traduit « cet écart compense exactement les 90 € de frais d'inscription », puis la résoudre.
L'écart mensuel est \(30-15=15\) €. Il doit compenser exactement les 90 € de frais fixes :
\[ 15x = 90 \]On divise les deux membres par 15 :
\[ x = \frac{90}{15} = 6 \]Les deux formules coûtent le même prix au bout de 6 mois.
Vérifier la solution trouvée en calculant le coût des deux formules pour 6 mois. Que vaut alors ce coût commun ?
Liberté : \(30 \times 6 = 180\) €.
Engagement : \(15 \times 6 + 90 = 90 + 90 = 180\) €.
Les deux coûts sont bien égaux à 180 € : la solution \(x = 6\) est vérifiée. C'est l'abscisse du point d'intersection des deux droites sur le graphique. ✔
Calculer séparément le prix des deux formules pour 3 mois, puis pour 10 mois. Indiquer l'offre la moins chère dans chacun de ces deux cas précis.
Pour 3 mois : Liberté coûte \(30\times3=90\) € et Engagement coûte \(15\times3+90=135\) €. Liberté est moins chère.
Pour 10 mois : Liberté coûte \(30\times10=300\) € et Engagement coûte \(15\times10+90=240\) €. Engagement est moins chère.
Léa compte s'entraîner toute l'année scolaire, soit environ 10 mois. Rédige en 3 ou 4 lignes le conseil que tu lui donnes, en justifiant par un calcul.
Pour 10 mois, la formule « Liberté » coûte \(30 \times 10 = 300\) € et la formule « Engagement » coûte \(15 \times 10 + 90 = 240\) €. La formule « Engagement » coûte donc 60 € de moins pour cette durée précise. Je conseille à Léa de la choisir pour son année scolaire.
La salle propose une 3e formule « Étudiant » : 60 € de frais d'inscription puis 20 € par mois. Pour quelle durée la formule « Étudiant » coûte-t-elle autant que la formule « Liberté » ?
L'écart mensuel est \(30-20=10\) €. L'équation est donc \(10x=60\).
\(x = 60 \div 10 = 6\) mois.
Vérification : Liberté \(= 30 \times 6 = 180\) € ; Étudiant \(= 20 \times 6 + 60 = 180\) €. ✔
Les deux formules coûtent le même prix au bout de 6 mois également.
Réponse à la problématique : les deux formules coûtent exactement 180 € pour 6 mois. Pour les dix mois prévus, « Engagement » coûte 240 € et « Liberté » 300 € : Léa choisit « Engagement ».
📚 Cette activité s'appuie sur §3 (méthode de résolution) et §4 (mise en équation) de la leçon Ch05.