Chapitre 5 – Équations du 1er degré | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Tom est apprenti dans une exploitation qui produit des sapins de Noël. Au moment de la plantation, les jeunes sapins mesurent 30 cm. Ils grandissent en moyenne de 25 cm par an. Pour être commercialisés à Noël, ils doivent atteindre une hauteur d'au moins 175 cm.
Si t désigne l'âge du sapin en années (à compter de la plantation) et H(t) sa hauteur en cm, on modélise :
H(t) = 30 + 25 × t
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (modélisation) et §4 (résolution d'une équation pour atteindre une cible).
Calculer la hauteur du sapin :
À 5 ans, le sapin est encore trop petit pour la commercialisation (155 < 175).
Pour atteindre la hauteur cible de 175 cm, écrire et résoudre l'équation correspondante.
30 + 25 × t = 175
25 × t = 175 − 30 = 145
t = 145 / 25 = 5,8 ans
Soit 5 ans et 0,8 × 12 = 9,6 mois ≈ 5 ans et 10 mois.
Tom plante les sapins en mars 2026. À quelle date pourra-t-il les commercialiser pour être prêt pour Noël ? L'arbre sera-t-il prêt pour le Noël 2031, ou faudra-t-il attendre Noël 2032 ?
Plantation : mars 2026. Maturité : mars 2026 + 5 ans 10 mois = janvier 2032.
Noël 2031 : 5 ans et 9 mois après plantation. Hauteur : 30 + 25 × 5,75 = 173,75 cm → presque 175 cm, à la limite.
Noël 2032 : 6 ans et 9 mois. Hauteur : 30 + 25 × 6,75 = 198,75 cm → trop grand !
Décision pro : commercialiser Noël 2031 en acceptant des sapins légèrement en-dessous de la cible (173 vs 175 cm), ou planter plus tôt l'année précédente.
Tom envisage d'utiliser un engrais qui ferait passer la croissance à 35 cm/an. Calculer le nouveau temps de croissance pour atteindre 175 cm.
Nouveau modèle : H(t) = 30 + 35 × t.
30 + 35 × t = 175 → 35 × t = 145 → t = 145 / 35 ≈ 4,14 ans ≈ 4 ans et 2 mois.
Économie : 5,8 − 4,14 ≈ 1,7 an de gain. Tom peut commercialiser presque 2 ans plus tôt.
L'engrais coûte 200 € pour 100 sapins. Tom vend ses sapins 35 € l'unité. Calculer le gain financier à commercialiser 100 sapins 2 ans plus tôt grâce à l'engrais. Cette dépense est-elle rentable ?
Coût engrais : 200 €.
Gain de trésorerie : 100 sapins × 35 € = 3 500 € encaissés 2 ans plus tôt.
Si Tom place ces 3 500 € sur un livret à 3 % par an pendant 2 ans : 3 500 × 1,03² = 3 500 × 1,0609 ≈ 3 713 €.
Coût d'opportunité gagné : 3 713 − 3 500 = 213 €.
Bilan : 213 € de gain pour 200 € de coût → opération marginalement rentable (+13 €).
Décision dépend aussi de :
Sur le graphique du document 2, déterminer graphiquement la valeur de t telle que H(t) = 175. Comparer avec le résultat calculé en question 2.
Sur le graphique, la droite passe par H = 175 à t ≈ 5,8 ans.
C'est cohérent avec le calcul (t = 5,8 ans). La méthode graphique permet une vérification rapide ; la méthode algébrique donne la valeur exacte.
Pro : utiliser les deux pour minimiser les erreurs.
Rédiger en 4-5 lignes un mémo professionnel pour le chef d'exploitation, résumant le planning de plantation pour avoir des sapins prêts à Noël 2031.
Mémo — Planning sapins Noël 2031
Cible commerciale : 175 cm. Croissance moyenne 25 cm/an. Hauteur initiale 30 cm. Modèle : H(t) = 30 + 25 t.
Pour atteindre 175 cm, il faut 5,8 années (~5 ans 10 mois). Plantation à effectuer en mars 2026 au plus tard pour une coupe en décembre 2031.
Option engrais (croissance 35 cm/an) : récolte possible à partir de mars 2030 (économie ~1,7 an). Coût 200 €/100 sapins, rentabilité marginale (+13 €). À envisager seulement si besoin de trésorerie immédiate.
Recommandation : plantation classique en mars 2026, sans engrais.
En réalité, la croissance d'un sapin n'est pas linéaire : elle est plus lente la 1ère année (10 cm), s'accélère ensuite (~30 cm/an pendant 4 ans), puis ralentit (15 cm/an au-delà de 5 ans). Calculer l'âge réel pour atteindre 175 cm avec ce modèle plus réaliste.
Année 1 : 30 + 10 = 40 cm.
Années 2-5 (4 ans à 30 cm/an) : 40 + 4 × 30 = 160 cm.
Reste à gagner : 175 − 160 = 15 cm. À 15 cm/an → encore 1 an supplémentaire.
Total : 1 + 4 + 1 = 6 ans.
Le modèle linéaire (5,8 ans) sous-estime légèrement la durée réelle. En pratique, prévoir 6 ans pour avoir une marge de sécurité.
Leçon : les modèles mathématiques sont des approximations utiles, mais à confronter à la réalité biologique.