Chapitre 5 – Équations du premier degré | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 09:40
Un chauffe-eau de 2 kW fonctionne pendant 4 heures. Consomme-t-il 0,5 kWh, 2 kWh ou 8 kWh d'énergie ?
8 kWh. L'énergie consommée est le produit de la puissance par la durée : \(\text{énergie} = \text{puissance} \times \text{temps} = 2 \times 4 = 8\) kWh. Attention à ne pas confondre la puissance (2 kW, « la force » de l'appareil) et l'énergie (8 kWh, ce que compte le compteur). C'est cette relation \(E = P \times t\) que nous allons utiliser tout au long de l'activité.
Léa entretient les installations de chauffage chez des particuliers. Un client l'appelle : il trouve sa facture d'électricité élevée et se demande quelle est la puissance réelle de son chauffe-eau électrique (le ballon d'eau chaude), une information qu'il ne retrouve plus sur l'appareil. Léa n'a pas de pince ampèremétrique sous la main, mais elle dispose du relevé du compteur Linky et de la facture du client. Elle décide de retrouver cette puissance… par le calcul.
La nuit, en heures creuses, le compteur mesure l'énergie de tout le logement. Cette énergie se partage entre deux ensembles : le chauffe-eau (qui se déclenche pour réchauffer le ballon) et les autres appareils laissés branchés (réfrigérateur, box internet, appareils en veille).
Quelle grandeur inconnue Léa cherche-t-elle ? Comment est-elle notée et dans quelle unité ? Rappelle la relation entre énergie, puissance et durée.
L'inconnue est la puissance du chauffe-eau, notée \(P\), exprimée en kilowatts (kW). La relation à utiliser est : \[ \text{énergie} = \text{puissance} \times \text{durée} \qquad\text{soit}\qquad E = P \times t, \] avec \(E\) en kWh, \(P\) en kW et \(t\) en heures.
Parmi l'énergie de la nuit, quelle part est fixe et quelle part dépend de la puissance du chauffe-eau ? Écris avec \(P\) l'énergie (en kWh) consommée par le chauffe-eau pendant ses 4 heures de fonctionnement.
Part fixe : les autres appareils, soit 2 kWh (ils consomment cette énergie quoi qu'il arrive). Part variable : le chauffe-eau. Son énergie vaut \(E = P \times t = P \times 4\), c'est-à-dire \(4P\) kWh (plus \(P\) est grand, plus il consomme).
Écris l'équation qui traduit « énergie du chauffe-eau + énergie des autres appareils = énergie totale de la nuit ». De quelle forme est-elle ?
\[ 4P + 2 = 10 \] C'est une équation du premier degré de la forme \(ax + b = c\), avec ici \(a = 4\), \(b = 2\) et \(c = 10\) (l'inconnue \(x\) est la puissance \(P\)).
Résous l'équation pour trouver la puissance \(P\) du chauffe-eau (détaille les étapes).
On isole d'abord le terme en \(P\), puis on divise par \(4\) : \[ 4P + 2 = 10 \] \[ 4P = 10 - 2 = 8 \] \[ P = \frac{8}{4} = 2 \] Le chauffe-eau a une puissance de \(P = 2\) kW.
Vérifie ta solution : remplace \(P\) par la valeur trouvée dans l'équation de départ. La puissance obtenue est-elle réaliste pour un chauffe-eau domestique ?
\[ 4 \times 2 + 2 = 8 + 2 = 10 \ \text{✔} \] On retrouve bien les 10 kWh mesurés : la solution \(P = 2\) kW est correcte. Une puissance de 2 kW est tout à fait réaliste pour un chauffe-eau électrique domestique (les modèles courants vont d'environ 1,5 kW à 2,4 kW).
Chez un autre client, le même modèle de chauffe-eau (\(P = 2\) kW) a consommé à lui seul 9 kWh en une nuit (valeur isolée par le compteur). En utilisant \(E = P \times t\), retrouve combien de temps il a chauffé.
On cherche cette fois la durée \(t\). L'équation est \(E = P \times t\), soit \(9 = 2 \times t\), c'est-à-dire \(2t = 9\) (forme \(ax = b\)) : \[ t = \frac{9}{2} = 4{,}5 \ \text{h}. \] Le chauffe-eau a fonctionné 4,5 h, soit 4 h 30 min. Remarque : une durée peut très bien être un nombre décimal (ici 4,5 h), contrairement à un nombre d'objets qui devrait être un entier.
Léa regarde maintenant la facture du mois du premier client. La part « chauffe-eau » y coûte 40,80 €, l'électricité en heures creuses étant facturée 0,17 € par kWh. Sur ce mois, le chauffe-eau a fonctionné 120 h au total.
a) Retrouve l'énergie (en kWh) consommée par le chauffe-eau ce mois-ci.
b) Déduis-en sa puissance. Retrouves-tu la même valeur qu'à la Question 4 ?
a) Le coût vaut « prix du kWh × énergie », donc \(0{,}17 \times E = 40{,}80\) (forme \(ax = b\)) :
\[ E = \frac{40{,}80}{0{,}17} = 240 \ \text{kWh}. \]
b) On utilise à nouveau \(E = P \times t\) avec \(t = 120\) h, soit \(120\,P = 240\) :
\[ P = \frac{240}{120} = 2 \ \text{kW}. \]
On retrouve bien 2 kW : c'est cohérent avec la Question 4. La facture du mois permet donc, elle aussi, de « retrouver la puissance » du chauffe-eau.
(Vérification de cohérence : 8 kWh par nuit × 30 nuits = 240 kWh, et 4 h par nuit × 30 = 120 h.)
Rédige 2 à 3 phrases expliquant la méthode de Léa : comment retrouver la puissance d'un appareil à partir de l'énergie mesurée (ou de la facture) ?
Exemple de rédaction : « J'appelle \(P\) la puissance cherchée. J'écris que l'énergie du chauffe-eau (P × durée) plus la part fixe des autres appareils égale l'énergie totale mesurée, ce qui donne l'équation \(4P + 2 = 10\). Je la résous en retirant d'abord la part fixe, puis en divisant par la durée : \(P = (10 - 2) \div 4 = 2\) kW. Je vérifie enfin en réinjectant la valeur, et je contrôle que la puissance obtenue est réaliste. »
a) On résout \(3t = 8\) (car \(E = P \times t\) avec \(E = 8\) kWh et \(P = 3\) kW) :
\[ t = \frac{8}{3} \approx 2{,}67 \ \text{h} = 2\,\text{h}\,40\,\text{min}. \]
Plus l'appareil est puissant, moins il fonctionne longtemps pour la même énergie.
b) Non : la facture ne change pas. Elle compte l'énergie (les kWh), pas la puissance. Or l'énergie reste \(8\) kWh, donc le coût reste \(8 \times 0{,}17 = 1{,}36\) € par nuit. C'est bien la preuve qu'il ne faut pas confondre puissance (kW) et énergie (kWh) !
Réponse à la problématique : pour retrouver la puissance d'un appareil, on la note \(P\), on écrit que « (P × durée) + énergie fixe = énergie totale », puis on résout l'équation du premier degré obtenue.
📚 §3 (résolution) et §4 (mise en équation) de la leçon Ch05.