Probabilités et fluctuation des fréquences — Seconde Bac Pro MAMA
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Pour chaque situation, donner l'univers \(\Omega\) :
a) On lance une pièce de monnaie : \(\Omega = \{...\;;\;...\}\)
b) On lance un dé à 6 faces : \(\Omega = \{...\;;\;...\;;\;...\;;\;...\;;\;...\;;\;...\}\)
c) On contrôle une pièce de bois (conforme ou défectueuse) : \(\Omega = \{...\;;\;...\}\)
a) \(\Omega = \{\text{Pile}\;;\;\text{Face}\}\)
b) \(\Omega = \{1\;;\;2\;;\;3\;;\;4\;;\;5\;;\;6\}\)
c) \(\Omega = \{\text{Conforme}\;;\;\text{Défectueuse}\}\)
On lance un dé équilibré à 6 faces.
a) Quelle est la probabilité d'obtenir un 3 ? \(P(3) = \dfrac{...}{6} = ...\)
b) Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair (2, 4 ou 6) ? \(P(\text{pair}) = \dfrac{...}{6} = ...\)
a) \(P(3) = \dfrac{1}{6} \approx \mathbf{0{,}17}\)
b) Issues favorables : \(\{2, 4, 6\}\), soit 3 issues. \(P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = \mathbf{0{,}5}\)
On lance une pièce 40 fois. On obtient Pile 18 fois.
a) Calculer la fréquence de Pile : \(f = \dfrac{18}{40} = ...\)
b) La probabilité théorique de Pile est 0,5. La fréquence observée est-elle proche ?
c) Est-ce normal que la fréquence ne soit pas exactement 0,5 ?
a) \(f = \dfrac{18}{40} = \mathbf{0{,}45}\) soit 45 %
b) La fréquence (0,45) est proche de la probabilité théorique (0,5), mais pas égale.
c) Oui, c'est normal. C'est la fluctuation des fréquences : avec un nombre limité d'expériences, la fréquence peut s'écarter de la probabilité théorique.
Un sac contient 3 boules rouges, 4 boules bleues et 1 boule verte.
a) Combien y a-t-il de boules en tout ? \(N = 3 + ... + ... = ...\)
b) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ? \(P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{...} = ...\)
c) Quelle est la probabilité de ne PAS tirer une boule rouge ?
a) \(N = 3 + 4 + 1 = \mathbf{8}\) boules
b) \(P(\text{rouge}) = \dfrac{3}{8} = \mathbf{0{,}375}\)
c) \(P(\overline{\text{rouge}}) = 1 - \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8} = \mathbf{0{,}625}\)
On lance un dé 10 fois puis 1 000 fois. Les fréquences d'obtenir un 6 sont :
| Nombre de lancers | 10 | 1 000 |
|---|---|---|
| Fréquence du 6 | 0,30 | 0,168 |
a) La probabilité théorique d'obtenir un 6 est \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\). Quelle fréquence est la plus proche ?
b) Pourquoi ? Compléter : « Plus le nombre d'expériences est ..., plus la fréquence se ... de la probabilité. »
a) La fréquence 0,168 (1 000 lancers) est la plus proche de 0,167.
b) « Plus le nombre d'expériences est grand, plus la fréquence se rapproche de la probabilité. » C'est la loi des grands nombres.
Barème : 20 points
Pour chaque situation, donner l'univers \(\Omega\) :
a) On tire une carte (rouge ou noire) dans un jeu : \(\Omega = \{...\;;\;...\}\)
b) On choisit un jour de la semaine ouvré (lundi à vendredi) : \(\Omega = \{...\;;\;...\;;\;...\;;\;...\;;\;...\}\)
c) On vérifie un panneau de bois (conforme ou non conforme) : \(\Omega = \{...\;;\;...\}\)
a) \(\Omega = \{\text{Rouge}\;;\;\text{Noire}\}\)
b) \(\Omega = \{\text{Lundi}\;;\;\text{Mardi}\;;\;\text{Mercredi}\;;\;\text{Jeudi}\;;\;\text{Vendredi}\}\)
c) \(\Omega = \{\text{Conforme}\;;\;\text{Non conforme}\}\)
Une boîte contient 10 vis numérotées de 1 à 10. On tire une vis au hasard.
a) Quelle est la probabilité de tirer la vis n°7 ? \(P(7) = \dfrac{...}{10} = ...\)
b) Quelle est la probabilité de tirer une vis portant un nombre impair (1, 3, 5, 7, 9) ? \(P(\text{impair}) = \dfrac{...}{10} = ...\)
a) \(P(7) = \dfrac{1}{10} = \mathbf{0{,}1}\)
b) Issues favorables : \(\{1, 3, 5, 7, 9\}\), soit 5 issues. \(P(\text{impair}) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} = \mathbf{0{,}5}\)
On lance un dé à 6 faces 50 fois. On obtient le 6 exactement 12 fois.
a) Calculer la fréquence du 6 : \(f = \dfrac{12}{50} = ...\)
b) La probabilité théorique du 6 est \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\). La fréquence observée est-elle proche ?
c) Est-ce normal que la fréquence ne soit pas exactement \(\dfrac{1}{6}\) ?
a) \(f = \dfrac{12}{50} = \mathbf{0{,}24}\) soit 24 %
b) La fréquence (0,24) est éloignée de la probabilité théorique (0,167).
c) Oui, c'est normal. C'est la fluctuation des fréquences : avec un nombre limité d'expériences, la fréquence peut s'écarter de la probabilité théorique.
Un tiroir contient 5 crayons bleus, 2 crayons rouges et 3 crayons verts.
a) Combien y a-t-il de crayons en tout ? \(N = 5 + ... + ... = ...\)
b) Quelle est la probabilité de tirer un crayon bleu ? \(P(\text{bleu}) = \dfrac{5}{...} = ...\)
c) Quelle est la probabilité de ne PAS tirer un crayon bleu ?
a) \(N = 5 + 2 + 3 = \mathbf{10}\) crayons
b) \(P(\text{bleu}) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} = \mathbf{0{,}5}\)
c) \(P(\overline{\text{bleu}}) = 1 - \dfrac{5}{10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} = \mathbf{0{,}5}\)
On lance une pièce 20 fois puis 2 000 fois. Les fréquences d'obtenir Pile sont :
| Nombre de lancers | 20 | 2 000 |
|---|---|---|
| Fréquence de Pile | 0,35 | 0,503 |
a) La probabilité théorique d'obtenir Pile est 0,5. Quelle fréquence est la plus proche ?
b) Pourquoi ? Compléter : « Plus le nombre d'expériences est ..., plus la fréquence se ... de la probabilité. »
a) La fréquence 0,503 (2 000 lancers) est la plus proche de 0,5.
b) « Plus le nombre d'expériences est grand, plus la fréquence se rapproche de la probabilité. » C'est la loi des grands nombres.
Barème : 20 points
Un atelier de menuiserie contrôle 250 pièces en sortie de machine. 15 pièces sont défectueuses.
a) Calculer la fréquence de défaut.
b) Estimer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse.
c) Sur une commande de 800 pièces, combien de pièces défectueuses peut-on estimer ?
a) \(f = \dfrac{15}{250} = \mathbf{0{,}06}\) soit 6 %
b) On estime \(P(\text{défectueuse}) \approx 0{,}06\) soit environ 6 %.
c) Estimation : \(800 \times 0{,}06 = \mathbf{48}\) pièces défectueuses
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes (8 cartes par couleur : pique, cœur, carreau, trèfle).
a) Quelle est la probabilité de tirer un cœur ?
b) Quelle est la probabilité de tirer un roi ?
c) Quelle est la probabilité de ne PAS tirer un roi ?
a) Il y a 8 cœurs sur 32 cartes : \(P(\text{cœur}) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} = \mathbf{0{,}25}\)
b) Il y a 4 rois : \(P(\text{roi}) = \dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8} = \mathbf{0{,}125}\)
c) \(P(\overline{\text{roi}}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8} = \mathbf{0{,}875}\)
Un artisan menuisier lance un dé équilibré à 6 faces pour attribuer les tâches de la journée.
Calculer les probabilités des événements suivants :
a) \(A\) = « obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 »
b) \(B\) = « obtenir un nombre inférieur à 3 »
c) \(C\) = « obtenir un multiple de 3 »
d) \(\bar{C}\) = événement contraire de \(C\)
a) \(A = \{5, 6\}\), 2 issues favorables : \(P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx \mathbf{0{,}33}\)
b) \(B = \{1, 2\}\), 2 issues : \(P(B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx \mathbf{0{,}33}\)
c) \(C = \{3, 6\}\), 2 issues : \(P(C) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx \mathbf{0{,}33}\)
d) \(P(\bar{C}) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3} \approx \mathbf{0{,}67}\)
Cinq groupes d'élèves lancent chacun une pièce 50 fois et notent la fréquence de Pile :
| Groupe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence de Pile | 0,44 | 0,52 | 0,48 | 0,56 | 0,50 |
a) Les fréquences sont-elles toutes identiques ? Est-ce normal ?
b) Autour de quelle valeur les fréquences fluctuent-elles ?
c) Si chaque groupe avait fait 10 000 lancers, les fréquences seraient-elles plus proches ou plus éloignées de 0,5 ?
a) Non, les fréquences varient entre 0,44 et 0,56. C'est normal : c'est la fluctuation des fréquences.
b) Les fréquences fluctuent autour de 0,5 (la probabilité théorique de Pile).
c) Avec 10 000 lancers, les fréquences seraient plus proches de 0,5. C'est la loi des grands nombres : plus le nombre d'expériences est grand, moins la fluctuation est importante.
Un fabricant de meubles sait que 4 % de sa production présente un défaut. Il produit 500 meubles.
a) Combien de meubles défectueux peut-on estimer ?
b) Si un client achète un meuble au hasard, quelle est la probabilité qu'il soit conforme ?
a) Estimation : \(500 \times 0{,}04 = \mathbf{20}\) meubles défectueux
b) \(P(\text{conforme}) = 1 - 0{,}04 = \mathbf{0{,}96}\) soit 96 %
Barème : 20 points
Un artisan menuisier découpe 300 tasseaux dans la journée. Le contrôle en fin de journée révèle que 21 tasseaux sont hors cotes.
a) Calculer la fréquence de défaut.
b) Estimer la probabilité qu'un tasseau soit hors cotes.
c) Sur une production de 1 200 tasseaux, combien peut-on estimer de pièces hors cotes ?
a) \(f = \dfrac{21}{300} = \mathbf{0{,}07}\) soit 7 %
b) On estime \(P(\text{hors cotes}) \approx 0{,}07\) soit environ 7 %.
c) Estimation : \(1\,200 \times 0{,}07 = \mathbf{84}\) tasseaux hors cotes
Un sac contient 5 jetons rouges, 3 jetons bleus et 2 jetons jaunes. On tire un jeton au hasard.
a) Quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge ?
b) Quelle est la probabilité de tirer un jeton bleu ?
c) Quelle est la probabilité de ne PAS tirer un jeton jaune ?
a) Il y a 5 rouges sur 10 jetons : \(P(\text{rouge}) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} = \mathbf{0{,}5}\)
b) Il y a 3 bleus : \(P(\text{bleu}) = \dfrac{3}{10} = \mathbf{0{,}3}\)
c) \(P(\overline{\text{jaune}}) = 1 - \dfrac{2}{10} = \dfrac{8}{10} = \mathbf{0{,}8}\)
Un métreur numérote ses plans de 1 à 8 et en choisit un au hasard pour le vérifier.
Calculer les probabilités des événements suivants :
a) \(A\) = « obtenir un nombre pair »
b) \(B\) = « obtenir un nombre supérieur ou égal à 6 »
c) \(C\) = « obtenir un multiple de 4 »
d) \(\bar{C}\) = événement contraire de \(C\)
a) \(A = \{2, 4, 6, 8\}\), 4 issues favorables : \(P(A) = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2} = \mathbf{0{,}5}\)
b) \(B = \{6, 7, 8\}\), 3 issues : \(P(B) = \dfrac{3}{8} = \mathbf{0{,}375}\)
c) \(C = \{4, 8\}\), 2 issues : \(P(C) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} = \mathbf{0{,}25}\)
d) \(P(\bar{C}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4} = \mathbf{0{,}75}\)
Quatre équipes d'élèves lancent chacune un dé 60 fois et notent la fréquence du 1 :
| Équipe | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Fréquence du 1 | 0,20 | 0,15 | 0,12 | 0,22 |
a) Les fréquences sont-elles toutes identiques ? Est-ce normal ?
b) Autour de quelle valeur les fréquences fluctuent-elles ?
c) Si chaque équipe avait fait 5 000 lancers, les fréquences seraient-elles plus proches ou plus éloignées de \(\dfrac{1}{6}\) ?
a) Non, les fréquences varient entre 0,12 et 0,22. C'est normal : c'est la fluctuation des fréquences.
b) Les fréquences fluctuent autour de \(\dfrac{1}{6} \approx \mathbf{0{,}167}\) (la probabilité théorique du 1).
c) Avec 5 000 lancers, les fréquences seraient plus proches de \(\dfrac{1}{6}\). C'est la loi des grands nombres : plus le nombre d'expériences est grand, moins la fluctuation est importante.
Un poseur de cuisines sait que 3 % des charnières livrées présentent un défaut. Il reçoit 400 charnières.
a) Combien de charnières défectueuses peut-on estimer ?
b) Si le poseur prend une charnière au hasard, quelle est la probabilité qu'elle soit conforme ?
a) Estimation : \(400 \times 0{,}03 = \mathbf{12}\) charnières défectueuses
b) \(P(\text{conforme}) = 1 - 0{,}03 = \mathbf{0{,}97}\) soit 97 %
Barème : 20 points
Un lot de 80 planches contient des planches de trois qualités : A (première qualité), B (standard) et C (avec défaut). On tire une planche au hasard.
On sait que \(P(A) = 0{,}45\) et \(P(B) = 0{,}40\).
a) Calculer \(P(C)\).
b) Combien de planches de chaque qualité contient le lot ?
c) Quelle est la probabilité de tirer une planche sans défaut (qualité A ou B) ?
a) \(P(A) + P(B) + P(C) = 1\), donc \(P(C) = 1 - 0{,}45 - 0{,}40 = \mathbf{0{,}15}\)
b) Planches A : \(80 \times 0{,}45 = \mathbf{36}\). Planches B : \(80 \times 0{,}40 = \mathbf{32}\). Planches C : \(80 \times 0{,}15 = \mathbf{12}\).
Vérification : \(36 + 32 + 12 = 80\) ✔
c) \(P(\text{A ou B}) = P(A) + P(B) = 0{,}45 + 0{,}40 = \mathbf{0{,}85}\) soit 85 %
Un menuisier agenceur reçoit un lot de 120 vis. Il en contrôle 40 et en trouve 3 défectueuses.
a) Calculer la fréquence de vis défectueuses dans l'échantillon.
b) Estimer le nombre total de vis défectueuses dans le lot de 120.
c) Le fournisseur garantit un taux de défaut inférieur à 5 %. La garantie est-elle respectée ?
d) Pourquoi cette estimation n'est-elle pas certaine ? Quel concept justifie cette incertitude ?
a) \(f = \dfrac{3}{40} = \mathbf{0{,}075}\) soit 7,5 %
b) Estimation : \(120 \times 0{,}075 = \mathbf{9}\) vis défectueuses
c) Le taux observé (7,5 %) est supérieur à la garantie (5 %). La garantie ne semble pas respectée.
d) Cette estimation est incertaine à cause de la fluctuation des fréquences. L'échantillon de 40 vis ne représente qu'un tiers du lot. Le taux réel pourrait être différent de 7,5 %. Pour être plus précis, il faudrait contrôler un échantillon plus grand.
On lance simultanément deux dés équilibrés à 6 faces. On s'intéresse à la somme des deux dés.
a) Combien y a-t-il d'issues au total ? (Chaque dé donne un résultat indépendant.)
b) Lister toutes les façons d'obtenir une somme de 7.
c) Calculer \(P(\text{somme} = 7)\).
a) \(6 \times 6 = \mathbf{36}\) issues au total
b) Somme = 7 : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 issues favorables
c) \(P(\text{somme} = 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6} \approx \mathbf{0{,}167}\)
Un chef d'atelier observe les résultats de contrôle qualité sur plusieurs semaines :
| Semaine | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Pièces contrôlées | 50 | 50 | 100 | 200 | 500 | 1 000 |
| Pièces défectueuses | 6 | 2 | 9 | 17 | 39 | 81 |
a) Calculer la fréquence de défaut pour chaque semaine.
b) Que constate-t-on quand le nombre de pièces contrôlées augmente ?
a) Fréquences :
| Semaine | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence | 0,120 | 0,040 | 0,090 | 0,085 | 0,078 | 0,081 |
b) Quand le nombre de pièces augmente, la fréquence se stabilise autour de 0,08 (environ 8 %). Les premières semaines (petits échantillons) montrent une forte fluctuation (entre 0,04 et 0,12), tandis que les semaines avec beaucoup de pièces donnent des fréquences proches de 8 %. C'est la loi des grands nombres.
Un élève affirme : « J'ai lancé une pièce 5 fois et j'ai obtenu Pile à chaque fois. Donc la pièce n'est pas équilibrée. »
a) Cette conclusion est-elle justifiée ? Pourquoi ?
b) Calculer la probabilité d'obtenir 5 Pile de suite avec une pièce équilibrée : \(P = \left(\dfrac{1}{2}\right)^5\).
c) Que faudrait-il faire pour vérifier si la pièce est vraiment truquée ?
a) Non, cette conclusion n'est pas justifiée. Avec seulement 5 lancers, la fluctuation est importante et obtenir 5 Pile de suite est improbable mais pas impossible avec une pièce équilibrée.
b) \(P = \left(\dfrac{1}{2}\right)^5 = \dfrac{1}{32} \approx \mathbf{0{,}031}\) soit environ 3,1 %
C'est rare (3,1 %) mais pas impossible.
c) Il faudrait lancer la pièce un très grand nombre de fois (par exemple 1 000 fois) et vérifier si la fréquence de Pile reste éloignée de 0,5. Si la fréquence se stabilise autour de 0,5, la pièce est probablement équilibrée.
Barème : 20 points
Un lot de 60 panneaux de bois contient des panneaux de trois catégories : S (supérieur), N (normal) et D (déclassé). On prélève un panneau au hasard.
On sait que \(P(S) = 0{,}35\) et \(P(N) = 0{,}50\).
a) Calculer \(P(D)\).
b) Combien de panneaux de chaque catégorie contient le lot ?
c) Quelle est la probabilité de tirer un panneau de bonne qualité (catégorie S ou N) ?
a) \(P(S) + P(N) + P(D) = 1\), donc \(P(D) = 1 - 0{,}35 - 0{,}50 = \mathbf{0{,}15}\)
b) Panneaux S : \(60 \times 0{,}35 = \mathbf{21}\). Panneaux N : \(60 \times 0{,}50 = \mathbf{30}\). Panneaux D : \(60 \times 0{,}15 = \mathbf{9}\).
Vérification : \(21 + 30 + 9 = 60\) ✔
c) \(P(\text{S ou N}) = P(S) + P(N) = 0{,}35 + 0{,}50 = \mathbf{0{,}85}\) soit 85 %
Un installateur d'agencement reçoit un carton de 150 poignées de porte. Il en vérifie 50 et en trouve 4 avec un défaut de finition.
a) Calculer la fréquence de poignées défectueuses dans l'échantillon.
b) Estimer le nombre total de poignées défectueuses dans le carton de 150.
c) Le fabricant garantit un taux de défaut inférieur à 6 %. La garantie est-elle respectée ?
d) Pourquoi cette estimation n'est-elle pas certaine ? Quel concept justifie cette incertitude ?
a) \(f = \dfrac{4}{50} = \mathbf{0{,}08}\) soit 8 %
b) Estimation : \(150 \times 0{,}08 = \mathbf{12}\) poignées défectueuses
c) Le taux observé (8 %) est supérieur à la garantie (6 %). La garantie ne semble pas respectée.
d) Cette estimation est incertaine à cause de la fluctuation des fréquences. L'échantillon de 50 poignées ne représente qu'un tiers du carton. Le taux réel pourrait être différent de 8 %. Pour être plus précis, il faudrait contrôler un échantillon plus grand.
On lance simultanément deux dés équilibrés à 6 faces. On s'intéresse à la somme des deux dés.
a) Combien y a-t-il d'issues au total ?
b) Lister toutes les façons d'obtenir une somme de 9.
c) Calculer \(P(\text{somme} = 9)\).
a) \(6 \times 6 = \mathbf{36}\) issues au total
b) Somme = 9 : (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) → 4 issues favorables
c) \(P(\text{somme} = 9) = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9} \approx \mathbf{0{,}111}\)
Un responsable qualité dans une fabrique de mobilier note le nombre de retouches nécessaires sur plusieurs mois :
| Mois | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Meubles produits | 40 | 60 | 80 | 150 | 400 | 800 |
| Meubles à retoucher | 8 | 3 | 6 | 14 | 37 | 72 |
a) Calculer la fréquence de retouche pour chaque mois.
b) Que constate-t-on quand le nombre de meubles produits augmente ?
a) Fréquences :
| Mois | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence | 0,200 | 0,050 | 0,075 | 0,093 | 0,093 | 0,090 |
b) Quand le nombre de meubles augmente, la fréquence se stabilise autour de 0,09 (environ 9 %). Les premiers mois (petites productions) montrent une forte fluctuation (entre 0,05 et 0,20), tandis que les mois avec beaucoup de meubles donnent des fréquences proches de 9 %. C'est la loi des grands nombres.
Un élève affirme : « J'ai lancé un dé 4 fois et je n'ai jamais obtenu de 6. Donc il est impossible d'obtenir un 6 avec ce dé. »
a) Cette conclusion est-elle justifiée ? Pourquoi ?
b) Calculer la probabilité de ne pas obtenir de 6 en 4 lancers avec un dé équilibré : \(P = \left(\dfrac{5}{6}\right)^4\).
c) Que faudrait-il faire pour vérifier si le dé est truqué ?
a) Non, cette conclusion n'est pas justifiée. Avec seulement 4 lancers, la fluctuation est très importante. Ne pas obtenir de 6 en 4 lancers est en fait assez courant, même avec un dé équilibré.
b) \(P = \left(\dfrac{5}{6}\right)^4 = \dfrac{625}{1296} \approx \mathbf{0{,}482}\) soit environ 48,2 %
C'est très fréquent (presque une chance sur deux) : cela ne prouve rien.
c) Il faudrait lancer le dé un très grand nombre de fois (par exemple 1 000 fois) et vérifier si la fréquence du 6 reste éloignée de \(\dfrac{1}{6}\). Si la fréquence se stabilise autour de \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\), le dé est probablement équilibré.