Probabilités | Seconde Bac Pro MAMA | Mathématiques
Capacités et connaissances du programme :
C1 — Identifier une expérience aléatoire ; définir l'univers et ses issues
C2 — Définir un événement ; calculer sa probabilité (équiprobabilité)
C3 — Utiliser les règles de calcul : événement contraire, réunion, intersection
C4 — Distinguer fréquence observée et probabilité théorique
C5 — Comprendre et illustrer la stabilisation des fréquences (loi des grands nombres)
C6 — Dénombrer à l'aide d'un arbre ou d'un tableau à double entrée
C1 — Identifier une expérience aléatoire, définir l'univers
Rappel de cours
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat à l'avance. L'ensemble de tous les résultats possibles est l'univers \(\Omega\). Chaque résultat élémentaire est une issue. Un événement est un sous-ensemble de \(\Omega\).
Exercice 1
Pour chaque situation, indiquer si c'est une expérience aléatoire et, si oui, écrire l'univers \(\Omega\) :
On tire une carte dans un jeu de 4 cartes numérotées 1, 2, 3, 4.
On mesure la longueur d'un litteau taillé à exactement 200 cm.
On choisit au hasard une pièce dans un lot de 5 pièces : 3 conformes (C) et 2 défectueuses (D).
Oui — \(\Omega = \{1, 2, 3, 4\}\)
Non — si la machine est parfaitement réglée, le résultat est certain (200 cm) : pas d'aléatoire.
Oui — \(\Omega = \{C_1, C_2, C_3, D_1, D_2\}\) (ou simplement \(\{C, D\}\) si on ne distingue pas les pièces)
Exercice 2
On lance un dé équilibré à 6 faces. Écrire l'univers, puis lister les issues de l'événement A « obtenir un nombre pair » et de l'événement B « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 ».
Un lot de 20 vis comprend 5 de type A, 8 de type B et 7 de type C. On tire une vis au hasard. Écrire l'univers et l'événement « tirer une vis de type B ou C ».
\(\Omega = \{A, B, C\}\) (avec effectifs respectifs 5, 8, 7 — total 20)
Événement « B ou C » = \(\{B, C\}\), il regroupe \(8 + 7 = 15\) issues sur 20.
C2 — Calculer la probabilité d'un événement (équiprobabilité)
Rappel de cours
En situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même probabilité) : \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}\). La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1, et \(P(\Omega) = 1\).
Exercice 4
On tire au hasard une carte parmi 10 cartes numérotées de 1 à 10 (équiprobabilité). Calculer :
\(P(\text{tirer le } 7)\)
\(P(\text{tirer un nombre pair})\)
\(P(\text{tirer un nombre supérieur à 7})\)
En équiprobabilité : \(P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}\)
Un lot de 50 panneaux comporte 40 conformes et 10 défectueux. On prélève un panneau au hasard. Calculer la probabilité de tirer un panneau conforme et celle de tirer un panneau défectueux.
On lance deux pièces de monnaie équilibrées. Lister les 4 issues possibles de l'univers, puis calculer la probabilité d'obtenir exactement une face (F).
Événement contraire : \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). Réunion (A ou B) : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Si A et B sont incompatibles (ne peuvent pas se produire ensemble) : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Exercice 7
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. On sait que \(P(\text{cœur}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\). Calculer \(P(\overline{\text{cœur}})\) (événement contraire : ne pas tirer un cœur).
Dans un lot de 100 pièces : 70 sont conformes (C), 20 ont un défaut de surface (DS) et 10 ont un défaut de forme (DF). Ces catégories sont incompatibles (une pièce ne peut avoir qu'un seul type de défaut).
Calculer \(P(\text{DS})\) et \(P(\text{DF})\).
Calculer \(P(\text{DS ou DF})\) = probabilité d'avoir un défaut.
Calculer \(P(\text{C})\) par l'événement contraire.
La probabilité qu'une livraison soit en retard est 0,15. La probabilité qu'une livraison soit incomplète est 0,10. La probabilité qu'elle soit à la fois en retard ET incomplète est 0,04.
Calculer la probabilité qu'elle soit en retard OU incomplète.
Calculer la probabilité qu'elle soit parfaite (ni retard, ni incomplète).
La fréquence observée d'un événement est \(f = \frac{\text{nombre d'apparitions}}{\text{nombre d'expériences}}\). Elle est calculée à partir d'une expérience réelle. La probabilité théorique est la valeur exacte attendue (modèle). Fréquence et probabilité ne sont généralement pas égales, mais la fréquence se rapproche de la probabilité quand le nombre d'expériences augmente.
Exercice 10
On lance un dé équilibré 60 fois et on obtient le résultat suivant :
Face
1
2
3
4
5
6
Nb de sorties
8
11
9
12
10
10
Calculer la fréquence observée de chaque face.
Quelle est la probabilité théorique d'obtenir chaque face ?
Les fréquences observées sont-elles égales aux probabilités ? Pourquoi ?
Probabilité théorique de chaque face : \(\frac{1}{6} \approx 0{,}167\) (dé équilibré)
Non, elles ne sont pas exactement égales : avec 60 lancers, il existe une fluctuation aléatoire. En augmentant le nombre de lancers, les fréquences se rapprocheraient de \(\frac{1}{6}\).
Exercice 11
Un contrôleur observe que sur 200 pièces vérifiées, 14 sont défectueuses. Estimer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse. Comparer avec la norme de l'atelier qui exige un taux de défaut inférieur à 5 %.
Fréquence observée : \(\frac{14}{200} = 0{,}07 = 7\%\)
La fréquence dépasse 5 % → l'atelier ne respecte pas la norme. Il faut investiguer les causes de défaut.
C5 — Stabilisation des fréquences (loi des grands nombres)
À retenir
La loi des grands nombres affirme que plus on répète une expérience aléatoire, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique. Avec un petit échantillon, les fréquences fluctuent beaucoup ; avec un grand échantillon, elles se stabilisent autour de la probabilité.
Exercice 12
On lance une pièce de monnaie équilibrée et on note la fréquence de « pile » après chaque lancer. Voici les résultats :
Nb de lancers
5
10
20
50
100
1000
Fréquence de pile
0,80
0,60
0,55
0,52
0,49
0,502
Fréquence de « pile » en fonction du nombre de lancers
Quelle est la probabilité théorique d'obtenir pile ?
Décrire la tendance de la fréquence quand le nombre de lancers augmente.
La fréquence oscille beaucoup au début (0,80 pour 5 lancers) puis se rapproche de 0,5 au fur et à mesure que le nombre de lancers augmente. C'est la stabilisation des fréquences (loi des grands nombres).
Exercice 13
Un technicien vérifie des pièces sorties d'une machine. Il note s'il y a un défaut (D) ou non (N). Sur les 5 premières pièces : N, D, N, N, N → fréquence de défaut = 1/5 = 20 %. Sur 100 pièces au total, il observe 8 défauts.
Calculer la fréquence de défaut sur 100 pièces.
Quelle valeur estime-t-on comme probabilité de tirer une pièce défectueuse ?
Pourquoi la fréquence sur 5 pièces était-elle peu fiable ?
Fréquence = \(\frac{8}{100} = 0{,}08 = 8\%\)
On estime \(P(\text{défaut}) \approx 0{,}08\) (8 %) à partir de cet échantillon.
Avec seulement 5 pièces, un seul défaut suffit à donner une fréquence de 20 %, très éloignée de la vraie probabilité. L'estimation est instable avec un petit échantillon.
Exercice 14
La probabilité qu'une couleur de peinture soit mal mélangée est estimée à 0,03 (3 %). Sur une série de 10 pots, on n'en observe aucun mal mélangé. Est-ce surprenant ? Comment améliorer l'estimation de la probabilité ?
Non, ce n'est pas surprenant : avec \(p = 0{,}03\) et \(n = 10\), on s'attend à \(0{,}03 \times 10 = 0{,}3\) pot défectueux en moyenne → il est tout à fait possible de n'en observer aucun sur seulement 10 pots.
Pour améliorer l'estimation : il faut augmenter la taille de l'échantillon (100, 500, 1000 pots), car la fréquence se stabilise autour de la vraie probabilité quand \(n\) est grand.
C6 — Dénombrer à l'aide d'un arbre ou d'un tableau à double entrée
Rappel de cours
Pour dénombrer les issues d'une expérience aléatoire composée de plusieurs étapes, on peut utiliser un arbre (chaque branche = une issue à chaque étape) ou un tableau à double entrée (chaque case = un couple d'issues). Le nombre total d'issues est le nombre de chemins (arbre) ou de cases (tableau).
Exercice 15
Un menuisier choisit au hasard une essence de bois (chêne, hêtre, pin) et une finition (vernis, huile). Construire un arbre pour lister toutes les combinaisons possibles.
Dessiner l'arbre des possibilités.
Combien y a-t-il d'issues au total ?
Quelle est la probabilité de choisir « chêne + huile » (équiprobabilité) ?
Indice : 3 essences × 2 finitions. Dessiner l'arbre dans la zone ci-dessous.
a) Arbre des possibilités :
b) Nombre total d'issues : \(3 \times 2 = \mathbf{6}\).
c) \(P(\text{chêne + huile}) = \dfrac{1}{6}\).
Exercice 16
On lance un dé à 6 faces et une pièce de monnaie. Construire un tableau à double entrée pour lister toutes les issues.
Indice : le tableau a 6 lignes (résultats du dé) et 2 colonnes (Pile / Face). Dessiner le tableau vide et le compléter.
Combien y a-t-il d'issues au total ?
Calculer \(P(\text{obtenir un nombre pair ET Pile})\).