C1 — Identifier une expérience aléatoire et décrire son univers
C2 — Calculer la probabilité d’un événement en situation d’équiprobabilité
C3 — Événement contraire, réunion et intersection
C4 — Comparer une fréquence observée à une probabilité théorique
C5 — Estimer la probabilité d’un événement à partir des fréquences : stabilisation et loi des grands nombres
C6 — Dénombrer à l’aide d’un arbre ou d’un tableau à double entrée
C7 — Observer la fluctuation d’échantillonnage : simuler des échantillons de taille n et déterminer l’étendue des fréquences
Les codes sont ceux du cours PDF du chapitre ; ce ne sont pas des codes officiels. Pour aller plus loin (hors programme de Seconde) : la formule \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\), travaillée à l’exercice 9.
C1 — Identifier une expérience aléatoire et décrire son univers
Rappel de cours
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude, mais dont on connaît à l'avance tous les résultats possibles. Chaque résultat possible est une issue. L'ensemble de toutes les issues forme l'univers \(\Omega\). On compte les issues, pas les objets : 60 vis de quatre diamètres ne donnent que quatre issues.
Exercice 1
Pour chaque situation, indiquer si c'est une expérience aléatoire et, si oui, écrire l'univers \(\Omega\) :
On tire une carte dans un jeu de 4 cartes numérotées 1, 2, 3, 4.
On branche une lampe LED en bon état sur une prise alimentée et on regarde si elle s'allume.
On choisit au hasard une pièce dans un lot de 5 pièces : 3 conformes (C) et 2 défectueuses (D).
Oui — \(\Omega = \{1, 2, 3, 4\}\)
Non — le résultat est certain : la lampe s'allume. Il n'y a pas de hasard.
Oui — \(\Omega = \{C_1, C_2, C_3, D_1, D_2\}\) (ou simplement \(\{C, D\}\) si on ne distingue pas les pièces)
Exercice 2
On lance un dé équilibré à 6 faces. Écrire l'univers, puis lister les issues de l'événement A « obtenir un nombre pair » et de l'événement B « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 ».
Un lot de 20 vis comprend 5 de type A, 8 de type B et 7 de type C. On tire une vis au hasard et on note son type.
Écrire l'univers et donner son nombre d'issues.
Un camarade affirme que l'univers compte 20 issues. Expliquer son erreur.
On note le type : \(\Omega = \{A\,;\,B\,;\,C\}\), soit 3 issues.
Il a compté les vis, pas les résultats possibles : les 20 vis ne donnent que trois types. Les 20 vis serviront à calculer une probabilité, car les trois types ne sont pas également représentés (5, 8 et 7 vis) : les trois issues ne sont pas équiprobables.
C2 — Calculer la probabilité d’un événement en situation d’équiprobabilité
Rappel de cours
En situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même probabilité) : \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}\). La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1, et \(P(\Omega) = 1\). Pour l'événement contraire : \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\).
Exercice 4
On tire au hasard une carte parmi 10 cartes numérotées de 1 à 10 (équiprobabilité). Calculer :
\(P(\text{tirer le } 7)\)
\(P(\text{tirer un nombre pair})\)
\(P(\text{tirer un nombre supérieur à 7})\)
En équiprobabilité : \(P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}\)
Un lot de 50 panneaux comporte 40 conformes et 10 défectueux. On prélève un panneau au hasard. Calculer la probabilité de tirer un panneau conforme et celle de tirer un panneau défectueux.
On lance deux pièces de monnaie équilibrées. Lister les 4 issues possibles de l'univers, puis calculer la probabilité d'obtenir exactement une face (F).
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. On sait que \(P(\text{cœur}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\). Calculer \(P(\overline{\text{cœur}})\) (événement contraire : ne pas tirer un cœur).
Soit \(A\) et \(B\) deux événements. Le contraire \(\bar{A}\) contient les issues qui ne sont pas dans \(A\) : « \(A\) ne se réalise pas ». La réunion \(A \cup B\) contient les issues de \(A\) ou de \(B\) : « au moins l'un des deux ». L'intersection \(A \cap B\) contient les issues qui sont dans \(A\) et dans \(B\) : « les deux à la fois ».
Pour aller plus loin (hors programme de Seconde) : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). On retire \(P(A \cap B)\), sinon les issues communes seraient comptées deux fois.
Exercice 8
On lance un dé équilibré à six faces : \(\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}\). On note \(A\) : « obtenir un nombre impair » et \(B\) : « obtenir un nombre inférieur ou égal à 2 ».
Écrire \(A\) et \(B\) en extension.
Écrire \(\bar{A}\), \(A \cap B\) et \(A \cup B\) en extension.
Traduire \(A \cup B\) par une phrase.
\(A = \{1\,;\,3\,;\,5\}\) et \(B = \{1\,;\,2\}\).
\(\bar{A} = \{2\,;\,4\,;\,6\}\) : les issues qui ne sont pas dans \(A\).
\(A \cap B = \{1\}\) : la seule issue à la fois impaire et inférieure ou égale à 2.
\(A \cup B = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,5\}\) : les issues de \(A\) ou de \(B\). L'issue 1, commune aux deux, ne s'écrit qu'une fois.
\(A \cup B\) : « obtenir un nombre impair ou un nombre inférieur ou égal à 2 », c'est-à-dire au moins l'une des deux conditions.
Exercice 8 bis
Un contrôleur prélève une pièce au hasard. On note \(L\) : « la longueur est conforme » et \(D\) : « le diamètre est conforme ».
Écrire chaque événement à l'aide de \(L\), de \(D\) et des symboles \(\cup\), \(\cap\) ou de la barre du contraire :
« la pièce est conforme sur les deux critères » ;
« la longueur n'est pas conforme » ;
« la pièce est conforme sur au moins un des deux critères ».
Traduire par une phrase l'événement \(\bar{D}\), puis l'événement \(L \cap \bar{D}\).
« Conforme sur les deux critères » : les deux à la fois, donc \(L \cap D\).
« La longueur n'est pas conforme » : c'est le contraire de \(L\), donc \(\bar{L}\).
« Conforme sur au moins un des deux critères » : \(L \cup D\).
\(\bar{D}\) : « le diamètre n'est pas conforme ».
\(L \cap \bar{D}\) : « la longueur est conforme et le diamètre n'est pas conforme ».
Repère : « et », « à la fois » → intersection ; « ou », « au moins l'un » → réunion ; « ne … pas » → contraire.
Exercice 9 — Pour aller plus loin
Cet exercice utilise la formule de la réunion, qui n'est pas au programme de Seconde.
La probabilité qu'une livraison soit en retard est 0,15. La probabilité qu'une livraison soit incomplète est 0,10. La probabilité qu'elle soit à la fois en retard ET incomplète est 0,04.
Calculer la probabilité qu'elle soit en retard OU incomplète.
Calculer la probabilité qu'elle soit parfaite (ni retard, ni incomplète).
Les deux problèmes peuvent se produire ensemble : on retire l'intersection, sinon elle serait comptée deux fois. \(P(\text{retard} \cup \text{incomplet}) = 0{,}15 + 0{,}10 - 0{,}04 = \mathbf{0{,}21}\)
C4 — Comparer une fréquence observée à une probabilité théorique
Rappel de cours
La fréquence observée d'un événement est \(f = \frac{\text{nombre d'apparitions}}{\text{nombre d'expériences}}\). Elle est calculée à partir d'une expérience. La probabilité est une valeur du modèle. Fréquence et probabilité ne sont généralement pas égales, mais la fréquence tend à se stabiliser autour de la probabilité quand le nombre d'expériences augmente.
Exercice 10
On lance un dé équilibré 60 fois et on obtient le résultat suivant :
Face
1
2
3
4
5
6
Nb de sorties
8
11
9
12
10
10
Calculer la fréquence observée de chaque face.
Quelle est la probabilité théorique d'obtenir chaque face ?
Les fréquences observées sont-elles égales aux probabilités ? Pourquoi ?
Probabilité théorique de chaque face : \(\frac{1}{6} \approx 0{,}167\) (dé équilibré)
Non, elles ne sont pas exactement égales : avec 60 lancers, il existe une fluctuation aléatoire. En augmentant le nombre de lancers, les fréquences se rapprocheraient de \(\frac{1}{6}\).
Exercice 11
Un contrôleur observe que sur 240 pièces vérifiées, 18 sont défectueuses. Estimer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse. Comparer avec la norme de l'atelier qui exige un taux de défaut inférieur à 5 %.
Fréquence observée : \(\frac{18}{240} = 0{,}075 = 7{,}5\%\)
La fréquence dépasse 5 % → l'atelier ne respecte pas la norme. Il faut investiguer les causes de défaut.
Exercice 11 bis
Sur une chaîne de fabrication de chevilles, un atelier a relevé le nombre de pièces conformes sur trois journées :
Jour
Pièces produites
Pièces conformes
Lundi
250
235
Mardi
300
288
Mercredi
200
187
Calculer la fréquence de pièces conformes pour chaque jour.
Calculer la fréquence de pièces conformes sur l'ensemble des trois jours (production cumulée).
Quelle valeur donne la meilleure estimation de la probabilité qu'une pièce soit conforme ? Pourquoi ?
La fréquence cumulée (\(\approx 0{,}947\)) donne la meilleure estimation : elle porte sur le plus grand nombre d'observations (750), donc elle fluctue moins (loi des grands nombres).
Exercice 11 ter
Pour chaque phrase, dire s'il s'agit d'une fréquence observée ou d'une probabilité théorique. Justifier.
« Sur les 120 thermostats contrôlés ce matin, 6 étaient défectueux. »
« Un dé équilibré à 6 faces tombe sur un nombre pair avec une chance sur deux. »
« Sur ses 25 derniers lancers francs, une basketteuse en a réussi 18. »
« Un sac contient 4 jetons verts et 6 jetons rouges : on a 4 chances sur 10 de tirer un jeton vert. »
Fréquence observée : on a compté des résultats réels, après le contrôle (\(\frac{6}{120} = 0{,}05\)).
Probabilité théorique : elle se déduit du modèle (3 faces paires sur 6), avant tout lancer.
Fréquence observée : elle résulte de 25 lancers réellement tentés (\(\frac{18}{25} = 0{,}72\)).
Probabilité théorique : elle se calcule à partir de la composition du sac, avant tout tirage.
Repère : la fréquence se mesure après coup et change d'une série à l'autre ; la probabilité se calcule avant et ne bouge pas.
C5 — Estimer la probabilité d’un événement à partir des fréquences : stabilisation et loi des grands nombres
À retenir
La loi des grands nombres affirme que plus on répète une expérience aléatoire, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique. Avec un petit échantillon, les fréquences fluctuent beaucoup ; avec un grand échantillon, elles se stabilisent autour de la probabilité. La loi ne promet ni l'égalité exacte, ni qu'un résultat devienne « plus probable » après une série.
Effectif attendu sur un lot de \(n\) : \(n \times p\). C'est une prévision, pas une certitude.
Exercice 12
On lance une pièce de monnaie équilibrée et on note la fréquence de « pile » après chaque lancer. Voici les résultats :
Nb de lancers
5
10
20
50
100
1000
Fréquence de pile
0,80
0,60
0,55
0,52
0,49
0,502
Fréquence de « pile » en fonction du nombre de lancers
Quelle est la probabilité théorique d'obtenir pile ?
Décrire la tendance de la fréquence quand le nombre de lancers augmente.
La fréquence oscille beaucoup au début (0,80 pour 5 lancers) puis se rapproche de 0,5 au fur et à mesure que le nombre de lancers augmente. C'est la stabilisation des fréquences (loi des grands nombres).
Exercice 13
Un technicien vérifie des pièces sorties d'une machine. Il note s'il y a un défaut (D) ou non (N). Sur les 5 premières pièces : N, D, N, N, N → fréquence de défaut = 1/5 = 20 %. Sur 100 pièces au total, il observe 8 défauts.
Calculer la fréquence de défaut sur 100 pièces.
Quelle valeur estime-t-on comme probabilité de tirer une pièce défectueuse ?
Pourquoi la fréquence sur 5 pièces était-elle peu fiable ?
Fréquence = \(\frac{8}{100} = 0{,}08 = 8\%\)
On estime \(P(\text{défaut}) \approx 0{,}08\) (8 %) à partir de cet échantillon.
Avec seulement 5 pièces, un seul défaut suffit à donner une fréquence de 20 %, très éloignée de la probabilité du modèle. L'estimation est instable avec un petit échantillon.
Exercice 14
La probabilité qu'une couleur de peinture soit mal mélangée est estimée à 0,03 (3 %). Sur une série de 10 pots, on n'en observe aucun mal mélangé. Est-ce surprenant ? Comment améliorer l'estimation de la probabilité ?
Non, ce n'est pas surprenant : avec un échantillon de seulement 10 pots, il est tout à fait possible de n'observer aucun défaut.
Pour améliorer l'estimation, il faut augmenter la taille de l'échantillon, car la fréquence tend à se stabiliser autour de la probabilité du modèle quand \(n\) devient grand.
Exercice 14 bis
Une ligne de production fabrique des carreaux. La probabilité qu'un carreau soit ébréché est \(p = 0{,}03\).
Sur un lot de 2 500 carreaux, combien de carreaux ébréchés peut-on prévoir ?
Le contrôle du lot en trouve 82. Faut-il s'en inquiéter ? Justifier.
Un carreleur vient de poser 20 carreaux sans en trouver un seul ébréché. Il pense que le prochain a « plus de chances » d'être ébréché. A-t-il raison ?
Effectif attendu : \(n \times p = 2\,500 \times 0{,}03 = \mathbf{75}\) carreaux ébréchés. C'est une prévision.
Fréquence observée : \(\frac{82}{2\,500} = 0{,}0328\), contre \(0{,}03\) attendu. L'écart est faible : il s'explique par la fluctuation, il n'y a pas lieu de s'inquiéter sur ce seul lot.
Non. Chaque carreau est indépendant des précédents : la probabilité reste \(0{,}03\) pour le suivant. La loi des grands nombres porte sur un grand nombre de carreaux, pas sur le prochain.
C6 — Dénombrer à l'aide d'un arbre ou d'un tableau à double entrée
Rappel de cours
Pour dénombrer les issues d'une expérience aléatoire composée de plusieurs étapes, on peut utiliser un arbre (chaque branche = une issue à chaque étape) ou un tableau à double entrée (chaque case = un couple d'issues). Le nombre total d'issues est le nombre de chemins (arbre) ou de cases (tableau). Dans un tableau d'effectifs, les totaux des lignes et des colonnes servent de contrôle, et une probabilité « … et … » se lit dans une seule case.
Pour aller plus loin (hors programme de Seconde) : l'arbre pondéré, où l'on multiplie les probabilités le long d'un chemin, est présenté au §5 du cours PDF et au niveau Difficile de l'entraînement en ligne.
Exercice 15
Un menuisier choisit au hasard une essence de bois (chêne, hêtre, pin) et une finition (vernis, huile). Construire un arbre pour lister toutes les combinaisons possibles.
Dessiner l'arbre des possibilités.
Combien y a-t-il d'issues au total ?
Quelle est la probabilité de choisir « chêne + huile » (équiprobabilité) ?
Indice : 3 essences × 2 finitions. Dessiner l'arbre dans la zone ci-dessous.
a) Arbre des possibilités :
Six issues possibles : trois essences et deux finitions
b) Nombre total d'issues : \(3 \times 2 = \mathbf{6}\).
c) \(P(\text{chêne + huile}) = \dfrac{1}{6}\).
Exercice 16
On lance un dé à 6 faces et une pièce de monnaie. Construire un tableau à double entrée pour lister toutes les issues.
Indice : le tableau a 6 lignes (résultats du dé) et 2 colonnes (Pile / Face). Dessiner le tableau vide et le compléter.
Combien y a-t-il d'issues au total ?
Calculer \(P(\text{obtenir un nombre pair ET Pile})\).
On compte les cases du tableau qui contiennent un 6 ou un Face : les 6 cases de la colonne Face, plus la case (6;P). La case (6;F) ne se compte qu'une fois.
7 issues favorables : \(P = \dfrac{7}{12} \approx 0{,}58\).
Exercice 17
Quatre-vingts luminaires sont contrôlés à la réception d'un chantier, selon leur technologie et leur conformité.
Conforme
Défectueux
Total
LED
46
4
…
Halogène
24
6
…
Total
…
…
…
Compléter les totaux et vérifier le total général.
On prélève un luminaire au hasard. Calculer la probabilité qu'il soit défectueux.
Calculer la probabilité qu'il soit halogène et défectueux.
Calculer la probabilité qu'il soit à LED.
Lignes : LED \(46 + 4 = 50\) ; halogène \(24 + 6 = 30\). Colonnes : conformes \(46 + 24 = 70\) ; défectueux \(4 + 6 = 10\). Total : \(50 + 30 = 80\) et \(70 + 10 = 80\) : les deux calculs concordent.
\(P(\text{défectueux}) = \dfrac{10}{80} = \mathbf{0{,}125}\), soit 12,5 %.
On lit une seule case : \(P(\text{halogène et défectueux}) = \dfrac{6}{80} = \mathbf{0{,}075}\).
On lit le total de la ligne LED : \(P(\text{LED}) = \dfrac{50}{80} = \mathbf{0{,}625}\).
C7 — Observer la fluctuation d’échantillonnage : simuler des échantillons de taille n et déterminer l’étendue des fréquences
Rappel de cours
On prélève un échantillon de taille \(n\) (avec remise : chaque prélèvement ne modifie pas la composition). La fréquence \(f\) observée dans un échantillon fluctue d'un échantillon à l'autre autour de la probabilité \(p\). Pour une série d'échantillons, l'étendue des fréquences = fréquence maximale − fréquence minimale. Plus \(n\) est grand, plus l'étendue a tendance à diminuer : les fréquences sont en général moins dispersées. C'est une tendance, pas une certitude : une série de grands échantillons peut, par hasard, avoir une étendue plus grande qu'une série de petits.
Exercice 18
Dans un stock de tasseaux, la probabilité qu'un tasseau soit trop court est \(p = 0{,}20\). On prélève (avec remise) plusieurs échantillons de taille \(n = 25\). Voici, pour 5 échantillons, le nombre de tasseaux trop courts observés :
Échantillon
1
2
3
4
5
Nb trop courts (sur 25)
4
7
3
6
5
Calculer la fréquence \(f\) de tasseaux trop courts pour chaque échantillon.
Ces fréquences sont-elles toutes égales à \(p = 0{,}20\) ? Comment s'appelle ce phénomène ?
Non : elles varient de 0,12 à 0,28 autour de \(p = 0{,}20\). C'est la fluctuation d'échantillonnage (la fréquence observée n'est pas exactement la probabilité).
Exercice 19
On reprend la série de fréquences de l'exercice précédent (échantillons de taille \(n = 25\)) :
Échantillon
1
2
3
4
5
Fréquence \(f\)
0,16
0,28
0,12
0,24
0,20
Quelle est la fréquence minimale ? la fréquence maximale ?
Pour la même probabilité \(p = 0{,}20\), on prélève maintenant 5 échantillons de plus grande taille \(n = 200\) (toujours avec remise). On obtient les fréquences suivantes :
Échantillon
1
2
3
4
5
Fréquence \(f\) (n = 200)
0,185
0,215
0,195
0,225
0,205
Calculer l'étendue de cette série de fréquences pour \(n = 200\).
Comparer avec l'étendue obtenue pour \(n = 25\) (exercice 19, étendue 0,16). Que constate-t-on ? Comment l'expliquer ?
L'étendue pour \(n = 200\) (0,04) est bien plus petite que pour \(n = 25\) (0,16). Ici, quand la taille de l'échantillon augmente, les fréquences fluctuent moins et se resserrent autour de \(p = 0{,}20\). C'est ce qu'on observe en général, sans que ce soit une certitude pour chaque série.
Exercice 21
On veut simuler le prélèvement d'un échantillon avec une calculatrice ou un tableur. Une pièce est trop courte avec la probabilité \(p = 0{,}20\). On tire un nombre au hasard entre 0 et 1 (fonction nbrAléat() ou =ALEA()) : la pièce est comptée « trop courte » si ce nombre est inférieur à 0,20. Au tableur, la formule =SI(ALEA()<0,2;1;0) affiche 1 pour une pièce trop courte, 0 sinon.
Sur un échantillon simulé de taille \(n = 20\) (avec remise), on a relevé les 20 tirages suivants (1 = trop court, 0 = conforme) :
Tirages
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
Combien de pièces « trop courtes » (des 1) cet échantillon contient-il ?
Calculer la fréquence \(f\) de pièces trop courtes dans cet échantillon de taille 20.
Cette fréquence est-elle exactement égale à \(p = 0{,}20\) ? Comment obtenir une estimation plus fiable de \(p\) ?
On compte les 1 : positions 2, 5, 9, 12, 17 → 5 pièces trop courtes.
\(f = \dfrac{5}{20} = 0{,}25 = 25\%\).
Non : \(f = 0{,}25 \neq p = 0{,}20\). C'est la fluctuation d'échantillonnage. Pour une estimation plus fiable, il faut augmenter la taille de l'échantillon (n = 200, 1000…) ; la fréquence se rapproche alors de \(p = 0{,}20\).