C1 — Identifier une expérience aléatoire ; définir l'univers et ses issues
C2 — Définir un événement ; calculer sa probabilité (équiprobabilité)
C3 — Utiliser les règles de calcul : événement contraire, réunion, intersection
C4 — Distinguer fréquence observée et probabilité théorique
C5 — Comprendre et illustrer la stabilisation des fréquences (loi des grands nombres)
C6 — Dénombrer à l'aide d'un arbre ou d'un tableau à double entrée
C7 — Prélever un échantillon de taille \(n\) (avec remise), observer la fluctuation et calculer l'étendue des fréquences
C1 — Identifier une expérience aléatoire, définir l'univers
Rappel de cours
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prédire le résultat à l'avance. L'ensemble de tous les résultats possibles est l'univers \(\Omega\). Chaque résultat élémentaire est une issue. Un événement est un sous-ensemble de \(\Omega\).
Exercice 1
Pour chaque situation, indiquer si c'est une expérience aléatoire et, si oui, écrire l'univers \(\Omega\) :
On tire une carte dans un jeu de 4 cartes numérotées 1, 2, 3, 4.
On branche une lampe LED en bon état sur une prise alimentée et on regarde si elle s'allume.
On choisit au hasard une pièce dans un lot de 5 pièces : 3 conformes (C) et 2 défectueuses (D).
Oui — \(\Omega = \{1, 2, 3, 4\}\)
Non — le résultat est certain : la lampe s'allume. Il n'y a pas de hasard.
Oui — \(\Omega = \{C_1, C_2, C_3, D_1, D_2\}\) (ou simplement \(\{C, D\}\) si on ne distingue pas les pièces)
Exercice 2
On lance un dé équilibré à 6 faces. Écrire l'univers, puis lister les issues de l'événement A « obtenir un nombre pair » et de l'événement B « obtenir un nombre supérieur ou égal à 4 ».
Un lot de 20 vis comprend 5 de type A, 8 de type B et 7 de type C. On tire une vis au hasard. Écrire l'univers et l'événement « tirer une vis de type B ou C ».
Les issues de l'expérience sont les 20 vis, toutes équiprobables.
Si on ne s'intéresse qu'au type, on peut décrire l'univers par \(\Omega = \{A, B, C\}\) — mais ces trois issues ne sont alors pas équiprobables : elles regroupent 5, 8 et 7 vis.
L'événement « B ou C » regroupe \(8 + 7 = 15\) vis sur les 20.
C2 — Calculer la probabilité d'un événement (équiprobabilité)
Rappel de cours
En situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même probabilité) : \(P(A) = \dfrac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}\). La probabilité d'un événement est toujours comprise entre 0 et 1, et \(P(\Omega) = 1\).
Exercice 4
On tire au hasard une carte parmi 10 cartes numérotées de 1 à 10 (équiprobabilité). Calculer :
\(P(\text{tirer le } 7)\)
\(P(\text{tirer un nombre pair})\)
\(P(\text{tirer un nombre supérieur à 7})\)
En équiprobabilité : \(P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}\)
Un lot de 50 panneaux comporte 40 conformes et 10 défectueux. On prélève un panneau au hasard. Calculer la probabilité de tirer un panneau conforme et celle de tirer un panneau défectueux.
On lance deux pièces de monnaie équilibrées. Lister les 4 issues possibles de l'univers, puis calculer la probabilité d'obtenir exactement une face (F).
Événement contraire : \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). Réunion (A ou B) : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Si A et B sont incompatibles (ne peuvent pas se produire ensemble) : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Exercice 7
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes. On sait que \(P(\text{cœur}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\). Calculer \(P(\overline{\text{cœur}})\) (événement contraire : ne pas tirer un cœur).
Dans un lot de 100 pièces : 70 sont conformes (C), 20 ont un défaut de surface (DS) et 10 ont un défaut de forme (DF). Ces catégories sont incompatibles (une pièce ne peut avoir qu'un seul type de défaut).
Calculer \(P(\text{DS})\) et \(P(\text{DF})\).
Calculer \(P(\text{DS ou DF})\) = probabilité d'avoir un défaut.
Calculer \(P(\text{C})\) par l'événement contraire.
La probabilité qu'une livraison soit en retard est 0,15. La probabilité qu'une livraison soit incomplète est 0,10. La probabilité qu'elle soit à la fois en retard ET incomplète est 0,04.
Calculer la probabilité qu'elle soit en retard OU incomplète.
Calculer la probabilité qu'elle soit parfaite (ni retard, ni incomplète).
La fréquence observée d'un événement est \(f = \frac{\text{nombre d'apparitions}}{\text{nombre d'expériences}}\). Elle est calculée à partir d'une expérience. La probabilité est une valeur du modèle. Fréquence et probabilité ne sont généralement pas égales, mais la fréquence tend à se stabiliser autour de la probabilité quand le nombre d'expériences augmente.
Exercice 10
On lance un dé équilibré 60 fois et on obtient le résultat suivant :
Face
1
2
3
4
5
6
Nb de sorties
8
11
9
12
10
10
Calculer la fréquence observée de chaque face.
Quelle est la probabilité théorique d'obtenir chaque face ?
Les fréquences observées sont-elles égales aux probabilités ? Pourquoi ?
Probabilité théorique de chaque face : \(\frac{1}{6} \approx 0{,}167\) (dé équilibré)
Non, elles ne sont pas exactement égales : avec 60 lancers, il existe une fluctuation aléatoire. En augmentant le nombre de lancers, les fréquences se rapprocheraient de \(\frac{1}{6}\).
Exercice 11
Un contrôleur observe que sur 240 pièces vérifiées, 18 sont défectueuses. Estimer la probabilité qu'une pièce soit défectueuse. Comparer avec la norme de l'atelier qui exige un taux de défaut inférieur à 5 %.
Fréquence observée : \(\frac{18}{240} = 0{,}075 = 7{,}5\%\)
La fréquence dépasse 5 % → l'atelier ne respecte pas la norme. Il faut investiguer les causes de défaut.
Exercice 11 bis
Sur une chaîne de fabrication de chevilles, un atelier a relevé le nombre de pièces conformes sur trois journées :
Jour
Pièces produites
Pièces conformes
Lundi
250
235
Mardi
300
288
Mercredi
200
187
Calculer la fréquence de pièces conformes pour chaque jour.
Calculer la fréquence de pièces conformes sur l'ensemble des trois jours (production cumulée).
Quelle valeur donne la meilleure estimation de la probabilité qu'une pièce soit conforme ? Pourquoi ?
La fréquence cumulée (\(\approx 0{,}947\)) donne la meilleure estimation : elle porte sur le plus grand nombre d'observations (750), donc elle fluctue moins (loi des grands nombres).
C5 — Stabilisation des fréquences (loi des grands nombres)
À retenir
La loi des grands nombres affirme que plus on répète une expérience aléatoire, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique. Avec un petit échantillon, les fréquences fluctuent beaucoup ; avec un grand échantillon, elles se stabilisent autour de la probabilité.
Exercice 12
On lance une pièce de monnaie équilibrée et on note la fréquence de « pile » après chaque lancer. Voici les résultats :
Nb de lancers
5
10
20
50
100
1000
Fréquence de pile
0,80
0,60
0,55
0,52
0,49
0,502
Fréquence de « pile » en fonction du nombre de lancers
Quelle est la probabilité théorique d'obtenir pile ?
Décrire la tendance de la fréquence quand le nombre de lancers augmente.
La fréquence oscille beaucoup au début (0,80 pour 5 lancers) puis se rapproche de 0,5 au fur et à mesure que le nombre de lancers augmente. C'est la stabilisation des fréquences (loi des grands nombres).
Exercice 13
Un technicien vérifie des pièces sorties d'une machine. Il note s'il y a un défaut (D) ou non (N). Sur les 5 premières pièces : N, D, N, N, N → fréquence de défaut = 1/5 = 20 %. Sur 100 pièces au total, il observe 8 défauts.
Calculer la fréquence de défaut sur 100 pièces.
Quelle valeur estime-t-on comme probabilité de tirer une pièce défectueuse ?
Pourquoi la fréquence sur 5 pièces était-elle peu fiable ?
Fréquence = \(\frac{8}{100} = 0{,}08 = 8\%\)
On estime \(P(\text{défaut}) \approx 0{,}08\) (8 %) à partir de cet échantillon.
Avec seulement 5 pièces, un seul défaut suffit à donner une fréquence de 20 %, très éloignée de la probabilité du modèle. L'estimation est instable avec un petit échantillon.
Exercice 14
La probabilité qu'une couleur de peinture soit mal mélangée est estimée à 0,03 (3 %). Sur une série de 10 pots, on n'en observe aucun mal mélangé. Est-ce surprenant ? Comment améliorer l'estimation de la probabilité ?
Non, ce n'est pas surprenant : avec un échantillon de seulement 10 pots, il est tout à fait possible de n'observer aucun défaut.
Pour améliorer l'estimation, il faut augmenter la taille de l'échantillon, car la fréquence tend à se stabiliser autour de la probabilité du modèle quand \(n\) devient grand.
C6 — Dénombrer à l'aide d'un arbre ou d'un tableau à double entrée
Rappel de cours
Pour dénombrer les issues d'une expérience aléatoire composée de plusieurs étapes, on peut utiliser un arbre (chaque branche = une issue à chaque étape) ou un tableau à double entrée (chaque case = un couple d'issues). Le nombre total d'issues est le nombre de chemins (arbre) ou de cases (tableau).
Exercice 15
Un menuisier choisit au hasard une essence de bois (chêne, hêtre, pin) et une finition (vernis, huile). Construire un arbre pour lister toutes les combinaisons possibles.
Dessiner l'arbre des possibilités.
Combien y a-t-il d'issues au total ?
Quelle est la probabilité de choisir « chêne + huile » (équiprobabilité) ?
Indice : 3 essences × 2 finitions. Dessiner l'arbre dans la zone ci-dessous.
a) Arbre des possibilités :
Six issues possibles : trois essences et deux finitions
b) Nombre total d'issues : \(3 \times 2 = \mathbf{6}\).
c) \(P(\text{chêne + huile}) = \dfrac{1}{6}\).
Exercice 16
On lance un dé à 6 faces et une pièce de monnaie. Construire un tableau à double entrée pour lister toutes les issues.
Indice : le tableau a 6 lignes (résultats du dé) et 2 colonnes (Pile / Face). Dessiner le tableau vide et le compléter.
Combien y a-t-il d'issues au total ?
Calculer \(P(\text{obtenir un nombre pair ET Pile})\).
Issues « 6 » : (6;P) et (6;F) = 2. Issues « Face » : (1;F)…(6;F) = 6. Mais (6;F) est compté deux fois.
\(P = \dfrac{2 + 6 - 1}{12} = \dfrac{7}{12}\).
Exercice 17
Un artisan fabrique des étagères. Chaque étagère peut être en chêne (Ch) ou en pin (P), et reçoit une finition cirée (C), vernie (V) ou peinte (Pe). On choisit au hasard un bois puis une finition (équiprobabilité à chaque étape).
Dresser le tableau à double entrée listant toutes les combinaisons « bois × finition ».
Combien y a-t-il d'issues au total ?
Calculer la probabilité d'obtenir une étagère « chêne ciré ».
Calculer la probabilité d'obtenir une étagère en pin (quelle que soit la finition).
a) Tableau à double entrée :
Cirée (C)
Vernie (V)
Peinte (Pe)
Chêne (Ch)
Ch–C
Ch–V
Ch–Pe
Pin (P)
P–C
P–V
P–Pe
b) \(2 \times 3 = \mathbf{6}\) issues.
c) Une seule case « chêne ciré » : \(P(\text{Ch–C}) = \dfrac{1}{6}\).
C7 — Échantillonnage : fluctuation, étendue et simulation
Rappel de cours
On prélève un échantillon de taille \(n\) (avec remise : chaque prélèvement ne modifie pas la composition). La fréquence \(f\) observée dans un échantillon fluctue d'un échantillon à l'autre autour de la probabilité \(p\). Pour une série d'échantillons, l'étendue des fréquences = fréquence maximale − fréquence minimale. Plus \(n\) est grand, plus l'étendue est petite : les fréquences sont moins dispersées (loi des grands nombres).
Exercice 18
Dans un stock de tasseaux, la probabilité qu'un tasseau soit trop court est \(p = 0{,}20\). On prélève (avec remise) plusieurs échantillons de taille \(n = 25\). Voici, pour 5 échantillons, le nombre de tasseaux trop courts observés :
Échantillon
1
2
3
4
5
Nb trop courts (sur 25)
4
7
3
6
5
Calculer la fréquence \(f\) de tasseaux trop courts pour chaque échantillon.
Ces fréquences sont-elles toutes égales à \(p = 0{,}20\) ? Comment s'appelle ce phénomène ?
Non : elles varient de 0,12 à 0,28 autour de \(p = 0{,}20\). C'est la fluctuation d'échantillonnage (la fréquence observée n'est pas exactement la probabilité).
Exercice 19
On reprend la série de fréquences de l'exercice précédent (échantillons de taille \(n = 25\)) :
Échantillon
1
2
3
4
5
Fréquence \(f\)
0,16
0,28
0,12
0,24
0,20
Quelle est la fréquence minimale ? la fréquence maximale ?
Pour la même probabilité \(p = 0{,}20\), on prélève maintenant 5 échantillons de plus grande taille \(n = 200\) (toujours avec remise). On obtient les fréquences suivantes :
Échantillon
1
2
3
4
5
Fréquence \(f\) (n = 200)
0,185
0,215
0,195
0,225
0,205
Calculer l'étendue de cette série de fréquences pour \(n = 200\).
Comparer avec l'étendue obtenue pour \(n = 25\) (exercice 19, étendue 0,16). Que constate-t-on ? Comment l'expliquer ?
L'étendue pour \(n = 200\) (0,04) est bien plus petite que pour \(n = 25\) (0,16). Quand la taille de l'échantillon augmente, les fréquences fluctuent moins et se resserrent autour de \(p = 0{,}20\) : c'est la loi des grands nombres.
Exercice 21
On veut simuler le prélèvement d'un échantillon avec une calculatrice ou un tableur. Une pièce est trop courte avec la probabilité \(p = 0{,}20\). On tire un nombre au hasard entre 0 et 1 (fonction nbrAléat() ou =ALEA()) : la pièce est comptée « trop courte » si ce nombre est inférieur à 0,20.
Sur un échantillon simulé de taille \(n = 20\) (avec remise), on a relevé les 20 tirages suivants (1 = trop court, 0 = conforme) :
Tirages
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
Combien de pièces « trop courtes » (des 1) cet échantillon contient-il ?
Calculer la fréquence \(f\) de pièces trop courtes dans cet échantillon de taille 20.
Cette fréquence est-elle exactement égale à \(p = 0{,}20\) ? Comment obtenir une estimation plus fiable de \(p\) ?
On compte les 1 : positions 2, 5, 9, 12, 17 → 5 pièces trop courtes.
\(f = \dfrac{5}{20} = 0{,}25 = 25\%\).
Non : \(f = 0{,}25 \neq p = 0{,}20\). C'est la fluctuation d'échantillonnage. Pour une estimation plus fiable, il faut augmenter la taille de l'échantillon (n = 200, 1000…) ; la fréquence se rapproche alors de \(p = 0{,}20\).