Probabilités et fluctuation des fréquences | 2de Bac Pro
Dernière mise à jour : 27 juillet 2026, 15:25
Un sac contient 5 billes rouges, 3 billes bleues et 2 billes vertes, indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard.
1. Total : \(5 + 3 + 2 = 10\) billes. Univers des couleurs : \(\Omega = \{R;\, B;\, V\}\). Attention : ces trois issues ne sont pas équiprobables. Ce sont les dix billes, indiscernables au toucher, qui ont chacune la même chance d’être tirées.
2. \(P(R) = \dfrac{5}{10} = \mathbf{0{,}5}\).
3. \(P(V) = \frac{2}{10} = 0{,}2\). Donc \(P(\overline{V}) = 1 - 0{,}2 = \mathbf{0{,}8}\).
4. Rouges ou bleues : \(5 + 3 = 8\). \(P(R \cup B) = \frac{8}{10} = \mathbf{0{,}8}\).
5. \(0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1\) ✓
Un atelier de menuiserie produit des panneaux. On sait que 2 % sont défectueux (\(p = 0{,}02\)).
| Échantillon | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence | 1 % | 2,5 % | 1,5 % | 3 % | 2 % | 0,5 % | 2,5 % | 3,5 % | 1,5 % | 2 % |
1. \(1\,000 \times 0{,}02 = \mathbf{20}\) panneaux.
2. \(f = \frac{7}{200} = \mathbf{0{,}035}\) soit 3,5 %.
3. Minimum : \(0{,}5\,\%\). Maximum : \(3{,}5\,\%\). Étendue : \(3{,}5 - 0{,}5 = \mathbf{3\,\%}\).
4. OUI : \(3{,}5\,\%\) a aussi été obtenu dans la série simulée. NON, cette seule comparaison ne permet pas d’affirmer que la machine est déréglée.
5. « fluctuation » et « rapprochent » (stabilisation des fréquences : loi des grands nombres).
Un sac contient 5 billes rouges, 3 billes bleues et 2 billes vertes, indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard.
1. Total : \(5 + 3 + 2 = 10\) billes. Univers : \(\Omega = \{R;\, B;\, V\}\). Ces trois issues ne sont pas équiprobables ; chacune des dix billes, elle, a la même chance d’être tirée.
2. \(P(R) = \dfrac{5}{10} = \mathbf{0{,}5}\).
3. \(P(\overline{V}) = 1 - P(V) = 1 - \dfrac{2}{10} = \mathbf{0{,}8}\).
4. \(P(R \cup B) = \dfrac{5+3}{10} = \dfrac{8}{10} = \mathbf{0{,}8}\).
5. \(P(R) + P(B) + P(V) = 0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1\) ✓
Une machine de découpe produit des panneaux de bois. On sait que 2 % des panneaux sont défectueux (probabilité théorique \(p = 0{,}02\)).
| Échantillon | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence | 2 % | 1,5 % | 3 % | 2,5 % | 1 % | 2 % | 4 % | 1,5 % | 2,5 % | 0,5 % | 3 % | 2 % |
1. \(1\,000 \times 0{,}02 = \mathbf{20}\) panneaux défectueux.
2. \(f = \dfrac{7}{200} = \mathbf{0{,}035}\) soit 3,5 %.
3. Minimum : \(0{,}5\,\%\). Maximum : \(4\,\%\). Étendue : \(4 - 0{,}5 = \mathbf{3{,}5\,\%}\).
4. \(f = 3{,}5\,\%\) est comprise entre le minimum (0,5 %) et le maximum (4 %) de cette série simulée. Cette comparaison ne permet pas de remettre en cause le modèle à 2 % ; il faut répéter les contrôles avant de conclure sur la machine.
5. Les fréquences fluctuent d'un échantillon à l'autre : une fréquence différente de \(p\) n'est donc pas, à elle seule, une preuve de dérèglement.
Lors d’une journée portes ouvertes, un lycée professionnel organise une loterie. Une urne contient 20 jetons identiques au toucher : 8 jetons « menuiserie », 5 jetons « agencement », 4 jetons « charpente » et 3 jetons « peinture ». On tire un jeton au hasard.
1. \(\Omega = \{\text{M};\, \text{A};\, \text{C};\, \text{P}\}\) pour les catégories. Les issues élémentaires équiprobables sont les 20 jetons ; les quatre catégories, elles, ne sont pas équiprobables.
2a. \(P(\text{M}) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 40\%\).
2b. \(P(\text{A} \cup \text{C}) = \frac{5+4}{20} = \frac{9}{20} = 45\%\).
3. Méthode 1 (complémentaire) : \(P(A) = 1 - P(\text{M}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\).
Méthode 2 (directe) : \(P(A) = \frac{5+4+3}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\). Même résultat ✓.
4. \(\frac{8}{20} + \frac{5}{20} + \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{20}{20} = 1\) ✓
Une technicienne CVC contrôle deux lignes qui fabriquent des gaines de ventilation. Le modèle qualité de l’usine fixe la probabilité de défaut à 3 % (\(p=0{,}03\)). Les contrôles du jour donnent :
| Ligne | Gaines contrôlées | Gaines défectueuses |
|---|---|---|
| Nord | 400 | 14 |
| Sud | 250 | 13 |
Des simulations du modèle \(p=0{,}03\) ont aussi produit les fréquences suivantes :
| Ligne simulée | Fréquences de défaut sur 8 échantillons | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nord (\(n=400\)) | 2 % | 2,5 % | 3 % | 3,75 % | 4 % | 2,75 % | 3,25 % | 3,5 % |
| Sud (\(n=250\)) | 1,6 % | 2 % | 2,8 % | 3,2 % | 4 % | 4,4 % | 5,2 % | 3,6 % |
1. Ligne Nord : \(f_N=\frac{14}{400}=0{,}035=3{,}5\,\%\). Ligne Sud : \(f_S=\frac{13}{250}=0{,}052=5{,}2\,\%\).
2. Nord simulée : minimum 2 %, maximum 4 %, étendue \(4-2=\mathbf{2}\) points de pourcentage.
3. Sud simulée : minimum 1,6 %, maximum 5,2 %, étendue \(5{,}2-1{,}6=\mathbf{3{,}6}\) points de pourcentage.
4. \(3{,}5\,\%\) apparaît dans la série simulée Nord et \(5{,}2\,\%\) apparaît dans la série simulée Sud. Ces résultats peuvent donc être produits par la fluctuation du modèle. Cette seule comparaison ne permet pas d’affirmer qu’une ligne est déréglée.
5. Fréquence globale : \(\frac{14+13}{400+250}=\frac{27}{650}\approx\mathbf{0{,}0415}=4{,}15\,\%\). La valeur observée est supérieure à 3 %, mais un contrôle isolé ne suffit pas pour conclure. Il est prudent de répéter des prélèvements de même taille et de surveiller en priorité la ligne Sud, sans confondre sa fréquence du jour avec la probabilité de défaut du modèle.