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Devoir Surveillé – Chapitre 4

Probabilités et fluctuation des fréquences  |  2de Bac Pro

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer
🕑 Durée : 1 heure
🧮 Calculatrice : autorisée
✍ Barème : 20 points
📄 Documents : non autorisés
APP – S'Approprier ANA – Analyser REA – Réaliser VAL – Valider COM – Communiquer
Socle
Exercice 1 – Tirage de billes (guidé) 10 points

Un sac contient 5 billes rouges, 3 billes bleues et 2 billes vertes, indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard.

1. APP Combien y a-t-il de billes en tout ? Compléter : (2 pts)
Total = 5 + … + … = …… billes.
Univers des couleurs : \(\Omega = \{\) ……………… \(\}\)
2. REA Calculer la probabilité de tirer une bille rouge. (2 pts)
Rappel : \(P = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre total de cas}}\)
\(P(\text{rouge}) = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \) ……
3. REA Calculer la probabilité de ne pas tirer une bille verte. (2 pts)
Rappel : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
\(P(\text{verte}) = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \) ……   donc   \(P(\overline{\text{verte}}) = 1 - \) …… = ……
4. ANA Calculer la probabilité de tirer une bille rouge ou bleue. (2 pts)
Nombre de billes rouges ou bleues = … + … = ……
\(P(\text{R ou B}) = \dfrac{\ldots}{\ldots} = \) ……
5. VAL Vérifier que la somme vaut 1. Compléter : (2 pts)
\(P(R) + P(B) + P(V) = \) …… + …… + …… = ……

1. Total : \(5 + 3 + 2 = 10\) billes. \(\Omega = \{R;\, B;\, V\}\).

2. \(P(R) = \dfrac{5}{10} = \mathbf{0{,}5}\).

3. \(P(V) = \frac{2}{10} = 0{,}2\). Donc \(P(\overline{V}) = 1 - 0{,}2 = \mathbf{0{,}8}\).

4. Rouges ou bleues : \(5 + 3 = 8\). \(P(R \cup B) = \frac{8}{10} = \mathbf{0{,}8}\).

p 1−p

5. \(0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1\) ✓

Exercice 2 – Contrôle qualité (guidé) 10 points

Un atelier de menuiserie produit des panneaux. On sait que 2 % sont défectueux (\(p = 0{,}02\)).

1. REA Sur 1 000 panneaux, combien sont défectueux ? Compléter : (2 pts)
Nombre prévu = …… × 0,02 = ……
2. APP On contrôle 200 panneaux et on en trouve 7 défectueux. Calculer la fréquence \(f\). (2 pts)
\(f = \dfrac{7}{\ldots} = \) ……
3. REA Pour savoir si cette fréquence est normale, on simule la machine en bon fonctionnement : 10 échantillons de 200 panneaux donnent les fréquences de défauts suivantes : (3 pts)
1 % ; 2,5 % ; 1,5 % ; 3 % ; 2 % ; 0,5 % ; 2,5 % ; 3,5 % ; 1,5 % ; 2 %

Étape 1 : fréquence minimale = ……
Étape 2 : fréquence maximale = ……
Étape 3 : étendue des fréquences = maximum − minimum = ……
4. VAL La fréquence observée \(f = 3{,}5\,\%\) dépasse-t-elle la fréquence maximale obtenue par simulation ? Entourer la bonne réponse et conclure : (2 pts)
    OUI  /  NON
Conclusion : le résultat observé est   normal  /  anormal — la machine semble   conforme  /  non conforme
5. COM Compléter la phrase : (1 pt)
« Les fréquences varient d'un échantillon à l'autre : c'est la __________________ d'échantillonnage. Quand la taille \(n\) des échantillons augmente, les fréquences se __________________ de la probabilité \(p\). »

1. \(1\,000 \times 0{,}02 = \mathbf{20}\) panneaux.

2. \(f = \frac{7}{200} = \mathbf{0{,}035}\) soit 3,5 %.

3. Minimum : \(0{,}5\,\%\). Maximum : \(3{,}5\,\%\). Étendue : \(3{,}5 - 0{,}5 = \mathbf{3\,\%}\).

4. NON : \(3{,}5\,\%\) a aussi été obtenu par simulation avec une machine en bon fonctionnement. Le résultat est normal, la machine semble conforme.

5. « fluctuation » et « rapprochent » (stabilisation des fréquences : loi des grands nombres).

Standard
Exercice 1 – Tirage de billes 10 points

Un sac contient 5 billes rouges, 3 billes bleues et 2 billes vertes, indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard.

1. APP Combien y a-t-il de billes en tout ? Écrire l'univers des couleurs possibles. (2 pts)
2. REA Calculer la probabilité de tirer une bille rouge. (2 pts)
3. REA Calculer la probabilité de ne pas tirer une bille verte. (2 pts)
4. ANA Calculer la probabilité de tirer une bille rouge ou bleue. (2 pts)
5. VAL Vérifier que la somme de toutes les probabilités vaut 1. (2 pts)

1. Total : \(5 + 3 + 2 = 10\) billes. Univers : \(\Omega = \{R;\, B;\, V\}\).

2. \(P(R) = \dfrac{5}{10} = \mathbf{0{,}5}\).

3. \(P(\overline{V}) = 1 - P(V) = 1 - \dfrac{2}{10} = \mathbf{0{,}8}\).

4. \(P(R \cup B) = \dfrac{5+3}{10} = \dfrac{8}{10} = \mathbf{0{,}8}\).

5. \(P(R) + P(B) + P(V) = 0{,}5 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1\) ✓

Exercice 2 – Contrôle de production et fluctuation 10 points

Une machine de découpe produit des panneaux de bois. On sait que 2 % des panneaux sont défectueux (probabilité théorique \(p = 0{,}02\)).

1. REA Sur une production de 1 000 panneaux, combien de panneaux défectueux peut-on théoriquement prévoir ? (2 pts)
2. APP Un contrôleur prélève un échantillon de 200 panneaux et en trouve 7 défectueux. Calculer la fréquence observée \(f\). (2 pts)
3. REA On simule 12 prélèvements de 200 panneaux avec une machine en bon fonctionnement (\(p = 0{,}02\)). Les fréquences de défauts obtenues sont :
2 % ; 1,5 % ; 3 % ; 2,5 % ; 1 % ; 2 % ; 4 % ; 1,5 % ; 2,5 % ; 0,5 % ; 3 % ; 2 %
Déterminer la fréquence minimale, la fréquence maximale et l'étendue des fréquences de cette série d'échantillons. (3 pts)
4. VAL La fréquence observée \(f\) est-elle compatible avec les fréquences obtenues par simulation ? Conclure sur la conformité de la machine. (2 pts)
5. COM En une phrase, expliquer pourquoi un contrôleur ne s'inquiète pas dès qu'une fréquence observée diffère de la probabilité théorique. (1 pt)

1. \(1\,000 \times 0{,}02 = \mathbf{20}\) panneaux défectueux.

2. \(f = \dfrac{7}{200} = \mathbf{0{,}035}\) soit 3,5 %.

3. Minimum : \(0{,}5\,\%\). Maximum : \(4\,\%\). Étendue : \(4 - 0{,}5 = \mathbf{3{,}5\,\%}\).

4. \(f = 3{,}5\,\%\) est comprise entre le minimum (0,5 %) et le maximum (4 %) des fréquences simulées avec une machine en bon fonctionnement → le résultat observé est normal : on ne peut pas remettre en cause la probabilité théorique de 2 %. La machine semble conforme.

p 1−p

5. Les fréquences fluctuent naturellement d'un échantillon à l'autre, même quand la machine fonctionne bien : une fréquence différente de \(p\) n'est inquiétante que si elle est très éloignée de ce que produit cette fluctuation normale.

Approfondissement

Note : l'exercice 2 utilise l'« intervalle de fluctuation » \([p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}}]\), qui ne figure pas au programme du Bac Pro (anticipation BTS). Le programme attend la comparaison avec la fluctuation observée sur une série d'échantillons simulés.

Exercice 1 – Loterie de chantier 8 points

Lors d’une journée portes ouvertes, un lycée professionnel organise une loterie. Une urne contient 20 jetons identiques au toucher : 8 jetons « menuiserie », 5 jetons « agencement », 4 jetons « charpente » et 3 jetons « peinture ». On tire un jeton au hasard.

1. APP Définir l’univers \(\Omega\) et préciser le nombre d’issues. (1 pt)
2. REA Calculer la probabilité de chaque événement (sous forme de fraction irréductible et en pourcentage) : (2 pts)
a) Tirer « menuiserie ».   b) Tirer « agencement » ou « charpente ».
3. ANA On définit l’événement A : « ne pas tirer menuiserie ». Exprimer \(P(A)\) de deux façons différentes et vérifier qu’on obtient le même résultat. (3 pts)
4. VAL Vérifier que \(P(\text{menuiserie}) + P(\text{agencement}) + P(\text{charpente}) + P(\text{peinture}) = 1\). (2 pts)

1. \(\Omega = \{\text{M};\, \text{A};\, \text{C};\, \text{P}\}\), 20 issues équiprobables.

2a. \(P(\text{M}) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5} = 40\%\).

2b. \(P(\text{A} \cup \text{C}) = \frac{5+4}{20} = \frac{9}{20} = 45\%\).

3. Méthode 1 (complémentaire) : \(P(A) = 1 - P(\text{M}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\).
Méthode 2 (directe) : \(P(A) = \frac{5+4+3}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}\). Même résultat ✓.

p 1−p

4. \(\frac{8}{20} + \frac{5}{20} + \frac{4}{20} + \frac{3}{20} = \frac{20}{20} = 1\) ✓

Exercice 2 – Deux ateliers, deux machines 12 points

Deux ateliers de menuiserie fabriquent des pièces d’agencement. Chaque atelier possède une machine de découpe.

  • Atelier Nord : production de 400 pièces, dont 14 défectueuses.
  • Atelier Sud : production de 250 pièces, dont 13 défectueuses.

Le fabricant affirme que ses machines ont un taux de défaut théorique de 3 % (\(p = 0{,}03\)).

1. REA Calculer la fréquence de défaut pour chaque atelier. (2 pts)
2. REA Pour l’atelier Nord (\(n = 400\)), calculer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % avec \(p = 0{,}03\). La fréquence observée est-elle compatible ? (3 pts)
3. REA Même question pour l’atelier Sud (\(n = 250\)). (3 pts)
4. ANA Calculer la fréquence globale en regroupant les deux ateliers. Est-elle compatible avec \(p = 0{,}03\) ? (Calculer l’intervalle de fluctuation pour \(n = 650\).) (2 pts)
5. COM Rédiger un bilan argumenté : le fabricant dit-il vrai ? Quel atelier semble poser problème ? Proposer une explication possible. (2 pts)

1. Atelier Nord : \(f_N = \frac{14}{400} = 0{,}035 = 3{,}5\%\). Atelier Sud : \(f_S = \frac{13}{250} = 0{,}052 = 5{,}2\%\).

2. \(\frac{1}{\sqrt{400}} = 0{,}05\). Intervalle : \([0{,}03 - 0{,}05\;;\; 0{,}03 + 0{,}05] = [0\;;\; 0{,}08]\). \(f_N = 0{,}035 \in [0\;;\; 0{,}08]\) → compatible.

3. \(\frac{1}{\sqrt{250}} \approx 0{,}0632\). Intervalle : \([0\;;\; 0{,}0932]\). \(f_S = 0{,}052 \in [0\;;\; 0{,}0932]\) → compatible.

4. Global : \(f = \frac{14+13}{400+250} = \frac{27}{650} \approx 0{,}0415 = 4{,}15\%\). \(\frac{1}{\sqrt{650}} \approx 0{,}0392\). Intervalle : \([0\;;\; 0{,}0692]\). \(0{,}0415 \in [0\;;\; 0{,}0692]\) → compatible.

5. Statistiquement, les deux résultats sont compatibles avec 3 %. Néanmoins, l’atelier Sud (5,2 %) a un taux nettement plus élevé que l’atelier Nord (3,5 %). Même si on ne peut pas conclure formellement, il serait prudent de vérifier la machine de l’atelier Sud (usure des lames, réglage). Avec un échantillon plus grand, l’écart pourrait devenir significatif.