Chapitre 4 – Probabilités et fluctuation des fréquences | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 20 août 2026, 18:05
À sa première livraison, un maçon reçoit 100 briques et en trouve 6 fêlées, soit 6 %. Peut-il en conclure que le fabricant produit exactement 6 % de briques non conformes ?
Non. 100 briques, c'est un petit échantillon : la proportion mesurée varie d'une livraison à l'autre par le simple effet du hasard. Pour une estimation fiable, il faut contrôler beaucoup plus de briques et regarder si la fréquence finit par se stabiliser.
Karim est maçon sur le chantier d'une maison individuelle. Il monte des murs en briques de terre cuite. À chaque livraison, il écarte les briques non conformes — fêlées, ébréchées ou de mauvaise dimension — qu'il ne peut pas poser : elles partent au rebut. Le fabricant ne communique pas son taux de défauts. Pour anticiper les pertes et commander juste, Karim note pendant une semaine, à chaque livraison, le nombre de briques reçues et le nombre de briques non conformes.
| Livraison | Briques reçues | Briques non conformes |
|---|---|---|
| L1 (lundi) | 100 | 6 |
| L2 (mardi) | 150 | 3 |
| L3 (mercredi) | 200 | 10 |
| L4 (jeudi) | 250 | 8 |
| L5 (vendredi) | 300 | 13 |
| Total semaine | 1000 | 40 |
Karim prélève une brique au hasard dans une livraison et regarde son état. Décris cette expérience aléatoire : quelles sont les deux issues possibles ? Donne l'univers \(\Omega\).
Expérience aléatoire : prélever une brique au hasard et observer son état (on ne peut pas prédire le résultat, mais on connaît les résultats possibles). Les deux issues sont « conforme » et « non conforme ». L'univers est \(\Omega = \{\text{conforme}\,;\,\text{non conforme}\}\) : il contient 2 issues.
Pour chaque livraison L1 à L5 du Document 1, calcule la fréquence de briques non conformes (en %).
L1 : \(\dfrac{6}{100}=0{,}06=6\,\%\) ; L2 : \(\dfrac{3}{150}=0{,}02=2\,\%\) ; L3 : \(\dfrac{10}{200}=0{,}05=5\,\%\) ; L4 : \(\dfrac{8}{250}=0{,}032=3{,}2\,\%\) ; L5 : \(\dfrac{13}{300}\approx 0{,}043\approx 4{,}3\,\%\).
Pour obtenir une estimation plus solide, Karim cumule ses livraisons. Le nombre de briques et de non conformes cumulés est déjà calculé : complète la dernière colonne (fréquence cumulée, en %).
| Après… | Briques cumulées | Non conformes cumulées | Fréquence cumulée |
|---|---|---|---|
| L1 | 100 | 6 | … |
| + L2 | 250 | 9 | … |
| + L3 | 450 | 19 | … |
| + L4 | 700 | 27 | … |
| + L5 | 1000 | 40 | … |
\(\dfrac{6}{100}=6\,\%\) ;
\(\dfrac{9}{250}=0{,}036=3{,}6\,\%\) ;
\(\dfrac{19}{450}\approx 0{,}042\approx 4{,}2\,\%\) ;
\(\dfrac{27}{700}\approx 0{,}039\approx 3{,}9\,\%\) ;
\(\dfrac{40}{1000}=0{,}04=4\,\%\).
On lit ces valeurs sur la courbe orange du graphique.
Les fréquences par livraison vont de 2 % (L2) à 6 % (L1). Comment s'appelle cette variation d'un échantillon à l'autre ? La livraison L2 (2 %) est-elle « meilleure » que les autres ?
C'est la fluctuation d'échantillonnage : d'un échantillon (livraison) à l'autre, la fréquence observée varie autour de la vraie proportion. La livraison L2 n'est pas « meilleure » : sur seulement 150 briques, une valeur basse comme 2 % est simplement due au hasard de l'échantillon. Aucune livraison n'est fausse : chacune donne une estimation, et il est normal qu'elles diffèrent.
Observe la courbe orange (fréquence cumulée) du graphique. Que fait-elle quand le nombre de briques contrôlées augmente ? Vers quelle valeur se rapproche-t-elle ? Comment s'appelle ce phénomène ?
La courbe oscille d'abord beaucoup (6 % puis 3,6 %…), puis se stabilise autour de 4 %. Plus on contrôle de briques, moins la fréquence fluctue et plus elle s'approche de 4 %. C'est la loi des grands nombres : la fréquence observée se rapproche de la probabilité quand l'effectif augmente.
À partir de tes résultats, estime la probabilité \(P(\text{non conforme})\). Quelle valeur choisis-tu, et pourquoi la fréquence sur 1000 briques est-elle une meilleure estimation que celle d'une seule livraison de 100 ? Déduis-en \(P(\text{conforme})\).
On retient la fréquence cumulée sur le plus grand effectif : \(P(\text{non conforme}) \approx \dfrac{40}{1000}=0{,}04=\mathbf{4\,\%}\). C'est la meilleure estimation car elle porte sur 1000 briques : d'après la loi des grands nombres, plus l'effectif est grand, plus la fréquence est proche de la probabilité. Une seule livraison de 100 briques fluctue beaucoup (6 %) et n'est donc pas fiable. Événement contraire : \(P(\text{conforme}) = 1 - 0{,}04 = 0{,}96 = 96\,\%\).
Le chantier attend une grosse commande de 3 500 briques du même fabricant. En utilisant la probabilité estimée, prévois le nombre de briques non conformes, puis le nombre de briques conformes (utilisables).
Nombre de non conformes attendu : \(0{,}04 \times 3500 = \mathbf{140}\) briques. Nombre de conformes : \(3500 - 140 = 3360\) briques (ou directement \(0{,}96 \times 3500 = 3360\)). Karim doit donc s'attendre à écarter environ 140 briques sur cette commande.
Rédige 2 à 3 phrases pour le rapport de chantier : quelle est la probabilité estimée qu'une brique soit non conforme, comment Karim l'a-t-il obtenue, et pourquoi une seule livraison ne suffisait pas ?
Exemple : « D'après le relevé de la semaine (40 briques non conformes sur 1000), la probabilité qu'une brique soit non conforme est estimée à environ 4 %. Karim l'a obtenue en cumulant plusieurs livraisons : la fréquence, qui variait de 2 % à 6 % selon la livraison (fluctuation d'échantillonnage), s'est stabilisée vers 4 % (loi des grands nombres). Une seule livraison de 100 briques ne suffisait pas, car sa fréquence fluctue trop pour donner une estimation fiable. »
Il faut un nombre \(N\) de briques tel que les conformes (96 %) atteignent 2400 : \(0{,}96 \times N = 2400\), donc \(N = \dfrac{2400}{0{,}96} = \mathbf{2\,500}\) briques. Karim commande 2 500 briques (soit 100 de plus pour compenser le rebut). Vérification : \(0{,}04 \times 2500 = 100\) non conformes, et \(2500 - 100 = 2400\) utilisables. ✓
Réponse à la problématique : on estime la probabilité qu'une brique soit non conforme par la fréquence observée sur un grand nombre de briques — ici \(P \approx \dfrac{40}{1000}=4\,\%\).
📚 §4 (probabilité), §5 (fréquence), §6 (fluctuation) et §7 (loi des grands nombres) de la leçon Ch04.
Contexte : maçonnerie, contrôle de briques de terre cuite à la livraison. Valeurs choisies réalistes et arrondies pour rester accessibles.