Chapitre 4 – Probabilités | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
L'expérience la plus simple en probabilités est le lancer d'une pièce équilibrée. P(pile) = 0,5 (autant de chance que face). Mais que se passe-t-il en pratique sur 10 lancers ? 100 lancers ? 10 000 lancers ? La réponse va te surprendre — et a des conséquences directes pour le contrôle qualité industriel.
Voici les résultats de 4 simulations indépendantes (par ordinateur, sur une pièce parfaitement équilibrée) :
| Nombre de lancers | Nb piles obtenus | Fréquence pile | Écart à 0,5 |
|---|---|---|---|
| 10 | 3 | 0,300 | 0,200 (très loin) |
| 100 | 54 | 0,540 | 0,040 |
| 1 000 | 508 | 0,508 | 0,008 |
| 10 000 | 5 023 | 0,5023 | 0,0023 (quasi nul) |
Loi des grands nombres (Jacob Bernoulli, 1713) : quand le nombre d'essais N devient grand, la fréquence observée d'un événement tend vers sa probabilité théorique.
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §5 (fluctuation des fréquences) et §6 (loi des grands nombres).
D'après le tableau du document 1, comment évolue l'écart entre la fréquence observée et 0,5 quand N augmente ?
Écart à 0,5 :
L'écart diminue rapidement. Quand N est multiplié par 10, l'écart est divisé environ par √10 ≈ 3.
C'est exactement la loi des grands nombres en action : à l'infini, l'écart tend vers 0.
Au casino, après 5 « rouge » d'affilée à la roulette, des joueurs misent sur « noir » par « compensation » (« ça doit s'équilibrer »). Cette intuition est-elle correcte ?
NON. C'est l'illusion du joueur (« gambler's fallacy »).
La roulette n'a pas de mémoire. Chaque tour est indépendant des précédents.
P(noir) reste 18/37 ≈ 0,486 à chaque tour, peu importe les résultats passés.
La loi des grands nombres signifie que sur un GRAND nombre de tours, la fréquence tend vers 0,486. Mais elle ne compense pas les déséquilibres passés ; elle les dilue dans le grand nombre de tours.
Exemple : après 5 rouges sur 5 tours (déséquilibre +5), au tour 1 000, on aura environ 486 noirs et 514 rouges (déséquilibre +28 — qui aurait grandi, pas diminué !). Mais la fréquence sera proche de 0,486.
Cette illusion fait perdre des fortunes aux joueurs naïfs.
Un atelier de menuiserie a un taux de défaut de 4 % en théorie. Sur une commande de 25 pièces, quel nombre de défauts attend-on ? Quelle fluctuation peut-on observer ?
Attendu : 25 × 0,04 = 1 défaut en moyenne.
Mais sur 25 pièces, on peut observer 0, 1, 2, voire 3 défauts par pure fluctuation. C'est la fluctuation d'échantillonnage.
Conclusion : ne pas s'alarmer d'une « mauvaise semaine » sur peu de pièces. Une mauvaise semaine peut être due au hasard, pas à un dysfonctionnement.
Sur une commande beaucoup plus grande (1 000 pièces), quel nombre de défauts attend-on ? Et la fluctuation ?
Attendu : 1 000 × 0,04 = 40 défauts en moyenne.
La fluctuation absolue augmente (on peut avoir 35 ou 45 défauts), mais la fluctuation relative diminue : on est entre 3,5 et 4,5 % au lieu de 0 à 8 %.
Sur 1 000 pièces, l'estimation à 4 % est très fiable. C'est l'effet de stabilisation de la loi des grands nombres.
Un nouvel atelier annonce 2 % de défauts, sur un échantillon de 50 pièces (1 défectueux). Cette information est-elle aussi fiable que celle d'un autre atelier qui annonce 4 % sur 1 000 pièces (40 défectueux) ?
Non. L'échantillon de 50 est trop petit pour être fiable. 1 défectueux peut être un coup de chance ou de malchance.
Sur des échantillons de 50, la fluctuation normale est très large : des simulations donnent des fréquences entre 0 % et environ 8 %. La vraie probabilité pourrait être n'importe où dans cette plage.
Pour comparer 2 ateliers, il faut des échantillons de taille comparable et suffisamment grands (au moins 100, idéalement 500-1 000).
Règle pratique : plus l'échantillon est grand, plus l'estimation est précise.
Un sondage politique annonce 52 % d'intentions de vote pour le candidat A, avec une marge d'erreur de ± 3 %. Comment interpréter cette information ?
52 % ± 3 % signifie que la vraie proportion d'intentions de vote est, avec une grande probabilité (95 %), entre 49 % et 55 %.
Donc le candidat peut être :
Conclusion : tant que la marge d'erreur englobe 50 %, l'élection est incertaine. Les médias qui annoncent « le candidat A va gagner » avec 52 % se trompent statistiquement.
L'instruction civique mathématique : toujours regarder la taille de l'échantillon et la marge d'erreur, pas seulement le pourcentage central.
Rédiger en 5 lignes un petit guide à destination de ton apprenti pour qu'il comprenne la loi des grands nombres et ne tombe pas dans le piège du « pas de bol cette semaine ».
📋 Guide qualité — La loi des grands nombres pour les apprentis
Quand on a un taux de défaut de 4 % théorique, ce n'est pas qu'exactement 4 pièces sur 100 sont défectueuses. C'est en moyenne. Sur 25 pièces, tu peux avoir 0, 1, 2 ou 3 défauts par pure fluctuation. Sur 1 000 pièces, ce sera bien 40 ± 5.
Conclusion : ne juge pas la qualité de l'atelier sur une seule petite commande. Et si tu observes 3 défauts sur 25 ce mois-ci (12 %), ne panique pas : c'est peut-être juste la fluctuation. Recompte le mois suivant.
Inversement, si tu as eu 0 défaut sur 25, ne crois pas que tu as résolu le problème. La fluctuation peut t'avoir favorisé temporairement.
Au Loto FDJ, P(gagner le jackpot) ≈ 1/19 millions par grille. Un joueur achète 1 grille par semaine pendant 50 ans. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une fois ?
Sur 50 ans, il joue 52 × 50 = 2 600 grilles.
P(jamais gagner) = (1 − 1/19 000 000)^2600 ≈ 1 − 2600/19 000 000 ≈ 0,99986.
P(au moins 1 gain) = 1 − 0,99986 ≈ 0,00014 = 0,014 %.
Soit 1 chance sur 7 000. Sur toute une vie, c'est statistiquement quasi impossible.
Coût total : 2 600 × 2,20 € ≈ 5 700 € dépensés pour un espoir infinitésimal. La loi des grands nombres confirme ici que les jeux d'argent sont conçus pour faire perdre les joueurs, pas gagner.