Chapitre 4 – Probabilités | 2nde Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 21 août 2026, 11:15
L'expérience la plus simple en probabilités est le lancer d'une pièce équilibrée. P(pile) = 0,5 (autant de chance que face). Mais que se passe-t-il en pratique sur 10 lancers ? 100 lancers ? 10 000 lancers ? La réponse va te surprendre — et a des conséquences directes pour le contrôle qualité industriel.
Voici les résultats de 4 simulations indépendantes (par ordinateur, sur une pièce parfaitement équilibrée) :
| Nombre de lancers | Nb piles obtenus | Fréquence pile | Écart à 0,5 |
|---|---|---|---|
| 10 | 3 | 0,300 | 0,200 (très loin) |
| 100 | 54 | 0,540 | 0,040 |
| 1 000 | 508 | 0,508 | 0,008 |
| 10 000 | 5 023 | 0,5023 | 0,0023 (quasi nul) |
Loi des grands nombres (Jacob Bernoulli, 1713) : quand le nombre d'essais N devient grand, la fréquence observée d'un événement tend vers sa probabilité théorique.
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §6 (fluctuation des fréquences) et §7 (loi des grands nombres).
D'après le tableau du document 1, comment évolue l'écart entre la fréquence observée et 0,5 quand N augmente ?
Écart à 0,5 :
Dans ces simulations, l'écart devient globalement plus petit quand \(N\) augmente. Il ne diminue pas forcément à chaque nouveau lancer : la fréquence peut encore s'éloigner ponctuellement de 0,5.
C'est la stabilisation des fréquences : sur de grands nombres d'essais, les écarts importants deviennent moins fréquents.
Après cinq contrôles défectueux de suite dans une simulation où \(P(\text{défaut})=0{,}04\) à chaque tirage avec remise, un apprenti affirme que la prochaine pièce sera forcément conforme « pour compenser ». Cette intuition est-elle correcte ?
Non. Dans le modèle indiqué, les prélèvements sont réalisés avec remise dans les mêmes conditions : ils sont indépendants les uns des autres. La probabilité de défaut reste 0,04 et celle d'une pièce conforme reste 0,96, quels que soient les résultats précédents.
La loi des grands nombres ne promet pas une compensation au tirage suivant. Elle décrit la stabilisation de la fréquence sur un grand nombre de tirages.
Un atelier de menuiserie a un taux de défaut de 4 % en théorie. Sur une commande de 25 pièces, quel nombre de défauts attend-on ? Quelle fluctuation peut-on observer ?
Prévision : \(25 \times 0{,}04 = 1\), soit environ 1 défaut, sans certitude sur le nombre exact.
Mais sur 25 pièces, on peut observer 0, 1, 2, voire 3 défauts par pure fluctuation. C'est la fluctuation d'échantillonnage.
Conclusion : ne pas s'alarmer d'une « mauvaise semaine » sur peu de pièces. Une mauvaise semaine peut être due au hasard, pas à un dysfonctionnement.
Sur une commande beaucoup plus grande (1 000 pièces), quel nombre de défauts attend-on ? Et la fluctuation ?
Prévision : \(1\,000 \times 0{,}04 = \mathbf{40}\), soit environ 40 défauts. Le nombre exact peut varier.
Sur un échantillon plus grand, la fréquence observée tend à être plus stable autour de 4 % : c'est l'effet de stabilisation de la loi des grands nombres.
Un nouvel atelier annonce 2 % de défauts, sur un échantillon de 50 pièces (1 défectueux). Cette information est-elle aussi fiable que celle d'un autre atelier qui annonce 4 % sur 1 000 pièces (40 défectueux) ?
Non. Les deux fréquences ne reposent pas sur la même quantité d'observations. La fréquence calculée sur 50 pièces est davantage susceptible de fluctuer.
Pour comparer les ateliers de manière plus solide, il faut des échantillons de tailles comparables et répéter les contrôles. La loi des grands nombres indique qu'une fréquence calculée sur un effectif plus grand tend à être plus stable.
Pour une ligne de fabrication de filtres de ventilation, on obtient les fréquences de défaut suivantes.
| Taille | Fréquence 1 | Fréquence 2 | Fréquence 3 | Fréquence 4 | Fréquence 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 50 filtres | 0,02 | 0,08 | 0,04 | 0,06 | 0,10 |
| 500 filtres | 0,038 | 0,044 | 0,040 | 0,046 | 0,042 |
Calcule l'étendue dans chaque série et interprète.
Pour \(n=50\) : \(0{,}10-0{,}02=\mathbf{0{,}08}\).
Pour \(n=500\) : \(0{,}046-0{,}038=\mathbf{0{,}008}\).
L'étendue est dix fois plus petite pour les grands échantillons : les fréquences y sont plus resserrées. Cette comparaison porte sur la fluctuation observée, sans utiliser de formule d'intervalle.
Rédiger en 5 lignes un petit guide à destination de ton apprenti pour qu'il comprenne la loi des grands nombres et ne tombe pas dans le piège du « pas de bol cette semaine ».
📋 Guide qualité — La loi des grands nombres pour les apprentis
Quand le modèle donne une probabilité de défaut de 4 %, cela ne signifie pas qu'exactement 4 pièces sur chaque lot de 100 seront défectueuses. Sur 25 pièces, on peut observer 0, 1, 2 ou 3 défauts par fluctuation.
Conclusion : ne juge pas la qualité de l'atelier sur une seule petite commande. Et si tu observes 3 défauts sur 25 ce mois-ci (12 %), ne panique pas : c'est peut-être juste la fluctuation. Recompte le mois suivant.
Inversement, si tu as eu 0 défaut sur 25, ne crois pas que tu as résolu le problème. La fluctuation peut t'avoir favorisé temporairement.
Simule des échantillons de probabilité \(p=0{,}20\) à la calculatrice ou au tableur (méthode du cours §6 : =SI(ALEA()<0,20;1;0) renvoie 1 avec la probabilité 0,20), puis complète le tableau.
| Taille | Fréquence 1 | Fréquence 2 | Fréquence 3 | Fréquence 4 | Fréquence 5 | Étendue |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 20 | … | … | … | … | … | … |
| 200 | … | … | … | … | … | … |
Compare les deux étendues.
Les résultats dépendent du hasard. Exemple possible :
| Taille | Fréquence 1 | Fréquence 2 | Fréquence 3 | Fréquence 4 | Fréquence 5 | Étendue |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 20 | 0,10 | 0,15 | 0,20 | 0,25 | 0,30 | 0,20 |
| 200 | 0,18 | 0,19 | 0,20 | 0,21 | 0,22 | 0,04 |
Les valeurs exactes peuvent changer, mais les fréquences des grands échantillons sont généralement plus resserrées autour de 0,20.