Chapitre 4 – Probabilités | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Tom, jeune apprenti menuisier, a reçu une dotation de quincaillerie pour son atelier. Tout est mélangé dans un grand sac de chevilles : il y a des chevilles de 2 matériaux différents (bois ou plastique) et de 2 diamètres différents (Ø 6 mm ou Ø 8 mm). Pour faire l'inventaire, Tom les compte et classe.
| Type | Bois | Plastique | Total |
|---|---|---|---|
| Ø 6 mm | 30 | 50 | 80 |
| Ø 8 mm | 20 | 0 | 20 |
| Total | 50 | 50 | 100 |
Tom mélange tout dans le sac et tire 1 cheville au hasard.
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §3 (intersection et union) et §4 (formule de l'union).
D'après le tableau, donner le nombre de chevilles :
Calculer les probabilités suivantes :
Calculer la probabilité P(bois OU Ø 6 mm) par 2 méthodes :
(a) Direct : nb chevilles bois OU 6 mm = bois (50) + plastique 6 mm (50) = 100. Donc P = 100/100 = 1.
Toutes les chevilles sont en bois ou de Ø 6 mm (sauf... aucune, vu que les Ø 8 mm sont aussi en bois).
(b) Formule : P(bois) + P(6 mm) − P(bois ∩ 6 mm) = 0,50 + 0,80 − 0,30 = 1,00 ✓
Les 2 méthodes donnent le même résultat. Conclusion : toutes les chevilles vérifient la condition « bois OU 6 mm ».
Pourquoi NE PAS additionner simplement P(A) + P(B) (= 0,50 + 0,80 = 1,30) ?
Une probabilité ne peut jamais dépasser 1. Si on additionne directement, on obtient 1,30 — impossible.
L'erreur : les chevilles « bois ET 6 mm » (30 chevilles) sont comptées 2 fois, une fois dans « bois » et une fois dans « 6 mm ». Il faut soustraire l'intersection pour ne pas les compter en double.
Visualisation par diagramme de Venn :
Sur le diagramme, les 30 chevilles « bois ∩ 6 mm » apparaissent dans la zone d'intersection — elles sont à la fois dans « bois » et dans « 6 mm ». La formule corrige le double comptage.
Calculer P(plastique OU Ø 8 mm).
Ces 2 événements sont-ils compatibles ou incompatibles ?
P(plastique ∩ 8 mm) = 0/100 = 0 (aucune cheville plastique 8 mm dans le sac).
Les événements sont donc incompatibles.
P(plastique OU 8 mm) = P(plastique) + P(8 mm) = 50/100 + 20/100 = 0,70 (la formule simplifiée s'applique car l'intersection est vide).
Vérification directe : nb chevilles plastique ou 8 mm = 50 + 20 = 70 → P = 70/100 = 0,70 ✓.
Tom prend une cheville sans regarder. Sachant qu'elle est en bois, quelle est la probabilité qu'elle soit de Ø 6 mm ?
On se restreint aux 50 chevilles en bois. Parmi elles, 30 sont de Ø 6 mm.
P(6 mm | bois) = 30/50 = 0,60 = 60 %.
C'est une probabilité conditionnelle (« sachant que »). Elle se distingue de P(bois ET 6 mm) = 0,30. Attention à ne pas confondre.
Pour comparaison : P(6 mm | plastique) = 50/50 = 1 (toutes les chevilles plastique sont 6 mm).
Tom a besoin de 1 cheville bois 6 mm pour fixer un caisson. Quelle est la probabilité de l'obtenir au premier tirage ? Si raté, à quoi ressemble la situation après ?
P(bois 6 mm) = 30/100 = 0,30 = 30 %. 1 chance sur 3.
Si Tom tire une cheville et la remet (tirage avec remise) : situation inchangée, P toujours 0,30. Loi du hasard.
Si Tom garde la cheville ratée (tirage sans remise) : pour le 2ᵉ tirage, la composition du sac a changé. Si la 1ʳᵉ cheville n'était pas bois 6 mm, P(bois 6 mm au 2ᵉ tirage) = 30/99 ≈ 0,303 (très légèrement plus). Si elle était bois 6 mm (cas favorable), il en reste 29 sur 99 → P = 29/99 ≈ 0,293.
En pratique, sur un grand sac, la différence est négligeable — sauf s'il reste très peu de chevilles.
Rédiger en 4 lignes une note d'inventaire que Tom peut écrire à son chef d'atelier.
📋 Inventaire chevilles atelier — Tom (apprenti)
Sac actuel : 100 chevilles. Composition : 50 bois (30 Ø 6 mm + 20 Ø 8 mm) et 50 plastique (toutes Ø 6 mm). Si on tire au hasard, on a 80 % de chance d'avoir une Ø 6 mm, 50 % une bois.
Manque dans le stock : chevilles plastique Ø 8 mm (0 unité). À commander si nécessaire pour les fixations dans le placo.
Recommandation : trier le sac par compartiments (bois 6, bois 8, plastique 6) pour gagner du temps en chantier.
Si on ajoute 30 chevilles plastique Ø 8 mm dans le sac (total 130), recalculer P(plastique OU Ø 8 mm).
Nouveau tableau : plastique 50 + 30 = 80 ; Ø 8 mm 20 + 30 = 50 ; intersection plastique ∩ 8 mm = 30 (pas 0 cette fois).
P(plastique) = 80/130 ≈ 0,615 ; P(8 mm) = 50/130 ≈ 0,385 ; P(plastique ∩ 8 mm) = 30/130 ≈ 0,231.
P(plastique OU 8 mm) = 0,615 + 0,385 − 0,231 = 0,769 ≈ 77 %.
Vérification directe : nb chevilles plastique ou 8 mm = 80 + 50 − 30 = 100. P = 100/130 ≈ 0,769 ✓.
Les événements sont maintenant compatibles (l'intersection n'est plus vide). La formule complète s'applique.