Chapitre 4 – Probabilités | 2nde Bac Pro MAMA | Mathématiques | ⏱ 50 min
Dernière mise à jour : 4 mai 2026, 11:30
Yann, tourneur sur bois dans une menuiserie de Lille, fabrique des pieds de table en chêne tournés. La fabrication se fait sur un tour à bois traditionnel. Comme tout processus manuel, certaines pièces présentent des défauts (nœuds visibles, fente, mauvaise finition). Pour préparer une grosse commande, le contrôleur qualité (Sami) doit estimer le taux de défaut de l'atelier.
Sur un lot représentatif de 200 pieds de meubles tournés, le contrôleur Sami trouve 8 pieds défectueux.
Liste des défauts rencontrés :
📚 Cette activité réinvestit les notions du cours §1 (vocabulaire des probabilités) et §2 (probabilité et fréquence).
Identifier dans la situation :
Calculer la probabilité P(défaut) qu'un pied tiré au hasard soit défectueux.
P(défaut) = nb défectueux / nb total = 8 / 200 = 0,04 = 4 %.
Interprétation : sur un grand nombre de pieds, environ 4 % seront défectueux.
Calculer la probabilité P(conforme) par 2 méthodes différentes :
(a) Direct : P(conforme) = 192 / 200 = 0,96 = 96 %.
(b) Événement contraire : P(conforme) = 1 − P(défaut) = 1 − 0,04 = 0,96 = 96 %. ✓
Les 2 méthodes donnent le même résultat. La méthode (b) est plus rapide quand on connaît P(défaut).
Représenter les 2 issues sur un schéma proportionnel (camembert ou rectangle).
Le rectangle représente l'ensemble de la production (200 pieds). La grande zone verte (96 %) correspond aux pieds conformes, la petite zone rouge (4 %) aux pieds défectueux.
Visuellement, on voit que la production est globalement de bonne qualité, mais le défaut, bien que rare en proportion, peut représenter beaucoup d'unités sur un grand lot.
Sami doit fournir une commande de 5 000 pieds à un fabricant de mobilier. Estimer le nombre de pieds défectueux à prévoir.
Estimation = effectif total × probabilité de défaut = 5 000 × 0,04 = 200 pieds défectueux en moyenne.
Sur cette base, Sami doit prévoir une marge de production : commander/fabriquer environ 5 200 pieds pour livrer 5 000 conformes.
Mieux : 5 % de marge (250 pieds en plus = 5 250 production), pour absorber les éventuelles fluctuations au-dessus des 4 %.
Si Sami refait un échantillon de 200 pieds dans 2 mois, va-t-il retrouver exactement 8 défectueux ?
Pas forcément. Sami pourrait trouver 5, 7, 10, 12 défectueux. C'est la fluctuation des fréquences.
Sur des échantillons de 200, il est normal d'observer un nombre de défauts entre 5 et 11 (autour de 8) — c'est la fluctuation d'échantillonnage : la plage des valeurs « normales ».
Plus l'échantillon est grand (par ex. 10 000 pieds), plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique 0,04. C'est la loi des grands nombres.
Sami envisage de demander à Yann d'améliorer la qualité en visant 1 % de défauts (au lieu de 4 %). Pour cela, Yann doit changer sa machine. Combien de pieds défectueux en moins sur la commande de 5 000 ?
Avec 1 % de défaut : 5 000 × 0,01 = 50 pieds défectueux (au lieu de 200).
Économie : 200 − 50 = 150 pieds non défectueux en plus sur la commande.
Au prix de 35 €/pied, cela représente 150 × 35 = 5 250 € d'économie. Un investissement dans une nouvelle machine peut être rentabilisé rapidement.
Rédiger en 5 lignes le compte-rendu d'analyse qualité que Sami transmet à Yann.
📋 Analyse qualité — Atelier Yann (n = 200 pieds)
Sur l'échantillon contrôlé de 200 pieds, j'ai relevé 8 défectueux (4 %). Probabilités : P(conforme) = 0,96 ; P(défaut) = 0,04. Sur la commande client de 5 000 pieds, on peut estimer environ 200 défectueux à prévoir → fabriquer 5 250 pour livrer 5 000.
Les défauts les plus fréquents (3 sur 8 = 37,5 %) sont les nœuds + fentes : amélioration possible par un meilleur tri des planches en amont. Les défauts de finition (2 sur 8) suggèrent un calibrage à revoir sur le tour.
Si on vise 1 % de défaut (objectif réaliste avec un investissement modéré), on économiserait 150 pieds par lot de 5 000 — soit ~ 5 250 € à 35 €/pied. Investissement rentable dès la 2ᵉ commande.
Un autre atelier annonce 2 % de défauts seulement, mais sur un échantillon de 50 pieds (1 défectueux). Cette information est-elle aussi fiable que celle de Yann (8 sur 200) ?
Non. Sur un échantillon trop petit (50 pieds), 1 défaut peut être un coup de chance ou de malchance. La fréquence observée est très peu fiable.
Avec 50 pieds, la fluctuation est large : la vraie probabilité pourrait être n'importe où entre 0 % et 8-10 %.
Avec 200 pieds, on a beaucoup plus de fiabilité. Avec 1 000 ou 10 000 pieds, on serait quasi certain.
Règle pratique : plus l'échantillon est grand, plus la probabilité estimée est proche de la réalité. C'est la loi des grands nombres.