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Chapitre 3 – Exercices par capacités

Indicateurs statistiques  |  Seconde Bac Pro MAMA  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 11 mai 2026

Capacités et connaissances du programme :
Min Q1 Méd Q3 Max

C1 — Calculer la moyenne

Rappel de cours

La moyenne d'une série est \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\) pour des données brutes. Avec un tableau d'effectifs : \(\bar{x} = \frac{\sum n_i \times x_i}{N}\) où \(N = \sum n_i\) est l'effectif total. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.

Exercice 1

Un apprenti menuisier obtient les notes suivantes sur 5 travaux pratiques : 12 ; 15 ; 9 ; 14 ; 10. Calculer sa moyenne.

\[\bar{x} = \frac{12 + 15 + 9 + 14 + 10}{5} = \frac{60}{5} = \mathbf{12}\]

Exercice 2

Un atelier produit des tasseaux dont les longueurs (en cm) sont regroupées dans le tableau suivant. Calculer la longueur moyenne.

Longueur \(x_i\) (cm)195198200202205
Effectif \(n_i\)35863
Effectif total : \(N = 3 + 5 + 8 + 6 + 3 = 25\)
\[\bar{x} = \frac{3 \times 195 + 5 \times 198 + 8 \times 200 + 6 \times 202 + 3 \times 205}{25}\] \[= \frac{585 + 990 + 1600 + 1212 + 615}{25} = \frac{5002}{25} = \mathbf{200{,}08} \text{ cm}\]

Exercice 3

Les temps de pose (en minutes) de 6 menuisiers sur le même type de travail sont : 45 ; 38 ; 52 ; 41 ; 49 ; 43. Calculer le temps moyen. Un menuisier débutant met 70 minutes. Si on l'ajoute à la série, comment évolue la moyenne ?

Moyenne des 6 : \(\bar{x} = \frac{45+38+52+41+49+43}{6} = \frac{268}{6} \approx \mathbf{44{,}7}\) min
Avec le débutant : \(\bar{x} = \frac{268 + 70}{7} = \frac{338}{7} \approx \mathbf{48{,}3}\) min
La valeur élevée (70) tire la moyenne vers le haut.

Exercice 4

Un chef d'atelier souhaite que la moyenne des temps de pose de son équipe soit inférieure à 50 minutes. Les 5 premiers temps sont 47, 52, 48, 55, 44 min. Quel temps maximum le 6e ouvrier doit-il réaliser pour que l'objectif soit atteint ?

Somme des 5 premiers : \(47 + 52 + 48 + 55 + 44 = 246\) min
Pour une moyenne \(< 50\) sur 6 valeurs, il faut : somme \(< 300\)
6e ouvrier \(< 300 - 246 = \mathbf{54}\) minutes.

C2 — Déterminer la médiane

Rappel de cours

La médiane Me partage la série ordonnée en deux moitiés égales. Si \(n\) est impair, Me est la valeur de rang \(\frac{n+1}{2}\). Si \(n\) est pair, Me est la moyenne des valeurs de rang \(\frac{n}{2}\) et \(\frac{n}{2}+1\). La médiane est robuste aux valeurs extrêmes (contrairement à la moyenne).

Exercice 5

Déterminer la médiane des séries suivantes :

  1. 7 valeurs : 12 ; 8 ; 15 ; 9 ; 11 ; 14 ; 10
  2. 6 valeurs : 23 ; 18 ; 25 ; 20 ; 22 ; 19
  1. Classement croissant : 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14 ; 15
    \(n = 7\) impair → la médiane est la 4e valeur : \(\text{Me} = \mathbf{11}\)
  2. Classement croissant : 18 ; 19 ; 20 ; 22 ; 23 ; 25
    \(n = 6\) pair → la médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs : \(\text{Me} = \frac{20+22}{2} = \mathbf{21}\)

Exercice 6

Un contrôleur mesure l'épaisseur (en mm) de 9 panneaux : 18,2 ; 17,8 ; 18,5 ; 18,0 ; 18,3 ; 17,9 ; 18,1 ; 18,4 ; 18,0. Quelle est la médiane ? Que signifie-t-elle ici ?

Classement : 17,8 ; 17,9 ; 18,0 ; 18,0 ; 18,1 ; 18,2 ; 18,3 ; 18,4 ; 18,5
\(n = 9\) impair → médiane = 5e valeur : \(\text{Me} = \mathbf{18{,}1}\) mm
Cela signifie que 50 % des panneaux ont une épaisseur ≤ 18,1 mm et 50 % ont ≥ 18,1 mm.

Exercice 7

Comparer moyenne et médiane pour la série : 10 ; 12 ; 11 ; 13 ; 95. Quelle mesure décrit le mieux la série ? Pourquoi ?

Min Q1 Méd Q3 Max
Moyenne : \(\frac{10+12+11+13+95}{5} = \frac{141}{5} = 28{,}2\)
Médiane (classement : 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 95) : 3e valeur = 12
La médiane représente mieux la série : la valeur 95 est un outlier (valeur aberrante) qui tire la moyenne vers le haut. La médiane est robuste aux valeurs extrêmes.

C3 — Quartiles Q1, Q3 et écart interquartile

Rappel de cours

Sur la série triée de \(N\) valeurs : Q1 est la valeur au rang \(\lceil N/4 \rceil\) (au moins 25 % des données lui sont ≤). Q3 est la valeur au rang \(\lceil 3N/4 \rceil\) (au moins 75 % ≤). L'écart interquartile est \(\text{IQR} = Q_3 - Q_1\) : il mesure la dispersion des 50 % centraux, indépendamment des valeurs extrêmes.

Exercice 8

Pour la série ordonnée : 5 ; 8 ; 10 ; 12 ; 15 ; 18 ; 20 ; 22 ; 25 ; 28 ; 30 ; 32, déterminer Q1, la médiane et Q3, puis calculer l'écart interquartile.

\(n = 12\) valeurs.
Médiane : moyenne des 6e et 7e valeurs : \(\text{Me} = \frac{18+20}{2} = 19\)
Position Q1 : \(\lceil 12/4 \rceil = 3\) → Q1 = 3e valeur = 10.
Position Q3 : \(\lceil 36/4 \rceil = 9\) → Q3 = 9e valeur = 25.
Écart interquartile : \(Q_3 - Q_1 = 25 - 10 = \mathbf{15}\)

Exercice 9

Les salaires mensuels nets (en €) de 10 employés d'un atelier sont : 1 550 ; 1 620 ; 1 480 ; 1 700 ; 1 590 ; 1 750 ; 1 530 ; 1 680 ; 1 600 ; 1 800.

  1. Déterminer Q1 et Q3.
  2. Calculer l'écart interquartile. Que représente-t-il ?
  3. 50 % des salaires se situent dans quel intervalle ?
Ordre croissant : 1 480 ; 1 530 ; 1 550 ; 1 590 ; 1 600 ; 1 620 ; 1 680 ; 1 700 ; 1 750 ; 1 800
Médiane : \(\frac{1600+1620}{2} = 1610\) €
Position Q1 : \(\lceil 10/4 \rceil = 3\) → Q1 = 3e valeur = 1 550 €
Position Q3 : \(\lceil 30/4 \rceil = 8\) → Q3 = 8e valeur = 1 700 €
  1. \(Q_1 = 1\,550\) € ; \(Q_3 = 1\,700\) €
  2. IQR = \(1\,700 - 1\,550 = \mathbf{150}\) € → l'écart interquartile mesure la dispersion des 50 % de salaires centraux.
  3. 50 % des salaires sont dans l'intervalle \([1\,550 ; 1\,700]\) €.

Exercice 10

Deux équipes A et B ont des temps de pose (en min) avec les indicateurs suivants :

MinQ1MédianeQ3Max
Équipe A3038455065
Équipe B2540454870

Comparer l'IQR des deux équipes. Quelle équipe est la plus régulière ?

IQR équipe A : \(50 - 38 = 12\) min
IQR équipe B : \(48 - 40 = 8\) min
L'équipe B a un IQR plus faible → elle est plus régulière (les valeurs centrales sont moins dispersées).

C4 — Calculer l'étendue d'une série

Rappel de cours

L'étendue d'une série est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale : étendue = max − min. C'est l'indicateur de dispersion le plus simple, mais il ne tient compte que des valeurs extrêmes et ignore la distribution des valeurs intermédiaires.

Exercice 11

Calculer l'étendue des séries suivantes :

  1. Longueurs (cm) : 48 ; 51 ; 49 ; 52 ; 50 ; 47 ; 53
  2. Notes : 8 ; 14 ; 12 ; 7 ; 15 ; 9 ; 11 ; 13
  1. Min = 47 ; Max = 53 → Étendue = \(53 - 47 = \mathbf{6}\) cm
  2. Min = 7 ; Max = 15 → Étendue = \(15 - 7 = \mathbf{8}\)

Exercice 12

Dans un atelier, la tolérance sur la longueur d'un litteau est ± 3 mm (donc étendue maximale admissible = 6 mm). Un technicien mesure 8 liteaux et obtient : 200 ; 202 ; 199 ; 201 ; 203 ; 200 ; 198 ; 201 mm. Le lot est-il conforme ?

Min = 198 mm ; Max = 203 mm
Étendue = \(203 - 198 = 5\) mm
5 mm ≤ 6 mm → Le lot est conforme à la tolérance.

Exercice 13

L'étendue mesure-t-elle bien la dispersion d'une série ? Comparer les deux séries :

Série A : 10 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50
Série B : 10 ; 10 ; 30 ; 50 ; 50

Les deux séries ont la même étendue : \(50 - 10 = 40\).
Pourtant, elles sont différentes : la série B est « bimodale » (concentrée aux extrêmes) alors que A est régulièrement espacée.
Limite de l'étendue : elle ne tient compte que des valeurs extrêmes, pas de la distribution des valeurs intermédiaires.

C5 — Construire et interpréter une boîte à moustaches

À retenir

Une boîte à moustaches (diagramme en boîte) résume une série avec 5 indicateurs : Min, Q1, Médiane, Q3, Max. La boîte va de Q1 à Q3 (contient 50 % des données), la barre verticale intérieure indique la médiane, et les moustaches s'étendent jusqu'aux valeurs extrêmes.

Min Q1 Me Q3 Max 50 % des données
Structure d'une boite a moustaches : Min, Q1, Mediane, Q3, Max

Exercice 14

Les 5 indicateurs d'une série de temps de travail (en min) sont : Min = 20 ; Q1 = 28 ; Médiane = 33 ; Q3 = 40 ; Max = 55.

  1. Décrire la construction de la boîte à moustaches (où placer chaque élément).
  2. La distribution est-elle symétrique ?
  1. La boîte va de Q1 = 28 à Q3 = 40 ; le trait vertical à l'intérieur marque la médiane à 33.
    La moustache gauche va de Min = 20 à Q1 = 28 ; la moustache droite va de Q3 = 40 à Max = 55.
  2. La boîte n'est pas centrée sur la médiane (33 − 28 = 5 à gauche vs 40 − 33 = 7 à droite) et la moustache droite (15 min) est plus longue que la gauche (8 min) → distribution asymétrique, avec un étalement vers les grandes valeurs.

Exercice 15

Voici les indicateurs de deux machines de découpe (durées d'arrêt en heures sur un mois) :

MinQ1MédianeQ3Max
Machine 1135712
Machine 224689
  1. Laquelle a la plus grande étendue ? Le plus grand IQR ?
  2. Quelle machine est la plus fiable (temps d'arrêt les plus réguliers) ?
  1. Étendue : M1 = 11 h, M2 = 7 h → Machine 1 a la plus grande étendue.
    IQR : M1 = 4 h, M2 = 4 h → égalité.
  2. Machine 2 : étendue plus faible (7 h vs 11 h) et pas de valeur extrême comme 12 h → la Machine 2 est plus fiable.

Exercice 16

À partir de la série suivante, construire tous les indicateurs puis dessiner la boîte à moustaches :
Durées d'intervention (min) : 25 ; 30 ; 18 ; 45 ; 22 ; 35 ; 28 ; 40 ; 20 ; 32

Ordre croissant : 18 ; 20 ; 22 ; 25 ; 28 ; 30 ; 32 ; 35 ; 40 ; 45
\(n = 10\)
Min = 18 ; Max = 45
Médiane : \(\frac{28 + 30}{2} = 29\) min
Position Q1 : \(\lceil 10/4 \rceil = 3\) → Q1 = 3e valeur = 22 min.
Position Q3 : \(\lceil 30/4 \rceil = 8\) → Q3 = 8e valeur = 35 min.
Étendue = 27 min ; IQR = 13 min
Boîte à moustaches : moustache gauche [18 ; 22], boîte [22 ; 35] avec médiane à 29, moustache droite [35 ; 45].
18 22 29 35 45 duree (min)
Boite a moustaches des durees d'intervention

C6 — Déterminer le mode (ou la classe modale) et calculer l'écart type

Rappel de cours

Le mode est la valeur qui a le plus grand effectif. Pour des données groupées en classes, la classe modale est la classe de plus grand effectif.
L'écart type \(\sigma\) mesure la dispersion autour de la moyenne : plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées. Il se calcule avec la calculatrice ou un tableur : \(\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum n_i(x_i - \bar{x})^2}\).

Exercice 17

Un atelier mesure le diamètre (en mm) de 20 pièces usinées :

Diamètre (mm)49,849,950,050,150,2
Effectif25832
  1. Déterminer le mode de cette série.
  2. Calculer la moyenne.
  3. L'écart type vaut \(\sigma \approx 0{,}11\) mm. Interpréter ce résultat dans le contexte du contrôle qualité.
  1. Le mode est 50,0 mm (effectif le plus grand : 8).
  2. \(\bar{x} = \frac{2 \times 49{,}8 + 5 \times 49{,}9 + 8 \times 50{,}0 + 3 \times 50{,}1 + 2 \times 50{,}2}{20} = \frac{999{,}8}{20} = 49{,}99\) mm
  3. Un écart type de 0,11 mm signifie que la plupart des pièces ont un diamètre compris entre \(49{,}99 - 0{,}11 = 49{,}88\) mm et \(49{,}99 + 0{,}11 = 50{,}10\) mm. La production est régulière (faible dispersion).

Exercice 18

Les durées d'intervention (en min) sont regroupées en classes :

Durée (min)[0 ; 15[[15 ; 30[[30 ; 45[[45 ; 60[
Effectif41286
  1. Déterminer la classe modale.
  2. Calculer la moyenne en utilisant le centre de chaque classe.
  1. La classe modale est [15 ; 30[ (effectif le plus grand : 12).
  2. Centres : 7,5 ; 22,5 ; 37,5 ; 52,5.
    \(\bar{x} = \frac{4 \times 7{,}5 + 12 \times 22{,}5 + 8 \times 37{,}5 + 6 \times 52{,}5}{30} = \frac{30 + 270 + 300 + 315}{30} = \frac{915}{30} = 30{,}5\) min

Exercice 19

Deux machines produisent des vis. La longueur cible est 25 mm. Voici les résultats :

MachineMoyenne (mm)Écart type (mm)
Machine A25,020,08
Machine B24,980,25

Les deux machines ont une moyenne proche de 25 mm. Laquelle est la plus fiable ? Justifier.

La machine A est plus fiable car son écart type (0,08 mm) est nettement inférieur à celui de la machine B (0,25 mm).
Cela signifie que les vis produites par A sont plus régulières (moins dispersées autour de la moyenne). Avec B, on risque davantage de pièces hors tolérance.