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Chapitre 3 – Exercices par capacités

Indicateurs statistiques  |  2nde Bac Pro  |  Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 14:30

Capacités et connaissances du programme :
Min Q1 Méd Q3 Max
Calculatrice ou tableur. Comme le demande le programme, les indicateurs se calculent à la calculatrice ou au tableur en évaluation. Les méthodes à la main servent à comprendre ce que calcule la machine.

C1 — Calculer la moyenne d'une série, y compris pondérée par des effectifs ou des classes

Rappel de cours

La moyenne d'une série est \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\) pour des données brutes. Avec un tableau d'effectifs : \(\bar{x} = \frac{\sum n_i \times x_i}{N}\) où \(N = \sum n_i\) est l'effectif total. La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes.

Exercice 1

Un apprenti menuisier obtient les notes suivantes sur 5 travaux pratiques : 12 ; 15 ; 9 ; 14 ; 10. Calculer sa moyenne.

\[\bar{x} = \frac{12 + 15 + 9 + 14 + 10}{5} = \frac{60}{5} = \mathbf{12}\]

Exercice 2

Un atelier produit des tasseaux dont les longueurs (en cm) sont regroupées dans le tableau suivant. Calculer la longueur moyenne.

Longueur \(x_i\) (cm)195198200202205
Effectif \(n_i\)35863
Effectif total : \(N = 3 + 5 + 8 + 6 + 3 = 25\)
\[\bar{x} = \frac{3 \times 195 + 5 \times 198 + 8 \times 200 + 6 \times 202 + 3 \times 205}{25}\] \[= \frac{585 + 990 + 1600 + 1212 + 615}{25} = \frac{5002}{25} = \mathbf{200{,}08} \text{ cm}\]

Exercice 3

Les temps de pose (en minutes) de 6 menuisiers sur le même type de travail sont : 45 ; 38 ; 52 ; 41 ; 49 ; 43. Calculer le temps moyen. Un menuisier débutant met 70 minutes. Si on l'ajoute à la série, comment évolue la moyenne ?

Moyenne des 6 : \(\bar{x} = \frac{45+38+52+41+49+43}{6} = \frac{268}{6} \approx \mathbf{44{,}7}\) min
Avec le débutant : \(\bar{x} = \frac{268 + 70}{7} = \frac{338}{7} \approx \mathbf{48{,}3}\) min
La valeur élevée (70) tire la moyenne vers le haut.

Exercice 4

Un chef d'atelier souhaite que la moyenne des temps de pose de son équipe soit inférieure à 50 minutes. Les 5 premiers temps sont 47, 52, 48, 55, 44 min. Quel temps maximum le 6e ouvrier doit-il réaliser pour que l'objectif soit atteint ?

Somme des 5 premiers : \(47 + 52 + 48 + 55 + 44 = 246\) min
Pour une moyenne \(< 50\) sur 6 valeurs, il faut : somme \(< 300\)
6e ouvrier \(< 300 - 246 = \mathbf{54}\) minutes.

C2 — Déterminer la médiane d'une série, donnée en liste ou en tableau d'effectifs

Rappel de cours

La médiane Me partage la série ordonnée en deux moitiés égales. Si \(n\) est impair, Me est la valeur de rang \(\frac{n+1}{2}\). Si \(n\) est pair, Me est la moyenne des valeurs de rang \(\frac{n}{2}\) et \(\frac{n}{2}+1\). La médiane est robuste aux valeurs extrêmes (contrairement à la moyenne).

Exercice 5

Déterminer la médiane des séries suivantes :

  1. 7 valeurs : 12 ; 8 ; 15 ; 9 ; 11 ; 14 ; 10
  2. 6 valeurs : 23 ; 18 ; 25 ; 20 ; 22 ; 19
  1. Classement croissant : 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 14 ; 15
    \(n = 7\) impair → la médiane est la 4e valeur : \(\text{Me} = \mathbf{11}\)
  2. Classement croissant : 18 ; 19 ; 20 ; 22 ; 23 ; 25
    \(n = 6\) pair → la médiane est la moyenne des 3e et 4e valeurs : \(\text{Me} = \frac{20+22}{2} = \mathbf{21}\)

Exercice 6

Un contrôleur mesure l'épaisseur (en mm) de 9 panneaux : 18,2 ; 17,8 ; 18,5 ; 18,0 ; 18,3 ; 17,9 ; 18,1 ; 18,4 ; 18,0. Quelle est la médiane ? Que signifie-t-elle ici ?

Classement : 17,8 ; 17,9 ; 18,0 ; 18,0 ; 18,1 ; 18,2 ; 18,3 ; 18,4 ; 18,5
\(n = 9\) impair → médiane = 5e valeur : \(\text{Me} = \mathbf{18{,}1}\) mm
Cela signifie que 50 % des panneaux ont une épaisseur ≤ 18,1 mm et 50 % ont ≥ 18,1 mm.

Exercice 7

Comparer moyenne et médiane pour la série : 10 ; 12 ; 11 ; 13 ; 95. Quelle mesure décrit le mieux la série ? Pourquoi ?

Moyenne : \(\frac{10+12+11+13+95}{5} = \frac{141}{5} = 28{,}2\)
Médiane (classement : 10 ; 11 ; 12 ; 13 ; 95) : 3e valeur = 12
La médiane représente mieux la série : la valeur 95 est une valeur aberrante (atypique) qui tire la moyenne vers le haut. La médiane est robuste aux valeurs extrêmes.

C3 — Déterminer les quartiles Q1, Q3 et calculer l'écart interquartile

Rappel de cours

Sur la série triée de \(N\) valeurs : Q1 est la valeur au rang \(\lceil N/4 \rceil\) (au moins 25 % des données lui sont ≤). Q3 est la valeur au rang \(\lceil 3N/4 \rceil\) (au moins 75 % ≤). L'écart interquartile est \(\text{IQR} = Q_3 - Q_1\) : il mesure la dispersion des 50 % centraux, indépendamment des valeurs extrêmes.
À la calculatrice (mode statistique) : valeurs dans une liste, effectifs dans une autre, puis lecture de Q1, Med et Q3. Selon l'outil, les quartiles peuvent différer un peu de la méthode des rangs. Les séries ci-dessous sont choisies pour que tous les outils donnent le même résultat, sauf mention contraire.

Exercice 8

Pour la série ordonnée : 5 ; 8 ; 10 ; 10 ; 15 ; 18 ; 20 ; 22 ; 25 ; 25 ; 30 ; 32, déterminer Q1, la médiane et Q3 par la méthode des rangs, puis calculer l'écart interquartile. Contrôler ensuite à la calculatrice.

\(n = 12\) valeurs.
Médiane : moyenne des 6e et 7e valeurs : \(\text{Me} = \frac{18+20}{2} = 19\)
Position Q1 : \(\lceil 12/4 \rceil = 3\) → Q1 = 3e valeur = 10.
Position Q3 : \(\lceil 36/4 \rceil = 9\) → Q3 = 9e valeur = 25.
Écart interquartile : \(Q_3 - Q_1 = 25 - 10 = \mathbf{15}\)
La calculatrice affiche les mêmes valeurs : Q1 = 10, Med = 19 et Q3 = 25.

Exercice 9

Les salaires mensuels nets (en €) de 10 employés d'un atelier sont : 1 550 ; 1 620 ; 1 480 ; 1 700 ; 1 590 ; 1 750 ; 1 530 ; 1 680 ; 1 600 ; 1 800.

  1. Déterminer Q1 et Q3.
  2. Calculer l'écart interquartile. Que représente-t-il ?
  3. 50 % des salaires se situent dans quel intervalle ?
Ordre croissant : 1 480 ; 1 530 ; 1 550 ; 1 590 ; 1 600 ; 1 620 ; 1 680 ; 1 700 ; 1 750 ; 1 800
Médiane : \(\frac{1600+1620}{2} = 1610\) €
Position Q1 : \(\lceil 10/4 \rceil = 3\) → Q1 = 3e valeur = 1 550 €
Position Q3 : \(\lceil 30/4 \rceil = 8\) → Q3 = 8e valeur = 1 700 €
  1. \(Q_1 = 1\,550\) € ; \(Q_3 = 1\,700\) €
  2. IQR = \(1\,700 - 1\,550 = \mathbf{150}\) € → l'écart interquartile mesure la dispersion des 50 % de salaires centraux.
  3. 50 % des salaires sont dans l'intervalle \([1\,550 ; 1\,700]\) €.
À la calculatrice, on lit aussi Q1 = 1 550 € et Q3 = 1 700 €. Le tableur, qui fait une moyenne de deux valeurs voisines, affiche 1 560 € et 1 695 € : sur cette série, on attend les valeurs de la méthode des rangs ou de la calculatrice.

Exercice 10

Deux équipes A et B ont des temps de pose (en min) avec les indicateurs suivants :

MinQ1MédianeQ3Max
Équipe A3038455065
Équipe B2540454870

Comparer l'IQR des deux équipes. Quelle équipe est la plus régulière ?

IQR équipe A : \(50 - 38 = 12\) min
IQR équipe B : \(48 - 40 = 8\) min
L'équipe B a un IQR plus faible → elle est plus régulière (les valeurs centrales sont moins dispersées).

Exercice 11

Un contrôleur compte le nombre de défauts sur 25 panneaux de bois :

Nombre de défauts012345
Nombre de panneaux368521
  1. Saisir la série à la calculatrice, en mode statistique : les valeurs dans une première liste, les effectifs dans une deuxième. Quel effectif total doit afficher la calculatrice ?
  2. Lire Q1, la médiane et Q3, puis calculer l'écart interquartile.
  3. Interpréter l'écart interquartile.
  1. Liste 1 : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5. Liste 2 : 3 ; 6 ; 8 ; 5 ; 2 ; 1. La calculatrice doit afficher \(n = 3 + 6 + 8 + 5 + 2 + 1 = \mathbf{25}\). Si elle affiche \(n = 6\), la liste des effectifs n'a pas été prise en compte.
  2. La calculatrice affiche Q1 = 1, Med = 2 et Q3 = 3. Écart interquartile : \(3 - 1 = \mathbf{2}\) défauts.
    Contrôle par la méthode des rangs : rang \(\lceil 25/4 \rceil = 7\) pour Q1 et \(\lceil 75/4 \rceil = 19\) pour Q3 ; les effectifs cumulés 3, 9, 17, 22, 24, 25 donnent bien 1 et 3.
  3. La moitié centrale des panneaux a entre 1 et 3 défauts.

C4 — Calculer l'étendue d'une série

Rappel de cours

L'étendue d'une série est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale : étendue = max − min. C'est l'indicateur de dispersion le plus simple, mais il ne tient compte que des valeurs extrêmes et ignore la distribution des valeurs intermédiaires.

Exercice 12

Calculer l'étendue des séries suivantes :

  1. Longueurs (cm) : 48 ; 51 ; 49 ; 52 ; 50 ; 47 ; 53
  2. Notes : 8 ; 14 ; 12 ; 7 ; 15 ; 9 ; 11 ; 13
  1. Min = 47 ; Max = 53 → Étendue = \(53 - 47 = \mathbf{6}\) cm
  2. Min = 7 ; Max = 15 → Étendue = \(15 - 7 = \mathbf{8}\)

Exercice 13

Dans un atelier, un liteau doit mesurer 200 mm, à ± 3 mm près : sa longueur doit donc être comprise entre 197 mm et 203 mm. Un technicien mesure 8 liteaux et obtient : 200 ; 202 ; 199 ; 201 ; 203 ; 200 ; 198 ; 201 mm.

  1. Calculer l'étendue de la série.
  2. Un collègue affirme : « L'étendue est inférieure à 6 mm, donc tous les liteaux sont conformes. » Son raisonnement suffit-il ? Vérifier la conformité du lot.
  1. Min = 198 mm ; Max = 203 mm. Étendue = \(203 - 198 = \mathbf{5}\) mm.
  2. Non : l'étendue dit seulement que les longueurs sont proches les unes des autres. Des liteaux de 205 à 209 mm auraient aussi une étendue de 4 mm, et aucun ne serait conforme. Il faut regarder les deux extrêmes : 198 mm ≥ 197 mm et 203 mm ≤ 203 mm. Tous les liteaux sont entre 197 et 203 mm : le lot est conforme.

Exercice 14

L'étendue mesure-t-elle bien la dispersion d'une série ? Comparer les deux séries :

Série A : 10 ; 20 ; 30 ; 40 ; 50
Série B : 10 ; 10 ; 30 ; 50 ; 50

Les deux séries ont la même étendue : \(50 - 10 = 40\).
Pourtant, elles sont différentes : la série B est « bimodale » (concentrée aux extrêmes) alors que A est régulièrement espacée.
Limite de l'étendue : elle ne tient compte que des valeurs extrêmes, pas de la distribution des valeurs intermédiaires.

C5 — Construire, interpréter et comparer des boîtes à moustaches

À retenir

Une boîte à moustaches (diagramme en boîte) résume une série avec 5 indicateurs : Min, Q1, Médiane, Q3, Max. La boîte va de Q1 à Q3 (contient 50 % des données), la barre verticale intérieure indique la médiane, et les moustaches s'étendent jusqu'aux valeurs extrêmes.

Min Q1 Me Q3 Max 50 % des données
Structure d'une boite a moustaches : Min, Q1, Mediane, Q3, Max

Exercice 15

Les 5 indicateurs d'une série de temps de travail (en min) sont : Min = 20 ; Q1 = 28 ; Médiane = 33 ; Q3 = 40 ; Max = 55.

  1. Décrire la construction de la boîte à moustaches (où placer chaque élément).
  2. La distribution est-elle symétrique ?
  1. La boîte va de Q1 = 28 à Q3 = 40 ; le trait vertical à l'intérieur marque la médiane à 33.
    La moustache gauche va de Min = 20 à Q1 = 28 ; la moustache droite va de Q3 = 40 à Max = 55.
  2. La boîte n'est pas centrée sur la médiane (33 − 28 = 5 à gauche vs 40 − 33 = 7 à droite) et la moustache droite (15 min) est plus longue que la gauche (8 min) → distribution asymétrique, avec un étalement vers les grandes valeurs.

Exercice 16

Voici les indicateurs de deux machines de découpe (durées d'arrêt en heures sur un mois) :

MinQ1MédianeQ3Max
Machine 1135712
Machine 224689
  1. Laquelle a la plus grande étendue ? Le plus grand IQR ?
  2. Tracer les deux boîtes à moustaches sur un même axe gradué.
  3. Sur ce dessin, qu'est-ce qui distingue les deux machines : la boîte, ou les moustaches ? Quelle machine est la plus fiable (temps d'arrêt les plus réguliers) ?
  1. Étendue : M1 = 11 h, M2 = 7 h → Machine 1 a la plus grande étendue.
    IQR : M1 = 4 h, M2 = 4 h → égalité.
  2. Les deux boîtes sur le même axe :
    Durées d'arrêt des deux machines de découpe
  3. Les boîtes ont la même largeur (IQR = 4 h pour les deux) : c'est donc la moustache droite qui les distingue — celle de la machine 1 s'étire jusqu'à 12 h, celle de la machine 2 s'arrête à 9 h.
    La Machine 2 est la plus fiable : même régularité au centre, mais pas d'arrêt exceptionnellement long.

Exercice 17

À partir de la série suivante, déterminer les cinq valeurs de la boîte (à la calculatrice ou par la méthode des rangs), puis dessiner la boîte à moustaches :
Durées d'intervention (min) : 25 ; 30 ; 18 ; 45 ; 22 ; 35 ; 28 ; 40 ; 20 ; 32

Ordre croissant : 18 ; 20 ; 22 ; 25 ; 28 ; 30 ; 32 ; 35 ; 40 ; 45
\(n = 10\)
Min = 18 ; Max = 45
Médiane : \(\frac{28 + 30}{2} = 29\) min
Position Q1 : \(\lceil 10/4 \rceil = 3\) → Q1 = 3e valeur = 22 min.
Position Q3 : \(\lceil 30/4 \rceil = 8\) → Q3 = 8e valeur = 35 min.
Étendue = 27 min ; IQR = 13 min. La calculatrice affiche les mêmes valeurs.
Boîte à moustaches : moustache gauche [18 ; 22], boîte [22 ; 35] avec médiane à 29, moustache droite [35 ; 45].
Boîte à moustaches des durées d'intervention

Exercice 18

La boîte à moustaches ci-dessous résume le temps de trajet domicile–lycée de 60 élèves, en minutes.

Temps de trajet domicile–lycée de 60 élèves
  1. Lire le temps minimal, le temps maximal et la médiane.
  2. Entre quels temps se trouve la moitié centrale des élèves ?
  3. Léa affirme : « La moitié des élèves met plus de 20 minutes. » A-t-elle raison ?
  1. Min = 5 min (extrémité gauche), Max = 45 min (extrémité droite), médiane = 20 min (trait dans la boîte).
  2. La boîte va de Q1 = 15 min à Q3 = 30 min : la moitié centrale des élèves met entre 15 et 30 minutes.
  3. Oui, à peu près : la médiane partage la série en deux moitiés. Environ la moitié des élèves met 20 minutes ou plus, l'autre moitié 20 minutes ou moins.

C6 — Déterminer le mode ou la classe modale

Rappel de cours

Le mode est la valeur qui a le plus grand effectif. Pour des données groupées en classes, la classe modale est la classe de plus grand effectif. On donne la valeur, pas l'effectif.

Exercice 19

Un atelier mesure le diamètre (en mm) de 20 pièces usinées :

Diamètre (mm)49,849,950,050,150,2
Effectif25832
  1. Déterminer le mode de cette série.
  2. Un élève répond « le mode est 8 ». Expliquer son erreur.
  3. Pointures relevées sur 12 élèves : 39 ; 41 ; 40 ; 42 ; 41 ; 43 ; 41 ; 40 ; 44 ; 41 ; 42 ; 40. Déterminer le mode.
  1. Le plus grand effectif est 8, atteint pour 50,0 mm : le mode est 50,0 mm.
  2. 8 est l'effectif le plus grand. Le mode est la valeur qui a cet effectif : 50,0 mm.
  3. On compte : 39 → 1 fois, 40 → 3 fois, 41 → 4 fois, 42 → 2 fois, 43 → 1 fois, 44 → 1 fois (total 12). Le mode est 41.

Exercice 20

Les durées d'intervention (en min) sont regroupées en classes :

Durée (min)[0 ; 15[[15 ; 30[[30 ; 45[[45 ; 60[
Effectif41286
  1. Déterminer la classe modale.
  2. Peut-on donner la durée exacte la plus fréquente ? Justifier.
  1. La classe modale est [15 ; 30[ (effectif le plus grand : 12).
  2. Non. Les durées sont regroupées par classes : on ne connaît pas les valeurs exactes à l'intérieur de chaque classe. On sait seulement que la classe [15 ; 30[ est la plus fréquente.

C7 — Calculer l'écart-type

Rappel de cours

L'écart-type \(\sigma\) mesure la dispersion autour de la moyenne : plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées. Sa formule, \(\sigma = \sqrt{\frac{1}{N}\sum n_i(x_i - \bar{x})^2}\), sert à comprendre. En pratique, on le lit à la calculatrice (mode statistique, touche \(\sigma_x\), jamais \(s_x\)) ou au tableur (=ECARTYPEP(plage)).

Exercice 21

On a demandé à 25 élèves combien de séances de sport ils font par semaine :

Séances par semaine012345
Nombre d'élèves247642
  1. Saisir la série à la calculatrice, en mode statistique, avec les effectifs. Vérifier l'effectif total affiché.
  2. Lire la moyenne et l'écart-type \(\sigma\), arrondis au dixième.
  3. La calculatrice affiche aussi \(s_x \approx 1{,}39\). Pourquoi ne prend-on pas cette valeur ?
  1. Liste 1 : 0 à 5. Liste 2 : 2 ; 4 ; 7 ; 6 ; 4 ; 2. La calculatrice affiche \(n = 25\).
  2. \(\bar{x} = 2{,}48\), soit environ 2,5 séances ; \(\sigma_x \approx 1{,}36\), soit \(\sigma \approx \mathbf{1{,}4}\) séance.
  3. \(s_x\) divise par \(N - 1\) au lieu de \(N\). Le cours utilise la formule qui divise par \(N\) : c'est \(\sigma_x\).

Exercice 22

Deux joueurs de basket ont marqué ces points sur les 8 derniers matchs :

Joueur A1215141316141513
Joueur B6221018258203
  1. À la calculatrice, déterminer la moyenne et l'écart-type de chaque joueur (arrondir au dixième).
  2. Quel joueur est le plus régulier ? Justifier.
  1. Joueur A : \(\bar{x} = 14\) points et \(\sigma \approx \mathbf{1{,}2}\) point. Joueur B : \(\bar{x} = 14\) points et \(\sigma \approx \mathbf{7{,}7}\) points.
  2. Les deux joueurs ont la même moyenne. Le joueur A a un écart-type bien plus petit : ses scores s'écartent peu de la moyenne, il est le plus régulier.

Exercice 23

Deux machines produisent des vis. La longueur cible est 25 mm. Voici les résultats :

MachineMoyenne (mm)Écart-type (mm)
Machine A25,020,08
Machine B24,980,25

Les deux machines ont une moyenne proche de 25 mm. Laquelle est la plus fiable ? Justifier.

La machine A est plus fiable car son écart-type (0,08 mm) est nettement inférieur à celui de la machine B (0,25 mm).
Cela signifie que les vis produites par A sont plus régulières (moins dispersées autour de la moyenne). Avec B, on risque davantage de pièces hors tolérance.