Statistiques à une variable — Seconde Bac Pro MAMA
Durée : 10-15 min | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Un menuisier contrôle la largeur (en cm) de 15 planches et obtient les résultats suivants :
20 ; 21 ; 20 ; 22 ; 20 ; 21 ; 20 ; 21 ; 22 ; 20 ; 21 ; 20 ; 22 ; 21 ; 20
a) Compléter le tableau des effectifs :
| Largeur (cm) | 20 | 21 | 22 | Total |
|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | ... | ... | ... | ... |
| Largeur (cm) | 20 | 21 | 22 | Total |
|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 7 | 5 | 3 | 15 |
Vérification : \(7 + 5 + 3 = 15\) ✔
À partir du tableau de la question 1, calculer les fréquences :
a) Fréquence de 20 cm : \(f = \dfrac{7}{15} = ...\) (arrondir au centième)
b) Fréquence de 21 cm : \(f = \dfrac{...}{15} = ...\)
c) Fréquence de 22 cm : \(f = \dfrac{...}{15} = ...\)
d) Vérifier que la somme des fréquences est égale à 1.
a) \(f_{20} = \dfrac{7}{15} \approx \mathbf{0{,}47}\) soit environ 47 %
b) \(f_{21} = \dfrac{5}{15} \approx \mathbf{0{,}33}\) soit environ 33 %
c) \(f_{22} = \dfrac{3}{15} = \mathbf{0{,}20}\) soit 20 %
d) \(0{,}47 + 0{,}33 + 0{,}20 = 1{,}00\) ✔
Calculer la moyenne des largeurs de planches (données de la question 1) :
\(\bar{x} = \dfrac{20 \times 7 + 21 \times ... + 22 \times ...}{15} = \dfrac{... + ... + ...}{15} = ...\)
\(\bar{x} = \dfrac{20 \times 7 + 21 \times 5 + 22 \times 3}{15} = \dfrac{140 + 105 + 66}{15} = \dfrac{311}{15} \approx \mathbf{20{,}7\text{ cm}}\)
À partir des données précédentes :
a) Quel est le mode de cette série ? Justifier.
b) Calculer l'étendue de la série : \(E = x_{\max} - x_{\min} = ... - ... = ...\)
c) Que signifie cette étendue pour la production des planches ?
a) Le mode est 20 cm car c'est la valeur ayant le plus grand effectif (7 planches).
b) Étendue : \(E = 22 - 20 = \mathbf{2\text{ cm}}\)
c) L'étendue de 2 cm signifie que l'écart maximal entre les planches les plus étroites et les plus larges est de 2 cm. La production est relativement homogène.
Parmi les diagrammes suivants, lequel est un diagramme en bâtons et lequel est un diagramme en secteurs (camembert) ?
a) Un graphique avec des traits verticaux de hauteurs différentes → c'est un diagramme en ...
b) Un graphique circulaire divisé en parts → c'est un diagramme en ...
c) Pour représenter les effectifs des largeurs de planches (20, 21, 22 cm), quel type de diagramme est le plus adapté ?
a) C'est un diagramme en bâtons.
b) C'est un diagramme en secteurs (camembert).
c) Le diagramme en bâtons est le plus adapté car les valeurs sont discrètes (20, 21, 22 cm) et on veut comparer les effectifs.
Barème : 20 points
Un menuisier contrôle l'épaisseur (en mm) de 12 tasseaux et obtient les résultats suivants :
15 ; 16 ; 15 ; 17 ; 16 ; 15 ; 16 ; 15 ; 17 ; 16 ; 15 ; 16
a) Compléter le tableau des effectifs :
| Épaisseur (mm) | 15 | 16 | 17 | Total |
|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | ... | ... | ... | ... |
| Épaisseur (mm) | 15 | 16 | 17 | Total |
|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 5 | 5 | 2 | 12 |
Vérification : \(5 + 5 + 2 = 12\) ✔
À partir du tableau de la question 1, calculer les fréquences :
a) Fréquence de 15 mm : \(f = \dfrac{5}{12} = ...\) (arrondir au centième)
b) Fréquence de 16 mm : \(f = \dfrac{...}{12} = ...\)
c) Fréquence de 17 mm : \(f = \dfrac{...}{12} = ...\)
d) Vérifier que la somme des fréquences est égale à 1.
a) \(f_{15} = \dfrac{5}{12} \approx \mathbf{0{,}42}\) soit environ 42 %
b) \(f_{16} = \dfrac{5}{12} \approx \mathbf{0{,}42}\) soit environ 42 %
c) \(f_{17} = \dfrac{2}{12} \approx \mathbf{0{,}17}\) soit environ 17 %
d) \(0{,}42 + 0{,}42 + 0{,}17 = 1{,}01 \approx 1{,}00\) ✔ (écart dû aux arrondis)
Calculer la moyenne des épaisseurs de tasseaux (données de la question 1) :
\(\bar{x} = \dfrac{15 \times 5 + 16 \times ... + 17 \times ...}{12} = \dfrac{... + ... + ...}{12} = ...\)
\(\bar{x} = \dfrac{15 \times 5 + 16 \times 5 + 17 \times 2}{12} = \dfrac{75 + 80 + 34}{12} = \dfrac{189}{12} \approx \mathbf{15{,}75\text{ mm}}\)
À partir des données précédentes :
a) Quel est le mode de cette série ? Justifier.
b) Calculer l'étendue de la série : \(E = x_{\max} - x_{\min} = ... - ... = ...\)
c) Que signifie cette étendue pour la production des tasseaux ?
a) Il y a deux modes : 15 mm et 16 mm (chacun avec un effectif de 5). La série est bimodale.
b) Étendue : \(E = 17 - 15 = \mathbf{2\text{ mm}}\)
c) L'étendue de 2 mm signifie que l'écart maximal entre les tasseaux les plus fins et les plus épais est de 2 mm. La production est relativement homogène.
Parmi les diagrammes suivants, lequel est un diagramme en bâtons et lequel est un diagramme circulaire ?
a) Un graphique circulaire divisé en parts → c'est un diagramme en ...
b) Un graphique avec des traits verticaux de hauteurs différentes → c'est un diagramme en ...
c) Pour représenter les effectifs des épaisseurs de tasseaux (15, 16, 17 mm), quel type de diagramme est le plus adapté ?
a) C'est un diagramme en secteurs (camembert).
b) C'est un diagramme en bâtons.
c) Le diagramme en bâtons est le plus adapté car les valeurs sont discrètes (15, 16, 17 mm) et on veut comparer les effectifs.
Barème : 20 points
Un atelier de menuiserie mesure le temps de fabrication (en minutes) de 20 tabourets :
| Temps (min) | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 6 | 5 | 4 | 2 |
a) Calculer les fréquences de chaque valeur (en %).
b) Quel est le mode de cette série ?
a) \(N = 3 + 6 + 5 + 4 + 2 = 20\)
| Temps (min) | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 |
|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence (%) | 15 % | 30 % | 25 % | 20 % | 10 % |
b) Le mode est 30 min (effectif le plus élevé : 6).
À partir des données de la question 1, calculer la moyenne du temps de fabrication.
\(\bar{x} = \dfrac{25 \times 3 + 30 \times 6 + 35 \times 5 + 40 \times 4 + 45 \times 2}{20}\)
\(\bar{x} = \dfrac{75 + 180 + 175 + 160 + 90}{20} = \dfrac{680}{20} = \mathbf{34}\) min
En moyenne, un tabouret est fabriqué en 34 minutes.
Un artisan menuisier relève le nombre de pièces produites par jour sur 10 jours :
12, 15, 18, 14, 22, 16, 13, 19, 15, 16
a) Ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
b) Calculer la médiane.
c) Calculer l'étendue.
a) Série ordonnée : 12, 13, 14, 15, 15, 16, 16, 18, 19, 22
b) \(N = 10\) (pair). La médiane est la moyenne des valeurs de rang 5 et 6 :
\(Me = \dfrac{15 + 16}{2} = \mathbf{15{,}5}\) pièces
c) Étendue : \(E = 22 - 12 = \mathbf{10}\) pièces
Un fabricant de meubles analyse les ventes mensuelles de chaises sur 6 mois :
| Mois | Jan | Fév | Mar | Avr | Mai | Juin |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ventes | 45 | 38 | 52 | 60 | 48 | 57 |
a) Calculer la moyenne des ventes mensuelles.
b) Quel type de diagramme est le plus adapté pour représenter ces données ? Justifier.
a) \(\bar{x} = \dfrac{45 + 38 + 52 + 60 + 48 + 57}{6} = \dfrac{300}{6} = \mathbf{50}\) chaises par mois
b) Un diagramme en ligne (courbe) est le plus adapté car il s'agit de données chronologiques (évolution dans le temps, mois par mois).
On donne la série suivante : 5, 8, 8, 10, 12, 15, 15, 15, 18, 20.
a) Donner le mode, la moyenne et la médiane.
b) La moyenne et la médiane sont-elles égales ? Commenter.
a) Mode : 15 (apparaît 3 fois).
Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{5+8+8+10+12+15+15+15+18+20}{10} = \dfrac{126}{10} = \mathbf{12{,}6}\)
Médiane : \(N = 10\), rangs 5 et 6 : \(Me = \dfrac{12+15}{2} = \mathbf{13{,}5}\)
b) La moyenne (12,6) et la médiane (13,5) ne sont pas égales. Elles donnent deux informations complémentaires sur la série.
Barème : 20 points
Un atelier de menuiserie mesure le temps de ponçage (en minutes) de 20 plateaux de table :
| Temps (min) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 5 | 7 | 4 | 2 |
a) Calculer les fréquences de chaque valeur (en %).
b) Quel est le mode de cette série ?
a) \(N = 2 + 5 + 7 + 4 + 2 = 20\)
| Temps (min) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence (%) | 10 % | 25 % | 35 % | 20 % | 10 % |
b) Le mode est 20 min (effectif le plus élevé : 7).
À partir des données de la question 1, calculer la moyenne du temps de ponçage.
\(\bar{x} = \dfrac{10 \times 2 + 15 \times 5 + 20 \times 7 + 25 \times 4 + 30 \times 2}{20}\)
\(\bar{x} = \dfrac{20 + 75 + 140 + 100 + 60}{20} = \dfrac{395}{20} = \mathbf{19{,}75}\) min
En moyenne, un plateau est poncé en 19,75 minutes.
Un fabricant de mobilier relève le nombre de chaises assemblées par jour sur 10 jours :
8, 11, 14, 10, 20, 13, 9, 17, 11, 12
a) Ranger les valeurs dans l'ordre croissant.
b) Calculer la médiane.
c) Calculer l'étendue.
a) Série ordonnée : 8, 9, 10, 11, 11, 12, 13, 14, 17, 20
b) \(N = 10\) (pair). La médiane est la moyenne des valeurs de rang 5 et 6 :
\(Me = \dfrac{11 + 12}{2} = \mathbf{11{,}5}\) chaises
c) Étendue : \(E = 20 - 8 = \mathbf{12}\) chaises
Un artisan menuisier analyse les ventes mensuelles de tables sur 6 mois :
| Mois | Jan | Fév | Mar | Avr | Mai | Juin |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Ventes | 30 | 25 | 40 | 35 | 50 | 40 |
a) Calculer la moyenne des ventes mensuelles.
b) Quel type de diagramme est le plus adapté pour représenter ces données ? Justifier.
a) \(\bar{x} = \dfrac{30 + 25 + 40 + 35 + 50 + 40}{6} = \dfrac{220}{6} \approx \mathbf{36{,}7}\) tables par mois
b) Un diagramme en ligne (courbe) est le plus adapté car il s'agit de données chronologiques (évolution dans le temps, mois par mois).
On donne la série suivante : 3, 6, 6, 9, 11, 14, 14, 14, 17, 21.
a) Donner le mode, la moyenne et la médiane.
b) La moyenne et la médiane sont-elles égales ? Commenter.
a) Mode : 14 (apparaît 3 fois).
Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{3+6+6+9+11+14+14+14+17+21}{10} = \dfrac{115}{10} = \mathbf{11{,}5}\)
Médiane : \(N = 10\), rangs 5 et 6 : \(Me = \dfrac{11+14}{2} = \mathbf{12{,}5}\)
b) La moyenne (11,5) et la médiane (12,5) ne sont pas égales. Elles donnent deux informations complémentaires sur la série.
Barème : 20 points
Un chef d'atelier mesure l'épaisseur (en mm) de 25 panneaux de contreplaqué. Les résultats sont regroupés par classes :
| Épaisseur (mm) | [17 ; 18[ | [18 ; 19[ | [19 ; 20[ | [20 ; 21[ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 4 | 10 | 8 | 3 |
a) Identifier la classe modale.
b) Calculer la moyenne de la série en utilisant les centres de classe.
a) La classe modale est [18 ; 19[ (effectif 10, le plus grand).
b) Centres de classe : 17,5 ; 18,5 ; 19,5 ; 20,5
\(\bar{x} = \dfrac{17{,}5 \times 4 + 18{,}5 \times 10 + 19{,}5 \times 8 + 20{,}5 \times 3}{25}\)
\(\bar{x} = \dfrac{70 + 185 + 156 + 61{,}5}{25} = \dfrac{472{,}5}{25} = \mathbf{18{,}9\text{ mm}}\)
Un menuisier agenceur relève les temps de pose (en minutes) de 12 meubles de cuisine :
35, 42, 38, 55, 40, 45, 37, 48, 36, 44, 41, 39
a) Ranger les valeurs dans l'ordre croissant et calculer la médiane.
b) Déterminer les quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\).
c) Calculer l'écart interquartile (IQR) et interpréter.
a) Série ordonnée : 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 44, 45, 48, 55
\(N = 12\) (pair). Rangs 6 et 7 : \(Me = \dfrac{40 + 41}{2} = \mathbf{40{,}5\text{ min}}\)
b) 1re moitié : 35, 36, 37, 38, 39, 40 → \(Q_1 = \dfrac{37 + 38}{2} = \mathbf{37{,}5\text{ min}}\)
2e moitié : 41, 42, 44, 45, 48, 55 → \(Q_3 = \dfrac{44 + 45}{2} = \mathbf{44{,}5\text{ min}}\)
c) \(\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 44{,}5 - 37{,}5 = \mathbf{7\text{ min}}\)
50 % des temps de pose sont compris entre 37,5 et 44,5 min. La dispersion des temps centraux est relativement faible (7 min).
Deux ateliers produisent des liteaux. Voici les statistiques :
La longueur cible est 50 cm ± 2 cm (tolérance).
a) Quel atelier a la production la plus régulière ? Justifier.
b) Quel atelier risque de produire des pièces hors tolérance ? Justifier.
a) L'atelier A est le plus régulier car son étendue (3 cm) est beaucoup plus faible que celle de l'atelier B (8 cm).
b) L'atelier B risque de produire des pièces hors tolérance. Avec une étendue de 8 cm, certaines pièces peuvent mesurer jusqu'à 54 cm ou aussi peu que 46 cm, ce qui dépasse largement la tolérance de ± 2 cm autour de 50 cm.
Un gestionnaire de stock note le nombre de commandes reçues par semaine sur 8 semaines : 12, 15, 14, 42, 13, 16, 14, 15.
a) Calculer la moyenne et la médiane.
b) Quelle valeur semble aberrante ? Quel indicateur (moyenne ou médiane) est le moins affecté par cette valeur ? Justifier.
a) Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{12+15+14+42+13+16+14+15}{8} = \dfrac{141}{8} = \mathbf{17{,}625}\)
Série ordonnée : 12, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 42. Rangs 4 et 5 : \(Me = \dfrac{14+15}{2} = \mathbf{14{,}5}\)
b) La valeur 42 semble aberrante (très éloignée des autres).
La médiane (14,5) est peu affectée car elle ne dépend que des valeurs centrales. La moyenne (17,625) est tirée vers le haut par cette valeur extrême. La médiane est donc plus robuste.
On ajoute une 9e semaine avec 18 commandes à la série précédente (sans la valeur aberrante, on utilise : 12, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 18, 42).
a) Calculer la nouvelle médiane (\(N = 9\), impair).
b) La médiane a-t-elle beaucoup changé par rapport à la question précédente ? Commenter.
a) Série ordonnée : 12, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 18, 42. \(N = 9\), impair.
Rang \(\dfrac{9+1}{2} = 5\). La médiane est la 5e valeur : \(Me = \mathbf{15}\)
b) La médiane est passée de 14,5 à 15, soit une variation très faible (+0,5). Cela confirme que la médiane est un indicateur robuste, peu sensible à l'ajout de données ou aux valeurs extrêmes.
Barème : 20 points
Un responsable qualité mesure la largeur (en mm) de 20 lames de parquet. Les résultats sont regroupés par classes :
| Largeur (mm) | [118 ; 119[ | [119 ; 120[ | [120 ; 121[ | [121 ; 122[ |
|---|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 8 | 6 | 3 |
a) Identifier la classe modale.
b) Calculer la moyenne de la série en utilisant les centres de classe.
a) La classe modale est [119 ; 120[ (effectif 8, le plus grand).
b) Centres de classe : 118,5 ; 119,5 ; 120,5 ; 121,5
\(\bar{x} = \dfrac{118{,}5 \times 3 + 119{,}5 \times 8 + 120{,}5 \times 6 + 121{,}5 \times 3}{20}\)
\(\bar{x} = \dfrac{355{,}5 + 956 + 723 + 364{,}5}{20} = \dfrac{2399}{20} = \mathbf{119{,}95\text{ mm}}\)
Un ébéniste relève les temps de vernissage (en minutes) de 12 plateaux de table :
28, 34, 30, 50, 32, 38, 29, 42, 31, 36, 33, 35
a) Ranger les valeurs dans l'ordre croissant et calculer la médiane.
b) Déterminer les quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\).
c) Calculer l'écart interquartile (IQR) et interpréter.
a) Série ordonnée : 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 42, 50
\(N = 12\) (pair). Rangs 6 et 7 : \(Me = \dfrac{33 + 34}{2} = \mathbf{33{,}5\text{ min}}\)
b) 1re moitié : 28, 29, 30, 31, 32, 33 → \(Q_1 = \dfrac{30 + 31}{2} = \mathbf{30{,}5\text{ min}}\)
2e moitié : 34, 35, 36, 38, 42, 50 → \(Q_3 = \dfrac{36 + 38}{2} = \mathbf{37\text{ min}}\)
c) \(\text{IQR} = Q_3 - Q_1 = 37 - 30{,}5 = \mathbf{6{,}5\text{ min}}\)
50 % des temps de vernissage sont compris entre 30,5 et 37 min. La dispersion des temps centraux est relativement faible (6,5 min).
Deux machines produisent des tasseaux. Voici les statistiques :
L'épaisseur cible est 25 mm ± 1,5 mm (tolérance).
a) Quelle machine a la production la plus régulière ? Justifier.
b) Quelle machine risque de produire des pièces hors tolérance ? Justifier.
a) La machine A est la plus régulière car son étendue (2 mm) est beaucoup plus faible que celle de la machine B (7 mm).
b) La machine B risque de produire des pièces hors tolérance. Avec une étendue de 7 mm, certaines pièces peuvent mesurer jusqu'à 28,5 mm ou aussi peu que 21,5 mm, ce qui dépasse largement la tolérance de ± 1,5 mm autour de 25 mm.
Un responsable de magasin note le nombre de panneaux vendus par semaine sur 8 semaines : 10, 13, 12, 38, 11, 14, 12, 13.
a) Calculer la moyenne et la médiane.
b) Quelle valeur semble aberrante ? Quel indicateur (moyenne ou médiane) est le moins affecté par cette valeur ? Justifier.
a) Moyenne : \(\bar{x} = \dfrac{10+13+12+38+11+14+12+13}{8} = \dfrac{123}{8} = \mathbf{15{,}375}\)
Série ordonnée : 10, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 38. Rangs 4 et 5 : \(Me = \dfrac{12+13}{2} = \mathbf{12{,}5}\)
b) La valeur 38 semble aberrante (très éloignée des autres).
La médiane (12,5) est peu affectée car elle ne dépend que des valeurs centrales. La moyenne (15,375) est tirée vers le haut par cette valeur extrême. La médiane est donc plus robuste.
On ajoute une 9e semaine avec 15 panneaux vendus à la série précédente (on utilise : 10, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 38).
a) Calculer la nouvelle médiane (\(N = 9\), impair).
b) La médiane a-t-elle beaucoup changé par rapport à la question précédente ? Commenter.
a) Série ordonnée : 10, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 15, 38. \(N = 9\), impair.
Rang \(\dfrac{9+1}{2} = 5\). La médiane est la 5e valeur : \(Me = \mathbf{13}\)
b) La médiane est passée de 12,5 à 13, soit une variation très faible (+0,5). Cela confirme que la médiane est un indicateur robuste, peu sensible à l'ajout de données ou aux valeurs extrêmes.