Proportionnalité et pourcentages | 2nde Bac Pro | Mathématiques
Dernière mise à jour : 27 juillet 2026, 15:53
Deux grandeurs sont proportionnelles si le rapport \(\frac{y}{x}\) est constant. Ce rapport constant \(k\) est le coefficient de proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier une colonne par \(k\) pour obtenir l'autre, ou utiliser la règle de trois : \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).
Un électricien compare deux tableaux de tarification. Parmi les tableaux suivants, lesquels représentent une situation de proportionnalité ? Justifier.
Tableau A (câble électrique) :
| Longueur de câble (m) | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Coût (€) | 14 | 28 | 42 | 56 |
Tableau B (boîtiers de dérivation) :
| Nombre de boîtiers | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 5 | 9 | 13 | 17 |
Tableau A : \(\frac{14}{2} = 7\) ; \(\frac{28}{4} = 7\) ; \(\frac{42}{6} = 7\) ; \(\frac{56}{8} = 7\). Le rapport est constant → proportionnalité (coefficient = 7 €/m).
Tableau B : \(\frac{5}{1} = 5\) ; \(\frac{9}{2} = 4{,}5\) → rapports différents → pas de proportionnalité (le prix augmente par paliers, pas proportionnellement).
Compléter le tableau de proportionnalité suivant (coût d'une lame de parquet à 3,50 € le mètre linéaire) :
| Longueur (m) | 1 | 5 | ? | 20 |
|---|---|---|---|---|
| Coût (€) | 3,50 | ? | 24,50 | ? |
| Longueur (m) | 1 | 5 | 7 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| Coût (€) | 3,50 | 17,50 | 24,50 | 70 |
Un carreleur relève qu'une surface de 12 m² de faïence coûte 156 €. En supposant la proportionnalité, calculer le coût pour 20 m².
Le coefficient de proportionnalité est calculé par \(k = \frac{y}{x}\). Une fois \(k\) connu, on peut trouver toute valeur manquante : si on connaît \(x\), alors \(y = k \times x\) ; si on connaît \(y\), alors \(x = \frac{y}{k}\).
Un artisan menuisier achète 8 kg de colle pour 36 €. Calculer le coefficient de proportionnalité (prix au kg), puis déterminer le coût de 15 kg.
Sur un plan au 1/50, une cloison mesure 6,4 cm. Sachant que le coefficient est 50 (rapport de réduction), calculer la longueur réelle de la cloison.
Une machine à couper le câble traite 120 m de câble en 4 heures. À ce rythme, combien de mètres traitera-t-elle en 7 heures ? En combien de temps traitera-t-elle 210 m ?
Calculer \(t\,\%\) d'une quantité \(A\) revient à multiplier : \(A \times \frac{t}{100}\). Pour trouver le pourcentage que représente une partie \(p\) par rapport à un total \(T\) : \(\frac{p}{T} \times 100\).
Calculer les valeurs suivantes :
Sur un lot de 240 raccords de plomberie, le contrôle qualité en rejette 12. Quel pourcentage de raccords est rejeté ?
Sur une livraison de 180 tuiles, 45 sont des tuiles spéciales (rive et faîtage), les autres sont des tuiles courantes. Quel est le pourcentage de tuiles spéciales ? Quel est le pourcentage de tuiles courantes ?
Augmentation de \(t\,\%\) : nouvelle valeur \(= V \times (1 + \frac{t}{100})\). Réduction de \(t\,\%\) : nouvelle valeur \(= V \times (1 - \frac{t}{100})\). Taux d'évolution : \(\tau = \frac{V_{\text{finale}} - V_{\text{initiale}}}{V_{\text{initiale}}} \times 100\).
Un fournisseur propose une remise de 12 % sur une commande de 450 €. Calculer le montant de la remise et le prix final.
La facture d'électricité d'un atelier est passée de 1 200 € à 1 380 €. Calculer le taux d'augmentation.
Un panneau de bois coûtait 24 € l'an dernier. Cette année, son prix a augmenté de 8 %. Quel est le nouveau prix ?
Après soldes, un outil est vendu 68 € au lieu de 85 €. Calculer le taux de réduction appliqué.
Si on connaît la valeur finale \(V_f\) et le coefficient multiplicateur \(c\) (ex. : \(c = 0{,}80\) pour −20 %), la valeur initiale est \(V_i = \frac{V_f}{c}\). On divise par le coefficient multiplicateur (on ne soustrait pas le taux directement).
Après une remise de 20 %, un vélo coûte 320 €. Quel était son prix initial ?
Suite à une augmentation de 15 %, le salaire mensuel d'un technicien est de 2 070 €. Quel était son salaire avant l'augmentation ?
La facture d'un plombier chauffagiste, TVA de 10 % comprise, s'élève à 440 €. Quel est le prix hors taxe (HT) ?
Pour résoudre un problème de proportionnalité : identifier les deux grandeurs proportionnelles, calculer le coefficient \(k\), puis appliquer \(y = k \times x\). Penser à vérifier que la situation est bien proportionnelle (passage par zéro, rapport constant).
Un poseur de cuisines installe 3 cuisines par mois et gagne 1 260 € net pour ce travail. Son chef d'équipe lui propose d'en faire 5 par mois. Combien gagnera-t-il pour ce travail ?
Un installateur thermique commande des raccords par lot. Un lot de 120 raccords coûte 48 €. Il reçoit une offre d'un nouveau fournisseur : 150 raccords pour 57 €. Quel fournisseur propose le meilleur prix à l'unité ?
Une entreprise de maçonnerie a monté 840 m² de mur en 6 semaines. La commande totale est de 1 260 m² de mur. Combien de semaines supplémentaires faut-il prévoir pour finir le chantier ?
Une échelle est le coefficient de proportionnalité entre les dimensions d'un dessin (plan, maquette) et les dimensions réelles. Une échelle 1:20 signifie que 1 cm sur le plan représente 20 cm en réalité (réduction). Pour passer du plan à la réalité, on multiplie par 20 ; pour passer de la réalité au plan, on divise par 20.
Compléter un tableau de proportionnalité revient à chercher une quatrième proportionnelle : si \(a \to b\) et que l'on connaît \(c\), alors le quatrième terme vaut \(\dfrac{b \times c}{a}\) (règle de trois).
Un dessinateur en bâtiment dessine le plan d'une porte à l'échelle 1:20 (1 cm sur le plan représente 20 cm en réalité).
Un menuisier agenceur réalise une maquette de buffet à l'échelle 1:25 (1 cm sur la maquette représente 25 cm en réalité). Les dimensions sont proportionnelles.
| Sur la maquette (cm) | 8 | ? | 2,4 |
|---|---|---|---|
| En réalité (cm) | ? | 150 | ? |
Largeur réelle (8 cm sur la maquette) : \(8 \times 25 = \mathbf{200}\) cm. C'est la quatrième proportionnelle du tableau : \(\dfrac{25 \times 8}{1} = 200\) cm.
Hauteur sur la maquette (150 cm réels) : \(150 \div 25 = \mathbf{6}\) cm.
Profondeur réelle (2,4 cm sur la maquette) : \(2{,}4 \times 25 = \mathbf{60}\) cm.
| Sur la maquette (cm) | 8 | 8 | 2,4 |
|---|---|---|---|
| En réalité (cm) | 200 | 150 | 60 |
Pour présenter un détail d'assemblage, un ébéniste réalise un dessin agrandi à l'échelle 5:1 (5 cm sur le dessin représentent 1 cm réel).
À l'échelle 5:1 (agrandissement), on multiplie par 5 pour passer du réel au dessin, et on divise par 5 pour passer du dessin au réel.