Proportionnalité et pourcentages | Seconde Bac Pro MAMA | Mathématiques
Deux grandeurs sont proportionnelles si le rapport \(\frac{y}{x}\) est constant. Ce rapport constant \(k\) est le coefficient de proportionnalité. Dans un tableau de proportionnalité, on peut multiplier une colonne par \(k\) pour obtenir l'autre, ou utiliser la règle de trois : \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\).
Parmi les tableaux suivants, lesquels représentent une situation de proportionnalité ? Justifier.
Tableau A :
| Longueur (m) | 2 | 4 | 6 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Coût (€) | 14 | 28 | 42 | 56 |
Tableau B :
| Quantité | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 5 | 9 | 13 | 17 |
Tableau A : \(\frac{14}{2} = 7\) ; \(\frac{28}{4} = 7\) ; \(\frac{42}{6} = 7\) ; \(\frac{56}{8} = 7\). Le rapport est constant → proportionnalité (coefficient = 7 €/m).
Tableau B : \(\frac{5}{1} = 5\) ; \(\frac{9}{2} = 4{,}5\) → rapports différents → pas de proportionnalité (le prix augmente par paliers, pas proportionnellement).
Compléter le tableau de proportionnalité suivant (coût d'une lame de parquet à 3,50 € le mètre linéaire) :
| Longueur (m) | 1 | 5 | ? | 20 |
|---|---|---|---|---|
| Coût (€) | 3,50 | ? | 24,50 | ? |
| Longueur (m) | 1 | 5 | 7 | 20 |
|---|---|---|---|---|
| Coût (€) | 3,50 | 17,50 | 24,50 | 70 |
Un métreur relève qu'une surface de 12 m² de parquet coûte 156 €. En supposant la proportionnalité, calculer le coût pour 20 m².
Le coefficient de proportionnalité est calculé par \(k = \frac{y}{x}\). Une fois \(k\) connu, on peut trouver toute valeur manquante : si on connaît \(x\), alors \(y = k \times x\) ; si on connaît \(y\), alors \(x = \frac{y}{k}\).
Un artisan menuisier achète 8 kg de colle pour 36 €. Calculer le coefficient de proportionnalité (prix au kg), puis déterminer le coût de 15 kg.
Sur un plan au 1/50, une cloison mesure 6,4 cm. Sachant que le coefficient est 50 (rapport de réduction), calculer la longueur réelle de la cloison.
Une machine produit 120 liteaux en 4 heures. À ce rythme, combien de liteaux produira-t-elle en 7 heures ? En combien de temps produira-t-elle 210 liteaux ?
Calculer \(t\,\%\) d'une quantité \(A\) revient à multiplier : \(A \times \frac{t}{100}\). Pour trouver le pourcentage que représente une partie \(p\) par rapport à un total \(T\) : \(\frac{p}{T} \times 100\).
Calculer les valeurs suivantes :
Sur un lot de 240 vis, le contrôle qualité en rejette 12. Quel pourcentage de vis est rejeté ?
Dans une commande de 180 panneaux, 45 sont en MDF. Quel est le pourcentage de panneaux en MDF ? Quel est le pourcentage d'autres panneaux ?
Augmentation de \(t\,\%\) : nouvelle valeur \(= V \times (1 + \frac{t}{100})\). Réduction de \(t\,\%\) : nouvelle valeur \(= V \times (1 - \frac{t}{100})\). Taux d'évolution : \(\tau = \frac{V_{\text{finale}} - V_{\text{initiale}}}{V_{\text{initiale}}} \times 100\).
Un fournisseur propose une remise de 12 % sur une commande de 450 €. Calculer le montant de la remise et le prix final.
Le coût des matériaux d'un chantier est passé de 1 200 € à 1 380 €. Calculer le taux d'augmentation.
Un panneau de bois coûtait 24 € l'an dernier. Cette année, son prix a augmenté de 8 %. Quel est le nouveau prix ?
Après soldes, un outil est vendu 68 € au lieu de 85 €. Calculer le taux de réduction appliqué.
Si on connaît la valeur finale \(V_f\) et le coefficient multiplicateur \(c\) (ex. : \(c = 0{,}80\) pour −20 %), la valeur initiale est \(V_i = \frac{V_f}{c}\). On divise par le coefficient multiplicateur (on ne soustrait pas le taux directement).
Après une remise de 20 %, un meuble coûte 320 €. Quel était son prix initial ?
Suite à une augmentation de 15 %, le salaire mensuel d'un technicien est de 2 070 €. Quel était son salaire avant l'augmentation ?
Après une TVA de 10 %, une prestation coûte 440 €. Quel est le prix hors taxe (HT) ?
Pour résoudre un problème de proportionnalité : identifier les deux grandeurs proportionnelles, calculer le coefficient \(k\), puis appliquer \(y = k \times x\). Penser à vérifier que la situation est bien proportionnelle (passage par zéro, rapport constant).
Un poseur de cuisines installe 3 cuisines par semaine et gagne 1 260 € net pour ce travail. Son chef d'équipe lui propose d'en faire 5 par semaine. Combien gagnera-t-il pour ce travail ?
Un menuisier commande des charnières par lot. Un lot de 120 charnières coûte 48 €. Il reçoit une offre d'un nouveau fournisseur : 150 charnières pour 57 €. Quel fournisseur propose le meilleur prix à l'unité ?
Un atelier de menuiserie a produit 840 portes en 6 semaines. La commande totale est de 1 260 portes. Combien de semaines supplémentaires faut-il prévoir pour finir la commande ?
Intérêt simple : \(I = C \times t \times n\) où \(C\) = capital placé, \(t\) = taux annuel (en décimal), \(n\) = durée en années.
Valeur acquise : \(V_a = C + I\).
Un artisan menuisier place 3 000 € sur un livret à un taux annuel de 2,5 % en intérêt simple.
a) Calculer l'intérêt produit au bout de 1 an.
b) Calculer l'intérêt produit au bout de 4 ans.
c) Quelle est la valeur acquise au bout de 4 ans ?
a) \(I = 3\,000 \times 0{,}025 \times 1 = \mathbf{75\,€}\)
b) \(I = 3\,000 \times 0{,}025 \times 4 = \mathbf{300\,€}\)
c) \(V_a = 3\,000 + 300 = \mathbf{3\,300\,€}\)
Un ébéniste place 8 000 € à un taux annuel de 3 %. Il souhaite que son placement lui rapporte au moins 600 € d'intérêts.
a) Calculer l'intérêt annuel.
b) Combien d'années doit-il laisser son argent placé ?
c) Quelle sera alors la valeur acquise ?
a) \(I_1 = 8\,000 \times 0{,}03 = \mathbf{240\,€}\) par an.
b) \(240 \times n \geq 600\) → \(n \geq \dfrac{600}{240} = 2{,}5\). Il doit laisser son argent 3 ans (on arrondit au-dessus).
c) \(V_a = 8\,000 + 240 \times 3 = 8\,000 + 720 = \mathbf{8\,720\,€}\)
Un fabricant de mobilier place 12 000 € à un taux annuel de 2 % en intérêt simple. Il retire son argent après 5 ans.