QCM – Trigonométrie

Chapitre 9 | Première Bac Pro | Mathématiques

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Rappeler les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle (cosinus, sinus, tangente)
Découvrir le cercle trigonométrique et la mesure en radians
Connaître les valeurs remarquables de cos et sin pour 0, \(\frac{\pi}{6}\), \(\frac{\pi}{4}\), \(\frac{\pi}{3}\), \(\frac{\pi}{2}\)
Utiliser la relation fondamentale \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
Calculer un côté ou un angle dans un triangle rectangle
Appliquer la trigonométrie à des situations professionnelles et quotidiennes

⏱ Durée : 15–20 min

📄 15 questions

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Socle

Question 1

Triangle rectangle – Identification de l'hypoténuse

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est :

le côté opposé à l'angle droit le côté le plus long, en face de l'angle droit le côté adjacent à l'angle considéré le côté le plus court du triangle

Question 2

Définition – Cosinus

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu \(\alpha\), le cosinus de \(\alpha\) est égal à :

\(\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\) \(\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\) \(\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) \(\dfrac{\text{hypoténuse}}{\text{côté adjacent}}\)

Question 3

Définition – Sinus

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu \(\alpha\), le sinus de \(\alpha\) est égal à :

\(\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\) \(\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) \(\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\) \(\dfrac{\text{hypoténuse}}{\text{côté opposé}}\)

Question 4

Définition – Tangente

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu \(\alpha\), la tangente de \(\alpha\) est égale à :

\(\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{côté opposé}}\) \(\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) \(\dfrac{\text{hypoténuse}}{\text{côté opposé}}\) \(\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\)

Question 5

Valeurs remarquables – cos(60°)

\(\cos(60°)\) est égal à :

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(0\)

Question 6

Valeurs remarquables – sin(30°)

\(\sin(30°)\) est égal à :

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(1\)

Question 7

Valeurs remarquables – cos(0°) et sin(90°)

Parmi les affirmations suivantes, laquelle est vraie ?

\(\cos(0°) = 1\) et \(\sin(90°) = 1\) \(\cos(0°) = 0\) et \(\sin(90°) = 0\) \(\cos(0°) = 1\) et \(\sin(90°) = 0\) \(\cos(0°) = 0\) et \(\sin(90°) = 1\)

Question 8

Valeurs remarquables – tan(45°)

\(\tan(45°)\) est égal à :

\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) \(\sqrt{3}\) \(1\)

Question 9

Calculer un côté – Cosinus

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 10 cm et l'angle \(\alpha = 30°\). Le côté adjacent à \(\alpha\) mesure :

5 cm \(10 \times \cos(30°) \approx 8{,}66\) cm \(\dfrac{10}{\cos(30°)} \approx 11{,}55\) cm \(10 \times \sin(30°) = 5\) cm

Question 10

Calculer un côté – Sinus

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse mesure 20 cm et l'angle \(\alpha = 45°\). Le côté opposé à \(\alpha\) mesure :

\(20 \times \sin(45°) \approx 14{,}14\) cm \(\dfrac{20}{\sin(45°)} \approx 28{,}28\) cm \(20 \times \cos(45°) \approx 14{,}14\) cm (mais c'est le côté adjacent) 10 cm

Question 11

Relation fondamentale

Pour tout angle \(\alpha\), la relation fondamentale de la trigonométrie est :

\(\cos \alpha + \sin \alpha = 1\) \(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = 1\) \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\) \(\cos \alpha \times \sin \alpha = 1\)

Question 12

Radian – Conversion

Un angle de 180° correspond à :

\(\dfrac{\pi}{2}\) radians \(\pi\) radians \(2\pi\) radians \(\dfrac{\pi}{4}\) radians

Question 13

Radian – Conversion de degrés

Quel est l'angle en radians correspondant à 90° ?

\(\pi\) \(\dfrac{\pi}{3}\) \(\dfrac{\pi}{4}\) \(\dfrac{\pi}{2}\)

Question 14

Cercle trigonométrique – Coordonnées

Sur le cercle trigonométrique, le point image d'un angle \(x\) a pour coordonnées :

\((\cos x\,;\,\sin x)\) \((\sin x\,;\,\cos x)\) \((\tan x\,;\,\cos x)\) \((\cos x\,;\,\tan x)\)

Question 15

Fonctions périodiques

Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période :

\(\pi\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(2\pi\) \(360\)

Standard

Question 1

Calcul d'un côté – Contexte professionnel

Un menuisier agenceur installe une étagère faisant un angle de 35° avec l'horizontale dans un placard de 80 cm de large. La longueur de l'étagère (hypoténuse) vaut :

\(80 \times \cos(35°) \approx 65{,}5\) cm \(\dfrac{80}{\cos(35°)} \approx 97{,}7\) cm \(80 \times \sin(35°) \approx 45{,}9\) cm \(\dfrac{80}{\sin(35°)} \approx 139{,}4\) cm

Question 2

Calcul d'un angle – Pente d'un toit

La charpente d'un toit mesure 5 m (hypoténuse) et s'élève de 2 m (côté opposé). L'angle d'inclinaison est donné par :

\(\cos^{-1}\!\left(\dfrac{2}{5}\right) \approx 66{,}4°\) \(\tan^{-1}\!\left(\dfrac{2}{5}\right) \approx 21{,}8°\) \(\sin^{-1}\!\left(\dfrac{2}{5}\right) \approx 23{,}6°\) \(\sin^{-1}\!\left(\dfrac{5}{2}\right)\) (non défini)

Question 3

Calcul d'un angle – Tangente

Un artisan menuisier conçoit un escalier qui monte de 2,80 m de hauteur (côté opposé) sur un reculement horizontal de 3,58 m (côté adjacent). L'angle d'inclinaison est :

\(\tan^{-1}\!\left(\dfrac{2{,}80}{3{,}58}\right) \approx 38°\) \(\sin^{-1}\!\left(\dfrac{2{,}80}{3{,}58}\right) \approx 51{,}4°\) \(\cos^{-1}\!\left(\dfrac{2{,}80}{3{,}58}\right) \approx 38{,}6°\) \(\tan^{-1}\!\left(\dfrac{3{,}58}{2{,}80}\right) \approx 52°\)

Question 4

Pythagore + trigonométrie

Dans un triangle rectangle ABC (angle droit en C), AB = 13 cm et AC = 5 cm. Quel est l'angle \(\alpha\) en A ?

\(\sin^{-1}\!\left(\dfrac{5}{13}\right) \approx 22{,}6°\) \(\tan^{-1}\!\left(\dfrac{5}{13}\right) \approx 21{,}0°\) \(\sin^{-1}\!\left(\dfrac{13}{5}\right)\) (non défini) \(\cos^{-1}\!\left(\dfrac{5}{13}\right) \approx 67{,}4°\)

Question 5

Angles associés – Angle supplémentaire

\(\cos(120°)\) est égal à :

\(\dfrac{1}{2}\) \(-\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Question 6

Angles associés – Angle opposé

\(\sin(-30°)\) est égal à :

\(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\dfrac{1}{2}\) \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Question 7

Relation fondamentale – Calcul

On sait que \(\cos x = 0{,}6\) et que \(x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\). Alors \(\sin x\) vaut :

\(0{,}8\) \(0{,}6\) \(0{,}64\) \(\sqrt{0{,}36}\) (négatif)

Question 8

Panneau solaire – Angle d'inclinaison

Un installateur thermique pose un panneau solaire de 1,60 m (hypoténuse) avec un support arrière de 40 cm (côté opposé). L'angle d'inclinaison est :

\(\tan^{-1}(0{,}25) \approx 14{,}0°\) \(\cos^{-1}(0{,}25) \approx 75{,}5°\) \(\sin^{-1}(4) \) (non défini) \(\sin^{-1}(0{,}25) \approx 14{,}5°\)

Question 9

Conversion radians – degrés

Un angle de \(\dfrac{\pi}{3}\) radians correspond à :

45° 60° 30° 90°

Question 10

Fonction sinus – Périodicité

\(\sin\!\left(x + 2\pi\right)\) est égal à :

\(\sin x\) \(-\sin x\) \(\cos x\) \(\sin x + 2\pi\)

Question 11

Fonction cosinus – Parité

La fonction cosinus est paire, cela signifie que pour tout \(x\) :

\(\cos(-x) = -\cos x\) \(\cos(-x) = \sin x\) \(\cos(-x) = \cos x\) \(\cos(-x) = 0\)

Question 12

Lien tangente – sinus/cosinus

Pour tout angle \(\alpha\) où \(\cos \alpha \neq 0\), on a :

\(\tan \alpha = \sin \alpha \times \cos \alpha\) \(\tan \alpha = \cos \alpha - \sin \alpha\) \(\tan \alpha = \dfrac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)

Question 13

Piste de ski – Application tangente

Une piste de ski descend de 200 m de dénivelé sur 800 m horizontaux. L'angle de la pente est :

\(\sin^{-1}\!\left(\dfrac{200}{800}\right) \approx 14{,}5°\) \(\tan^{-1}\!\left(\dfrac{200}{800}\right) \approx 14{,}0°\) \(\cos^{-1}\!\left(\dfrac{200}{800}\right) \approx 75{,}5°\) \(\tan^{-1}\!\left(\dfrac{800}{200}\right) \approx 76{,}0°\)

Question 14

Meuble d'angle – Calcul des côtés

Un menuisier agenceur fabrique un meuble d'angle avec une façade de 60 cm faisant un angle de 55° avec le mur de droite. La profondeur le long du mur de droite (côté adjacent) vaut :

\(60 \times \cos(55°) \approx 34{,}4\) cm \(60 \times \sin(55°) \approx 49{,}1\) cm \(\dfrac{60}{\cos(55°)} \approx 104{,}5\) cm \(60 \times \tan(55°) \approx 85{,}7\) cm

Question 15

Valeurs encadrement

Pour tout réel \(x\), les valeurs de \(\cos x\) et \(\sin x\) sont :

toujours comprises entre 0 et 1 toujours strictement positives toujours comprises entre \(-1\) et \(1\) comprises entre \(-\pi\) et \(\pi\)

Approfondissement

Question 1

Relation fondamentale – Déduction avancée

On sait que \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et que \(x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\) (deuxième quadrant). Alors \(\cos x\) vaut :

\(\dfrac{1}{2}\) \(-\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Question 2

Angles complémentaires

La propriété \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\) permet de calculer \(\cos(30°)\) comme :

\(\sin(30°) = \dfrac{1}{2}\) \(\cos(60°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) (faux, c'est \(\dfrac{1}{2}\)) \(\sin(90°) = 1\) (faux) \(\sin(60°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Question 3

Triangle rectangle – Résolution complète

Dans un triangle rectangle ABC (angle droit en C), on connaît AB = 25 cm et l'angle en A est 37°. Quelle est la longueur BC (côté opposé à l'angle A) ?

\(25 \times \sin(37°) \approx 15{,}05\) cm \(25 \times \cos(37°) \approx 19{,}97\) cm \(\dfrac{25}{\sin(37°)} \approx 41{,}5\) cm \(25 \times \tan(37°) \approx 18{,}84\) cm

Question 4

Application – Angle de coupe en menuiserie

Un menuisier doit couper une plinthe en biais pour un angle de coin de 50°. Le côté adjacent mesure 12 cm et le côté opposé mesure environ \(12 \times \tan(50°) \approx 14{,}3\) cm. Quelle relation a-t-il utilisée ?

\(\cos(50°) = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}\) \(\sin(50°) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\) \(\tan(50°) = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}\) \(\cos(50°) = \dfrac{\text{adj}}{\text{opp}}\)

Question 5

Fonction sinus – Impaire

La fonction sinus est impaire. Si \(\sin(x) = 0{,}7\), alors \(\sin(-x)\) vaut :

\(0{,}7\) \(-0{,}7\) \(\sqrt{1 - 0{,}49} \approx 0{,}714\) \(1 - 0{,}7 = 0{,}3\)

Question 6

Vérification par Pythagore

Dans un triangle rectangle, on a calculé deux côtés : 34,4 cm et 49,1 cm. L'hypoténuse théorique serait :

\(34{,}4 + 49{,}1 = 83{,}5\) cm \(\sqrt{34{,}4 - 49{,}1} \) (non défini) \(34{,}4 \times 49{,}1 \approx 1688{,}5\) cm \(\sqrt{34{,}4^2 + 49{,}1^2} \approx 60\) cm

Question 7

Angles associés – Calcul de sin(120°)

\(\sin(120°)\) vaut (en utilisant la relation \(\sin(\pi - x) = \sin x\)) :

\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(-\dfrac{1}{2}\)

Question 8

Application – Longueur d'un câble incliné

Un technicien en énergies renouvelables fixe un câble du sol jusqu'à un toit à 8 m de hauteur. Le câble fait un angle de 60° avec le sol. La longueur du câble est :

\(8 \times \sin(60°) \approx 6{,}93\) m \(8 \times \cos(60°) = 4\) m \(\dfrac{8}{\sin(60°)} \approx 9{,}24\) m \(\dfrac{8}{\cos(60°)} = 16\) m

Question 9

Relation fondamentale – Calcul de tan

On sait que \(\cos x = \dfrac{3}{5}\) et \(x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\). La valeur de \(\tan x\) est :

\(\dfrac{3}{4}\) \(\dfrac{4}{3}\) \(\dfrac{3}{5}\) \(\dfrac{5}{3}\)

Question 10

Lien sinus – cosinus (décalage de phase)

La courbe du cosinus est obtenue à partir de celle du sinus par :

une translation de \(\pi\) vers la gauche une symétrie par rapport à l'axe des abscisses une translation de \(\pi\) vers la droite une translation de \(\dfrac{\pi}{2}\) vers la gauche

Question 11

Application – Ossature d'un toit type BTS

Une ferme de charpente a une base de 6 m et une hauteur au faîte de 2,5 m. Un charpentier cherche l'angle au pied de la charpente (angle entre la base et le côté incliné). Il sait que la demi-base est 3 m. L'angle vaut :

\(\tan^{-1}\!\left(\dfrac{2{,}5}{3}\right) \approx 39{,}8°\) \(\sin^{-1}\!\left(\dfrac{2{,}5}{3}\right) \approx 56{,}4°\) \(\tan^{-1}\!\left(\dfrac{3}{2{,}5}\right) \approx 50{,}2°\) \(\cos^{-1}\!\left(\dfrac{2{,}5}{3}\right) \approx 33{,}6°\)

Question 12

Déduction – Valeur de cos à partir de sin

On sait que \(\sin x = \dfrac{5}{13}\) et que \(x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\). Quelle est la valeur de \(\cos x\) ?

\(\dfrac{8}{13}\) \(\dfrac{5}{13}\) \(\dfrac{12}{13}\) \(\dfrac{13}{12}\)

Question 13

Amplitude et période – Modélisation

Un courant électrique alternatif est modélisé par \(i(t) = 220\sin(100\pi t)\). L'amplitude de ce signal est :

\(100\pi\) \(220\) \(2\pi\) \(\dfrac{1}{100\pi}\)

Question 14

Résolution – Type BTS – Distance inaccessible

Un technicien d'agencement veut mesurer la hauteur d'un mur inaccessible. À 20 m de distance, il mesure un angle de visée de 35° par rapport à l'horizontale. La hauteur du mur est :

\(\dfrac{20}{\tan(35°)} \approx 28{,}6\) m \(20 \times \cos(35°) \approx 16{,}4\) m \(\dfrac{20}{\sin(35°)} \approx 34{,}9\) m \(20 \times \tan(35°) \approx 14{,}0\) m

Question 15

Raisonnement – Cohérence trigonométrique

Un élève calcule \(\cos x = 1{,}2\) pour un angle \(x\). Sa réponse est :

impossible, car \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\) pour tout réel \(x\) possible, car le cosinus peut dépasser 1 pour certains angles possible uniquement en radians correcte pour \(x = 2\pi\)