Trigonométrie — Première Bac Pro
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Durée : 10-15 min (socle) · 30-40 min (standard et approfondissement) | Calculatrice autorisée
Barème : 20 points
Donner les coordonnées du point image de chacun des réels suivants.
a) \(\dfrac{\pi}{2}\) : ...
b) \(\pi\) : ...
c) \(-\dfrac{\pi}{2}\) : ...
d) \(2\pi\) : ...
a) \(\dfrac{\pi}{2}\) : un quart de tour, \(J(0\,;\,1)\).
b) \(\pi\) : un demi-tour, \((-1\,;\,0)\).
c) \(-\dfrac{\pi}{2}\) : un quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre, \((0\,;\,-1)\).
d) \(2\pi\) : un tour complet, retour en \(I(1\,;\,0)\).
a) Compléter : \(\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + \ldots\)
b) En déduire que \(\dfrac{5\pi}{2}\) et \(\dfrac{\pi}{2}\) ont la même image.
c) Donner un réel négatif qui a la même image que \(\dfrac{\pi}{2}\).
d) Les réels \(3\pi\) et \(\pi\) ont-ils la même image ? Justifier.
a) \(\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi\).
b) On fait un tour complet de plus : on revient au même point. \(\dfrac{5\pi}{2}\) et \(\dfrac{\pi}{2}\) ont la même image.
c) Par exemple \(\dfrac{\pi}{2} - 2\pi = -\dfrac{3\pi}{2}\) : un tour de moins, même point \(J(0\,;\,1)\).
d) Oui : \(3\pi = \pi + 2\pi\). Les deux ont pour image le point \((-1\,;\,0)\).
Convertir les angles suivants :
a) \(90° = ... \times \dfrac{\pi}{180} = ...\) rad
b) \(60° = ... \times \dfrac{\pi}{180} = ...\) rad
c) \(\dfrac{\pi}{4}\) rad \(= \dfrac{\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = ...\)°
a) \(90° = 90 \times \dfrac{\pi}{180} = \mathbf{\dfrac{\pi}{2}}\) rad
b) \(60° = 60 \times \dfrac{\pi}{180} = \mathbf{\dfrac{\pi}{3}}\) rad
c) \(\dfrac{\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = \mathbf{45°}\)
Compléter sans calculatrice :
a) \(\cos(60°) = ...\)
b) \(\sin(60°) = ...\)
c) \(\cos(45°) = ...\)
d) \(\sin(0°) = ...\)
a) \(\cos(60°) = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\)
b) \(\sin(60°) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\)
c) \(\cos(45°) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\)
d) \(\sin(0°) = \mathbf{0}\)
Vérifier la relation fondamentale pour \(\alpha = 30°\) :
a) \(\cos(30°) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), donc \(\cos^2(30°) = ...\)
b) \(\sin(30°) = \dfrac{1}{2}\), donc \(\sin^2(30°) = ...\)
c) Vérifier : \(\cos^2(30°) + \sin^2(30°) = ... + ... = ...\)
a) \(\cos^2(30°) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \mathbf{\dfrac{3}{4}}\)
b) \(\sin^2(30°) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \mathbf{\dfrac{1}{4}}\)
c) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = \mathbf{1}\). La relation est vérifiée.
Barème : 20 points
Donner les coordonnées du point image de chacun des réels suivants.
a) \(\dfrac{3\pi}{2}\) : ...
b) \(\dfrac{\pi}{2}\) : ...
c) \(-\pi\) : ...
d) \(-2\pi\) : ...
a) \(\dfrac{3\pi}{2}\) : trois quarts de tour, \((0\,;\,-1)\).
b) \(\dfrac{\pi}{2}\) : un quart de tour, \(J(0\,;\,1)\).
c) \(-\pi\) : un demi-tour dans le sens des aiguilles d'une montre, \((-1\,;\,0)\).
d) \(-2\pi\) : un tour complet dans le sens des aiguilles d'une montre, retour en \(I(1\,;\,0)\).
a) Compléter : \(\dfrac{7\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2} + \ldots\)
b) En déduire que \(\dfrac{7\pi}{2}\) et \(\dfrac{3\pi}{2}\) ont la même image.
c) Donner un réel négatif qui a la même image que \(\dfrac{3\pi}{2}\).
d) Les réels \(4\pi\) et \(0\) ont-ils la même image ? Justifier.
a) \(\dfrac{7\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{2} + 2\pi\).
b) On fait un tour complet de plus : on revient au même point. \(\dfrac{7\pi}{2}\) et \(\dfrac{3\pi}{2}\) ont la même image.
c) Par exemple \(\dfrac{3\pi}{2} - 2\pi = -\dfrac{\pi}{2}\) : un tour de moins, même point \((0\,;\,-1)\).
d) Oui : \(4\pi = 0 + 2\pi + 2\pi\) (deux tours). Les deux ont pour image le point \(I(1\,;\,0)\).
Convertir les angles suivants :
a) \(120° = ... \times \dfrac{\pi}{180} = ...\) rad
b) \(30° = ... \times \dfrac{\pi}{180} = ...\) rad
c) \(\dfrac{3\pi}{4}\) rad \(= \dfrac{3\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = ...\)°
a) \(120° = 120 \times \dfrac{\pi}{180} = \mathbf{\dfrac{2\pi}{3}}\) rad
b) \(30° = 30 \times \dfrac{\pi}{180} = \mathbf{\dfrac{\pi}{6}}\) rad
c) \(\dfrac{3\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = \mathbf{135°}\)
Compléter sans calculatrice :
a) \(\cos(90°) = ...\)
b) \(\sin(30°) = ...\)
c) \(\cos(30°) = ...\)
d) \(\sin(90°) = ...\)
a) \(\cos(90°) = \mathbf{0}\)
b) \(\sin(30°) = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\)
c) \(\cos(30°) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\)
d) \(\sin(90°) = \mathbf{1}\)
Vérifier la relation fondamentale pour \(\alpha = 45°\) :
a) \(\cos(45°) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(\cos^2(45°) = ...\)
b) \(\sin(45°) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\), donc \(\sin^2(45°) = ...\)
c) Vérifier : \(\cos^2(45°) + \sin^2(45°) = ... + ... = ...\)
a) \(\cos^2(45°) = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \mathbf{\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}}\)
b) \(\sin^2(45°) = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \mathbf{\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}}\)
c) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = \mathbf{1}\). La relation est vérifiée.
Barème : 20 points
On sait que \(\cos x = 0{,}6\) et \(\sin x = 0{,}8\), avec \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\).
Donner le cosinus et le sinus de chacun des réels : a) \(-x\) ; b) \(\pi - x\) ; c) \(\pi + x\) ; d) \(\dfrac{\pi}{2} - x\).
a) \(\cos(-x) = \cos x = \mathbf{0{,}6}\) ; \(\sin(-x) = -\sin x = \mathbf{-0{,}8}\).
b) \(\cos(\pi - x) = -\cos x = \mathbf{-0{,}6}\) ; \(\sin(\pi - x) = \sin x = \mathbf{0{,}8}\).
c) \(\cos(\pi + x) = -\cos x = \mathbf{-0{,}6}\) ; \(\sin(\pi + x) = -\sin x = \mathbf{-0{,}8}\).
d) \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x = \mathbf{0{,}8}\) ; \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x = \mathbf{0{,}6}\).
Barème : 0,5 point par valeur.
On veut construire la courbe de la fonction sinus sur \([0\,;\,2\pi]\).
a) Compléter le tableau à l'aide du cercle trigonométrique (valeurs exactes).
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(0\) | … | … | … | … | … | … |
b) Pour quelle valeur de \(x\) la courbe atteint-elle son point le plus haut ? son point le plus bas ?
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(1\) | \(\dfrac{1}{2}\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
b) Point le plus haut pour \(x = \dfrac{\pi}{2}\) (\(\sin x = 1\)) ; point le plus bas pour \(x = \dfrac{3\pi}{2}\) (\(\sin x = -1\)). La courbe relie ces points par une ligne arrondie ; elle reste entre \(-1\) et \(1\).
Barème : 3 points pour le tableau (0,5 par case à compléter), 1 point pour la question b.
Convertir les angles suivants (résultats exacts) :
a) \(150°\) en radians.
b) \(\dfrac{\pi}{6}\) rad en degrés.
c) En utilisant les angles associés, calculer \(\cos(150°)\) et \(\sin(150°)\).
a) \(150° = 150 \times \dfrac{\pi}{180} = \mathbf{\dfrac{5\pi}{6}}\) rad.
b) \(\dfrac{\pi}{6} \times \dfrac{180}{\pi} = \mathbf{30°}\).
c) \(150° = 180° - 30°\) (angles supplémentaires) :
\(\cos(150°) = -\cos(30°) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\sin(150°) = \sin(30°) = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\)
On admet que, pour tout réel \(x\), \(\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\).
a) Compléter le tableau.
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|
| \(x + \dfrac{\pi}{2}\) | … | … | … |
| \(\cos x\) | … | … | … |
b) Dans quel sens et de combien faut-il décaler la courbe du sinus pour obtenir celle du cosinus ?
c) Sans calculatrice, donner \(\cos(2\pi)\).
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|
| \(x + \dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
| \(\cos x\) | \(1\) | \(0\) | \(-1\) |
b) On décale la courbe du sinus de \(\dfrac{\pi}{2}\) vers la gauche : les ordonnées ne changent pas, les abscisses diminuent de \(\dfrac{\pi}{2}\).
c) \(\cos(2\pi) = \sin\dfrac{5\pi}{2} = \mathbf{1}\).
Barème : a) 3 points (0,5 par case) ; b) 1 point ; c) 1 point.
On sait que \(\cos x = 0{,}8\) et que \(x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\). Calculer \(\sin x\) en utilisant la relation fondamentale.
\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
\(0{,}8^2 + \sin^2 x = 1 \Rightarrow 0{,}64 + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 0{,}36\)
\(\sin x = \sqrt{0{,}36} = \mathbf{0{,}6}\) (positif car premier quadrant).
Barème : 20 points
On sait que \(\cos x = 0{,}96\) et \(\sin x = 0{,}28\), avec \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\).
Donner le cosinus et le sinus de chacun des réels : a) \(-x\) ; b) \(\pi - x\) ; c) \(\pi + x\) ; d) \(\dfrac{\pi}{2} - x\).
a) \(\cos(-x) = \cos x = \mathbf{0{,}96}\) ; \(\sin(-x) = -\sin x = \mathbf{-0{,}28}\).
b) \(\cos(\pi - x) = -\cos x = \mathbf{-0{,}96}\) ; \(\sin(\pi - x) = \sin x = \mathbf{0{,}28}\).
c) \(\cos(\pi + x) = -\cos x = \mathbf{-0{,}96}\) ; \(\sin(\pi + x) = -\sin x = \mathbf{-0{,}28}\).
d) \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x = \mathbf{0{,}28}\) ; \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x = \mathbf{0{,}96}\).
Barème : 0,5 point par valeur.
On veut construire la courbe de la fonction sinus sur \([0\,;\,2\pi]\).
a) Compléter le tableau à l'aide du cercle trigonométrique (valeurs exactes).
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(0\) | … | … | … | … | … | … |
b) Pour quelle valeur de \(x\) la courbe atteint-elle son point le plus haut ? son point le plus bas ?
| \(x\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
b) Point le plus haut pour \(x = \dfrac{\pi}{2}\) (\(\sin x = 1\)) ; point le plus bas pour \(x = \dfrac{3\pi}{2}\) (\(\sin x = -1\)). La courbe relie ces points par une ligne arrondie ; elle reste entre \(-1\) et \(1\).
Barème : 3 points pour le tableau (0,5 par case à compléter), 1 point pour la question b.
Convertir les angles suivants (résultats exacts) :
a) \(120°\) en radians.
b) \(\dfrac{3\pi}{4}\) rad en degrés.
c) En utilisant les angles associés, calculer \(\cos(120°)\) et \(\sin(120°)\).
a) \(120° = 120 \times \dfrac{\pi}{180} = \mathbf{\dfrac{2\pi}{3}}\) rad.
b) \(\dfrac{3\pi}{4} \times \dfrac{180}{\pi} = \mathbf{135°}\).
c) \(120° = 180° - 60°\) (angles supplémentaires) :
\(\cos(120°) = -\cos(60°) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}}\)
\(\sin(120°) = \sin(60°) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\)
On admet que, pour tout réel \(x\), \(\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\).
a) Compléter le tableau.
| \(x\) | \(-\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|
| \(x + \dfrac{\pi}{2}\) | … | … | … |
| \(\cos x\) | … | … | … |
b) Dans quel sens et de combien faut-il décaler la courbe du sinus pour obtenir celle du cosinus ?
c) Sans calculatrice, donner \(\cos(-\pi)\).
| \(x\) | \(-\dfrac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|
| \(x + \dfrac{\pi}{2}\) | \(0\) | \(\dfrac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
| \(\cos x\) | \(0\) | \(-1\) | \(0\) |
b) On décale la courbe du sinus de \(\dfrac{\pi}{2}\) vers la gauche : les ordonnées ne changent pas, les abscisses diminuent de \(\dfrac{\pi}{2}\).
c) \(\cos(-\pi) = \sin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = \mathbf{-1}\).
Barème : a) 3 points (0,5 par case) ; b) 1 point ; c) 1 point.
On sait que \(\sin x = 0{,}28\) et que \(x \in \left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\). Calculer \(\cos x\) en utilisant la relation fondamentale.
\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
\(\cos^2 x + 0{,}28^2 = 1 \Rightarrow \cos^2 x + 0{,}0784 = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 0{,}9216\)
\(\cos x = \sqrt{0{,}9216} = \mathbf{0{,}96}\) (positif car premier quadrant).
Barème : 20 points
On sait que \(\cos x = \dfrac{5}{13}\) et \(\sin x = \dfrac{12}{13}\), avec \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\).
Donner, en justifiant par une symétrie ou un échange de coordonnées, les coordonnées des points images de : a) \(\pi - x\) ; b) \(\pi + x\) ; c) \(\dfrac{\pi}{2} - x\) ; d) \(\dfrac{\pi}{2} + x\).
a) Symétrie par rapport à l'axe vertical : \(\left(-\dfrac{5}{13}\,;\,\dfrac{12}{13}\right)\).
b) Symétrie par rapport au centre \(O\) : \(\left(-\dfrac{5}{13}\,;\,-\dfrac{12}{13}\right)\).
c) Coordonnées échangées : \(\left(\dfrac{12}{13}\,;\,\dfrac{5}{13}\right)\).
d) \((-\sin x\,;\,\cos x) = \left(-\dfrac{12}{13}\,;\,\dfrac{5}{13}\right)\).
Barème : 1 point par point image, dont 0,5 pour la justification.
En utilisant les angles associés et les valeurs remarquables, calculer les valeurs exactes suivantes (sans calculatrice) :
a) \(\cos(120°)\) et \(\sin(120°)\)
b) \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\)
c) Vérifier que \(\cos^2(120°) + \sin^2(120°) = 1\).
a) \(120° = 180° - 60°\) :
\(\cos(120°) = -\cos(60°) = \mathbf{-\dfrac{1}{2}}\)
\(\sin(120°) = \sin(60°) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\)
b) \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\), soit \(150° = 180° - 30°\) :
\(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = -\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\)
c) \(\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1\). Vérifié.
À l'aide du cercle trigonométrique et de la courbe du sinus :
a) Donner les réels \(x\) de \([0\,;\,2\pi]\) tels que \(\sin x = \dfrac{1}{2}\).
b) Donner le réel \(x\) de \([0\,;\,2\pi]\) tel que \(\sin x = -1\).
c) Combien de réels de \([0\,;\,4\pi]\) vérifient \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) ? Les citer.
a) \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\). L'autre point du cercle de même ordonnée est l'image de \(\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\). Solutions : \(\dfrac{\pi}{6}\) et \(\dfrac{5\pi}{6}\).
b) Le point le plus bas du cercle, \((0\,;\,-1)\), est l'image de \(\dfrac{3\pi}{2}\).
c) La période est \(2\pi\) : on ajoute un tour aux solutions du a. 4 réels : \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{5\pi}{6}\), \(\dfrac{13\pi}{6}\), \(\dfrac{17\pi}{6}\).
Barème : a) 2 points ; b) 1 point ; c) 1 point.
On sait que \(\sin x = \dfrac{3}{5}\) et que \(x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\) (deuxième quadrant).
a) Calculer \(\cos x\) en utilisant la relation fondamentale. Attention au signe.
b) En déduire les coordonnées du point image de \(-x\).
a) \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\).
Dans le deuxième quadrant, \(\cos x < 0\), donc \(\cos x = \mathbf{-\dfrac{4}{5}}\).
b) L'image de \(-x\) est la symétrique de celle de \(x\) par rapport à l'axe horizontal : \(\cos(-x) = \cos x\) et \(\sin(-x) = -\sin x\). Coordonnées : \(\mathbf{\left(-\dfrac{4}{5}\,;\,-\dfrac{3}{5}\right)}\).
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période \(2\pi\). En déduire les valeurs suivantes sans calculatrice :
a) \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{2}\right)\)
b) \(\cos(3\pi)\)
a) \(\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi\), donc \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{2}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \mathbf{1}\).
b) \(3\pi = \pi + 2\pi\), donc \(\cos(3\pi) = \cos(\pi) = \mathbf{-1}\).
Barème : 20 points
On sait que \(\cos x = \dfrac{8}{17}\) et \(\sin x = \dfrac{15}{17}\), avec \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\).
Donner, en justifiant par une symétrie ou un échange de coordonnées, les coordonnées des points images de : a) \(\pi - x\) ; b) \(\pi + x\) ; c) \(\dfrac{\pi}{2} - x\) ; d) \(\dfrac{\pi}{2} + x\).
a) Symétrie par rapport à l'axe vertical : \(\left(-\dfrac{8}{17}\,;\,\dfrac{15}{17}\right)\).
b) Symétrie par rapport au centre \(O\) : \(\left(-\dfrac{8}{17}\,;\,-\dfrac{15}{17}\right)\).
c) Coordonnées échangées : \(\left(\dfrac{15}{17}\,;\,\dfrac{8}{17}\right)\).
d) \((-\sin x\,;\,\cos x) = \left(-\dfrac{15}{17}\,;\,\dfrac{8}{17}\right)\).
Barème : 1 point par point image, dont 0,5 pour la justification.
En utilisant les angles associés et les valeurs remarquables, calculer les valeurs exactes suivantes (sans calculatrice) :
a) \(\cos(135°)\) et \(\sin(135°)\)
b) \(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\) et \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\)
c) Vérifier que \(\cos^2(135°) + \sin^2(135°) = 1\).
a) \(135° = 180° - 45°\) :
\(\cos(135°) = -\cos(45°) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\sin(135°) = \sin(45°) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\)
b) \(-\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{\pi}{4}\) sont des angles opposés, soit \(-45°\) et \(45°\) :
\(\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\)
\(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\sin\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\)
c) \(\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{4} = 1\). Vérifié.
À l'aide du cercle trigonométrique et de la courbe du sinus :
a) Donner les réels \(x\) de \([0\,;\,2\pi]\) tels que \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
b) Donner le réel \(x\) de \([0\,;\,2\pi]\) tel que \(\sin x = 1\).
c) Combien de réels de \([0\,;\,4\pi]\) vérifient \(\sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) ? Les citer.
a) \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\). L'autre point du cercle de même ordonnée est l'image de \(\pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}\). Solutions : \(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{3\pi}{4}\).
b) Le point le plus haut du cercle, \(J(0\,;\,1)\), est l'image de \(\dfrac{\pi}{2}\).
c) La période est \(2\pi\) : on ajoute un tour aux solutions du a. 4 réels : \(\dfrac{\pi}{4}\), \(\dfrac{3\pi}{4}\), \(\dfrac{9\pi}{4}\), \(\dfrac{11\pi}{4}\).
Barème : a) 2 points ; b) 1 point ; c) 1 point.
On sait que \(\cos x = -\dfrac{5}{13}\) et que \(x \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\pi\right]\) (deuxième quadrant).
a) Calculer \(\sin x\) en utilisant la relation fondamentale. Attention au signe.
b) En déduire les coordonnées du point image de \(-x\).
a) \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Rightarrow \sin^2 x = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}\).
Dans le deuxième quadrant, \(\sin x > 0\), donc \(\sin x = \mathbf{\dfrac{12}{13}}\).
b) L'image de \(-x\) est la symétrique de celle de \(x\) par rapport à l'axe horizontal : \(\cos(-x) = \cos x\) et \(\sin(-x) = -\sin x\). Coordonnées : \(\mathbf{\left(-\dfrac{5}{13}\,;\,-\dfrac{12}{13}\right)}\).
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période \(2\pi\). En déduire les valeurs suivantes sans calculatrice :
a) \(\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{3}\right)\)
b) \(\sin(4\pi)\)
a) \(\dfrac{7\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi\), donc \(\cos\!\left(\dfrac{7\pi}{3}\right) = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \mathbf{\dfrac{1}{2}}\).
b) \(4\pi = 0 + 2 \times 2\pi\), donc \(\sin(4\pi) = \sin(0) = \mathbf{0}\).