Trigonométrie | Première Bac Pro | Mathématiques
(Groupements A et B uniquement)
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon 1 dans un repère orthonormé direct.
On enroule la droite des réels sur le cercle : au réel \(x\) on associe le point \(M\) tel que l'arc \(\widehat{IM} = x\) (sens direct si \(x > 0\)).
Conversion : \(\pi\) rad \(= 180°\), donc \(x° = x \times \dfrac{\pi}{180}\) rad et \(\alpha\) rad \(= \alpha \times \dfrac{180}{\pi}\) degrés.
Convertir les angles suivants de degrés en radians (donner la valeur exacte en fraction de \(\pi\)) :
a) \(30°\) b) \(45°\) c) \(90°\) d) \(120°\) e) \(360°\)
Convertir les angles suivants de radians en degrés :
a) \(\dfrac{\pi}{3}\) b) \(\dfrac{3\pi}{4}\) c) \(\dfrac{5\pi}{6}\) d) \(\dfrac{7\pi}{4}\)
Un menuisier doit couper une pièce avec un angle de 60°. Sa machine affiche les angles en radians.
1. Convertir 60° en radians.
2. La machine propose aussi 150° et 210°. Convertir ces angles en radians.
3. Placer les trois angles sur un schéma de cercle trigonométrique.
Sur le cercle trigonométrique, le point \(M\) associé au réel \(x\) a pour coordonnées \((\cos x ; \sin x)\).
Valeurs particulières :
| \(x\) | 0 | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | 1 | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | 0 | \(-1\) |
| \(\sin x\) | 0 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 | 0 |
Propriétés de symétrie :
\(\cos(-x) = \cos x\) ; \(\sin(-x) = -\sin x\) (angles opposés)
\(\cos(\pi - x) = -\cos x\) ; \(\sin(\pi - x) = \sin x\) (supplémentaires)
\(\cos(\pi + x) = -\cos x\) ; \(\sin(\pi + x) = -\sin x\)
\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
Donner les valeurs exactes de :
a) \(\cos\dfrac{\pi}{3}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{3}\)
b) \(\cos\dfrac{\pi}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{4}\)
c) \(\cos\dfrac{\pi}{6}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{6}\)
d) Vérifier que \(\cos^2\dfrac{\pi}{3} + \sin^2\dfrac{\pi}{3} = 1\).
En utilisant les propriétés de symétrie, déterminer les valeurs exactes de :
a) \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) et \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\)
b) \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\) et \(\sin\dfrac{2\pi}{3}\) (sachant que \(\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}\))
c) \(\cos\dfrac{4\pi}{3}\) et \(\sin\dfrac{4\pi}{3}\) (sachant que \(\dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}\))
Un charpentier doit incliner une poutre selon un angle de \(\dfrac{\pi}{6}\) rad par rapport à l'horizontale.
1. Convertir cet angle en degrés.
2. Donner \(\cos\dfrac{\pi}{6}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{6}\).
3. Si la poutre mesure 4 m, calculer sa projection horizontale et sa projection verticale (valeurs exactes puis arrondies au centième).
La fonction sinus est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \sin x\).
Elle est périodique de période \(2\pi\) : \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\).
Elle est impaire : \(\sin(-x) = -\sin x\).
\(-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\) pour tout \(x\).
La courbe de la fonction cosinus se déduit par translation : \(\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\).
On considère la fonction \(f(x) = \sin x\) sur l'intervalle \([0 ; 2\pi]\).
1. Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) | 0 | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
2. Sur quel intervalle la fonction sinus est-elle croissante ? Décroissante ?
3. Quelles sont les valeurs maximale et minimale de \(\sin x\) ?
| \(x\) | 0 | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\sin x\) | 0 | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 | 0 | \(-1\) | 0 |
On donne la courbe de \(y = \sin x\) sur \([0 ; 4\pi]\).
1. Résoudre graphiquement \(\sin x = 0\) sur \([0 ; 4\pi]\).
2. Résoudre graphiquement \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) sur \([0 ; 2\pi]\).
3. Expliquer pourquoi \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\). Comment cela se traduit-il sur la courbe ?
Dans un atelier de menuiserie, une machine de découpe effectue un mouvement oscillant dont la position verticale (en cm) est modélisée par \(h(t) = 5\sin(t)\), où \(t\) est le temps en secondes.
1. Quelle est l'amplitude du mouvement ?
2. Quelle est la période du mouvement (arrondir au centième) ?
3. Calculer \(h(0)\), \(h\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\), \(h(\pi)\) et \(h\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\).
4. À quel instant la lame atteint-elle sa position la plus haute pour la première fois ?