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Chapitre 9 – Exercices par capacités

Trigonométrie  |  Première Bac Pro  |  Mathématiques
(Groupements A et B uniquement)

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026

Capacités du chapitre (codes du cours PDF) :

Les angles sont en radians sauf indication contraire. Les coordonnées s'écrivent en ligne : \(M(\cos x\,;\,\sin x)\).

C1 — Cercle trigonométrique, enroulement et conversions

Rappel de cours

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon 1 dans un repère orthonormé direct.
On enroule la droite des réels sur le cercle à partir de \(I(1\,;\,0)\) : au réel \(x\), on associe le point \(M\) obtenu en parcourant un arc de longueur \(|x|\), dans le sens inverse des aiguilles d'une montre si \(x > 0\), dans l'autre sens si \(x < 0\). Deux réels séparés de \(2\pi\) (un tour) ont la même image.
Conversion : \(\pi\) rad \(= 180°\), donc \(x° = x \times \dfrac{\pi}{180}\) rad et \(\alpha\) rad \(= \alpha \times \dfrac{180}{\pi}\) degrés.

x y I (0) π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 O sens +
Cercle trigonométrique et angles remarquables

Exercice 1

Convertir les angles suivants de degrés en radians (donner la valeur exacte en fraction de \(\pi\)) :
a) \(30°\)   b) \(45°\)   c) \(90°\)   d) \(120°\)   e) \(360°\)

On utilise la formule : \(x° = x \times \dfrac{\pi}{180}\) rad.

a) \(30° = 30 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{6}\) rad

b) \(45° = 45 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{4}\) rad

c) \(90° = 90 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{\pi}{2}\) rad

d) \(120° = 120 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{2\pi}{3}\) rad

e) \(360° = 360 \times \dfrac{\pi}{180} = 2\pi\) rad

Exercice 2

Convertir les angles suivants de radians en degrés :
a) \(\dfrac{\pi}{3}\)   b) \(\dfrac{3\pi}{4}\)   c) \(\dfrac{5\pi}{6}\)   d) \(\dfrac{7\pi}{4}\)

On utilise la formule : \(\alpha\) rad \(= \alpha \times \dfrac{180}{\pi}\) degrés.

a) \(\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{3} \times 180° = 60°\)

b) \(\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{3}{4} \times 180° = 135°\)

c) \(\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{5}{6} \times 180° = 150°\)

d) \(\dfrac{7\pi}{4} = \dfrac{7}{4} \times 180° = 315°\)

Exercice 3

Un technicien programme l'orientation d'un bras robotisé à 60°. Le logiciel affiche les angles en radians.
1. Convertir 60° en radians.
2. La machine propose aussi 150° et 210°. Convertir ces angles en radians.
3. Placer les trois angles sur un schéma de cercle trigonométrique.

1. \(60° = \dfrac{\pi}{3}\) rad

2. \(150° = \dfrac{5\pi}{6}\) rad   ;   \(210° = \dfrac{7\pi}{6}\) rad

3. Sur le cercle trigonométrique :
- \(\dfrac{\pi}{3}\) est dans le premier quadrant (entre \(0\) et \(\dfrac{\pi}{2}\))
- \(\dfrac{5\pi}{6}\) est dans le deuxième quadrant (entre \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\pi\))
- \(\dfrac{7\pi}{6}\) est dans le troisième quadrant (entre \(\pi\) et \(\dfrac{3\pi}{2}\))

Exercice 4

Sur le cercle ci-dessous, huit points sont repérés par des lettres.

O I A B C D E F G H
Cercle trigonométrique de rayon 1 : huit points repérés par des lettres. Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d'une montre.

1. Donner la lettre du point image de chacun des réels : \(\dfrac{\pi}{2}\) ; \(\pi\) ; \(-\dfrac{\pi}{2}\) ; \(\dfrac{3\pi}{4}\) ; \(\dfrac{7\pi}{6}\) ; \(-\dfrac{\pi}{3}\).
2. Quel réel de \([0\,;\,2\pi[\) a pour image le point \(A\) ? le point \(H\) ?

On part de \(I\). Un quart de tour vaut \(\dfrac{\pi}{2}\) (90°), un demi-tour \(\pi\) (180°).

1. \(\dfrac{\pi}{2}\) → B (quart de tour) ; \(\pi\) → D (demi-tour) ; \(-\dfrac{\pi}{2}\) → F (quart de tour dans le sens des aiguilles d'une montre) ;
\(\dfrac{3\pi}{4} = 135°\) → C ; \(\dfrac{7\pi}{6} = 210°\) → E (un peu plus d'un demi-tour) ; \(-\dfrac{\pi}{3}\) : on tourne de 60° dans le sens négatif, on arrive à 300° → G.

2. \(A\) est à 60°, soit \(\dfrac{\pi}{3}\). \(H\) est à 330°, soit \(\dfrac{11\pi}{6}\) (on accepte aussi \(-\dfrac{\pi}{6}\), mais il n'est pas dans \([0\,;\,2\pi[\)).

Exercice 5

1. Parmi les réels \(\dfrac{5\pi}{2}\) ; \(\dfrac{3\pi}{2}\) ; \(-\dfrac{3\pi}{2}\) ; \(\dfrac{9\pi}{2}\), lesquels ont la même image que \(\dfrac{\pi}{2}\) sur le cercle ? Justifier avec des tours complets.
2. Donner un réel positif et un réel négatif qui ont la même image que \(\dfrac{\pi}{3}\).
3. Vérifier sa compréhension. Léa affirme : « \(\pi\) et \(-\pi\) ont des images différentes, car ils sont de signes contraires. » A-t-elle raison ?

Deux réels ont la même image quand ils diffèrent d'un nombre entier de tours, c'est-à-dire d'un multiple de \(2\pi\).

1. \(\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi\) : un tour de plus, même image.
\(-\dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} - 2\pi\) : un tour de moins, même image.
\(\dfrac{9\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + 4\pi\) : deux tours de plus, même image.
\(\dfrac{3\pi}{2} - \dfrac{\pi}{2} = \pi\) : un demi-tour seulement. \(\dfrac{3\pi}{2}\) a pour image \((0\,;\,-1)\), pas \(J(0\,;\,1)\).

2. Par exemple \(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{3}\) et \(\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = -\dfrac{5\pi}{3}\).

3. Non. \(\pi - (-\pi) = 2\pi\) : un demi-tour dans un sens ou dans l'autre mène au même point \((-1\,;\,0)\).

C2 — Cosinus et sinus ; valeurs particulières ; symétries

Rappel de cours

Sur le cercle trigonométrique, le point \(M\) associé au réel \(x\) a pour coordonnées \((\cos x ; \sin x)\).
Valeurs particulières :

\(x\)0\(\frac{\pi}{6}\)\(\frac{\pi}{4}\)\(\frac{\pi}{3}\)\(\frac{\pi}{2}\)\(\pi\)
\(\cos x\)1\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{1}{2}\)0\(-1\)
\(\sin x\)0\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)10

Propriétés de symétrie :
\(\cos(-x) = \cos x\) ; \(\sin(-x) = -\sin x\) (angles opposés)
\(\cos(\pi - x) = -\cos x\) ; \(\sin(\pi - x) = \sin x\) (supplémentaires)
\(\cos(\pi + x) = -\cos x\) ; \(\sin(\pi + x) = -\sin x\) (symétrie de centre \(O\))
\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x\) ; \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x\) (complémentaires : les coordonnées sont échangées)
\(\cos\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x\) ; \(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x\)
Propriétés : \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\) ; \(-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\) ; \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\). Le signe se lit sur le cercle : placer le point avant de calculer.

Exercice 6

Donner les valeurs exactes de :
a) \(\cos\dfrac{\pi}{3}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{3}\)
b) \(\cos\dfrac{\pi}{4}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{4}\)
c) \(\cos\dfrac{\pi}{6}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{6}\)
d) Vérifier que \(\cos^2\dfrac{\pi}{3} + \sin^2\dfrac{\pi}{3} = 1\).

a) \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

b) \(\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

c) \(\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\)

d) \(\cos^2\dfrac{\pi}{3} + \sin^2\dfrac{\pi}{3} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = 1\) ✔

Exercice 7

En utilisant les propriétés de symétrie, déterminer les valeurs exactes de :
a) \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\) et \(\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\)
b) \(\cos\dfrac{2\pi}{3}\) et \(\sin\dfrac{2\pi}{3}\) (sachant que \(\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}\))
c) \(\cos\dfrac{4\pi}{3}\) et \(\sin\dfrac{4\pi}{3}\) (sachant que \(\dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3}\))

a) Angles opposés : \(\cos(-x) = \cos x\) et \(\sin(-x) = -\sin x\).
\(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\)
\(\sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

b) Supplémentaires : \(\cos(\pi - x) = -\cos x\) et \(\sin(\pi - x) = \sin x\).
\(\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)
\(\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

c) \(\cos(\pi + x) = -\cos x\) et \(\sin(\pi + x) = -\sin x\).
\(\cos\dfrac{4\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\)
\(\sin\dfrac{4\pi}{3} = -\sin\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

Exercice 8

Lien avec le triangle rectangle. Le point \(M\) est l'image de \(x = \dfrac{\pi}{6}\) sur le cercle trigonométrique. \(H\) est le point de l'axe des abscisses situé à la verticale de \(M\).

x = π/6 M H O I OM = 1
Le triangle \(OHM\) est rectangle en \(H\) ; son hypoténuse \(OM\) est un rayon du cercle, de longueur 1.

1. Dans le triangle \(OHM\), écrire \(\cos x\) et \(\sin x\) avec les longueurs \(OH\), \(HM\) et \(OM\). En déduire que \(OH = \cos x\) et \(HM = \sin x\).
2. Donner les valeurs exactes de \(OH\) et de \(HM\) pour \(x = \dfrac{\pi}{6}\).
3. Un panneau solaire de 4 m de long est incliné de \(\dfrac{\pi}{6}\) sur l'horizontale. Le triangle formé par le panneau est le triangle \(OHM\) agrandi 4 fois. Calculer la longueur au sol et la hauteur du panneau (valeur exacte, puis arrondie au centième).

1. Dans le triangle \(OHM\) rectangle en \(H\) : \(\cos x = \dfrac{OH}{OM}\) et \(\sin x = \dfrac{HM}{OM}\). Comme \(OM = 1\), on obtient \(OH = \cos x\) et \(HM = \sin x\) : ce sont bien les coordonnées de \(M\).

2. \(OH = \cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(HM = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\).

3. Toutes les longueurs sont multipliées par 4.
Longueur au sol : \(4 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46\ \text{m}\).
Hauteur : \(4 \times \dfrac{1}{2} = 2\ \text{m}\).

Exercice 9

On donne un réel \(x\) tel que \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\), avec \(\cos x = 0{,}28\) et \(\sin x = 0{,}96\).
1. Faire un croquis du cercle et y placer le point \(M\), image de \(x\), puis les images de \(-x\), \(\pi - x\), \(\pi + x\), \(\dfrac{\pi}{2} - x\) et \(\dfrac{\pi}{2} + x\).
2. Compléter le tableau.

Réel\(-x\)\(\pi - x\)\(\pi + x\)\(\dfrac{\pi}{2} - x\)\(\dfrac{\pi}{2} + x\)
cosinus……………
sinus……………

3. Vérifier sa compréhension. Vérifier que \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\).

1. \(M(0{,}28\,;\,0{,}96)\) est en haut à droite, près de \(J\). L'image de \(-x\) est sa symétrique par rapport à l'axe horizontal ; celle de \(\pi - x\), par rapport à l'axe vertical ; celle de \(\pi + x\), par rapport à \(O\). Pour \(\dfrac{\pi}{2} - x\), on échange les coordonnées de \(M\) ; pour \(\dfrac{\pi}{2} + x\), le point a pour coordonnées \((-\sin x\,;\,\cos x)\).

2.
Réel\(-x\)\(\pi - x\)\(\pi + x\)\(\dfrac{\pi}{2} - x\)\(\dfrac{\pi}{2} + x\)
cosinus0,28−0,28−0,280,96−0,96
sinus−0,960,96−0,960,280,28
3. \(0{,}28^2 + 0{,}96^2 = 0{,}0784 + 0{,}9216 = 1\) ✔

Exercice 10

On sait que \(\sin x = 0{,}6\) et que \(\dfrac{\pi}{2} < x < \pi\).
1. Dans quel quart du cercle se trouve le point image de \(x\) ? Quel est le signe de \(\cos x\) ?
2. Calculer \(\cos x\) à l'aide de la relation \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\).
3. Vérifier sa compréhension. Un élève trouve \(\cos x = 0{,}8\). Quelle erreur a-t-il faite ?

1. Entre \(\dfrac{\pi}{2}\) et \(\pi\), le point est en haut à gauche : son abscisse est négative, donc \(\cos x < 0\).

2. \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - 0{,}36 = 0{,}64\). Deux valeurs possibles : \(0{,}8\) ou \(-0{,}8\). Comme \(\cos x < 0\), \(\cos x = -0{,}8\).

3. Il a oublié le signe : \(\cos^2 x = 0{,}64\) ne dit pas si \(\cos x\) est positif ou négatif. C'est la position du point sur le cercle qui décide.

C3 — Courbe de la fonction sinus ; périodicité

Rappel de cours

La fonction sinus est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(x \mapsto \sin x\).
Elle est périodique de période \(2\pi\) : \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\).
\(-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\) pour tout \(x\).
Sa courbe se construit point par point : pour chaque réel \(x\), on lit l'ordonnée du point image sur le cercle.
La courbe de la fonction cosinus se déduit par translation : \(\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\).

x y 1 -1 0 π/2 π 3π/2 2π 5π/2 3π max min max
Courbe de \(y = \sin x\) — période \(2\pi\), amplitude 1

Exercice 11

On considère la fonction \(f(x) = \sin x\) sur l'intervalle \([0 ; 2\pi]\).
1. Compléter le tableau de valeurs :

\(x\)0\(\frac{\pi}{6}\)\(\frac{\pi}{4}\)\(\frac{\pi}{3}\)\(\frac{\pi}{2}\)\(\pi\)\(\frac{3\pi}{2}\)\(2\pi\)
\(\sin x\)........................

2. Sur quel intervalle la fonction sinus est-elle croissante ? Décroissante ?
3. Quelles sont les valeurs maximale et minimale de \(\sin x\) ?

1.
\(x\)0\(\frac{\pi}{6}\)\(\frac{\pi}{4}\)\(\frac{\pi}{3}\)\(\frac{\pi}{2}\)\(\pi\)\(\frac{3\pi}{2}\)\(2\pi\)
\(\sin x\)0\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)10\(-1\)0

2. La fonction sinus est croissante sur \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\), puis décroissante sur \(\left[\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{3\pi}{2}\right]\), puis à nouveau croissante sur \(\left[\dfrac{3\pi}{2} ; 2\pi\right]\).

3. Valeur maximale : \(\sin\dfrac{\pi}{2} = 1\). Valeur minimale : \(\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1\).

Exercice 12

On utilise la courbe de \(y = \sin x\) tracée dans le rappel de cours, de \(-\dfrac{\pi}{2}\) à \(3\pi\).
1. Résoudre graphiquement \(\sin x = 0\) sur \([0 ; 3\pi]\).
2. Résoudre graphiquement \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) sur \([0 ; 2\pi]\).
3. Expliquer pourquoi \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\). Comment cela se traduit-il sur la courbe ?

1. \(\sin x = 0\) pour \(x = 0\), \(x = \pi\), \(x = 2\pi\) et \(x = 3\pi\).
La courbe coupe l'axe des abscisses en ces points.

2. Sur \([0 ; 2\pi]\), \(\sin x = \dfrac{1}{2}\) pour \(x = \dfrac{\pi}{6}\) et \(x = \pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{6}\).

3. La fonction sinus est périodique de période \(2\pi\) : le motif de la courbe se répète identiquement tous les \(2\pi\). Décaler la courbe de \(2\pi\) vers la droite la laisse inchangée.

Exercice 13

La fonction sinus a pour période \(2\pi\).
1. Écrire \(\dfrac{5\pi}{2}\), \(3\pi\) et \(\dfrac{13\pi}{6}\) sous la forme « un réel de \([0\,;\,2\pi[\) + \(2\pi\) ».
2. En déduire \(\sin\dfrac{5\pi}{2}\), \(\sin(3\pi)\) et \(\sin\dfrac{13\pi}{6}\).
3. Donner \(\sin\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right)\) en ajoutant \(2\pi\).

1. \(\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + 2\pi\) ; \(3\pi = \pi + 2\pi\) ; \(\dfrac{13\pi}{6} = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi\).

2. Un tour de plus ne change pas le point image, donc pas le sinus :
\(\sin\dfrac{5\pi}{2} = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1\) ; \(\sin(3\pi) = \sin\pi = 0\) ; \(\sin\dfrac{13\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\).

3. \(-\dfrac{3\pi}{2} + 2\pi = \dfrac{\pi}{2}\), donc \(\sin\left(-\dfrac{3\pi}{2}\right) = \sin\dfrac{\pi}{2} = 1\).

Exercice 14

On admet que, pour tout réel \(x\), \(\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\).
1. Compléter le tableau en calculant d'abord \(x + \dfrac{\pi}{2}\).

\(x\)\(-\dfrac{\pi}{2}\)\(0\)\(\dfrac{\pi}{2}\)\(\pi\)\(\dfrac{3\pi}{2}\)
\(x + \dfrac{\pi}{2}\)……………
\(\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\)……………

2. Dans quel sens et de combien faut-il décaler la courbe du sinus pour obtenir celle du cosinus ?
3. Tracer les deux courbes dans un même repère, sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right]\).

1.
\(x\)\(-\dfrac{\pi}{2}\)\(0\)\(\dfrac{\pi}{2}\)\(\pi\)\(\dfrac{3\pi}{2}\)
\(x + \dfrac{\pi}{2}\)\(0\)\(\dfrac{\pi}{2}\)\(\pi\)\(\dfrac{3\pi}{2}\)\(2\pi\)
\(\cos x\)010−10
2. On décale la courbe du sinus de \(\dfrac{\pi}{2}\) vers la gauche : chaque point garde son ordonnée, son abscisse diminue de \(\dfrac{\pi}{2}\). Par exemple, le sommet \(\left(\dfrac{\pi}{2}\,;\,1\right)\) du sinus devient le sommet \((0\,;\,1)\) du cosinus.

3.
−π/20π/2π3π/2 1−1 y = sin x y = cos x
Trait plein bleu : sinus. Tirets orange : cosinus, décalé de \(\dfrac{\pi}{2}\) vers la gauche. Abscisses en radians.