Chapitre 9 | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 28 avril 2026
Contexte : Marc est charpentier dans l'entreprise Bois & Toitures à Clermont-Ferrand. Il doit remplacer les chevrons d'une toiture. Avant de commander le bois, il a besoin de connaître deux mesures : la hauteur du faîtage (point le plus haut du toit) et la longueur d'un chevron (la pente du toit).
Depuis le sol, Marc mesure la demi-portée (distance horizontale entre le mur et le point d'aplomb du faîtage) : elle vaut 6 m. À l'aide d'un inclinomètre, il mesure l'angle d'inclinaison du toit : il obtient 35°.
Le schéma ci-dessous modélise la charpente par un triangle rectangle.
Données :
a) Sur le schéma, quel est l'angle droit ? En quel sommet se trouve-t-il ?
b) Quel est le côté le plus long du triangle ? Comment s'appelle-t-il ?
a) L'angle droit est en A. Le triangle SAB est rectangle en A.
b) Le côté le plus long est SB (le chevron). C'est le côté opposé à l'angle droit : il s'appelle l'hypoténuse.
Par rapport à l'angle de 35° (situé en B), nommer chaque côté du triangle :
a) Le côté SA (la hauteur h) est-il le côté opposé, adjacent ou l'hypoténuse par rapport à l'angle en B ?
b) Le côté AB (la demi-portée, 6 m) est-il le côté opposé, adjacent ou l'hypoténuse par rapport à l'angle en B ?
c) Le côté SB (le chevron L) est-il le côté opposé, adjacent ou l'hypoténuse par rapport à l'angle en B ?
a) SA est le côté opposé à l'angle en B (il ne touche pas le sommet B).
b) AB est le côté adjacent à l'angle en B (il touche le sommet B sans être l'hypoténuse).
c) SB est l'hypoténuse (c'est le côté en face de l'angle droit en A, et le plus long côté).
Dans un triangle rectangle, on définit trois rapports trigonométriques pour un angle aigu \(\alpha\) :
\[\sin \alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} \qquad \cos \alpha = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}} \qquad \tan \alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}\]En utilisant les noms des côtés identifiés à la question 2, écrire les trois rapports pour l'angle de 35° en B :
a) \(\sin 35° = \dfrac{\ldots}{\ldots}\)
b) \(\cos 35° = \dfrac{\ldots}{\ldots}\)
c) \(\tan 35° = \dfrac{\ldots}{\ldots}\)
a) \(\sin 35° = \dfrac{SA}{SB} = \dfrac{h}{L}\)
b) \(\cos 35° = \dfrac{AB}{SB} = \dfrac{6}{L}\)
c) \(\tan 35° = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac{h}{6}\)
Marc veut calculer la hauteur h du faîtage. Il connaît l'angle (35°) et le côté adjacent (AB = 6 m).
a) Quel rapport trigonométrique fait intervenir le côté opposé (h) et le côté adjacent (6 m) ? Justifier.
b) À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur de \(\tan 35°\) (arrondir au dix-millième).
c) En utilisant l'égalité \(\tan 35° = \dfrac{h}{6}\), isoler h et calculer sa valeur. Arrondir au centième de mètre.
a) On connaît le côté adjacent (6 m) et on cherche le côté opposé (h). Le rapport qui relie opposé et adjacent est la tangente :
\[\tan 35° = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}} = \frac{h}{6}\]b) À la calculatrice (mode degrés) : \(\tan 35° \approx 0{,}7002\).
c) On isole h :
\[h = 6 \times \tan 35° = 6 \times 0{,}7002 \approx 4{,}20 \text{ m}\]La hauteur du faîtage est d'environ 4,20 m.
Marc veut maintenant calculer la longueur L du chevron (le côté SB).
a) Quel rapport trigonométrique fait intervenir le côté adjacent (6 m) et l'hypoténuse (L) ? Justifier.
b) À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur de \(\cos 35°\) (arrondir au dix-millième).
c) En utilisant l'égalité \(\cos 35° = \dfrac{6}{L}\), isoler L et calculer sa valeur. Arrondir au centième de mètre.
a) On connaît le côté adjacent (6 m) et on cherche l'hypoténuse (L). Le rapport qui relie adjacent et hypoténuse est le cosinus :
\[\cos 35° = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \frac{6}{L}\]b) À la calculatrice (mode degrés) : \(\cos 35° \approx 0{,}8192\).
c) On isole L :
\[\cos 35° = \frac{6}{L} \implies L = \frac{6}{\cos 35°} = \frac{6}{0{,}8192} \approx 7{,}32 \text{ m}\]La longueur du chevron est d'environ 7,32 m.
Marc souhaite vérifier ses résultats à l'aide du théorème de Pythagore.
a) Rappeler le théorème de Pythagore dans le triangle SAB, rectangle en A.
b) Calculer \(SA^2 + AB^2\) avec les valeurs trouvées (h ≈ 4,20 m et AB = 6 m).
c) Calculer \(SB^2\) avec L ≈ 7,32 m.
d) Comparer les deux résultats. Les valeurs sont-elles cohérentes ? Expliquer le léger écart éventuel.
a) Dans le triangle SAB, rectangle en A, le théorème de Pythagore donne :
\[SB^2 = SA^2 + AB^2\]b) \(SA^2 + AB^2 = 4{,}20^2 + 6^2 = 17{,}64 + 36 = 53{,}64\)
c) \(SB^2 = 7{,}32^2 = 53{,}58\)
d) On obtient \(SA^2 + AB^2 = 53{,}64\) et \(SB^2 = 53{,}58\). Les deux valeurs sont très proches. Le léger écart (0,06) est dû aux arrondis effectués lors des calculs. Les résultats sont donc cohérents.
Un autre chantier se présente : un menuisier doit poser une charpente dont l'angle d'inclinaison est de 42° et la demi-portée vaut 5 m.
a) Calculer la hauteur \(h'\) du faîtage de cette nouvelle charpente. Arrondir au centième.
b) Calculer la longueur \(L'\) du chevron. Arrondir au centième.
a) On utilise la tangente (opposé / adjacent) :
\[h' = 5 \times \tan 42° = 5 \times 0{,}9004 \approx 4{,}50 \text{ m}\]b) On utilise le cosinus (adjacent / hypoténuse) :
\[L' = \frac{5}{\cos 42°} = \frac{5}{0{,}7431} \approx 6{,}73 \text{ m}\]En observant les deux problèmes résolus (questions 4-5 et question 7), compléter le tableau suivant en indiquant quel rapport trigonométrique utiliser selon les côtés en jeu :
| On connaît | On cherche | Rapport à utiliser |
|---|---|---|
| angle + côté adjacent | côté opposé | ... |
| angle + côté adjacent | hypoténuse | ... |
| angle + hypoténuse | côté opposé | ... |
| angle + hypoténuse | côté adjacent | ... |
| angle + côté opposé | côté adjacent | ... |
| angle + côté opposé | hypoténuse | ... |
| On connaît | On cherche | Rapport à utiliser |
|---|---|---|
| angle + côté adjacent | côté opposé | tangente |
| angle + côté adjacent | hypoténuse | cosinus |
| angle + hypoténuse | côté opposé | sinus |
| angle + hypoténuse | côté adjacent | cosinus |
| angle + côté opposé | côté adjacent | tangente |
| angle + côté opposé | hypoténuse | sinus |
Astuce : on choisit toujours le rapport trigonométrique qui fait intervenir les deux côtés concernés (celui qu'on connaît et celui qu'on cherche).
Marc doit rédiger un compte rendu de mesure destiné au bureau d'études. Rédiger un court rapport (5 à 8 lignes) en précisant :
Exemple de compte rendu :
Rapport de mesure — Charpente, chantier Clermont-Ferrand
La demi-portée mesurée au sol est de 6 m et l'angle d'inclinaison du toit relevé à l'inclinomètre est de 35°. La charpente forme un triangle rectangle.
Pour calculer la hauteur du faîtage, j'ai utilisé la tangente car je connaissais le côté adjacent (6 m) et je cherchais le côté opposé. J'obtiens : h = 6 × tan 35° ≈ 4,20 m.
Pour la longueur du chevron, j'ai utilisé le cosinus car je connaissais le côté adjacent (6 m) et je cherchais l'hypoténuse. J'obtiens : L = 6 / cos 35° ≈ 7,32 m.
Vérification par Pythagore : 4,20² + 6² = 53,64 et 7,32² = 53,58. L'écart est négligeable (arrondis). Les résultats sont cohérents.
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu \(\alpha\) :
\[\boxed{\sin \alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}} \qquad \boxed{\cos \alpha = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}} \qquad \boxed{\tan \alpha = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}}\]Moyen mnémotechnique : SOH — CAH — TOA
Lien avec le théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le théorème de Pythagore (\(\text{hypoténuse}^2 = \text{opposé}^2 + \text{adjacent}^2\)) permet de vérifier les résultats obtenus par trigonométrie. Il en découle la relation fondamentale : \(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1\).