Chapitre 9 — Trigonométrie | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 24 mai 2026
Yanis est un cycliste minimes inscrit au Vélo Club de Bagnolet. Pendant ses entraînements au vélodrome de Saint-Quentin-en-Yvelines, il observe que dans les virages relevés, il doit s'incliner vers l'intérieur pour ne pas être déporté vers l'extérieur. Avec son cours de trigonométrie, il veut calculer l'angle d'inclinaison nécessaire en fonction de sa vitesse.
Pour qu'un cycliste reste en équilibre dans un virage de rayon \(R\) à la vitesse \(v\), il doit s'incliner d'un angle \(\theta\) par rapport à la verticale tel que :
\( \tan \theta = \dfrac{v^2}{g \, R} \)
(v en m/s, R en m, g = 9,81 m/s²)
Convertir la vitesse de Yanis (36 km/h) en m/s.
\(v = 36 / 3{,}6 = \mathbf{10}\) m/s.
Calculer \(\tan \theta\) pour Yanis dans le virage de 25 m de rayon.
\(\tan \theta = \dfrac{v^2}{g R} = \dfrac{10^2}{9{,}81 \times 25} = \dfrac{100}{245{,}25} \approx \mathbf{0{,}408}\).
En déduire l'angle d'inclinaison \(\theta\) en degrés.
\(\theta = \arctan(0{,}408) \approx \mathbf{22{,}2°}\).
Yanis doit incliner son vélo d'environ 22° par rapport à la verticale.
Convertir la vitesse du sprinter pro (60 km/h) en m/s. Calculer \(\tan \theta\) puis \(\theta\) à 60 km/h.
\(v = 60 / 3{,}6 \approx 16{,}67\) m/s.
\(\tan \theta = \dfrac{16{,}67^2}{9{,}81 \times 25} = \dfrac{277{,}9}{245{,}25} \approx 1{,}133\).
\(\theta = \arctan(1{,}133) \approx \mathbf{48{,}6°}\).
À 60 km/h, le sprinter s'incline de presque 49° — plus que la pente de la piste (42°) ! Il passe « hors piste » en théorie. C'est pourquoi la piste est relevée à 42° pour absorber une partie de cet angle.
Vérifier l'effet quadratique : quand la vitesse double, l'angle est-il doublé ?
Vitesse de 10 m/s : θ ≈ 22°. Vitesse de 20 m/s (doublée) : \(\tan \theta = 400 / 245{,}25 \approx 1{,}63\) → \(\theta \approx 58{,}5°\).
22° → 58,5° = multiplié par ≈ 2,7 (et non par 2). L'angle augmente plus vite que la vitesse car \(\tan \theta \propto v^2\) (effet quadratique).
Conséquence : doubler la vitesse exige presque 3× l'inclinaison → la limite physique est vite atteinte (90° maximum théorique).
Quelle est la vitesse maximale possible dans ce virage avant que le cycliste ne perde l'équilibre (angle limite θ = 60°) ?
\(\tan 60° = \sqrt{3} \approx 1{,}732\).
\(\tan \theta = \dfrac{v^2}{g R}\) → \(v^2 = g R \tan \theta = 9{,}81 \times 25 \times 1{,}732 \approx 424{,}8\).
\(v = \sqrt{424{,}8} \approx \mathbf{20{,}6}\) m/s ≈ 74 km/h.
Cohérent avec les records du monde (75 km/h) — au-delà, on dépasse les limites physiques sur un vélodrome standard.
Yanis veut s'entraîner à 45 km/h (vitesse cible). Calculer son angle d'inclinaison.
\(v = 45 / 3{,}6 = 12{,}5\) m/s.
\(\tan \theta = \dfrac{12{,}5^2}{9{,}81 \times 25} = \dfrac{156{,}25}{245{,}25} \approx 0{,}637\).
\(\theta = \arctan(0{,}637) \approx \mathbf{32{,}5°}\).
À 45 km/h, Yanis devra s'incliner de 32,5° — sensation forte ! C'est encore en dessous des 42° de la piste relevée, donc tenable.
Rédiger la note d'entraînement de Yanis pour le coach (6 lignes).
Note technique vélodrome — Inclinaison en virage
• Formule : \(\tan \theta = v^2 / (g R)\) (R = 25 m sur ce vélodrome).
• Vitesse actuelle 36 km/h → inclinaison 22°. Confortable.
• Objectif 45 km/h → inclinaison 32,5°. À s'habituer progressivement.
• Sprint pros 60 km/h → 48,6°, soit plus que la pente piste (42°). Très exigeant.
• Limite vélo standard : ≈ 60° (74 km/h sur ce rayon).
• Effet quadratique : doubler la vitesse triple presque l'angle d'inclinaison. Travail spécifique nécessaire.
Sur un vélodrome plus grand (R = 50 m), quel serait l'angle pour 45 km/h ? Comparer.
\(\tan \theta = \dfrac{12{,}5^2}{9{,}81 \times 50} = \dfrac{156{,}25}{490{,}5} \approx 0{,}319\).
\(\theta = \arctan(0{,}319) \approx \mathbf{17{,}7°}\) au lieu de 32,5° précédemment (R = 25 m).
L'angle est réduit de moitié en doublant le rayon. C'est pourquoi les vélodromes de compétition sont grands (250 à 500 m de boucle) → virages plus doux.
📚 Cette activité s'appuie sur §I (Trigonométrie) de la leçon Ch09 + lien Sport / Physique.