🚴 Activité 8 – Cycliste en virage incliné : angle et trigonométrie SPORT

Chapitre 9 — Trigonométrie | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min

Dernière mise à jour : 24 mai 2026

Objectifs :

Utiliser \(\tan\) pour relier vitesse, rayon et angle d'inclinaison
Calculer un angle à partir d'un rapport (avec \(\arctan\))
Convertir m/s ↔ km/h
Comprendre l'effet de la centrifuge dans un virage
Comparer plusieurs vitesses dans un même virage

Situation — séance d'entraînement sur piste

Yanis est un cycliste minimes inscrit au Vélo Club de Bagnolet. Pendant ses entraînements au vélodrome de Saint-Quentin-en-Yvelines, il observe que dans les virages relevés, il doit s'incliner vers l'intérieur pour ne pas être déporté vers l'extérieur. Avec son cours de trigonométrie, il veut calculer l'angle d'inclinaison nécessaire en fonction de sa vitesse.

Document 1 – Le vélodrome

Rayon moyen du virage : R = 25 m.
Inclinaison de la piste dans les virages : 42° (piste relevée).
Longueur d'une boucle complète : 250 m.

Document 2 – Loi de la trajectoire circulaire

Pour qu'un cycliste reste en équilibre dans un virage de rayon \(R\) à la vitesse \(v\), il doit s'incliner d'un angle \(\theta\) par rapport à la verticale tel que :

\( \tan \theta = \dfrac{v^2}{g \, R} \)

(v en m/s, R en m, g = 9,81 m/s²)

Document 3 – Vitesses typiques

Yanis (minimes, entraînement) : 36 km/h.
Cycliste amateur confirmé : 45 km/h.
Cycliste pro (sprint) : 60 km/h.
Record du monde sur piste : 75 km/h en sprint.
Conversion : 1 m/s = 3,6 km/h.

Problématique : De combien Yanis doit-il s'incliner dans le virage à 36 km/h, et quel angle pour un sprinter à 60 km/h ?

Question 1 APP

Convertir la vitesse de Yanis (36 km/h) en m/s.

\(v = 36 / 3{,}6 = \mathbf{10}\) m/s.

Question 2 REA

Calculer \(\tan \theta\) pour Yanis dans le virage de 25 m de rayon.

\(\tan \theta = \dfrac{v^2}{g R} = \dfrac{10^2}{9{,}81 \times 25} = \dfrac{100}{245{,}25} \approx \mathbf{0{,}408}\).

Question 3 REA

En déduire l'angle d'inclinaison \(\theta\) en degrés.

\(\theta = \arctan(0{,}408) \approx \mathbf{22{,}2°}\).

Yanis doit incliner son vélo d'environ 22° par rapport à la verticale.

Question 4 ANA

Convertir la vitesse du sprinter pro (60 km/h) en m/s. Calculer \(\tan \theta\) puis \(\theta\) à 60 km/h.

\(v = 60 / 3{,}6 \approx 16{,}67\) m/s.

\(\tan \theta = \dfrac{16{,}67^2}{9{,}81 \times 25} = \dfrac{277{,}9}{245{,}25} \approx 1{,}133\).

\(\theta = \arctan(1{,}133) \approx \mathbf{48{,}6°}\).

À 60 km/h, le sprinter s'incline de presque 49° — plus que la pente de la piste (42°) ! Il passe « hors piste » en théorie. C'est pourquoi la piste est relevée à 42° pour absorber une partie de cet angle.

Question 5 ANA

Vérifier l'effet quadratique : quand la vitesse double, l'angle est-il doublé ?

Vitesse de 10 m/s : θ ≈ 22°. Vitesse de 20 m/s (doublée) : \(\tan \theta = 400 / 245{,}25 \approx 1{,}63\) → \(\theta \approx 58{,}5°\).

22° → 58,5° = multiplié par ≈ 2,7 (et non par 2). L'angle augmente plus vite que la vitesse car \(\tan \theta \propto v^2\) (effet quadratique).

Conséquence : doubler la vitesse exige presque 3× l'inclinaison → la limite physique est vite atteinte (90° maximum théorique).

Question 6 ANA

Quelle est la vitesse maximale possible dans ce virage avant que le cycliste ne perde l'équilibre (angle limite θ = 60°) ?

\(\tan 60° = \sqrt{3} \approx 1{,}732\).

\(\tan \theta = \dfrac{v^2}{g R}\) → \(v^2 = g R \tan \theta = 9{,}81 \times 25 \times 1{,}732 \approx 424{,}8\).

\(v = \sqrt{424{,}8} \approx \mathbf{20{,}6}\) m/s ≈ 74 km/h.

Cohérent avec les records du monde (75 km/h) — au-delà, on dépasse les limites physiques sur un vélodrome standard.

Question 7 VAL

Yanis veut s'entraîner à 45 km/h (vitesse cible). Calculer son angle d'inclinaison.

\(v = 45 / 3{,}6 = 12{,}5\) m/s.

\(\tan \theta = \dfrac{12{,}5^2}{9{,}81 \times 25} = \dfrac{156{,}25}{245{,}25} \approx 0{,}637\).

\(\theta = \arctan(0{,}637) \approx \mathbf{32{,}5°}\).

À 45 km/h, Yanis devra s'incliner de 32,5° — sensation forte ! C'est encore en dessous des 42° de la piste relevée, donc tenable.

Question 8 COM

Rédiger la note d'entraînement de Yanis pour le coach (6 lignes).

Note technique vélodrome — Inclinaison en virage
• Formule : \(\tan \theta = v^2 / (g R)\) (R = 25 m sur ce vélodrome).
• Vitesse actuelle 36 km/h → inclinaison 22°. Confortable.
• Objectif 45 km/h → inclinaison 32,5°. À s'habituer progressivement.
• Sprint pros 60 km/h → 48,6°, soit plus que la pente piste (42°). Très exigeant.
• Limite vélo standard : ≈ 60° (74 km/h sur ce rayon).
• Effet quadratique : doubler la vitesse triple presque l'angle d'inclinaison. Travail spécifique nécessaire.

Pour aller plus loin (bonus)

Sur un vélodrome plus grand (R = 50 m), quel serait l'angle pour 45 km/h ? Comparer.

\(\tan \theta = \dfrac{12{,}5^2}{9{,}81 \times 50} = \dfrac{156{,}25}{490{,}5} \approx 0{,}319\).

\(\theta = \arctan(0{,}319) \approx \mathbf{17{,}7°}\) au lieu de 32,5° précédemment (R = 25 m).

L'angle est réduit de moitié en doublant le rayon. C'est pourquoi les vélodromes de compétition sont grands (250 à 500 m de boucle) → virages plus doux.

À retenir

Dans un virage à vitesse constante, le cycliste doit s'incliner d'un angle \(\theta\) tel que \(\tan \theta = \dfrac{v^2}{g R}\).
L'angle augmente avec la vitesse au carré (effet quadratique).
L'angle diminue quand le rayon augmente (virage plus large = moins incliné).
Pour retrouver \(\theta\) à partir de \(\tan \theta\) : utiliser \(\arctan\).
Sur un vélodrome, la piste relevée compense partiellement l'inclinaison du cycliste.
La limite physique se situe vers θ ≈ 60-70° au-delà desquels le vélo perd l'adhérence.

📚 Cette activité s'appuie sur §I (Trigonométrie) de la leçon Ch09 + lien Sport / Physique.