Chapitre 9 — Trigonométrie | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min
Dernière mise à jour : 24 mai 2026
Mohammed, dessinateur en bureau d'études bâtiment chez BâtiPlan 93 à Pantin, conçoit un escalier droit pour relier le rez-de-chaussée à l'étage d'une maison en cours d'extension. La hauteur à monter est de 2,72 m (hauteur sous plafond + dalle). Il doit vérifier que son projet respecte la norme NF P21-211 (escaliers d'habitation).
Calculer le nombre de contremarches nécessaires pour franchir 2,72 m avec des marches de 17 cm.
Nombre de contremarches : \(n = 272 / 17 = \mathbf{16}\). Donc 16 contremarches (et 15 marches, car la dernière contremarche débouche sur le plancher de l'étage).
Vérifier la formule de Blondel : \(2 h + g\) est-elle dans la plage 60-64 cm ?
\(2 h + g = 2 \times 17 + 27 = 34 + 27 = \mathbf{61}\) cm.
61 cm ∈ [60 ; 64] ✓ Conforme à la formule de Blondel.
Calculer l'angle d'inclinaison \(\alpha\) d'une marche (rampant local) avec \(\tan \alpha = h / g\).
\(\tan \alpha = \dfrac{17}{27} \approx 0{,}630\).
\(\alpha = \arctan(0{,}630) \approx \mathbf{32{,}2°}\).
Vérification : \(\alpha \in [25° ; 35°]\) ? 32,2° ∈ [25° ; 35°] ✓ Conforme à la pente.
Calculer l'emprise au sol de l'escalier (longueur horizontale).
Avec 15 marches de 27 cm : \(15 \times 27 = 405\) cm = 4,05 m (longueur de l'escalier au sol).
Note : on compte 15 girons et pas 16 (le dernier débouche sur le plancher de l'étage).
Calculer la longueur du limon (pièce oblique qui supporte les marches) par le théorème de Pythagore. En déduire l'angle global \(\alpha_g\) du limon par rapport à l'horizontale, et comparer avec \(\alpha\) (angle d'une marche).
Triangle rectangle global : adjacent = 4,05 m (15 girons), opposé = 2,72 m (16 contremarches).
Pythagore : \(L = \sqrt{4{,}05^2 + 2{,}72^2} = \sqrt{16{,}40 + 7{,}40} = \sqrt{23{,}80} \approx \mathbf{4{,}88}\) m.
Angle global du limon : \(\tan \alpha_g = \dfrac{2{,}72}{4{,}05} \approx 0{,}672\) → \(\alpha_g \approx \mathbf{33{,}9°}\).
Attention : \(\alpha_g \neq \alpha\) ! Une marche fait 32,2° (cf. Q3), mais l'escalier global est un peu plus raide car il y a 16 contremarches pour seulement 15 girons (la dernière contremarche débouche sur le plancher d'arrivée). L'angle global est conforme : 33,9° ∈ [25° ; 35°] ✓.
Commande de bois : 2 limons × 5,00 m chacun (avec marge).
Mohammed envisage un escalier plus raide pour gagner de la place (\(h\) = 18 cm, \(g\) = 24 cm). Vérifier Blondel et la pente. Est-il conforme ?
Blondel : \(2 \times 18 + 24 = 36 + 24 = 60\) cm → ∈ [60 ; 64] ✓ (limite basse).
Pente : \(\tan \alpha = 18 / 24 = 0{,}75\) → \(\alpha = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}9°\). > 35° → non conforme ⚠️.
Cet escalier est trop raide pour la norme habitation. Acceptable pour un escalier de combles (norme moins stricte, jusqu'à 45°) mais pas pour relier RDC à étage.
Quelle hauteur de marche serait optimale (Blondel = 62 cm exactement) avec un giron fixé à 28 cm ?
\(2 h + 28 = 62\) → \(2 h = 34\) → \(h = \mathbf{17}\) cm.
Reste à vérifier que 2,72 m soit divisible par 17 → 2,72/0,17 = 16. ✓ Parfait.
Configuration optimale : 16 contremarches de 17 cm, 15 marches de 28 cm de giron. Blondel = 62, pente \(\tan = 17/28 = 0{,}607\) → α ≈ 31,3°. Excellent confort de marche.
Rédiger la note de validation de Mohammed à l'architecte (6 lignes).
Validation projet escalier — Maison Pantin extension
• Configuration : 16 contremarches × 17 cm, 15 marches × 27 cm de giron.
• Hauteur totale franchie : 2,72 m. Emprise au sol : 4,05 m.
• Formule de Blondel : \(2 \times 17 + 27 = 61\) cm → conforme ✓.
• Angle d'une marche : 32,2°. Angle global de l'escalier : 33,9° (∈ [25° ; 35°] ✓).
• Longueur des limons (Pythagore) : 4,88 m (commander 5 m × 2).
• Validation : Conforme NF P21-211. Variante optimale : giron 28 cm pour Blondel = 62.
Pour un escalier accessible PMR (Personne à Mobilité Réduite), la pente ne doit pas dépasser 5 % (\(\arctan 0{,}05 \approx 2{,}9°\)). Pour franchir les 2,72 m, quelle longueur de rampe faut-il, et est-ce réalisable dans une maison standard ?
À 5 % de pente : pour un dénivelé de 2,72 m, longueur horizontale \(= 2{,}72 / 0{,}05 = 54{,}4\) m. Inenvisageable dans une maison.
Solution PMR pour un étage : ascenseur ou monte-escalier (chaise). La rampe à 5 % n'est applicable qu'aux ressauts (< 30 cm de dénivelé).
Pour l'accès à un seul étage avec ascenseur domestique : surface de cabine ≈ 1 m², coût installation ≈ 12 000 €.
📚 Cette activité s'appuie sur §I (Rapports trigonométriques) de la leçon Ch09 + filière EMNB (bâtiment) + norme NF P21-211.