🪜 Activité 7 – Conformité d'un escalier (norme NF P21-211) FILIÈRE EMNB

Chapitre 9 — Trigonométrie | 1ère Bac Pro | Mathématiques | ⏱ 40 min

Dernière mise à jour : 21 octobre 2026, 16:00

Objectifs :

Calculer l'angle d'inclinaison d'un escalier par trigonométrie
Calculer la longueur de la rampe (hypoténuse)
Vérifier la formule de Blondel et la norme NF
Comparer plusieurs configurations d'escalier
Optimiser un projet sous contrainte

Pour aller plus loin
Cette activité réinvestit la trigonométrie du triangle rectangle vue au collège (cosinus, sinus, tangente, angles en degrés). Elle ne relève pas du programme de Première, dont le module Trigonométrie porte sur le cercle trigonométrique, les radians et la courbe du sinus, et elle n'est pas évaluée dans les interrogations du chapitre.

Situation — projet d'escalier dans une extension

Mohammed, dessinateur en bureau d'études bâtiment chez BâtiPlan 93 à Pantin, conçoit un escalier droit pour relier le rez-de-chaussée à l'étage d'une maison en cours d'extension. La hauteur à monter est de 2,72 m (hauteur sous plafond + dalle). Il doit vérifier que son projet respecte la norme NF P21-211 (escaliers d'habitation).

Document 1 – Données du projet

Hauteur totale à franchir : 2,72 m (de plancher RDC à plancher étage).
Hauteur de marche choisie : 17 cm (\(h\)).
Giron (profondeur d'une marche) choisi : 27 cm (\(g\)).
Largeur de l'escalier : 90 cm.

Document 2 – Norme NF P21-211 et formule de Blondel

Formule de Blondel : \(2 h + g\) doit être compris entre 60 et 64 cm (confort de marche).
Pente normale de l'escalier : entre 25° et 35° (idéal vers 30°).
Hauteur de marche \(h\) : 16 à 18 cm (idéal 17 cm).
Giron \(g\) : 25 à 32 cm (idéal 27-29 cm).
L'angle se calcule par \(\tan \alpha = h / g\).

Document 3 – Vocabulaire de l'escalier

Marche : surface plane sur laquelle on pose le pied.
Contremarche : partie verticale entre deux marches successives.
Hauteur \(h\) : hauteur d'une contremarche.
Giron \(g\) : profondeur horizontale d'une marche.
Limon : pièce en bois oblique qui supporte les marches latéralement.

Problématique : L'escalier choisi par Mohammed est-il conforme à la norme, et quelle est la longueur réelle des limons à découper ?

Question 1 APP

Calculer le nombre de contremarches nécessaires pour franchir 2,72 m avec des marches de 17 cm.

Nombre de contremarches : \(n = 272 / 17 = \mathbf{16}\). Donc 16 contremarches (et 15 marches, car la dernière contremarche débouche sur le plancher de l'étage).

Question 2 REA

Vérifier la formule de Blondel : \(2 h + g\) est-elle dans la plage 60-64 cm ?

\(2 h + g = 2 \times 17 + 27 = 34 + 27 = \mathbf{61}\) cm.

61 cm ∈ [60 ; 64] ✓ Conforme à la formule de Blondel.

Question 3 REA

Calculer l'angle d'inclinaison \(\alpha\) d'une marche (rampant local) avec \(\tan \alpha = h / g\).

\(\tan \alpha = \dfrac{17}{27} \approx 0{,}630\).

\(\alpha = \arctan(0{,}630) \approx \mathbf{32{,}2°}\).

Vérification : \(\alpha \in [25° ; 35°]\) ? 32,2° ∈ [25° ; 35°] ✓ Conforme à la pente.

Question 4 REA

Calculer l'emprise au sol de l'escalier (longueur horizontale).

Avec 15 marches de 27 cm : \(15 \times 27 = 405\) cm = 4,05 m (longueur de l'escalier au sol).

Note : on compte 15 girons et pas 16 (le dernier débouche sur le plancher de l'étage).

Question 5 REA

Calculer la longueur du limon (pièce oblique qui supporte les marches) par le théorème de Pythagore. En déduire l'angle global \(\alpha_g\) du limon par rapport à l'horizontale, et comparer avec \(\alpha\) (angle d'une marche).

Triangle rectangle global : adjacent = 4,05 m (15 girons), opposé = 2,72 m (16 contremarches).

Pythagore : \(L = \sqrt{4{,}05^2 + 2{,}72^2} = \sqrt{16{,}40 + 7{,}40} = \sqrt{23{,}80} \approx \mathbf{4{,}88}\) m.

Angle global du limon : \(\tan \alpha_g = \dfrac{2{,}72}{4{,}05} \approx 0{,}672\) → \(\alpha_g \approx \mathbf{33{,}9°}\).

Attention : \(\alpha_g \neq \alpha\) ! Une marche fait 32,2° (cf. Q3), mais l'escalier global est un peu plus raide car il y a 16 contremarches pour seulement 15 girons (la dernière contremarche débouche sur le plancher d'arrivée). L'angle global est conforme : 33,9° ∈ [25° ; 35°] ✓.

Commande de bois : 2 limons × 5,00 m chacun (avec marge).

Question 6 ANA

Mohammed envisage un escalier plus raide pour gagner de la place (\(h\) = 18 cm, \(g\) = 24 cm). Vérifier Blondel et la pente. Est-il conforme ?

Blondel : \(2 \times 18 + 24 = 36 + 24 = 60\) cm → ∈ [60 ; 64] ✓ (limite basse).

Pente : \(\tan \alpha = 18 / 24 = 0{,}75\) → \(\alpha = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}9°\). > 35° → non conforme ⚠️.

Cet escalier est trop raide pour la norme habitation. Acceptable pour un escalier de combles (norme moins stricte, jusqu'à 45°) mais pas pour relier RDC à étage.

Question 7 VAL

Quelle hauteur de marche serait optimale (Blondel = 62 cm exactement) avec un giron fixé à 28 cm ?

\(2 h + 28 = 62\) → \(2 h = 34\) → \(h = \mathbf{17}\) cm.

Reste à vérifier que 2,72 m soit divisible par 17 → 2,72/0,17 = 16. ✓ Parfait.

Configuration optimale : 16 contremarches de 17 cm, 15 marches de 28 cm de giron. Blondel = 62, pente \(\tan = 17/28 = 0{,}607\) → α ≈ 31,3°. Excellent confort de marche.

Question 8 COM

Rédiger la note de validation de Mohammed à l'architecte (6 lignes).

Validation projet escalier — Maison Pantin extension
• Configuration : 16 contremarches × 17 cm, 15 marches × 27 cm de giron.
• Hauteur totale franchie : 2,72 m. Emprise au sol : 4,05 m.
• Formule de Blondel : \(2 \times 17 + 27 = 61\) cm → conforme ✓.
• Angle d'une marche : 32,2°. Angle global de l'escalier : 33,9° (∈ [25° ; 35°] ✓).
• Longueur des limons (Pythagore) : 4,88 m (commander 5 m × 2).
• Validation : Conforme NF P21-211. Variante optimale : giron 28 cm pour Blondel = 62.

Pour aller plus loin (bonus)

Pour un escalier accessible PMR (Personne à Mobilité Réduite), la pente ne doit pas dépasser 5 % (\(\arctan 0{,}05 \approx 2{,}9°\)). Pour franchir les 2,72 m, quelle longueur de rampe faut-il, et est-ce réalisable dans une maison standard ?

À 5 % de pente : pour un dénivelé de 2,72 m, longueur horizontale \(= 2{,}72 / 0{,}05 = 54{,}4\) m. Inenvisageable dans une maison.

Solution PMR pour un étage : ascenseur ou monte-escalier (chaise). La rampe à 5 % n'est applicable qu'aux ressauts (< 30 cm de dénivelé).

Pour l'accès à un seul étage avec ascenseur domestique : surface de cabine ≈ 1 m², coût installation ≈ 12 000 €.

À retenir

Formule de Blondel (escaliers d'habitation) : \(2 h + g \in [60 ; 64]\) cm.
Pente d'une marche : \(\tan \alpha = h / g\), entre 25° et 35° pour un escalier standard.
Nombre de contremarches = hauteur totale / hauteur d'une marche.
Nombre de marches = nombre de contremarches − 1.
Longueur du limon : Pythagore \(L = \sqrt{\text{emprise}^2 + \text{hauteur}^2}\).
L'angle global du limon est légèrement supérieur à l'angle d'une marche (il y a une contremarche de plus que de girons).
Pour PMR : ascenseur domestique (rampe à 5 % impossible sur 2,72 m).

📚 Cette activité s'appuie sur §I (Rapports trigonométriques) de la leçon Ch09 + filière EMNB (bâtiment) + norme NF P21-211.